指数函数比较大小及复合函数的单调性

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利用指幂对函数单调性比较大小解答题

1.已知幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，且在区间()0+∞，上是减函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若>a k ，比较()0.7lna 与()0.6lna 的大小．【解答】解(1)幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，2*23013,12k k k k N k ∴--<∴-<<∈∴=，，,；且幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝在区间()0+∞，为减函数， ()41k f x x -∴=∴=, ；(2)由(1)知，1a >．①当1a e <<时，()()0.70.601lna lna lna <<∴<,；②当a e =时，()()0.70.61,lna lna lna =∴=； ③当a e >时，()()0.70.61,lna lna lna >∴>．2.设a>0，a≠1，t>0，比较12a log t 与12a t log +的大小，并证明你的结论．【解答】解：当t>0时，由基本不等式可得12t +≥1t =时取“=”号 ∴1t =时，111222aa a t t log log log log t ++∴==， 1t ≠时，12t t +>，当01a <<时，a y log x =是单调减函数，∴111222aa a t t log log log log t ++<<; 当1a >时，a y log x =是单调增函数，∴111222aa a t t log log log log t ++>∴>. 3.比较()231log x +与()3x -的大小.答案：解答：要使()231log x +与()3x -有意义，则310330x x x +>∴>->⎧⎨⎩，，()()()22331331log x log x x log x -∴+--=+-()2222313123(3)x log x log x log x +=+--=-（），当2)131(3x x +->，即()2313x x +>-时，即18x <<时，())()()223130,313log x x log x x +-->∴+>-；当2)131(3x x +-<时，即()2313x x +<-时，即1x <(舍去)或8x >， ∴当8x >时，()()()()223130,313log x x log x x +--<∴+<-.4.当34a >且1a ≠时，判断()1a log a +与(1)a log a +的大小，并给出证明. 答案：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>；当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 解答：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>；当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 证明如下：()()()()()()22111111a a lg a lg a lg a lgalog a log a lga lg a lgalg a +++-+--==++，(1)当1a >时，()()0101lga lg a lg a lga >+>+>,，．∴()()11101a a a a log a log a log a log a +++->∴+>（）（）,； (2)当314a <<时，()()()()221111a a lg a lg a log a log a lgalg a ++-+-=+()()()()()()()()()211111lg a lga lg a a lg a lga lg a lga lgalg a lgalg a +-++-++=++=，()()231010104a lga lg a lg a a lg <<∴<+>+>=，，,，()()()()2101lg a lga lg aa lgalg a +-+∴<+，()(1)1a a log a log a +∴+<.5.函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅ ，且当0x >时，()01f x <<． (1)求证：()01f =；(2)当0x <时，比较()f x 与1的大小. 答案：解答：(1)∵任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅, 令()()()1,0,110m n f f f ==∴=,∵x>0时，()()()01,011,01f x f f <<∴<<∴=; (2)当0x <时，0x ->，则()()()()()()()01,01,01()11,f x f f x f x f x f x f x <-<=-=∴∈∴>=-，； 6.求不等式()2120,1x x a a a a -+>≠>中x 的取值范围．答案：当1a >时，{}3|x x >；当01a <<时，{}3|x x < 解答：()2120,1x x a a a a -+>≠>当1a >时，212,3x x x ->+∴>；当01a <<时，212,3x x x -<+∴<，故不等式()2120,1x x aa a a -+>≠>的解集：当1a >时，{}3|x x >，当01a <<时，{}3|x x <.7.若()210,13alog a a <>≠，求实数a 的取值范围．答案：()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，解答：213aa log log a <= ，当1a >时，函数是一个增函数，不等式成立，当01a <<时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有23a <，综上可知a 的取值是()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，. 8.若311,210x a lgx b lgx c lg x ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，,,，试比较a b c ,,的大小．答案：b a c << 解答：111010x a lgx ⎛⎫∈∴-<=< ⎪⎝⎭，，，()()320110,a b lgx lgx lgx c a lg x lgx lgx lgx lgx -=-=->-=-=-+>,32 lg x lg x lg x b a c ∴<<∴<<,.9.设()32f x x x=-. (1)指出函数的定义域，证明()f x 为奇函数；(2)判断函数()f x 在()0+∞，上的单调性并用定义证明； (3)试比较()f π与()27f log 的大小关系．答案：解答： (1)()32f x x x=-的定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()()3322,f x x x f x f x x x ⎛⎫-=--=--=-∴ ⎪-⎝⎭为奇函数； (2)函数()f x 在()0+∞，上是增函数，证明如下，任取()120x x ∈+∞,，，且12x x <，则()()()12121212123332(22)()f x f x x x x x x x x x -=---=-+， ()()()1212121230(20)x x x x f x f x x x <∴-+∴<<<，, ，故()f x 在()0+∞，上是增函数； (3)()()220737log f f log ππ<<<∴>；.10.设x y z R +∈,,，且346x y z ==． (1)求证：1112z x y-=； (2)比较34,6x y z ,的大小．答案：(1)见证明； (2)346x y z << 解答：(1)证明：∵x y z R +∈,,，且1346x y z ==>，346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ∴===,,, 1163214222lg lg lg lg lg z x lgk lgk lgk y lgk lgk∴-=-===,, 1112z x y=∴-；(2)34634346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ====== ，1.0336921346k lgk x y z >∴=>=>>∴<<，，，.11.设()()12313a a y log x y log x =+=-,，其中0a >且1a ≠． (1)若12y y =，求x 的值； (2)若12y y >，求x 的取值范围．(1)16x =-； (2)当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 解答：(1)()()12,1313313,6a a y y log x log x x x x =+=-∴+=-∴∴=-，，经检验31030x x +>->，，所以，16x =-是所求的值；(2)当01a <<时，∵12y y >，即()()313a a log x log x +>-，3102031311,36x x x x x⎧⎪+>->-<-+<∴∴<-⎨⎪⎩；当1a >时，∵()()12313a a y y log x log x ∴+>->,， 31012006313x x x x x +>->-<+>⎧⎪∴<⎨⎪⎩-,，综上，当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 12.设函数()()21x ax bx a b R ϕ=++∈,.(1)若()10ϕ-=，且对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立，求实数a b ,的值；(2)在(1)的条件下，令()()4f x x x ϕ=-，若()g x 与()f x 在()1+∞，上有相同的单调性，()()12312412111x x x mx m x x m x mx <<=+-=-+,,且3411x x >>,，试比较：()()34||g x g x -与()()12||g x g x -的大小．