函数比较大小
一次函数与反比例函数值的大小比较方法
一次函数与反比例函数值的大小比较方法一次函数和反比例函数是两种常见的函数类型。
在一次函数中，函数的值随着自变量的增加而线性增加或减少;而在反比例函数中，函数的值随着自变量的增加而减小。
在这两种函数中，比较函数值的大小是非常常见的问题。
本文将介绍两种函数值的大小比较方法，并给出具体的例子来解释这些方法。
方法一：代入法代入法是将自变量的值代入函数中，比较函数值的大小。
例如，对于一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 1/x,我们可以将x的值代入函数中比较函数值的大小。
当 x = 0 时，一次函数 y = 2(0) + 1 = 1，反比例函数 y = 1/0不存在。
因此,在一次函数中,当x = 0 时，函数值最小，即 y = 1。
当 x = 1 时，一次函数 y = 2(1) + 1 = 3，反比例函数 y = 1/1 = 1。
因此，在一次函数中，当 x = 1 时，函数值最大，即 y = 3。
因此，我们可以得出结论，在一次函数中，当自变量的值越大，函数值也越大;而在反比例函数中，当自变量的值越大，函数值越小。
方法二：图像法图像法是通过绘制函数的图像来比较函数值的大小。
对于一次函数和反比例函数，它们的图像分别是一条直线和一个双曲线。
例如，对于一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 1/x,我们可以将它们的图像绘制在同一个坐标系中,比较函数值的大小。
在一次函数的图像中，当自变量的值越大，函数值也越大，因此函数的图像是一条向右上方倾斜的直线。
在反比例函数的图像中，当自变量的值越大，函数值越小，因此函数的图像是一个向左上方弯曲的双曲线。
通过比较两个函数的图像，我们可以发现，在一次函数中，函数值随着自变量的增加而线性增加;而在反比例函数中，函数值随着自变量的增加而减小。
综上所述，我们可以得出结论，在一次函数中，当自变量的值越大，函数值也越大;而在反比例函数中，当自变量的值越大，函数值越小。
比较两函数大小的方法
比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。
在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。
下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。
1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。
1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。
大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。
我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。
Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。
我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。
Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。
我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。
1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。
常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。
如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。
2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。
空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。
原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。
如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。
函数大小比较问题
一、两幂值比大小的方法：（1）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可直接比较大小；（2）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。
例2 ：比较下列各组中各数的大小．（1）0.40.3与0.40.2；（2）-0.75-0.1与-0.750.1(3)（）1/5与()3/4；（4） ()-2/3与 ()-3/2解：（1）考察指数函数y=0.4x,∵0<0.4<1,此函数为减函数，而0.3>0.2,∴0.40.3<0.40.2（2）∵0<0.75<1,-0.1<0.1,∴0.75-0.1>0.750.1,故-0.75-0.1<-0.750.1.另解：分别画出函数y=（）x和y=()x的图象，图象中A点的纵坐标为（）1/5，B点的纵坐标为()3/4，C点的纵坐标为()1/5由于A点高于C点，C点又高于B点，所以（）1/5>()3/4(4)∵()-2/3>()0=1, ()-3/2<()0=1,∴ ()-2/3>()-3/2二、两对数值比大小的方法：（1）同底数的两对数值比大小时，利用对数函数的单调性可直接比较大小；（2）同真数的两对数值比大小时，可换底后比较大小，也可利用同类函数图象的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值比大小时，可以借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。
例3：比较下列各组中两个对数值的大小.(1)log0.20.5, log0.20.3; (2) log23, log1.53(3) log59, log68 ; (4) log1/50.3, log20.8 .解：（下面的解答由师生共同完成）（2）考察指数函数y=log0.2x,∵0<0.2<1, 此函数为减函数,而0.5>0.3，∴log0.20.5< log0.20.3（3）log23=, log1.53=,∵lg3>0,lg2>lg1.5>0,∴ log23< log1.53另解：分别画出函数y=log1.5x,y=log2x的图象，x>1以后y=log1.5x的图象在y=log2x的图象的上方。
函数比较大小的方法
函数比较大小的方法在数学中，比较大小是一个非常常见的操作。
在编程中，我们同样需要比较不同的数据值的大小，以便进行逻辑判断和决策。
下面我将介绍一些常用的比较大小的方法。
1. if语句if语句是最常见也是最基础的比较大小的方法。
在if语句中，我们可以使用比较运算符来比较两个数的大小，并根据比较结果执行不同的代码块。
常用的比较运算符包括大于(>)、小于(<)、等于(==)、大于等于(>=)和小于等于(<=)。
