第五章 训练2 习题课
工程热力学-第五章 习题课
3
简答题（1）
• 若工质从同一初态，分别经可逆和不可逆
6
2、系统从初态1经过可逆和不可逆过程达到相同
终态，则两过程中外界熵的变化S, S有' 什么关系
取系统与外界则组成孤立系统
Siso S12 S 0, Si'so S12 S ' 0 S S '
2
3、如果热源温度不变，增大卡诺循环输出功，则 卡诺循环热效率将: B 卡诺循环效率公式 A 增大 B 不变 C 减少 D 不定
过程，到达同一终态，已知两过程热源相 同，问传热量是否相同？对外做功？
s
q
T
=：可逆过程 >：不可逆过程
相同初终态，s相同
热源T相同
D S1- 2 = S g + Sf ,Q
qR qIR
q u w 相同 wR wIR
4
简答题（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
• 若工质从同一初态出发，从相同热源吸收
相同热量，问末态熵可逆与不可逆谁大？
s
q
T
=：可逆过程 >：不可逆过程
相同热量，热源T相同
D S1- 2 = S g + Sf ,Q
相同初态s1相同
sIR sR
s2,IR s2,R
5
简答题（3）
• 理想气体绝热自由膨胀，熵变？
Siso
S2
S1
m cv
ln
线性代数第五章习题课
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
0 2 2 (1) A = 2 4 2 ; 2 2 0
解
4 10 0 (2) A = 1 3 0 . 3 6 1
解
2. 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 若 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 相似, 相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵. 是对角矩阵.
解
(2) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 2 12 x3 +
12 x1 x2 24 x1 x3 + 8 x2 x3 .
13. 判断下列二次型是否正定. 判断下列二次型是否正定.
二次型的正定性的常用判定法
2 2 (1) 3 x12 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 4 x2 x3 ;
解
5. 设三阶方阵 A 的特征值为
λ1 =1, λ2 = 2, λ3 = 3,
对应的特征向量依次为
1 1 1 p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3 , 1 4 9
又向量 b= (1 , 1 , 3)T . (1) 求 A; (2) 将 b 用 p1, p2, p3 线性表示; 线性表示; (3) 求 Anb;(4)求 A100 . ;(4
�
解
0 0 1 3. 设 A = x 1 y 相似于对角矩阵, 相似于对角矩阵, 1 0 0
求 x 与 y 应满足的条件. 应满足的条件.
解
4. 已知矩阵
2 0 0 A = 0 0 1 0 1 x
与矩阵
2 0 0 相似. B = 0 y 0 相似 0 0 1
自动控制原理及其应用课后习题第五章答案
ω
20 0 -20
10 ωc
1
2 -20dB/dec
ω
-60dB/dec
10 ≈1 ω2 0.5 c
ω c=4.5
5 ≈1 ω c=7.9 ω 0.01 c3
第五章习题课 (5-17)
-20
低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=20dB φ (ω ) 0 ω1=5 ω2=15 -90 相频特性曲线： 相频特性曲线： -180 -270 φ ( )= -90o ω ω=0 φ ( )= -270o ω ω=∞
-60dB/dec
ω
第五章习题课 (5-2)
10(s+0.2) 1.33(5s+1) (5) G(s)= s2(s+0.1)(s+15)=s2(10s+1)(0.67s+1) 解： 低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=2.5dB
第五章习题课 (5-7)
5-7 已知奈氏曲线，p为不稳定极点个数， 已知奈氏曲线， 为不稳定极点个数 为不稳定极点个数， υ为积分环节个数，试判别系统稳定性。 为积分环节个数，试判别系统稳定性。 Im υ=2 (b) p=0 (a) p=0 Im υ=0
ω=0 Re -1 0 ω=0+ -1 0 ω=0 Re