答案：(1)12a b ==,； (2)①()01m ∈，时，()()()()3412||g x g x g x g x -<-；②0m ≤时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-； ③1m ≥时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-(1)10101a b b a ϕ-=∴-+=∴=+（），,，又对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立∴0a >且240b ac -≤恒成立，即()210a -≤恒成立，12a b ∴==,；(2)()()()241f x x x x ϕ=-=-在()1+∞，上单调递增． ∴()g x 在()1+∞，上单调递增． ①()()()()312111322201111m x mx m x mx m x x x mx m x x ∈=+->+-=<+-=，,∴()312x x x ∈,同理可得()412x x x ∈，，由()g x 得单调性可知，()()()()()3412,g x g x g x g x ∈（,从而有 ()()()()3412||g x g x g x g x -<- ；②0m ≤时，()()3122211x mx m x mx m x =+-≥+-()()241211111x x m x mx m x mx x ==-+≤-+=，于是由3411x x >>,及()g x 得单调性可知()()()()()()()()41233412||||g x g x g x g x g x g x g x g x ≤<≤∴-≥-；③1m ≥时，同理可得3142x x x x ≤≥,，进而可得()()()()3412||||g x g x g x g x -≥- ．13.已知010x a <<>,且1a ≠，试比较()||1a log x +与()||1a log x -的大小，写出判断过程．答案：()()1|1|a a log x log x ->+ 解答：∵已知0111011x x x <<∴+><-<，，．当1a >时，()()()()()2111|11|a a a a a log x log x log x log x log x --+=---+=--，20111011x x x <-<<+∴<-<,，()()()()22101|0|11a a a a log x log x log x log x ∴-<∴-->∴->+，，．当01a <<时，由01x <<，则有()()1010a a log x log x ->+<，，()()()()()2111|110|a a a a a log x log x log x log x log x ∴--+=-++=->，∴()()1|1|a a log x log x ->+．综上可得，当0a >且1a ≠时，总有()()1|1|a a log x log x ->+．14.已知a b R ∈+,，函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=. (1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)比较22a b a b++的大小．答案：解答：(1)函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数，证明如下：设x y <，则0x y -<，()()()()()()x y x y y y xxyya b a b a b f x f y abab----++=- ，①当a b =时，()f x 为常数函数，此时不单调． ②若a b >，则()()00x yx y x y x y a b ab a b f x f y ----<<->-∴<,,,，此时函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数． ③当a b <，则00x y x y x y x y a b a b a b -----<>->,,，所以()()f x f y <，此时函数()()11x x x x a b f x x R a b +++∈+=递增函数.(2)2222a b a b a b a b++-=++ 123322311322222212a b a b a b a b a b a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝=+⎭--=+，因为幂函数3122x x , 在()0+∞，上单调递增，具有相同的单调性．所以当a b =时，22a b a b ++=当a b ≠时，22a b a b++> .15.已知()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,． (1)求函数()()f x g x -的定义域；(2)判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明； (3)求使()()0f x g x ->的x 的取值范围．答案：(1)()11-,； (2)奇函数；(3)当 1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<. 解答：(1)由于()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,，故()()()()1111a a axf xg x log x log x log x+-=+--=- ， 1011,10x x x ⎧+>->∴⎨<-⎩<，故函数的定义域为()11-,． (2)令()()()h x f x g x =-，可得()()1111a a x xh x log log h x x x-+-==-=-+-，故函数()()()h x f x g x =-为奇函数． (3)由()()0f x g x ->可得101a xlog x+>-，当1a >时，有11 011xx x+∴><<-，；当01a <<时，有 101101,101111x x x x x x x +⎧<⎪+⎪-<<∴∴-<<⎨+-⎪<⎪-⎩, ，综上可得，当 1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<． 16.已知1m a b >==,,a b 的大小关系，a _____b .答案：< 解答:10m >>><,,,1a m b a b +===∴<=．17.已知1m >，试比较()0.9lgm 与()0.8lgm 的大小．答案：即10m >时，()()0.90.8lgm lgm >；10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．解答：()()()0.90.10.8lgm lgm lgm =，当1lgm >，即10m >时，()0.10.111lgm >> ，∴()()0.90.8lgm lgm >．当1lgm =，即10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；当01lgm <<，即110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．18.已知函数()1211xf x log x +-＝.若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小. 答案：()()f a f b > 解答：函数()1211xf x log x +-＝的定义域为()()11-∞-+∞，，，再判断函数的单调性，()112212111x f x log log x x +=⎡⎤⎢⎥⎣=+--⎦因为函数21u x x =-（）在区间()()1,1-∞-+∞，，都是减函数，所以()f x 在区间()1-∞-，和()1+∞，都是增函数，∵1a b >>，根据()f x 在()f x 上是增函数得， ∴()()f a f b >.19.已知函数()()22401a f x x x a g x log x a a =-+=>≠,（,）．(1)若函数()f x 在[12]m -,上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若()()11f g =． (i)求实数a 的值； (ii)设()()123122x t f x t g x t ==,,=，当()01x ∈，时，试比较123t t t ,,的大小．答案：(1)1()2+∞，； (2)(i)2；(ii)213t t t <<. 解答：(1)∵抛物线224y x x a =-+开口向上，对称轴为1x =，∴函数()f x 在(]1-∞，单调递减，在[1)+∞，单调递增， ∵函数()f x 在[12]m -,上不单调， ∴21m >，得12m >，∴实数m 的取值范围1()2+∞，； (2)(i)()()11202f g a a =∴-+=∴=，，， (ii)()221223()121122x t f x x x x t g x log x t =-+=-===,（）,＝， ∴当()01x ∈，时，()()()12321301012t t t t t t ∈∈-∞∈∴<<,,，,，,. 20.已知函数()()101x f x aa a -=>≠,.(1)若函数()y f x =的图象经过()34P ，点，求a 的值； (2)比较1(0)10f lg 与()2.1f -大小，并写出比较过程．答案：(1)2；(2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lgf >-当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-. 解答：(1)∵函数()y f x =的图象经过()2344P a ∴=,,．又0a >，所以2a =． (2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lg f >-；当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-；证明：由于()3 3.11()2( 2.1)100f lgf a f a --=-=-=,，当1a >时，xy a =在R 上为增函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴>，，即)1(( 2.1)100f lgf >- 当01a <<时，xy a =在R 上为减函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴<,，故有)1(( 2.1)100f lg f <-. 21.已知函数()3f x x x x R =+∈,．(1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)若a b R ∈,，且0a b +>，试比较()()f a f b +与0的大小．答案：(1)增函数；(2)()()0f a f b +>.