例如，在Python语言中，我们可以使用if语句来比较两个数的大小：a = 5b = 10if a < b:print("a小于b")elif a > b:print("a大于b")else:print("a等于b")上述代码中，首先定义了两个变量a和b，然后使用if语句判断a和b的大小关系，并打印相应的结果。
在这个例子中，由于a小于b，所以输出结果是"a 小于b"。
2. 比较函数除了使用if语句来比较大小，我们还可以使用一些内置的比较函数来完成相同的功能。
比较函数通常返回一个布尔值，表示比较结果的真假。
在Python中，常用的比较函数包括`max()`和`min()`。
`max()`函数用于找出一组数中的最大值，`min()`函数用于找出一组数中的最小值。
这些函数接受多个参数，可以同时比较多个数的大小。
例如，在Python中，我们可以使用`max()`和`min()`函数来比较几个数的大小：a = 5b = 10c = 15max_value = max(a, b, c)min_value = min(a, b, c)print("最大值:", max_value)print("最小值:", min_value)上述代码中，我们定义了三个变量a、b和c，并分别将它们作为参数传递给`max()`和`min()`函数。
函数值的大小比较
二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2 【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞a b -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜a b -，得221x x +＜a b 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1） 4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
1、 同一象限时，利用函数的增减性比较大小。
K ＞0时，y 随x 的增大而减小；K ＜0时，y 随x 的增大而减大；2、不同象限时，用图象法，利用y 轴“上大下小”的特点进行比较。
二次函数y1y2y3比较大小例题
二次函数y1y2y3比较大小例题在数学中，二次函数是一种非常重要且常见的函数类型，其表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
在二次函数中，我们常常需要比较不同的二次函数的大小关系，这涉及到对二次函数的深入理解和灵活运用。
为了更好地掌握二次函数y1y2y3比较大小的方法，我们可以通过以下例题进行深入探讨和分析。
例题1:已知y1=2x^2+3x+1，y2=-3x^2+5x-2，y3=x^2-4x+3，比较y1、y2、y3的大小关系。
解析：我们可以对y1、y2、y3分别求出它们的二次项系数a、一次项系数b 和常数项c，以便更好地比较它们的大小关系。
y1中a=2，b=3，c=1；y2中a=-3，b=5，c=-2；y3中a=1，b=-4，c=3。
接下来，我们可以利用“二次函数顶点法”来判断二次函数的大小关系。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点横坐标为x=-b/2a，纵坐标为-(b^2-4ac)/4a。
根据顶点法，我们可以求出y1的顶点为(-3/4，-17/8)，y2的顶点为(-5/6，29/12)，y3的顶点为(2，-1)。
通过比较三个二次函数的顶点，可以得出y1<y3<y2的结论，即y1最小，y3次之，y2最大。
总结回顾：通过以上例题分析，我们学会了如何对二次函数进行比较大小的操作。
我们需要求出二次函数的系数a、b、c，然后利用顶点法来判断其大小关系。
在具体操作时，需要注意二次函数顶点的横纵坐标，从而得出正确的比较结论。
个人观点和理解：二次函数的比较并不是一件难事，但需要我们熟练掌握二次函数的相关知识和技巧。
通过多做类似的例题分析和练习，我们可以更加灵活地运用顶点法来比较不同二次函数的大小关系，从而提高自己的数学能力和解题水平。
结语：二次函数y1y2y3的比较大小，需要我们积极探索和思考，才能真正理解其内涵和运用方法。
希望通过对比赛例题的讲解，能够帮助大家更好地掌握二次函数的比较方法，提高数学解题能力。
专题01-利用函数值解决比较大小问题归类(解析版)
专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小 【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小 【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小 【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小 【题型】五、作差法比较大小 【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小 【题型】八、构造函数法比较大小 【题型】九、放缩法比较大小 【题型】十、中间量法比较大小 二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1．（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<． 故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，且11034-<-<，所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a b >>，因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，且304-<，所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1c <， 所以c b a <<故答案为：c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=，所以a<0；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =，而22log 3log >所以11b c >，即b c <. 故选：A.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,x y z 满足3815x y z ==，则下列说法正确的是（ ） A ．230x y -> B ．230x y -< C ．50x z -> D ．