利用单调性比较函数值大小(人教A版)
新人教A版高中数学必修第一册3.2.1 单调性与最大(小)值 课件(2)
定 D 上的_任__意__两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有
义
f(x1) __<___f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D 上
f(x1) __>___f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D
是增函数
上是减函数
图
象 函数 f(x)在区间 D 上的图象是 函数 f(x)在区间 D 上的图象
0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x－2 1是区间[2,6]上的减函数．
因此，函数 f(x)＝x－2 1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小
值，即在 x＝2 时取得最大值，最大值是 2，在 x＝6 时取得最小值，最
小值是 0.4.
题型五 函数单调性的应用
例5 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)
[跟踪训练四]
解：设 x1，x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)
＝ x
1－2 1－x
2－2 1＝2[xx21－－11－x2x－1－11]＝x
12－x12－xx2－1 1.
由 2≤x1＜x2≤6，得 x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是 f(x1)－f(x2) ＞
特 _上__升__的
是下__降___的
征
图 示
2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么
就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)__单__调_性___，区 间D叫做y＝f(x)的_单__调_区__间__．
[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调1 区间时，不能用 “＋∪∞” )上连单接调，递而减应，该却用不“能,表”述连为接：．函如数函y数＝y＝1x 在x (在－(∞－，∞0，)∪0)(,0(，0， ＋∞)上单调递减．
人教A版 单调性与最大(小)值 教案
2021届一轮复习人教A 版 单调性与最大（小）值 教案一、教学目标设置1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并 能用文字语言描述函数的变化趋势。
2.通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。
3.通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义.4.在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。
5.在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。
6.通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。
7.通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类 比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。
二、学生学情分析（1）学生已有的认知基础学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。
初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随x 的增大而增大（或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。
此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新知学习提供了一定的保障。
（2）达成教学目标所需要认知基础本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要 学生有一定的“数形结合”的思想。
（3）“已有基础”与“需要基础”之间的差异学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大（或减小）也是没有问题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
函数的单调性与最大(小)值(第一课时)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
总结，并阐述单调区间的定义，加深同学们对函数单调性的理
解。
教学过程
教材分析
学情分析
教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
三、知识应用
通过练习和例题讲解：
1、让学生学会通过图像来判断函数的单调区间及
在各区间的单调性，加深对概念的理解。
2、使学生掌握利用定义证明函数的单调性方法，
那么就称函
f ( x数
)在 区 间
I上 单 调 递 增 （ 如
1）图
.）（
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数.
如果x1 , x2 I，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递减（如图（2））
.
特别地，函数f（x） 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
1.函数单调性的定义：
2.判断函数的单调性：（1）图象法；
（2）定义法.
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；
（4）定号；（79页
练习题 第2题
第3题
2.预习下节课内容——最大(小)
值。
一
板书设计
3.3函数的单调性
一、单调性定义
二、单调区间
取值
作差变形
定号
结论
定号
结论
方法总结
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x1<x2；
2.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性
二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是
()
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容 器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高 得越来越慢．故选D.
因为 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1， 即 0＜a≤1，所以 a 的取值范围为(0,1]．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则
A．a＞b＞0
B．a－b＞0
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)教学设计 - 高一数学 人教A版2019 必修第一册
《3.2.1单调性与最大（小）值》教学设计第2课时函数的最值教材内容：函数的最大、最小值与函数的单调性有着密切的关系。
通常要想求出函数的最大、最小值，首先要求出函数的单调性。
本节课是对函数的单调性内容的进一步深化，也是对值域这一函数性质的进一步学习。
同时，本节课所展现出的极限的数学思想对于接下来学习幂函数、函数的实际应用也有着不可替代的作用。
教学目标：1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。
教学重点与难点：1.重点：函数最值的定义；函数最值的求法。
2.难点：单调性求最值；讨论二次函数的最值问题．教学过程设计：（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
2.探索交流，解决问题【探究1】观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;图②中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。
【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.图②中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。
【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。
3.2.1函数单调性与最大(小)值-第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
3．函数 f(x)＝ ，x∈[ 1,2] ，则 f(x)的最大值为________，
x
最小值为________．
【答案】1 ,
1
【解析】∵f(x)＝ 在区间[ 1,2] 上为减函数，
x
1
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即 ≤f(x)≤1.
2
二、知识回顾
函数最大值与最小值
最大值
最小值
＝
.
x1x2
x1x2
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理 f(x)在[ 2,4] 上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
题型三 函数最值的实际应用
【规律方法】
解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量
的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取
值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
【跟踪训练】
3．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这
1
D. ，2
2
【答案】C
【解析】由图可知，f( x)的最大值为 f( 1)＝2，f(x) 的最小
值为 f(－2)＝－1.