解答：(1)函数()3f x x x x R =+∈,是增函数，证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，因为()()()()332212121212112210f x f x x x x x x x x x x x -=-+-=-+++<所以函数()3f x x x x R =+∈,是增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，由(1)知()()f a f b >，因为()f x 的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又()()()()()333f x x x x x x xf x -=-+-=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数．于是有()()f b f b -=-，所以()()f a f b >-，从而()()0f a f b +> ． 22.已知函数()()()10xxf x ln a ba b =->>>．(1)判断函数()f x 在其定义域内的单调性(2)若函数()f x 在区间()1+∞，内恒为正，试比较a b -与1的大小关系．答案：(1)增函数； (2)1a b -≥ 解答:(1)要使函数有意义，则1)10(01x xa aa b x a b b b-∴>>>>>∴>,,,, ()0x f x ∴>∴,的定义域为()0+∞，．设21010x x a b >>>>>,，21122122110xxx xxxxxxxa ab b b b a b a b ∴>>∴->-∴->->,,，，22111x x a b ax bx ∴->-，∵函数y lgx =在定义域上是增函数，()()()()21210,f x f x f x f x ∴∴>-> ， ∴()f x 在()0+∞，是增函数． (2)由(1)知，函数()f x 在()0+∞，是增函数， ∴()f x 在()1+∞，是增函数，即有()()1f x f >，要使()0f x >恒成立，必须函数的最小值()10f ≥，即()011lg a b lg a b -≥=∴-≥,． 23.已知函数()21px f x x q +=+ 是奇函数，且()522f =.(1)求实数p q ,的值；(2)判断()f x 在[1)+∞，上的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的1t ≥，试比较()21f t t -+与()22f t t -的大小．答案： (1)1,0； (2)增函数；(3)()()2212f t t f t t -+≤-. 解答：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，()2211,0p x px q x q x q-++-∴=-++∴=，()54152,1222p f p +=∴=∴=,；(2)∵()1f x x x=+，任取12[1)x x ∈+∞,，，且12x x <， ()()()()()121211212122121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---=+-+-- 1212121210110,x x x x x x x x <<≤+∞∴-∴-><>，，()()()()121212121,x x x x fx f x x x --∴∴<∴()f x 在[1)+∞，上为增函数； (3)∵211y t t =-+的对称轴12t =， ∴211y t t =-+在[1)+∞，上单调递增，∴11111y ≥-+= ，又∵222y t t =-的对称轴为12t =， 222112248()y t t t =-=--在[1)+∞，上单调递增， 2211y ∴≥-= ，又()222212121101()(),y y t t t t t t y y ∴----+≥=-≥∴≥=, ，又()f x 在[1)+∞，上的单调递增， ()()()()222112f y f y f t t f t t ∴≥∴-+≤-,.24.已知函数()3f x x x =+．(1)指出()f x 在定义域R 上的奇偶性与单调性(只要求写出结论，无须证明)；(2)已知实数a b c ,,满足000a b b c c a +>+>+>,,，试判断()()()f a f b f c ++与0的大小，并加以证明．答案：(1)奇函数，增函数； (2)()()()0f a f b f c ++> 解答:(1)∵函数()3f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称又∵()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，∴()f x 为奇函数，又∵3y x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，∴()3f x x x =+在定义域R 上也为增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，故()()()f a f b f b >-=-，于是()()0f a f b +>．同理，()()()()00f b f c f c f a +>+>,．故()()()()()()0f a f b f b f c f c f a +++++> ，即有()()()0f a f b f c ++>． 25.已知函数()()10f x x x x->=. (1)试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设m R ∈，试比较()223f m m -++与()5f m +的大小．答案：(1)增函数；(2)()()2235f m m f m -++<+.解答：(1)()f x 为单调增函数，证明：设120x x >>，则()()()12121221211111f x f x x x x x x x x x --⎛-+=-+⎫= ⎪⎝⎭，()()1212121210,01> 0,0x x x x f x f x x x ∴->+∴->>>，， ∴()f x 为单调增函数； (2)解：222314455m m m m -++=--+≤+≥（）,，()2235,m m m f x ∴-++<+为单调增函数；()()2235f m m f m ∴-++<+.34.已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫⎪⎝⎭，. (1)求()f x 的解析式；(2)利用第(1)的结论，比较0.1a -与0.2a -的大小．答案：(1)()1()2xf x =；(2)0.10.2a a --<. 解答：(1)函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()311,821()2x a a f x ==∴∴=∴, ； (2)由(1)知()()1122x a f x =,=在R 上是减函数．0.10.20.10.2a a --->-∴<,. 26.指数函数()1xy a =-与)1(x y a =具有不同的单调性，比较13()1m a =-与3()1n a=的大小.答案： m n > 解答：因为指数函数()1xy a =-与)1(xy a=具有不同的单调性，所以11101a a ⎧-><<⎪⎨⎪⎩ 或10111a a <-<⎧>⎪⎨⎪⎩ ， ()131333112,1()()1211()28a m a n a ∴>=->-==<<，，m n ∴>.27．已知函数()21xf x a -=(0a >且1a ≠).(1)若函数()f x 的图象经过点)4P ,求a 的值; (2) 判断并证明函数()f x 的奇偶性;(3)比较2()f -与()2.1f -的大小,并说明理由. 答案： (1)2；(2)偶函数；(3)当1a >时,()()2 2.1f f -<-; 当01a <<时,()()2 2.1.f f ->-解答：(1)∵函数()f x 的图象经过点)4P ,24, 2.f a a ∴==∴=(2)函数()f x 为偶函数.∵函数()f x 的定义域为R,且()()22()11x x f x a af x ----===,∴函数()f x 为偶函数.(3)∵21y x =-在(),0-∞上单调递减, ∴当1a >时,()f x 在(),0-∞上单调递减,()()2 2.1f f ∴-<-;当01a <<时,f(x)在(),0-∞上单调递增, ∴()()2 2.1.f f ->-28．函数()(,xf x k a k a =⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象经过点()0,1A 和()3,8B ，()()()11f xg x f x -=+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2ln 2,ln ln 2,ln ,ln 2a g b g c g d g ====，试比较,,,a b c d 的大小，并将,,,a b c d 按从大到小顺序排列. 答案：(1)()2xf x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>. 解答：(1)由题知0318k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得12k a ==,，所以()2xf x =. (2)由(1)知，()2121x x g x -=+，所以()()2121x x g x g x ----==-+，显然()g x 的定义域为R ，所以()g x 是定义在R 上的奇函数.(3)因为()21212121x x xg x -==-++，所以()g x 是定义在R 上的增函数，又1ln2ln 12e =<<=，所以210ln2ln 2ln22<<<，()ln ln 20<，所以()21ln2ln 2ln2ln ln 22>>>，于是，故a d c b >>>.29．已知定义在R 上的奇函数()f x ,在()0,1x ∈时, ()2 41xxf x =+且()()11f f -=. (1)求()f x 上,1[]1x ∈-上的解析式; (2)当()0,1x ∈时,比较()f x 与12的大小. 答案：(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)()12f x <.解答：(1)∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ∴当,0()1x ∈-时,()22414(1)x xx xf x f x --=-==-++-. 又由于()f x 为奇函数,()()00(),00f f f ∴=-∴=-, 又()()()()(11,11(),110)f f f f f f =-=-∴=-=- .综上所述,当,1[]1x ∈－时,()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)当()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ()()()()2211212241 2412241241xxxxx x xf x --⋅--=-==+++-， ()20,1(21)0,410x x x ∈∴->+>， ()()110,22f x f x ∴-<∴<. 