50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>，可得3log x k =，8log y k =，15log z k =；根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -，根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数，∴可设38151x y z k ===>，则3log x k =，8log y k =，15log z k =；对于AB ，3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭，lg 2>1lg 2>，又lg lg10k >=，230x y ∴->，A 正确，B 错误； 对于CD ，31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=，5lg 243><lg lg10k >=，50x z ∴-<，C 错误，D 正确.故选：AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞，且m n <，则下列结论一定正确的是（ ） A ．5533m n > B ．65m n > C ．22n mm n < D ．142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项，利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数，且m n <，故5533m n <，故A 错误； 令1m =，2n =，此时65m n <，故B 错误； 令2m =-，1n =，故214n m =，22m n =-，故22n m m n >，故C 错误； 因为0n m ->，故n m y x -=在第一象限为增函数，则11424m n n mn m--->=，故D 正确；故选：D.例6．（2022·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小． 【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．例7．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知302a =，203b =则a ，b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==，结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===， 所以a b <，较大的数是b . 故答案为：b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8．（2022·全国·高三专题练习）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（ ） A ．sin3sin2sin1＜＜ B ．sin3sin1sin2＜＜ C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【答案】B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-， 因为π0π31π22<-<<-<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-， 所以sin3sin1sin2<<， 故选：B例9．（2022·四川·模拟预测（文））设1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =则有（ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.例10．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解：因为余弦函数cos y x =是偶函数，比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可，因为3401092πππ<<<，所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确； sin507sin147=，正弦函数sin y x =，在（90，180）上单调递减，且90145147180<<<， 所以sin147sin145<，即sin507sin145<，B 正确；因为32752，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增， 所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 因为53442ππ<<，则sin4cos40<<，D 正确． 故选：ABD例11．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）设2sin38cos38a =︒︒，22tan 351tan 35b ︒=-︒，c =） A ．c b a << B ．c<a<b C ．a c b << D ．a b c <<【答案】B【分析】先对,a b 化简，然后利用三角函数的单调性比较大小即可 【详解】因为2sin38cos38sin76a =︒︒=︒，22tan 35tan 70tan 601sin 761tan 35b a ︒==︒>︒=>︒=-︒，sin 76sin 60a c =︒>︒==， 所以c<a<b ． 故选：B【题型】五、作差法比较大小例12．（2023·全国·高三专题练习）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b > C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D.【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确； 选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例13．（2023·全国·高三专题练习）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n > D ．log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确； 由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n+<+，故B 错误； 因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确； 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误， 故选：AC【题型】六、作商法比较大小例14．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ） A ．若20352049x y =，则0x y == B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足0xf x ≤（）的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+，，D ．