第五章习题课 (5-1)
5-1(1) 已知单位负反馈系统开环传递函数， 已知单位负反馈系统开环传递函数， 当输入信号r(t)=sin(t+30o)，试求系统的稳态 当输入信号 ， 输出。 输出。 10 G(s)=(s+1) 10 解： φ(s)= (s+11) 10 = 10 = 10 ω A( )= 2 2 112+1√ 122 =0.905 √ 11 +( ) √ ω φ ( )=-tg-1ω =-tg-1 1 =-5.2o ω 11 11 cs(t)=0.9sin(t+24.8o)
高中数学第五章-习题课
习题课 复 数明目标、知重点1．巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． 跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10. ∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i. 2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 由z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝______.答案 2解析 设1＋a i2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝a 2， 因为a ≠b ，ab ≠0， ⎩⎨⎧a ＝－12＋32i ，b ＝－12－32i 或⎩⎨⎧b ＝－12＋32i ，a ＝－12－32i ，因此a ＋b ＝－1.11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
第五章习题课三角恒等变换的应用
B.[1,2]
C.[- 10, 10]
D.[0, 10]
(2)函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是(
5π
5π
π
π
)
π
A. -π,- 6
B. - 6 ,- 6 C. - 3 ,0
D. - 6 ,0
解析:(1)因为 f(x)=sin x+3cos x= 10sin(x+φ)(其中 tan φ=3),所
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
规范解答
2π
随堂演练
3
变式训练 2 已知 sin 3 - =- 3 ,则 cos(-x)+cos +
5π
=
.
3
2π
3
π
3
解析:由 sin 3 - =- 3 可得 sin + 3 =- 3 ,于是
5π
5π
5π
3
3
cos(-x)+cos +
=cos x+cos xcos -sin xsin
(2)
随堂演练
2sin 2cos 2-2sin2 2 2sin 2cos 2+2sin2 2
2sincos
=
2sincos
4sin2 2·cos2 2-sin2 2
=
2sincos
2sin2 2
2sin2 2
=
sin
=
4sin22·cos
= 2sincos
y=Asin(ωx+φ)的形式,最后再求周期和递增区间以及值域.
学生交流电1-3节习题
第五章第1节同步练习[随堂基础巩固]1．如图5－1－12所示图象中属于交流电的有( )2.线圈在匀强磁场中匀速转动，产生交变电流的图象如图5－1－13所示，由图可知A ．在A 、C 时刻线圈处于中性面位置B ．在B 、D 时刻穿过线圈的磁通量为零C ．从A 时刻到D 时刻线圈转过的角度为πD ．若从O 时刻到D 时刻经过0.02 s ，则在1 s 内交变电流的方向改变100次3．如图5－1－14甲所示，一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO ′以恒定的角速度ω转动。
当从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中产生的交变电流按照图乙所示的余弦规律变化，则在t ＝π2ω时刻 ( )A ．线圈中的电流最大B ．穿过线圈的磁通量为零C ．线圈所受的安培力为零D ．线圈中的电流为零4．如图5－1－15甲所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动。
若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时电流方向为正。