2．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)(
)
A．有最大值
B．有最小值
函数的单调性与最大(小)值 高中数学获奖教案
、3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；2.会用定义简单证明函数的单调性；3.通过函数的单调性可以画出函数图像;4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.二、教学重难点1.函数的单调性精确定义;2.利用函数定义判断函数单调性.三、教学过程1.研究函数单调性的过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV ，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?【预设的答案】第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：f(x) =x2,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在(0,+∞]上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在(0,+∞]上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用x1, x2来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下f(x1)<f(x2)）【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.1.2探究典例，形成概念活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.【活动预设】∀x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),这时我们就说函数在区间(0,∞)上是单调递增的.【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.问题3：通过上述例子给出函数f(x)在区间D上单调性的符号表述.【活动预设】一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 活动2：请同学们判断下列命题知否正确(1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？(2) 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(3) 如果∀x,x+1∈D, 都有f(x)<f(x+1),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(4) 函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？【活动预设】（1）第一问构造了函数f(x)=xsinx+2x,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.【设计意图】（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.2.初步应用，理解概念例1 根据定义证明函数y=1在区间(0，+∞)上是单调递减的.x【预设的答案】略【设计意图】（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像（2）单调区间不能并.练1 根据定义证明函数y=x+1在区间(1，+∞)上单调递增.x【预设的答案】略【设计意图】（1）让学生自己动手练习；（2）进一步熟悉定义.例2 根据定义,研究f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【预设的答案】略【设计意图】体会如何求解含参函数的单调性.3.归纳小结，文化渗透1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？【设计意图】（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.四、课外作业。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
人教A版必修一1.3.1单调性与最大(小)值课件(1)
3．f(x) = x2
①在区间 _______, 0_____ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __减_少_____ ．
② 在区间 ___0_,________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __增__大____ ．
（一）函数单调性定义 二.新课教学
四.作业布置 书面作业：课本P32 练习：2、3
（书上 完成 ）
P39习题1．3（A组） 第3 1- 2题．
1 x1
1 x2
x2 x1 , x1 x2
注意变形程度
由
x ,x 12
(0,
),
得x x 12
0,
由x 1
x ,得 x -x
2
12
0
,
于是
f(x )-f(x )
1
2
0
(定号)
即 f(x ) 1
f(x ) 2
f(x)
1 x
在(0,
)上是减函数。
（判断结论）
三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间 的确定：函数的单调性一般是先根据图象 判断，再利用定义证明．画函数图象通常 借助计算机，求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义域，单调性的证明一般分 五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。
画出下列函数的图象，视察其变化规律：
1．f(x) = 2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落__上__升__?
②在区间 ______,______ 上，随着x的增大，
f(x)的值随着 __增_大_____ ．
2．f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落 _降__落___?
高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1
1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
【同步课堂】人教A版高中数学必修1第一章1.3.1 单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值课件(共12张PPT)
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
最小值．
x 1
例3：画出函数y | x 1| | 2x 4 |的图像， 写出它们的单调区间和最值。
例4：求函数f (x) x2 2ax 1在区间[1, 2]内的最值。
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
3、常用初等函数的最值求法.
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度.
5.4第二课时三角函数单调性与最值 高中数学人教A版必修第一册
内容 索引
问题导学预习教材
01
必备知识探究
互动合作研析题型
02
关键能力提升
拓展延伸分层精练
03
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教 材 必备知识探究
二次函数的单调性求值域(最值).
训练 3 已知函数 y＝a－bcos2x＋π6(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求a，b的值；
解 易知－1≤cos2x＋π6≤1. 因为 b>0，所以－b<0， 所以ymax＝b＋a＝32，
ymin＝－b＋a＝－12. 所以 a＝21，b＝1.
(2)求函数 g(x)＝－4asinbx－π3的最小值，并求出对应的 x 的取值集合. 解 由(1)知 g(x)＝－2sinx－π3， 因为 sinx－π3∈[－1，1]，
A.32π，52π
B.π2，32π
C.－π2，π2
D.[π，2π]
解析 y＝sin x 的单调增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，
取 k＝0，得区间－π2，π2；
取 k＝1，得区间32π，52π.
二、正弦、余弦函数的最值 1.问题 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线，回答问题：
正弦曲线：
余弦曲线：
一、正弦、余弦函数的单调性 1.问题 观察正弦函数 y＝sin x，x∈－π2，32π的图象，回答问题：
(1)函数图象有什么特征？函数值是怎样变化的？ 提示 当 x 由－π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1 增大到 1. 当 x 由π2增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 的值由 1 减小到－1.