若25log 3m =，log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ，令()203520490x yt t ==>，将指数式转化为对数式即可判断；对于B ， 作出函数2,2x y y x ==的图像，结合图像即可得判断B ；对于C ，根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，解之即可判断C ；对于D ，分别判断,m n 的符号，再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解：对于A ，令()203520490x yt t ==>，则20352049log ,log x t y t ==，当且仅当1t =时，0x y ==，当1t ≠时，x y ≠，故A 错误；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，又当1x =时，1221=⨯，当2x =时，2222=⨯， 所以若22x x <，则12x <<，故B 正确；对于C ，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，因为()f x 在(),0∞-单调递减，所以函数在()0,∞+也单调递减，因为()20f =，所以()()220f f -=-=， 则当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，若()0xf x ≤，则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，所以0x =或2x ≤-或2x ≥，所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-，故C 不正确；对于D ，2255log 31l 5og 2m =<=-，225525log 3log 24m m =>==-， 所以()2,1m ∈--，221log log 2n ==，22log log 21n =<=，所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0m n +<，0mn <，由331128log log 55m n mn m n +=+=+=， 因为380log 15<<，所以1m n mn +<，所以m n mn +>，所以0mn m n <+<，故D 正确. 故选：BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15．（2023·全国·高三专题练习）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+>B ．2a b >C ．4ab >D ．4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确； 对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）． A ．2 1.91.92< B ． 2.922 2.9< C ．712log 4log 7< D．712log 4log 7+【答案】ABC【分析】构造函数ln ()xf x x=，利用导数判断其单调性后判断A ，利用指数函数性质判断B ，利用对数函数性质及基本不等式判断C ，根据对数换底公式、对数函数性质判断D ． 【详解】设ln ()x f x x=，则21ln ()xf x x -'=，0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<， 即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确；10102264(2)102410==>，76107823543104=<<，7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错． 故选：ABC ．例17．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A【题型】九、放缩法比较大小例18．（2023·上海·高三专题练习）设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排） 【答案】b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>． 故答案为：b<c<a [方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a cb >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．【题型】十、中间量法比较大小例19．（2022·天津北辰·高三期中）已知0.12a =，0.3log 0.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果． 【详解】因为0.10.51222a <=<<，0.30.3log 0.5log 0.31b =<=，0.50.5log 0.2log 0.252c =>=， 所以c a b >>． 故选：C ．例20．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，） 故选：C.2．（2022·云南·高三阶段练习）已知0.11.1a -=，ln3b =，c = ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的大小.【详解】0.101.1 1.11-<=，ln 3=，ln e 1=>= ，所以a c b <<； 故选：B.3．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =，π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，32443log 8log 42b ===，π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c >>. 故选：A.4．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．a c b >>【分析】对题意进行化简，利用函数的单调性即可判断大小 【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=，所以0b a -<即b a <，1=y =R 上的增函数，可得b c <，因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=，所以a c >，故a c b >>． 故选：D5．