则图5－1－16中正确的是 ( )图5－1－15图5－1－16[课时跟踪训练] (时间30分钟，满分60分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题至少有一个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)图5－1－12图5－1－1．如图1所示为演示交变电流的装置图，关于这个实验，正确的说法是 ( )A ．线圈每转动一周，指针左右摆动两次B ．图示位置为中性面，线圈中无感应电流C ．图示位置，ab 边的感应电流方向为由a →bD ．线圈平面与磁场方向平行时，磁通量变化率为零2.如图2所示，单匝矩形线圈的一半放在有界匀强磁场中，中心轴线OO ′与磁场边界重合，线圈绕中心轴线按图示方向(从上向下看逆时针方向)匀速转动，t ＝0时刻线圈平面与磁场方向垂直，规定电流方向沿abcd 为正方向，则图3中能表示线圈内感应电流随时间变化规律的是 ( )3．线圈在匀强磁场中转动产生电动势e ＝10sin (20πt ) V ，则下列说法正确的是( ) A ．t ＝0时，线圈平面位于中性面 B ．t ＝0时，穿过线圈的磁通量最大 C ．t ＝0时，导线切割磁感线的有效速率最大 D ．t ＝0.4 s 时，e 有最大值10 2 V4．如图4所示，甲、乙两个并排放置的共轴线圈，甲中通有如图丙所示的电流，则( ) A ．在t 1到t 2时间内，甲、乙相吸 B ．在t 2到t 3时间内，甲、乙相斥 C ．t 1时刻两线圈间作用力为零 D ．t 2时刻两线圈间吸引力最大5．一交流发电机的感应电动势e ＝E m sin ωt ，如将线圈的匝数增加一倍，电枢的转速也增加一倍，其他条件不变，感应电动势的表达式将变为( )A ．e ′＝2E m sin 2ωtB ．e ′＝2E m sin 4ωtC ．e ′＝4E m sin 2ωtD ．e ′＝4E m sin 4ωt6．长为a 、宽为b 的矩形线圈，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕垂直于磁场的OO ′轴以恒定的角速度ω旋转。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
机械工程测试基础习题课(第五章)
0
τ
0
T
τ
解：因为Rx(τ)=Rxy(τ+T) 因为
1 lim T →∞ T
∫
T
0
1 x(t ) x(t + τ ) dt = lim T →∞ T
∫
T
0
x(t ) y (t + τ + T )dt
第五章 习题课
5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确 试根据一个信号的自相关函数图形， 定该信号中的常值分量和周期成分。 定该信号中的常值分量和周期成分。
nπ x1 (n) = ∑ x1 (t )δ (t − nTs ) = ∑ cos ( 2π nTs ) δ (t − nTs ) = ∑ cos 2 n =0 n =0 n=0
N −1 N −1 N −1
n δ (t − ) 4
采样输出序列x(n) 为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…… 采样输出序列 ， ， ， ， ， ， ， ，
解：设x1(t)=A1cos(ω1t+ϕ1)；x2(t)= A2cos(ω2t+ϕ2) ∵ ω1≠ω2， ∴
Rx1x2 (τ ) = Rx2 x1 (τ )=0
又因为x 和 为周期信号， 又因为 1(t)和x2(t)为周期信号，故 为周期信号
∴
A12 A2 2 Rx (τ ) = Rx1 (τ ) + Rx2 (τ ) = cos(ω1τ ) + cos(ω2τ ) 2 2
结论：如果 lim Rx (τ ) = C， 则µ x = ± C
τ →∞
Rx(τ)
x0 2 2
0
τ
军事理论课习题答案第五章
军事理论课习题答案第五章军事理论课习题答案第五章第一节：战争的本质与特征战争是人类社会发展的产物，是人们在争夺利益、解决矛盾和冲突时采取的一种极端手段。
战争的本质是一种暴力冲突，是国家或集团之间通过武力来实现自身目标的竞争。
战争具有以下几个特征：1. 暴力性：战争是通过武力手段来实现目标的，涉及到杀伤、破坏和压制等行为。
2. 政治性：战争的目的是为了实现国家或集团的政治目标，通过军事手段来改变政治格局。
3. 整体性：战争是一场全面的冲突，涉及到政治、经济、社会和文化等多个领域。
4. 持续性：战争往往是一个长期的过程，不同的阶段有不同的战略和战术。
5. 不确定性：战争的结果是不确定的，受到多种因素的影响，包括军事力量、指挥水平和战场环境等。
第二节：战争的类型与形式战争的类型和形式多种多样，主要包括常规战争、非对称战争和混合战争。