30．比较下列各组数的大小： (1)0.2456-⎛⎫⎪⎝⎭与1456-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)π1π-⎛⎫ ⎪⎝⎭与1； (3)(0.8)-2与1254-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案： (1)10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)π11π-⎛⎫> ⎪⎝⎭(3)12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.解答：(1)考察函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵5016<<，∴函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是减函数. 又10.244->-，∴10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)考察函数1πxy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵101π<<，∴函数1πxy ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝在()-∞∞,+上是减函数.又－π<0，∴π111ππ-⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. (3)先考察函数0.8x y ＝.00.81<<，∴函数0.8xy ＝在()-∞∞,+上是减函数. 又20-<，∴200.80.81>=－.再考察函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵514>，∴函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是增函数. 又102-<，∴1255144-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 综上可知，12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.31．已知01,b 1,1a ab <<>>，试比较11log log b log b ba ab 、、的大小. 答案：11log b log log b ba ba <<解答：因为01,b 1a <<>,所以log b 0a <,1log 1b b =-,1log 0ba >; 又因为b 1a >，01a <<，所以1b 1a>>; 所以11log b log 1?log b a aa a <=-=；所以11log b log log b ba b a <<.32．已知函数()2f x ax bx c =++(0a >且0bc ≠).(1)若()()()0111f f f ==-=,试求()f x 的解析式;(2)令()2g x ax b =+,若()10g =,又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ,且02l <≤,试比较b 、c 的大小.答案：(1)()21f x x x =+-或()21f x x x =--；(2)0c b >>. 解答：(1)由已知()()()0111f f f ==-=,有()()22a b c a b c a b c a b c ++=-+⇒++=-+,得()40b a c +=．∵0bc ≠,∴0b ≠,∴0a c +=,由0a >知,0c <； ∵1c =,∴1c =-，则1,1a b ==±； ∴()21f x x x =+-或()21f x x x =--．(2)()2g x ax b =+,由()10g =且0a >,知20,0a b b +=<且0a >, 设方程()0f x =的两根为12,x x ,则12122,b c x x x x a a+=-==,∴12x x -== 由已知1202x x <-≤,∴01ca≤<；又∵0,0a bc >≠,∴0c >；又0b <,∴0c b >>．33．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意a 、b ∈R ,当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+.(1)若a b >,试比较()f a 与()f b 的大小关系; (2)若()()923290x xxf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立,求实数k 的取值范围.答案：(1)()()f a f b >； (2).1k <. 解答：(1)因为a b >,所以0a b ->,由题意得:()()0f a f b a b+->-；所以()()0f a f b +->；又()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f b f b ∴-=-，()()0f a f b ∴->；即()()f a f b >.(2)由(1)知()f x 为R 上的单调递增函数,()()923290x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立, ()()92329x x x f f k ∴-⋅>-⋅-，即()()92329x x x f f k -⋅>-⋅, 923293923x x x x x k k ∴-⋅>-⋅∴<⋅-⋅，对任意[)0,x ∞∈+恒成立,即k 小于函数[)3923,0,xxu x ∞=⋅-⋅∈+的最小值.令3x t =,则[]1,t ∞∈+；即22113923323133xxu t t t ⎛⎫=⋅-⋅=-=--≥ ⎪⎝⎭； 1k ∴<.34．已知函数()211,0f x x a x a a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭(1)当12a =时,解不等式()0f x ≤; (2)比较1a a与的大小;(3)解关于x 的不等式()0f x ≤. 答案：(1)1{|2}2x x ≤≤; (2)当01a <<时,有1a a >；当1a >时,有1a a <；当1a =时,1a a=; (3)当01a <<时,1{|}x a x a ≤≤;当1a >时,1{|}x x a a≤≤;当1a =时,{}1x ∈.解答： (1)当12a =时,有不等式()23102f x x x =-+≤, ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭, ∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤; (2)∵()()111a a a a a+--=且0a > ∴当01a <<时,有1a a> 当1a >时,有1a a < 当1a =时,1a a=;(3)∵不等式()()10f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当01a <<时,有1a a >,∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤; 当1a >时,有1a a <,∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤;当1a =时,不等式的解集为{}1x ∈. 35．比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)352.1,35π;(2)13(-,13( 1.4)--;(3)452()3-,453()4.答案： (1)33552.1π<；(2)1133(( 1.4)-->-；(3)4455((23))34-<.解答：(1) ∵35y x =为R 上的增函数,又33552.1, 2.1ππ∴<<.(2) ∵13y x-=在(),0-∞上为减函数,且 1.40<-<,∴1133(( 1.4)-->-.(3)∵45y x =为R 上的偶函数,∴4455((22))33-=,又函数45y x =在[)0,+∞上为增函数,且2334<,∴4455()3(23)4<,即4455((23))34-<.36．已知函数()2()f x x a x =+∈R .(1)对任意的12,x x ∈R ,比较()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦与12()2x x f +的大小; (2)若10,11a x -≤≤-≤≤,求证:()11f x -≤≤. 答案： (1)()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+； (2)见证明. 解答：(1)对任意的12,x x ∈R ,有()()1212122()x x f x f x f ⎡⎤+-⎣⎦+ 222121222(2)x x a x x a +++=--22121224x x x x +-=()212104x x =-≥,所以()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+. (2)由于()2,11,10f x x a x a =+-≤≤-≤≤, 则当0x =时,()1min f x a =≥-; 当1x =±时,()1 1.max f x a =+≤ 综上可知,()11f x -≤≤. 37．比较下列各组数的大小：(1)3log 2.5与3 log 3.7. (2)0.2 log 2与0.2 log 4.1. (3)3log 0.24与0.2 log 0.24. (4) log 3a 与 log 3.1a . 答案：(1)332.5 3.7log log <； (2)0.20.22 4.1log log > ； (3)30.20.240.24log log <； (4)当1a >时，3 3.1a a log log <；当01a <<时，3 3.1a a log log > 解答：(1)因为()3f x log x =为增函数，且2.5 3.7<，所以332.5 3.7log log <. (2)因为()0.2f x log x =为减函数，且2 4.1<，所以0.20.22 4.1log log >(3)因为330.2410log log <=，0.20.20.2410log log >＝，所以30.20.240.24log log <. (4)当1a > 时，因为()a f x log x =为增函数，且3 3.1<，所以3 3.1a a log log <；当01a <<时，同理可得，3 3.1a a log log > 38．