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 ()3xf x = ，且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称，函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称，设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ，()x ϕ的解析式，代入后跟特殊值0比较可得b 最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较a ，c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，所以()3log g x x =，又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称，所以()3log x x ϕ=-，1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭，311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭，所以b 最小；1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-，则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=， 当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因为0ln 21<<，所以22ln 2>，令2x =，得()20h =，所以()20h h >=，22112log 02log a c>⇒>>， 又因为0a >，0c >，所以c a >，综上所述c a b >>. 故选：D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小； ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小； ∴根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））设e 3a =，πe b =，3πc =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小，构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小，即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==， 因为ln πlne b =，ln eln πm =，则ln ln e e πeb =，ln ln πe ππm =， 令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=<，则()f x 递减， 所以(e)(π)f f >，即ln e ln πe π>，则ln ln b m >，故b m a >>； 因为ln πb =，ln 3ln πc =，由ln ln π3ln πb c -=-， 令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞，则3()0x g x x-'=>，则()g x 递增； 故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<，4e (4)43ln 4ln 064g =-=<，而3π4<<， 所以(π)π3ln π0g =-<，则ln ln b c <，即>c b ， 综上，c b a >>. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ，作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确. 故选：CD.8．（2023·全国·高三专题练习）已知x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，则（ ） A ．x y < B ．33x y --<C ．()lg 0y x ->D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+，结合函数的单调性可得x y <，再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，即x ，y ∈R ，且3344x x y y +<+，设()34f x x x =+，因为函数3y x =在R 上单调递增，函数4y x =在R 上单调递增，所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增，A ，由3344x x y y +<+，得()()f x f y <，所以x y <，故选项A 正确；B ，因为x ，y ∈R ，所以当x =0或y =0时，3x -，3y -没意义，故选项B 错误；C ，因为x y <，而只有当1y x ->时，()lg 0y x ->才能成立，故选项C 错误；D ，因为x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选项D 正确．故选：AD三、填空题9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设32log 2a =，9log 15b ，13c -=，则a ，b ，c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知，332log 2log 4log a ===，293331log 15log 15log 15log 152b ， 当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增， 因为3331615,log 16log 15log 31，即1a b >>.11313c -==<，所以a b c >>. 故答案为：a b c >>.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >且1a ≠，()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ；(2)已知0x D ∈，请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1；(2)当1a >时，()()00f x g x >；当01a <<时，()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ；(2)根据a 的范围，根据对数函数单调性即可判断． (1)依题意，x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得01x <<，∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1； (2)当()00,1x ∈时，有0011x x +>-，∴当1a >时，函数log a y x =单调递增，∴()()00f x g x >； ②当01a <<时，函数log a y x =单调递减，∴()()00f x g x <．。
函数中的“大小比较”问题
【当堂检测】 当堂检测】