1. 常规战争：常规战争是指双方军队在规则和约束下进行的战斗，使用的武器和战术相对固定。
2. 非对称战争：非对称战争是指军事力量悬殊、作战方式不对称的战争形式，一方通常是强大的国家或集团，另一方是弱小的非国家行动者。
3. 混合战争：混合战争是指常规战争和非对称战争的结合，既有规则和约束，又有非传统的作战方式和手段。
第三节：战争的演变与趋势战争的演变是与科技、经济和社会变革密切相关的，随着人类社会的发展，战争的形式和特点也在不断变化。
1. 科技的进步：科技的进步对战争产生了深远的影响，从古代的冷兵器时代到现代的高科技战争，武器和装备的发展使战争更加复杂和残酷。
2. 经济的影响：经济的发展对战争的规模和力量产生了重要影响，强大的经济实力可以支持更大规模的军事行动。
3. 社会的变化：社会的变化也对战争产生了影响，人民对和平的渴望和对战争的厌恶使得国际社会更加重视和平与安全。
战争的趋势是向非对称战争和混合战争发展，战争的目标不再仅仅是军事力量的摧毁，更多地涉及到政治、经济和社会等领域。
第五章 习题课平抛运动规律的应用
探究一
探究二
随堂检测
要点提示(1)方向不同。如图所示,tan θ=������������������������ = ������������0������,tan α=������������������������ =
12������������2 ������������������
=
������������ 2������0
t=2
������0tan30 ������
°
=
2
3������0 3������
2
,x=v0t=
3������02 3������
故
AB
间的距离
L=cos3������0°
=
4������0 2 。
3������
答案:(1)43���������0���2
(2)2
3������0 3������
探究一
探究一
探究二
随堂检测
变式训练2如图,小球以15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜 面抛出,飞行一段时间后,恰好垂直撞在斜面上。g取10 m/s2,tan 53°= 43。求:
(1)小球在空中的飞行时间。 (2)抛出点距落点的高度。
探究一
探究二
随堂检测
解析:如图所示。由几何关系知,β=90°-37°=53°。
t=
2ℎ ������
,故
tA<tB,C
错误,D
正确;根据
x=vt
知,B
的水平位移较小,时间
较长,则水平初速度较小,故 vA>vB,A 正确,B 错误。 答案:AD
探究一
探究二
随堂检测
3.如图所示,一小球自平台上水平抛出,恰好落在临近平台的一倾角 为α=53°的光滑斜面顶端,并刚好沿光滑斜面下滑,已知斜面顶端与 平台的高度差h=0.8 m,重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
水力学5章习题课
V12 V22 5.3 3.7 2g 2g
hw h f
V2 5.3 1.43 1.20 V1 3.7
Q Q2 Q1 V2 A V1 A V2 V1 Q1 Q1 V1 A V1
V2 1 1.20 1 0.20 20% V1 即流量增加了20%。
①用舍维列夫公式 V＞1.2m/s 按阻力平方区公式计算
0.021 0.021 0.3 0.0318 0.3 d 0.25
L V2 1000 1.22 2 hf 0.0318 9.66 mH 2 O d 2H L dV dL L 1 d
d 2 1 L d 0
H 解得： 1
d
有方圆两条自然粗糙有压管，其断面尺寸如图所示，若通 例6： 过的流量Q和动力粘性系数μ均相等，其相对粗糙度Δ/d也 相等，当两管中的水流均为层流向紊流的过渡区时，试分
1 2 Q A3V3 d 3 7.23 0.0568 m3 / s 56.8L / s 4
例题2：有一段直径d=100mm的管路长10m，其中有两个
900弯管（其ζ=0.80 ），管段的沿程水头损失系数λ=0.037，
如果拆除这两个弯管，而管段长度不变，作用于管段两端 的水头维持不变，问管段中的流量能增加百分之几？
解：在出口和水箱自由液面列伯努力方程
V2 V2 LV2 V2 H L hw 2g 2g d 2g 2g
1 V L 1 d
2 g H L
流量随管长的增加而减少，即流速也随管长的增加而减少。 当
dV 0 时流速随管长的增加而减少。 dL L 2g 1 2g H L
中国石油大学工程热力学第五章习题课
.
Qmin
1.02 W / c 1.82 kW 0.56
2. 某循环在700K的热源及400K的冷源之间工作，如图，试判别 循环是热机循环还是制冷循环，可逆还是不可逆?