比较()3.412b -与()3.5112()2b b -<且0b ≠)的大小，答案：当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<.(1)当11b ->，即0b <时，()12xy b =- 递增. 所以 3.43.5()(121)2b b -<-.(2)当0121b <<－，即102b <<时，()12xy b =-递减，所以 3.43.5()(121)2b b ->- .综上所述，当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<. 39．已知()()1log 32log 2x x f x g x =+=，，试比较()f x 与()g x 的大小. 答案：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 解答：()() log 3log 4x x f x x g x ==，，所以()()3 log 4x x f x g x -=；当01x <<时，3log 04xx>，所以()()f xg x >; 当403x <<时，3log 04xx<，所以()() f x g x <; 当43x =时，3log 04xx=，所以()() f x g x =; 当43x >时，3log 04xx>，所以()() f x g x >; 综上所述：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 40．已知()(0xf x a a =>,且)1,a ≠当12x x ≠时,比较(12()2x x f +与()()122f x f x +的大小. 答案：()()1212()22f x f x x x f ++<()12122,()2x x xx x f x a f a ++=∴=,()()121211()22x x f x f x a a ⎡⎤+⎣⎦+=. ∵0a >,且121,a x x ≠≠, ∴10x a >,20x a >,且12x x a a ≠,∴121221()2x x x x a a a ++>=,即()()1212()22f x f x x x f ++<. 41.设二次函数()2f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<.(1)求实数a 的取值范围; (2)试比较()()()010f f f -与116的大小,并说明理由. 答案：(1)(0,3-； (2)()()()101016f f f -<. 解答：(1)令()()()21g x f x x x a x a =-=+-+,则由题意可得()()0,101,210,00,a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，0,11,3a 3a a a ⎧>⎪∴-<<⎨⎪<->+⎩或，03a ∴<<- 故所求实数a的取值范围是(0,3-).(2)()()()()()2010012f f f g g a -==,令()22h a a =.∵当0a >时()h a 单调增加,∴当03a <<-时,()20323((217(h a h <<-=-=-116=<,即()()()101016f f f -<.42．()()21x xa f x a a a -=--,其中0a >,且1a ≠. (1)判断函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性,并加以证明;(2)判断()22f -与()()11,33f f --与()22f -的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明. 答案：(1)增函数；(2)()()()()2211,3322f f f f ->-->-. 解答：(1)当01a <<时，201aa <-,x x a a --为减函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；当1a >时，201aa >-，x x a a --为增函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；综上，0a >,且1a ≠时，()f x 在(),-∞+∞上是增函数. (2)()()()()2211,3322f f f f ->-->- . 一般的结论:()()()*(11.)f n n f n n n N +-+>-∈证明如下:上述不等式等价于()()11f n f n +-> ,即21111n n na a a+++>+, 化简得1()(110)n n aa +-->,在0a >,且1a ≠的条件下,()1()110n n aa +-->显然成立,故()()()*1()1f n n f n n n N +-+>-∈成立.43. 已知()log (01),a f x x a a =>≠,若120,0,x x >>判断121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小，并加以证明．答案：①当1a >时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≤； ②当01a <<时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．解答：由题可得121212()()log log log ()a a a f x f x x x x x +=+=，因为120,0x x >>，所以21212()2x x x x +≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ①当1a >时，21212log ()log ()2a a x x x x +≤， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≤，即12121[()()]()22x x f x f x f ++≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ②当01a <<时，21212log ()log ()2a a x x x x +≥ ， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≥ 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≥(当且仅当12x x =时取“=”号)． 44.已知3201,log (1),log (1),a a a a x a y a >≠=+=+,试比较,x y 的大小.答案：.x y >解答：322(1)(1)(1)a a a a +-+=-，∴当1a >时，10a -> ，∴3211,log a a a y x +>+=在(0,)+∞上递增，∴.x y >当01a <<时，10a -<，∴3211,log (0,)a a a y x +<+=+∞因在上递减，∴.x y > 综上知：.x y >45.不等式223221x x k x x ++≥++ ，对任意实数x 都成立，满足条件自然数k 最大值为a ，若已知0mn m n >≠,，试比较()22134alog m mn n ++与()2126alog m mn +的大小．答案：()()222113426aalog m mn n log m mn ++<+解答：不等式223221x x k x x ++≥++ 对于任意的实数x 均成立，等价于()()23220k x k x k -+-+-≤ 对于任意的实数x 均成立．当3k =时，101x x +≤∴≤-,，不满足题意；当3k ≠时，()()230243(20)k m k k ⎧⎨<-<----⎩，解得3k <，∵满足条件自然数k 最大值为a ，30a mn m n ∴=>≠,,，()222222342620m mn n m mn m mn n m n ∴++--=-+=->， 2223426m mn n m mn ∴++>+，∵对数函数13y log x =为减函数，()()222113426aalog m mn n log m mn ∴++<+.46.定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当26x ≤≤时，()||1()2x m f x n -=+，且()831f = ． (1)求m n ,的值；(2)比较2()2f log m 与2()f log n 的大小．答案： (1)4，30；(2)22()()2f log m f log n >. 解答：(1)∵()()4f x f x +=，故函数的一个周期为4．当26x ≤≤时，()()())26(12x m nf x f f -+∴=＝，，26112642))2((m n m nm m m -+-+∴=∴-=-∴=，，，()()4418431302()f f n n -+∴=＝＝＝，；(2)由(1)的计算知，当26x ≤≤时，()4()1302x f x -+＝图象的对称轴为4x =，且在4x =处()f x 取最大值．又()()()22234()()305f log m f f f log f =<<,，由函数解析式可知()()22352()()f f f log m f log n =∴>，.47.函数()(x f x k a k a =⋅，为常数，01a a ≠＞,)的图象经过点1(0)A ，和8(3)B ,，()()()11f xg x f x -=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2222a g ln b g ln ln c g d g ln ====、、，，试比较a b c d ，，，的大小，并将a b c d ，，，从大到小顺序排列.答案：(1)()2x f x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>.解答：(1)代入1(0)A ，和8(3)B ,中得 031128k a k a k a ⎧⋅=∴==⎨⋅=⎩，,，即有()2x f x = ；(2)∵()()()21212121x x x x g x g x g x ----=∴-==-++，，又()210x x R g x +≠∈∴,，是定义在R 上的奇函数．(3)∵()21212121x x x g x -==-++， ∴g(x)是定义在R 上的增函数，21122122222ln e ln lne ln ln ln ln <<∴<<<<，，， ()()220222ln ln ln ln ln ln <∴>>>，,()()()()2(222g ln g ln g g ln ln ∴>>>， a d c b >>>.48.若()2f x x x b =-+，且()22()()21f log a b log f a a ⎡⎤⎣=⎦=≠,．。