3、已知点A（-4, y1）、 （-3, y2）、 （1, y3） 、已知点 （ ）、B（ ）、C（ 是二次函数y=x2+4x-5的图象上的三个点，则y1,y2,y3的 的图象上的三个点， 是二次函数 的图象上的三个点 大小关系是（ 大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ． ． C．y3＜y1＜y2 ． D．y1＜y3＜y2 ． 4、一次函数ｙ1=ｘ－ 与反比例函数ｙ2=2/x的图 ｘ－1与反比例函数 、一次函数ｙ ｘ－ 与反比例函数ｙ 的图 像交于点A(2,1)，B(－1,－2)，则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取 像交于点 ， － － ，则使ｙ 值范围是（ 值范围是（ ） A．ｘ＞ ．ｘ＞2 B．ｘ＞ 或－1＜ｘ＜ ．ｘ＞2 ＜ｘ＜0 ．ｘ＞ ．ｘ＞ ＜ｘ＜ C．－ ＜ｘ＜ ．－1＜ｘ＜ D．ｘ＞ 或ｘ＜－ ．ｘ＞2 ｘ＜－1 ．－ ＜ｘ＜2 ．ｘ＞
y -1 -2
．
y=k2x x
y=k1x+b
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
3、（2010年潍坊中考）已知函数y1 = x2与函数 1 y2 = - 2 x+3的图象大致如图，若y1 < y2，则自变量 的x的取值范围是（ ） 3 3 y A. - 〈x〈2 B. x 〉 2或x 〈2 2 C. 3 D. 3
y 2 y2 A y 1 1 x O 1 2
(A）0 1 2
(B) 0 1 2
(C) 0 1 2
(D) 0 1 2
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
2、直线L1：y=k1x+b与直线 2：y=k2x在同一平面直 、直线 与直线L 与直线 在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式k 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式 1x+b＞k2x 的解为（ ) 的解为（ A. x＞-1 B. x＜-1 ＞ ＜ C. x＜-2 D. 无法确定 ＜
比较大小时构造函数应注意的几个原则
比较大小时构造函数应注意的几个原则
构造函数比较大小需要遵守以下几个原则：
1、输入参数的长度要一致。
在比较两个构造函数的大小前，我们要确
保它们的参数的长度是一致的。
否则，比较将会出现一些不必要的错误。
2、检查参数的值和类型。
在比较构造函数大小之前，还需要检查参数
的值和类型，因为他们可能会影响比较结果。
3、给构造函数一个统一的比较依据。
在比较构造函数大小前，应该给
它们一个依据，使用一致的尺度，例如构造数据类型的大小，构造函数参数
的数量等等。
4、构造函数的大小应该根据预定的规则进行比较。
构造函数的大小比
较时，应该按照预定好的规则，新参数的值要大于旧参数的值，小于旧参数
的值则认为构造函数大小一样。
5、保存构造函数的大小比较结果。
一般我们在比较构造函数的大小时，会保存比较结果，以便后续利用。
总的来说，比较构造函数的大小前，一定要具体分析，确保能得出具体
结果。
不仅要输入参数的长度要一致，还要检查参数的值和类型，给它一个
合理的比较标准，并将结果保留下来。
只有在这样的条件下，才能得出具体
可靠的构造函数比较大小的结果。
高中数学比较大小的方法总结
高中数学比较大小的方法总结数学课上，尤其是在高中阶段，比较大小的问题经常会碰到。
这些问题看似简单，但其实能让不少同学绞尽脑汁。
今天咱们就来聊聊几个实用的比较大小方法，力求让大家轻松掌握这些技巧，绝对让你在数学考试中游刃有余。
1. 基本比较方法1.1 数字直接比较这可是最直接、最简单的方法了。
就像你在超市里买水果一样，苹果和橙子哪个大，一眼就能看出来。
对于普通的数字，只需要看它们的大小，哪个大哪个小，毫无悬念。
举个例子，如果要比较 ( 5 ) 和 ( 7 ) 的大小，那就简单了，( 5 < 7 )。
这种方法适用于数字比较，比如整数、分数、或者小数，搞定！1.2 分数比较比较分数稍微复杂点儿，但也不是难事。
最直接的方法是找个通分器，把两个分数的分母统一，再比大小。
这就像你们家有两种大小的披萨，通通切成八块，看看哪一块大就明白了。
比如，比较 ( frac{3}{4} ) 和 ( frac{2}{3} )，可以把它们通分到相同的分母。
最简单的办法是找它们的最小公倍数：4 和 3 的最小公倍数是 12。
所以，把 ( frac{3}{4} ) 转换为( frac{9}{12} )，( frac{2}{3} ) 转换为 ( frac{8}{12} )。
显然，( frac{9}{12} > frac{8}{12} )，所以 ( frac{3}{4} > frac{2}{3} )。
2. 函数比较方法2.1 常见函数比较对于一些函数，比如线性函数、二次函数等，我们可以通过函数的图像来比较大小。
想象一下，如果你在山顶和山脚下，看到山的高低，直接就能知道哪个高哪个低。
比如，比较 ( f(x) = 2x + 3 ) 和 ( g(x) = x^2 ) 的大小，我们可以画出它们的图像。
你会发现，二次函数 ( g(x) = x^2 ) 在 ( x ) 较大的时候，比线性函数 ( f(x) = 2x + 3 ) 要高得多。
指对数函数比较大小
指对数函数比较大小一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
在比较大小时，我们经常需要比较对数函数的大小。
本文将介绍如何比较对数函数的大小。
二、对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。
设a为正实数且a≠1，则以a为底的对数函数f(x)定义为：f(x) = log<sub>a</sub>x其中，x为正实数。
三、对数函数的性质1. 对于任意正实数x和y，有以下性质：（1）log<sub>a</sub>(xy) = log<sub>a</sub>x +log<sub>a</sub>y（2）log<sub>a</sub>(x/y) = log<sub>a</sub>x -log<sub>a</sub>y（3）log<sub>a</sub>x<sup>n</sup> = nlog<sub>a</sub>x2. 对于任意正整数n，有以下性质：（1）log<sup>n</sup><sub>a</sub>x = (log<sup>n-1</sup><sub>a</sub>log<sup>n-2</sup><sub>a</sub>...log<sup>0</sup><sub>a</sub>x) （2）当n=2时，有log(logx)<leqslant logx-1四、比较两个对数函数大小的方法在比较两个对数函数大小时，我们可以使用以下方法：1. 换底公式设f(x) = log<sub>a</sub>x，g(x) = log<sub>b</sub>x，则有：f(x) = log<sub>a</sub>x = ln(x)/ln(a)g(x) = log<sub>b</sub>x = ln(x)/ln(b)因此，我们可以将两个对数函数都转化为以e为底的对数函数，然后比较它们的大小。
三角函数大小比较题
三角函数大小比较题
在三角函数大小比较中，我们通常比较正弦函数、余弦函数和正切函数的大小关系。