解：
Wnet Q1 Q2 Q1 Wnet Q2 10000kJ 4000kJ 14000kJ
7 650 K 251.6 K 1mol[ 8.314 J/(mol K) ln 8.314 J/(mol K) ln 2 500 K 200 K
7 650 K 251.6 K 1mol[ 8.314 J/(mol K) ln 8.314 J/(mol K) ln 2 800 K 300 K
第五章习题课
一、下列说法是否正确？为什么？ ⑴ 熵增大的过程为不可逆过程；
答： 不正确，只有孤立系统才可以这样说。
⑵ 不可逆过程的熵变ΔS无法计算；
答：不正确，S为状态参数，和过程无关，知道初态和终态就可以计算；
（3）若工质从某一初态经可逆与不可逆途径到达同一终态，则不可
逆途径的ΔS必大于可逆途径的ΔS。
Tm TA TB 2
两物体组成的孤立系统的熵变化量为：
Tm dT dT S 孤立系 S A S B mc mc TA T TB T Tm Tm (TA TB ) 2 mc (ln ln ) mc ln TA TB 4TATB Tm
3. 两个质量相等、比热容相同且为定值的物体，Ａ物体初温 为TA，Ｂ物体初温为TB，用它们作可逆热机的有限热源和有 限冷源，热机工作到两物体温度相等时为止。 （１）证明平衡时的温度： Tm TATB
（２）求热机作出的最大功量；
（３）如果两物体直接接触进行热交换至温度相等时， 求平衡温度及两物体总熵的变化量。 解：（１）取Ａ、Ｂ物体及热机为孤立系，则
财务管理第五章习题课
该公司的流动资产、流动负债项目属变动项目。
该公司2003年的实际销售收入为1500万元，2004年该公司预计销售收入为1800万元，预计利润总额为54万元，假定所得税税率为40%，税后利润留用比例为50%。
计算该公司2004年需要追加的外部筹资额。
2．某企业计划购入100000元A材料，销货方提供的信用条件是（2/20，n/60），针对以下几种情况，请为该企业是否享受现金折扣提供决策依据：(1)企业现金不足，需从银行借入资金支付购货款，此时银行借款利率为12%。
(2)企业有支付能力，但现有一短期投资机会，预计投资报酬率为20%。
(3)企业由于发生了安全事故，支付一笔赔偿金而使现金短缺，暂时又不能取得银行借款，但企业预计信用期后30天能收到一笔款项，故企业拟展延付款期至90天，该企业一贯重合同、守信用。
根据历史资料考察，销售收入与流动资产、固定资产、应付票据、应付账款和预提费用等项目成正比，企业上年度销售收入4000万元，实现净利100万元，支付股利60万元，普通股30万股，无优先股。
预计本年度销售收入5000万元。
要求回答以下各不相关的几个问题：（1）销售净利率提高10%，股利支付率与上年度相同，采用销售百分比法预测本年外部融资额；（2）假设其他条件不变，预计本年度销售净利率与上年相同，董事会提议提高股利支付率10%以稳定股价。
如果可从外部融资20万元，你认为是否可行？（3）假设该公司一贯实行固定股利政策，预计本年度销售净利率提高10%，采用销售百分比法预测本年外部融资额；（4）假设该公司一贯实行固定股利比例政策，预计本年度销售净利率与上年相同，采用销售百分比法预测本年外部融资额；（5）假设该公司股票属于固定增长股票，固定增长率为5%，无风险报酬率为6%，贝他系数为2，股票市场的平均收益率为10.5%。
计算该公司股票的预期报酬率和该公司股票的价值。
4．某企业计算筹集资金100万元，所得税税率33%，有关资料如下：（1）向银行借款10万元，借款年利率7 %，手续费2%。
第五章 习题课 与ex、ln x有关的常用不等式
三、与ex和ln x有关的不等式
例3 已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x. 由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝21e2. 从而 f(x)＝21e2ex－ln x－1，f′(x)＝21e2ex－1x. 当0＜x＜2时，f′(x)＜0； 当x＞2时，f′(x)＞0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2).
2.已知 x>0，求证：1＋x x<x x，则 g(0)＝0. 当 x>0 时，g′(x)＝1＋1 x－1＋1 x－1＋x x2＝1＋x x2>0.
即当x>0时，函数g(x)单调递增.