指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称

指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称对你有一定的帮助!1.若函数1.若函数f ( x) = 2 x 3 + 3 的图像恒过定试求P的坐标。

点P,试求P的坐标。

2. 函数y=a x-1+4 恒过定点_____. 恒过定点_____ _____. = -3.方程2 3(2 ) 4 = 0的解为：____2x x对你有一定的帮助!一.求指数型复合函数的定义域、值域：求指数型复合函数的定义域、值域：(1) y = 0.4x1 x 1(2) y = 35 x 1(3) y = 2 + 1(4) y = 4 + 2xx+1+1对你有一定的帮助!二.求下列函数的定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(1) y = 31 2 x1 (2) y = ( ) 2x 11 x2 4x x (3) y = ( ) (4) y =3 + 1 4对你有一定的帮助!复合函数单调性复合函数的单调性，同增异减” 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理.u = g (x)增减增减f ( x) = a增减减增uf ( x) = a增增减减g ( x)对你有一定的帮助!练习讨论下列函数的定义域、值域、1、讨论下列函数的定义域、值域、单调区间(1) y = 2x 1(2) y = 3x2 2 x( 3) y = 3x1 ( 4) y = 3x2 2 x对你有一定的帮助!作业1、求函数的定义域、值域和单调区间. 求函数的定义域、值域和单调区间.(1) y = 0.5 (2) y = 21 2 x + x22x + 2 x +1对你有一定的帮助!求下列函数的的定义域、值域、求下列函数的的定义域、值域、单调区间(1) y = log2 ( x + 2x + 5)2(2) y = log 1 ( x + 4x + 5)2 3对你有一定的帮助!2 1 例已知函数f (x) = x 2 +1x(1)确定f(x)的奇偶性；(1)确定f(x)的奇偶性；奇函数确定f(x)的奇偶性(2)判断f(x)的单调性；(2)判断f(x)的单调性；R上是单调递增判断f(x)的单调性在(3)求f(x)的值域. (3)求f(x)的值域. 的值域值域( 值域(-1,1)对你有一定的帮助!练习: 练习:解下列不等式(1) 6x2 + x 211 x2 8 2x (2) ( )3 3 1 x2 x2 2 x (3) a ( ) ( a 0且a ≠ 1) a对你有一定的帮助!一、指数函数图象的变换1.说明下列函数图象与指数函数=2x的说明下列函数图象与指数函数y= 说明下列函数图象与指数函数图象关系，并画出它们的图象: 图象关系，并画出它们的图象(1) y = 2xx+1, y=2x+2;(2) y = 2x 1, y=2x 2;(3) y = 2 + 1, y = 2 1.x对你有一定的帮助!(1) y = 2xx+1, y=2-2x+2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -11 2 42 43 8y=20.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 0.5 1 1 2 2 4y=2y=2x+18 16x+28 16 32对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!(2) y = 2xx 1, y=2x 2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -2 0.25 0.125-1 0.5 0.250 1 0.51 2 12 3 4 8 2 4y=2y=20.125 0.0625x 1y=2x 20.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!。