下面我将从不同角度来回答这个问题。
1. 角度范围比较：
在角度范围为0到90度之间，正弦函数的值是递增的，余弦函数的值是递减的，而正切函数的值是递增的。
在角度范围为90到180度之间，正弦函数的值是递减的，余弦函数的值是递增的，而正切函数的值是递减的。
在角度范围为180到270度之间，正弦函数的值是递减的，余弦函数的值是递增的，而正切函数的值是递增的。
在角度范围为270到360度之间，正弦函数的值是递增的，余弦函数的值是递减的，而正切函数的值是递减的。
2. 值的范围比较：
正弦函数和余弦函数的值范围都是[-1, 1]，即它们的取值
范围在-1到1之间。
正切函数的值范围是整个实数集，即正切函数可以取任意实
数值。
3. 周期性比较：
正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2π弧度，即它们
的图像在每个周期内重复。
正切函数的周期是180度或π弧度，即它的图像在每个周
期内重复。
4. 特殊点比较：
在0度、90度、180度、270度和360度这些特殊角度点上，正弦函数和余弦函数的值有特殊的关系。
例如，正弦函数在0度和360度处的值为0，而余弦函数在0度和180度处的值为1。
在90度和270度这些特殊角度点上，正切函数的值为无穷
大或无穷小。
综上所述，三角函数的大小比较涉及到角度范围、值的范围、周期性和特殊点等方面。
具体的比较结果需要根据具体的角度值来确定。
导数比较大小方法
导数比较大小方法
以下是几种常用的比较导数大小的方法：
1.导数的性质法：导数的符号表示了原函数的增减性，利用导数的符号判断原函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小。
2.导数的大小比较法：直接求出函数在其定义域内的导数，然后比较大小。
3.导数的极限法：在区间端点或某一特定点的导数值，比较大小。
4.导数的几何意义法：利用导数的几何意义，比较函数值的大小。
5.导数的最值法：利用导数求函数的极值和最值，然后比较大小。
6.导数的特殊值法：根据函数在不同区间上的特殊值，进行比较。
具体采用哪种方法，需要根据题目具体情况来选择。
if函数比大小的使用方法
if函数比大小的使用方法if函数是Excel中最常用的函数之一，它可以实现根据条件进行判断和计算的功能。
在进行比大小的判断时，if函数也是常用的工具之一。
下面将介绍if函数比大小的使用方法。
一、if函数的基本语法if函数的基本语法为：=if(条件, 返回值1, 返回值2)。
其中，条件是需要进行判断的条件，返回值1是满足条件时需要返回的值，返回值2是不满足条件时需要返回的值。
二、if函数比大小的使用方法在if函数中，可以使用比较运算符进行比大小的判断。
以下是常用的比较运算符：1. 大于(>)：例如，A1>B1表示A1单元格中的值是否大于B1单元格中的值。
2. 小于(<)：例如，A1<B1表示A1单元格中的值是否小于B1单元格中的值。
3. 大于等于(>=)：例如，A1>=B1表示A1单元格中的值是否大于或等于B1单元格中的值。
4. 小于等于(<=)：例如，A1<=B1表示A1单元格中的值是否小于或等于B1单元格中的值。
5. 等于(=)：例如，A1=B1表示A1单元格中的值是否等于B1单元格中的值。
6. 不等于(<>)：例如，A1<>B1表示A1单元格中的值是否不等于B1单元格中的值。
在if函数中，可以使用这些比较运算符进行比大小的判断。
例如，可以使用以下公式判断A1单元格中的值是否大于B1单元格中的值：=if(A1>B1, "A1大于B1", "A1小于等于B1")在这个公式中，如果A1单元格中的值大于B1单元格中的值，则返回"A1大于B1"，否则返回"A1小于等于B1"。
三、if函数比大小的嵌套使用方法在if函数中，还可以嵌套使用if函数进行多重判断。
例如，可以使用以下公式判断A1单元格中的值与B1单元格中的值的大小关系：=if(A1>B1, "A1大于B1", if(A1<B1, "A1小于B1", "A1等于B1"))在这个公式中，如果A1单元格中的值大于B1单元格中的值，则返回"A1大于B1"；如果A1单元格中的值小于B1单元格中的值，则返回"A1小于B1"；否则返回"A1等于B1"。
指数函数大小比较方法
指数函数大小比较方法
指数函数大小比较，那可真是个让人挠头的事儿呢！不过别担心，咱有办法。
首先，看底数啊！如果底数大于1，那指数函数就是单调递增的哟！这不就像爬楼梯，越往上走越高嘛！要是底数大于0 小于1 呢，嘿，那就是单调递减啦，就像坐滑梯，越滑越低。
那怎么比大小呢？把指数函数的底数和指数都分析清楚呀！如果两个指数函数底数不一样，指数也不一样，咱可以找个中间值来帮忙呀！比如说，找个底数相同或者指数相同的中间函数来比较。
这就好比找个裁判，让两个选手比一比谁更厉害。
比较指数函数大小有啥要注意的呢？可千万别忽略底数的范围呀！要是不小心搞错了底数的大小关系，那可就全乱套啦！而且指数的正负也很重要哦，正指数和负指数的函数值可是有很大差别的呢。
那指数函数大小比较在实际中有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如在金融领域，计算利息啥的就可能用到指数函数呀！你想想，要是不会比较指数函数大小，那怎么算出最划算的投资方式呢？在科学研究中，很多数据的变化也可以用指数函数来表示呢。
举个例子吧，假如你有两种投资方案，一个是按照指数函数增长，
另一个也是指数函数增长，但是底数和指数都不一样。
你要是不会比较大小，怎么知道哪个方案更赚钱呢？通过比较指数函数大小，就能做出更明智的决策啦！
指数函数大小比较真的很重要呢！咱只要掌握了方法，就不怕搞不定那些复杂的函数啦！。
r语言比较大小函数
R语言比较大小函数1. 引言R语言是一种广泛应用于统计分析和数据可视化的编程语言，具有强大的向量计算能力。
在实际应用中，经常需要对数据进行比较操作，判断两个变量的大小关系。
R语言提供了一系列比较大小的函数，本文将对这些函数进行详细介绍和使用示例。
2. 向量的比较2.1. == 操作符等于操作符”==“用于判断两个向量或标量是否相等。
当两个向量的长度相等且对应位置上的元素相等时，返回TRUE；否则返回FALSE。
例如：x <- c(1, 2, 3, 4)y <- c(1, 4, 3, 4)x == y输出结果为：[1] TRUE FALSE TRUE TRUE2.2. >, <, >=, <= 操作符大于操作符”>“、小于操作符”<“、大于等于操作符”>=“、小于等于操作符”<=“用于比较两个向量或标量的大小关系。
当两个向量的长度相等且对应位置上的元素满足指定的不等式关系时，返回TRUE；否则返回FALSE。
例如：x <- c(1, 2, 3, 4)y <- c(1, 4, 3, 4)x > y输出结果为：[1] FALSE FALSE FALSE FALSE3. 矩阵的比较3.1. all.equal()函数all.equal()函数用于比较两个矩阵是否相等。
当两个矩阵的维度相等且对应位置上的元素相等或近似相等时，返回TRUE；否则返回FALSE。