即g(x)>g(0)＝0. 故 g(x)＝ln(1＋x)－1＋x x>0，即1＋x x<ln(1＋x). 方法二 ∵ln x≤x－1，且当x＝1时等号成立. ∴ln x＋1 1<x＋1 1－1(x>0)，即 ln x＋1 1<x－＋x1， ∴x＋x 1<ln(x＋1).
第五章 §5.3 导数在研究函数中的应用
学习目标
1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见 的几种变形形式.
2.掌握一般的证明不等式的方法.
一、经典不等式ex≥x＋1
例1 证明不等式ex≥x＋1.
证明 设f(x)＝ex－x－1， 则f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0， 所以当x<0时，f′(x)<0； 当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1.
化工基础 第五章习题课
10.苯－甲苯理想溶液在总压为101.3kpa下，饱和蒸 0 p 甲苯 46kpa 气压和温度的关系如下：在85℃时，
p0苯 116.9kpa, 在105℃时， p 0甲苯 86kpa
p 0 苯 204.2kpa
求： （1）在85℃和105℃时该溶液的相对挥发度及平均相对挥发度； （2）在此总压下，若85℃时， x苯 0.78
6、操作线方程
⑴ 精馏段操作线方程 回流比 汽液关系 ⑵ 提馏段操作线方程 汽液关系 ⑶ q线方程 加料板物料关系 7、最小回流比
总结—液体的精馏
1.相平衡关系：
拉乌尔定律：
pi p x
* A A * B B
* i i
y A pA p x xA y B pB p x xB
x A yA 1 ( 1) x A
q xF x 进料操作线方程(q 线方程)： y q 1 q 1
习 题
1、双组分溶液的相对挥发度α 是溶液中 的挥发度对 的挥发度之比，若α =1表示 。物系的α 值愈 大，在x-y图中的平衡曲线愈 对角线。 易挥发组分,难挥发组分,不能用普通蒸馏方法分离,远离 2.工业生产中在精馏塔内将 过程和 过程有机结合 起来而实现操作的。而 是精馏与普通精馏的本质区 别。 多次部分气化,多次部分冷凝,回流
2）吸收速率（双膜理论）
3）填料吸收塔的计算 3．液体的精馏 1）气液相平衡 2）连续精馏分析 3）物料衡算
重点：
本章主要学习传质过程基本规律，包括气体 的吸收和液体的精馏。 气体的吸收 1．熟练掌握吸收相平衡基本规律； 2．掌握吸收双膜理论，吸收速率方程； 3．掌握填料吸收塔的有关计算； 4．了解主要吸收设备的性能。
（1）回流比及进料热状况参数；（2）馏出液及原料液组
2022年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用培优课构造函数法解决导数问题课后习题新人教A版选择性
培优课——构造函数法解决导数问题必备知识基础练1.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)=1,且f'(x )<12,则f (x )<x2+12的解集为( ) A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1}2.设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)3.已知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )为f (x )的导函数,且f (x )+(x-1)f'(x )>0,则下列式子正确的是( ) A.f (1)=0 B.f (x )<0 C.f (x )>0D.(x-1)f (x )<04.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )<-f'(x ),则下列式子一定成立的是( ) A.f (2 020)>e f (2 021)B.f (2 020)<e f (2 021)C.e f (2 020)>f (2 021)D.e f (2 020)<f (2 021)5.(多选题)已知f (x )为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f'(x )>f (x ),则下列不等式一定成立的是( ) A.3f (4)<4f (3)B.4f (4)>5f (3)C.3f (3)<4f (2)D.3f (3)>4f (2)6.已知f (x )是定义在0,π2上的函数,其导函数为f'(x ),fπ3=2√3,且当x ∈0,π2时,f'(x )sin x+f (x )cos x>0,则不等式f (x )sin x<3的解集为 .7.设函数f'(x )是定义在(0,π)上的函数f (x )的导函数,有f'(x )cos x-f (x )sin x>0,若a=12fπ3,b=0,c=-√32f5π6,则a ,b ,c 的大小关系是 .8.若对任意的x ∈[e,+∞),都有x ln x ≥ax-a ,求实数a 的取值范围.9.已知函数f (x )=12x 2-2a ln x+(a-2)x.(1)当a=1时,求函数f (x )在[1,e]上的最小值和最大值. (2)是否存在实数a ,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,都有f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a 恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.