指数对数与幂函数(思维导图)

指数函数对数函数解析式定义域图像1、底数对图像的影响2、平移变换对图像的影响1、底数对图像的影响2、平移变换对图像的影响单调性1、先观察底数a与1大小，不确定时要分类讨论2、复合函数类型的单调性3、会利用单调性解指数不等式1、先观察底数a与1大小，不确定时要分类讨论2、复合函数类型的单调性3、会利用单调性解对数不等式比较大小1、底数相同，指数不同2、底数不同，指数相同3、底数指数都不同1、底数相同，指数不同2、底数不同，指数相同3、底数指数都不同过定点值域（六）指数函数 1.幂的有关概念正整数指数幂：=⋅⋅na a a a n a ；零指数幂：0a =1( ) ；负整数指数幂：p a -= (0,a p N +≠∈)；正分数指数幂：m na = (0,1a m n N n +>∈>、且); 负分数指数幂：m n a-=(0,1a m n N n +>∈>、且);0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则（0,0,a b r s Q >>∈、）r s a a = ；()r s a = ；()r ab =3.指数函数图像及性质4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠ （七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是b a N =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =， ③log 1a a =，④对数恒等式：log a N a N =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则 ①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log log a a a M M N N=-；③log log na a M n M =. 4.换底公式：log log log m a m NN a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠> ①log log 1a b b a ⋅=， ②log log m n a a nb b m=. 5. 对数函数x y a log =具有性质： )()()(xy f y f x f =+ 6.函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a >时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)在第一象限内，1α>时图像为型抛物线，图像下凸,01α<<时图像为型抛物线,图像上凸. (2)图像都通过点； (3)在第一象限内，随x 的；2.当a<0时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)在第一象限内，函数图像为型，函数值随x 的增大而，图像是向下凸； (2)图像都通过点；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；-----精心整理，希望对您有所帮助!。

复合函数的单调性例讲

复合函数的单调性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ⊆，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量．外函数：)(u f y =；内函数：)(x g u =复合函数的单调性：同增异减.2.若)(x g u = )(u f y =则)]([x g f y =增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。

题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).变式训练：◇ 已知函数)121ln(-=xy ，求其单调区间. 【分析】：由0121>-x ，得 0<x ，即)0,(-∞∈x . 而函数u y ln =在),0(∞+∈u 上是增函数，函数121-=x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数，故函数)121ln(-=xy 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.例题2：◇求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数34252+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调性。

指数函数比较大小及复合函数的单调性测试题(含答案)

指数函数比较大小及复合函数的单调性一、单选题(共8道，每道12分)1.已知实数a，b满足，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用2.设，则这三个数的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质3.已知，这三个数的大小关系是( )A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质4.设，那么( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用6.若函数，满足，则的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用7.函数，在上的最大值和最小值之和是5，则a＝( )A. B.C.2D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用8.函数的单调递增区间与值域相同，则实数a的值是( )A.﹣2B.2C.﹣1D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用。

补充：复合函数的单调性

拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注：在利用函数的
单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数，则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数，则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生一些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物，正常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，

指数函数常考题型归纳含详解

A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数

4.2-指数函数

(3)0.8 3与0.82 y 0.8x是R上的减函数, 3 2,0.8 3 0.82.
(4)a2与a3(a 0,且a 1)
①0 a 1时, y ax是R上的减函数,2 3,a2 a3. ②a 1时, y ax是R上的增函数,2 3,a2 a3.
[变式]若1.52m 1.54,则m的范围是__m_<_2___.
4.2 指数函数
4.2.1指数函数的概念
指数的故事
与百万富翁的交易
杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你
订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你
每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，
杰米欣喜若狂。第1天，杰米支出1分钱，收入10万元。1 第2天，杰米支出2分钱，收入10万元。1×2 第3天，杰米支出4分钱，收入10万元。1×2×2
(1) y 3x 1, x [1,2] 析 : x [1,2],3x [1 ,9],值域为[ 2 ,8].
3
3
(2) y 22x3 析 : x R,2x 3 R, y 0. 值域为(0,)
4 (1)x 2
由4
1 x
2
0得
1 x
2
4,
2x
22,
解指数不等式: 化同底+单调
性
x 2,x 2. 定义域为[2,).
[例7]求不等式
1
12
x
27的解集.
[变]求不等式232x 0.53x4的解集.
3
指数函数的应用五：求值域
(定义域)→指数范围 →单调性
[例8]求下列函数的值域.
解 : 设f (x) ax (a 0, a 1).a2 9,a 3(3舍去). f (x) 3x. f (2) 32 1 . 9

高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册

第2课时　指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一　比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶　注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷　如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸　与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1　利用指数函数的单调性比较大小例1　若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1　下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2　已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3　指数型函数的单调性例3　求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3　函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4　指数函数性质的综合问题例4　已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4　已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时　指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性　图象　中间值要点二单调性　单调性要点三相同　相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1　解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1　解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析巩固训练2　解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3　解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4　解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。

指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性——洪俊卫ppt资料

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高届数学组洪俊卫
（1） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
指数函数底数a（复习） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
高届数学组洪俊卫
第五小组
学案第五题（2）
第七小组
学案第六题
各小组讲评员进行讲解
学案第三题
函数f (x) ax (a 0且a 1)
大小内外
小函数
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件
限制呢
tx22x1
f (x)(1)x22x1 2
同增异减
宗旨
复合函数单调性求解
掌握要点
同增异减
内函数
（注意x的范围哦）
求出内函数单调区间
外函数下结论
判断外函数单调性
结合内外函数分析
写出函数单调区间及单调性
展示
第一小组 3、求解复合函数单调性书写过程的规范
2、复合函数的内外函数的确定高届数学组洪俊卫
2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
3 x 2 - 2 x -1的单调区间
.
指数函数底数a（复习）
指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
3、求解复合函数单调性书写过程的规范
0<a<1
3、求解复合函数单调性书写过程的规范
指数函数底数a（复习）
在区间1,2上的最大值比
最小值大a ，求a的值. 2
学案第五题（1）
求函数f (x) (1)-x22x的单调区.间 2
两者的区别？
当0 x 3时，又如何？