例如：x <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow=2, ncol=2)y <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow=2, ncol=2)all.equal(x, y)输出结果为：[1] TRUE3.2. identical()函数identical()函数用于比较两个矩阵是否完全相等，包括维度、元素类型及取值。
当两个矩阵完全相等时，返回TRUE；否则返回FALSE。
excel比较函数的使用方法
excel比较函数的使用方法Excel比较函数指的是在Excel表格中，用于比较两个或多个值大小关系的函数，包括BETWEEN,IF,AND,OR等。
1. BETWEEN函数BETWEEN函数用于判断一个值是否在两个指定值之间，语法为:BETWEEN(value, min, max)。
其中value表示需要比较的值，min和max 为范围边界，如果value在min和max之间，则返回TRUE，否则返回FALSE。
2. IF函数IF函数在Excel中使用最为广泛，它可以根据条件判断对应的数值，语法为:IF(logical_test, [value_if_true], [value_if_false])。
其中logical_test是一个逻辑表达式，如果为TRUE则返回value_if_true的值，否则返回value_if_false 的值。
3. AND函数AND函数用于判断多个条件是否都成立，语法为:AND(logical_test1, [logical_test2], [logical_test3], …)。
其中logical_test1, logical_test2, logical_test3等为需要判断的逻辑表达式，如果所有的表达式均为TRUE，则返回TRUE，否则返回FALSE。
4. OR函数OR函数与AND函数相反，它用于判断多个条件中是否有一个成立，语法为:OR(logical_test1, [logical_test2], [logical_test3], …)。
其中logical_test1, logical_test2, logical_test3等为需要判断的逻辑表达式，如果任何一个表达式为TRUE，则返回TRUE，否则返回FALSE。
除了以上四种比较函数，Excel还提供了一些其他的函数，比如：COUNTIF函数用于计算满足条件的单元格数量；AVERAGEIF和AVERAGEIFS函数用于计算满足条件的单元格平均值等等。
excel区分大小写的函数
excel区分大小写的函数
Excel中区分大小写的函数是：EXACT函数。
该函数的语法如下：
=EXACT(text1, text2)
其中，text1和text2是需要比较的文本值。
该函数会比较text1和text2是否完全相同，并区分大小写。
如果相同则返回TRUE，否则返回FALSE。
例如，想要比较单元格A1和B1中的文本值是否相同并区分大小写，可以使用如下公式：
=EXACT(A1, B1)
该公式会返回TRUE或FALSE。
需要注意的是，EXACT函数对于包含数字或特殊字符的文本值也会进行区分大小写的比较。
如果需要忽略大小写进行比较，可以使用LOWER函数或UPPER 函数将文本值转换为小写或大写。
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专题一：指数函数与对数函数和不等式
例1、若231++<x x a a ()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。
考点：指数函数单调性
解： ① 当1>a 时，函数x a y =在R 上是增函数
∵ 231++<x x a a ∴ 231+<+x x
2
1-
>x
② 当 时，函数x a y =在R 上是 函数
综上，当1>a 时，2
1-
>x ，当10<<a 时， 。
变式训练1：若23122+-<x x ，求：x 的取值范围。
解：函数x y 2=在R 上是增函数
∵ ∴
故x 的取值范围是 。
变式训练2：若2312.02.0+-<x x ，求：x 的取值范围。
变式训练3：若221<-x ，求：x 的取值范围。
（122=）
变式训练4：若12.01>-x ，求：x 的取值范围。
例2、若)32(log )1(log ->+x x a a ()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。
考点：对数函数单调性 （真数要大于0）
解：① 当1>a 时，函数x y a
log
=在),0(+∞上是 函数
∵ )32(log )1(log ->+x x a a ∴ 321->+x x ∴ 4<x 01>+x 1->x 032>-x 2
3>x
∴
42
3<<x
② 当10<<a 时，函数x y a
log =在),0(+∞上是 函数
综上，
变式训练1：若)32(log )1(log 22+>-x x ，求：x 的取值范围。
变式训练2：若)
32(log
)1(log 2
.02
.0+>-x x ，求：x 的取值范围。
变式训练3：若1)1(log 2>-x ，求：x 的取值范围。
{{
变式训练4：若2
1)1(log 2
.0<-x ，求：x 的取值范围。
例3、比较大小：
（1）2.17.1，6.17.1 （2）3.1log
4
.2，1.1log
4
.2
（3）4.23.0，4.24.0 （4）3.07.1，1.28.0
解：（1）函数x y 7.1=在R 上是增函数
∵ 6.12.1< ∴ 6.12.17.17.1<
（2）函数x y 4
.2log
=在 上是 函数
∵ ∴
（3）作函数x y 3.0=和函数x y 4.0=的图像 令4.2=x
如图可知：
（4）∵ 17.17.103.0=> 18.08.001.2=<
∴ 3
.07
.1 1.28.0
变式训练1 比较大小：
（1）2.07.0-，4.07.0- （2）2.1log 2
.0，3.1log 2
.0 （3）2.1log 2
.0，2.1log
4
.0 （4）9
.0log
2
.0，3.0log
1
.2
例4、若函数x a y =()1,0≠>a a 且，当0>x 时，10<<y ，
求：a 的取值范围。
（由图像求解）
变式训练1：若函数x a y )12(-=，当0>x 时，10<<y ，
求：a 的取值范围。
变式训练2：若函数x a y )12(-=，当0>x 时，1>y ，
求：a 的取值范围。
变式训练3：若函数x a y )12(+=，当0<x 时，1>y ，
求：a 的取值范围
变式训练4：若函数x a y )12(+=，当0<x 时，10<<y ，
求：a 的取值范围
5、若函数x y a log =()1,0≠>a a 且，当10<<x 时，0<y ，
求：a 的取值范围。
（由图像求解）
变式训练1：若函数x
y a 2
log
+=，当10<<x 时，0>y ，
求：a 的取值范围。
变式训练2：若函数x
y a 2
log
+=，当1>x 时，0>y ，
求：a 的取值范围。
变式训练3：若函数x
y a 1
log
-=，当10<<x 时，0<y ，
求：a 的取值范围。
变式训练4：若函数x y a 1
log
-=，当1>x 时，0<y ，
求：a 的取值范围。