关键能力提升练10.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时,下列式子一定正确的是()A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是()A.f(1)<e3f(0)B.f(1)<e2f(0)C.f(1)>e3f(0)D.f(1)>e2f(0)12.设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-3x的解集是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)13.定义域为-π2,π2的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0,其导函数为f'(x ),当0≤x<π2时,有f'(x )cos x+f (x )sin x<0成立,则关于x 的不等式f (x )<√2fπ4·cos x 的解集为( )A.-π2,-π4∪π4,π2B.π4,π2C.-π4,0∪0,π4 D.-π4,0∪π4,π214.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f (1)=0,当x>0时,有xf'(x)-f(x)x 2>0,则不等式x 2f (x )>0的解集是 .15.已知函数f (x )=ax -ln x (a ∈R ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)若x 1,x 2是方程f (x )=2的两个不同实根,证明:x 1+x 2>2e 3.学科素养创新练16.设函数f(x)=a e x,x∈R.(1)当a=1时,过原点作y=f(x)的切线,求切线方程;(2)若不等式xf(x)-x+2>ln x对于x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围;(3)在(1)的条件下,证明:x-x2-x2ln x<1+e 2e3f(x).参考答案培优课——构造函数法解决导数问题1.D 构造函数h (x )=f (x )-x2−12,所以h'(x )=f'(x )-12<0,故h (x )在R 上是减函数,且h (1)=f (1)-12−12=0,故h (x )<0的解集为{x|x>1}.2.A 构造函数h (x )=f(x)x,因为f (x )为奇函数,所以h (x )为偶函数,又因为h'(x )=xf'(x)-f(x)x 2,且当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,所以h (x )在(0,+∞)上是减函数,根据对称性知h (x )在(-∞,0)上是增函数,又f (-1)=0,所以f (1)=0,数形结合可知,使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).3.C 令g (x )=(x-1)f (x ), 则g'(x )=f (x )+(x-1)f'(x )>0, 所以g (x )在R 上是增函数,又因为g (1)=0,所以当x>1时,g (x )=(x-1)f (x )>0; 当x<1时,g (x )=(x-1)f (x )<0. 所以当x ≠1时,f (x )>0. 又f (1)+(1-1)f'(1)=f (1)>0, 所以ABD 错误,C 正确.4.A 依题意得f (x )+f'(x )<0,令g (x )=e xf (x ), 则g'(x )=e x[f (x )+f'(x )]<0在R 上恒成立, 所以函数g (x )=e xf (x )在R 上是减函数, 所以g (2020)>g (2021), 即e2020f (2020)>e 2021f (2021)⇒f (2020)>e f (2021).5.BD 由(x+1)f'(x )>f (x ),得(x+1)f'(x )-f (x )>0,令g (x )=f(x)x+1,则g'(x )=(x+1)f'(x)-f(x)(x+1)2>0,∴g (x )在(0,+∞)上是增函数, ∴g (2)<g (3)<g (4),则f(2)3<f(3)4<f(4)5,即4f (2)<3f (3),5f (3)<4f (4),故选BD . 6.x |0<x <π3因为当x ∈0,π2时,f'(x )sin x+f (x )cos x>0,所以[f (x )sin x ]'>0,x ∈0,π2,令g (x )=f (x )sin x , 则当x ∈0,π2时,g'(x )>0,g (x )在0,π2上是增函数,因为fπ3=2√3,所以gπ3=fπ3sin π3=3,不等式f (x )sin x<3,即g (x )<g π3.因为g (x )在0,π2上是增函数,所以原不等式的解集为x |0<x <π3.7.a<b<c 设函数g (x )=f (x )cos x , 则g'(x )=f'(x )cos x-f (x )sin x ,因为f'(x )cos x-f (x )sin x>0,所以g'(x )>0, 所以g (x )在(0,π)上是增函数,a=12f π3=fπ3cos π3=gπ3,b=0=fπ2cos π2=gπ2,c=-√32f5π6=f5π6cos 5π6=g5π6,所以a<b<c.8.