高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章《指数函数与对数函数》本章教材分析

《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。

专题3复合函数的单调性

二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2的值,

考点10 指数与指数函数(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

考向10指数与指数函数1．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．（2015·山东高考真题（理））已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.【答案】32- 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

2021年人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数(讲解和习题)

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域（0，+∞）值域 R 定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

指数函数-复合函数及单调性__课件

例1.求y= x 2 2x的单调增区间. 解：设u=x 2 2x, 则y= u u 由x 2 2x 0, 得x 0或x 2. (注意：定义域先行） (1) 又u=x 2 2x (x 1) 2 1, 对称轴为x=1,开口向上，当x 0时，u递减；当x 2时，u递增. (2) (判断内函数的增减性）
减.
1.复合函数的概念: 对于函数y= f(u), u=g(x) ,设f(u)的定义域为D,
g(x)的值域为 M,若M D, 则函数 Y=f[g(x)]称为复合函数.
2.复合函数的单调性的判断法----复合法 y=f(u) u=g(x) 增增减减
增
增
减
减
增
减
减
增
y=f[g(x)]
简记为”同增异减”
定义域
值域
(0,+∞)
(1,+∞) [1,+∞)
单调区间
R
R (-∞,0] 减， ∞)增 [0,+
y2
x 1
R 2
1 | x| y( ) 2
y2
x2 2 x 3
R R
(0,1]
[0,+∞) (-∞,0] 增减，
减
[4, ,+∞) (-∞,1]
[1,+∞)增
复习：
1.函数单调性的定义：
设x1、x2∈D（D为定义域），且x1<x2, （1）若f(x1)<f(x2),则y=f(x)在D上递增；
（2）若f(x1)>f(x2),则y=f(x)在D上递减.
2.y=ax的单调性取决于a的范围(a>1函数增;0<a<1函数减) 3.y=xa的单调性：a>o时，函数增；a<0时函数

复合函数单调性、函数奇偶性

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

函数单调性的判断与证明

图像判断法
绘制函数图像
通过描点或利用计算机绘制出函数的图像。
观察图像走势
通过观察图像上各点的高低走势来判断函数的单调性。若图像在某区间内持续上升，则函数在该区间内单调递增；若图像持续下降，则函数在该区间内单调递减。
03
函数单调性证明方法
Chapter
定义法证明
01
选定区间内任取两点$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$），计算函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$。
举例验证
通过具体例子验证复合函数单调性判断的正确性。
隐函数单调性判断与证明
隐函数求导
利用隐函数的求导法则，求出隐函数的导数表达式。
单调性判定
根据导数的符号，判断隐函数在其定义域内的单调性。
举例验证
通过具体例子验证隐函数单调性判断的正确性。
06
函数单调性应用举例
Chapter
在不等式证明中的应用
三角函数和反三角函数
正弦函数$y=sin x$在$[-frac{pi}{2}+2kpi, frac{pi}{2}+2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增，在$[frac{pi}{2}+2kpi, frac{3pi}{2}+2kpi]$ （$k in mathbb{Z}$）上单调递减。
利用函数单调性证明不等式
通过构造函数，利用函数的单调性，将不等式问题转化为函数值的大小比较问题，从而简化证明过程。
利用函数单调性解不等式
通过函数的单调性，确定不等式的解集范围，从而求解不等式。
在方程根的存在性及根的个数判断中的应用
利用函数单调性判断方程根的存在性
通过函数的单调性，结合中值定理等工具，判断方程在某个区间内是否存在根。

高三数学有关复合函数单调性的定义和解题方法

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

复合函数单调性、函数奇偶性.docx

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若AcB,则y关于x函数的y二f [g(x)] 叫做函数f与g 的复合函数，u叫中间量.二、函数的单调区间1.—次函数y=kx+b(kHO).解当k>0时，(一8, +8)是这个函数的单调增区间；当kVO时，(一°°, +8)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y二兀(kHO).解当k>0吋，(一8, 0)和(0, +°°)都是这个函数的单调减区间，当kVO吋，(一8, 0)和(0, +8)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y二ax'+bx+c (aHO)・b b解当a>l吋(一g, —2。

)是这个函数的单调减区间，(一2。

，+->)是它的单调b b增区间；当aVl时(一8, —2d)是这个函数的单调增区间，(一2d, +8)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a>0, aHl).解当a>l时，(一8, +8)是这个函数的单调增区间，当OVaVl时，(一8, +8) 是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a>0, aHl).解当a>lW，(0, +«)是这个函数的单调增区间，当0Va<l吋，(0, +->)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 :已知函数y=f [g(x)] •若u=g(x)在区间(a, b)±是增函数,其值域为(c, d), 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y二f [g(x)]在区fn] (a, b) ±是增函数.(木引理屮的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a, b)内任取两个数Xi, X2,使a<xi<x2<b.因为u=g(x)在区间(a, b)上是增函数,所以g(xj <g(x2),记ul=g(xi),u2=g(x2)即Ui< u2,且U1,比丘(c, d).因为函数y=f (u)在区间(c, d)上是增函数,所以f (ui) <f (u2),即f Lg(xi) ] Vf [f(X2)], 故函数y=f [g(x)]在区间(a, b)±是增函数.引理2：已知函数y=f [g(x)] •若u=g(x)在区间(a, b)±是减函数，其值域为(c, d), 又函数y二f(u)在区间(c, d) ±是减函数，那么，复合函数y二f [g(x)]在区间(a, b) ±是增函数.证明在区间(a, b)内任取两个数xi, X2,使a<xi<x2<b.因为函数U=g(x)在区间(a, b)±是减函数，所以g(xi) >g(x2),记ul=g(xi),u2=g(x2)即U1>U2,且Ui, U2W (c, d)・因为函数y=f (u)在区间(c, d)上是减函数，所以f (ui) <f (u2),即f Eg(xi) ] Vf [f(X2)], 故函数尸f [g(x)l在区I'可Q,b)上是增函数.I .y. ⑴孑- 增函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。