解若对任意的x ∈[e,+∞),都有x ln x ≥ax-a ,等价于a ≤xlnx x -1在[e,+∞)上恒成立,令h (x )=xlnxx -1,则h'(x )=x -lnx -1(x -1)2,x ∈[e,+∞), 令m (x )=x-ln x-1,则当x ≥e 时,m'(x )=1-1x >0, 即m (x )在[e,+∞)上是增函数, 故m (x )≥m (e)=e -2>0,所以h'(x )>0,所以h (x )=xlnxx -1在[e,+∞)上是增函数,h (x )min =h (e)=e e -1,所以a ≤ee -1,即实数a 的取值范围是-∞,ee -1. 9.解(1)当a=1时,f (x )=12x 2-2ln x-x. 则f'(x )=x-2x -1=x 2-x -2x=(x+1)(x -2)x,x ∈[1,e].∴当x ∈[1,2)时,f'(x )<0;当x ∈(2,e]时,f'(x )>0. ∴f (x )在[1,2)上是减函数,在(2,e]上是增函数. ∴当x=2时,f (x )取得最小值,其最小值为f (2)=-2ln2. 又f (1)=-12,f (e)=e 22-e -2,f (e)-f (1)=e 22-e -2+12=e 2-2e -32<0,∴f (e)<f (1),∴f (x )max =f (1)=-12.(2)假设存在实数a ,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,都有f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a 恒成立,不妨设0<x 1<x 2, ∵f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a ,∴f (x 2)-ax 2>f (x 1)-ax 1. 令g (x )=f (x )-ax ,则由此可知g (x )在(0,+∞)上是增函数, 又g (x )=12x 2-2a ln x+(a-2)x-ax=12x 2-2a ln x-2x ,则g'(x )=x-2ax-2=x 2-2x -2ax,由此可得g'(x )≥0在(0,+∞)上恒成立, 只需-1-2a ≥0,解得a ≤-12,即a 的取值范围是-∞,-12. 10.B 设F (x )=f(x)g(x),则F'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x),由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,得F'(x)<0,所以F(x)在R上是减函数,因为a<x<b,所以f(b)g(b)<f(x)g(x)<f(a)g(a),又f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,故f(x)g(b)>f(b)g(x).11.A令g(x)=f(x)e3x,则g'(x)=f'(x)·e 3x-3f(x)e3x(e3x)2=f'(x)-3f(x)e3x,因为3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立, 所以g'(x)<0在R上恒成立,故g(x)在R上是减函数,所以g(1)<g(0),即f(1)e3<f(0)e0,即f(1)<e3f(0).12.A令g(x)=e3x f(x),则g'(x)=3e3x f(x)+e3x f'(x), 因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3x f(x)+e3x f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)=e3x f(x)在R上是增函数,又f(x)>e-3x可化为e3x f(x)>1,且g(0)=e3×0f(0)=1, 所以g(x)>g(0),解得x>0,所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0,+∞).13.B∵f(x)+f(-x)=0且x∈-π2,π2,∴f(x)是奇函数.设g(x)=f(x)cosx ,则当0≤x<π2时,g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0,∴g(x)在0,π2上是减函数.又f(x)是奇函数,∴g(x)=f(x)cosx也是奇函数,∴g(x)在-π2,0上是减函数,从而g(x)在-π2,π2上是减函数.∵不等式f(x)<√2fπ4·cos x,∴f(x)cosx<f(π4)cosπ4,即g(x)<gπ4,∴π4<x<π2.14.(-1,0)∪(1,+∞)令g(x)=f(x)x(x≠0),则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2.∵当x>0时,xf'(x)-f(x)x2>0,即g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.又f(1)=0,∴g(1)=f(1)=0,∴在(0,+∞)上,g(x)>0的解集为(1,+∞),g(x)<0的解集为(0,1).∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴在(-∞,0)上,g(x)>0的解集为(-∞,-1),g(x)<0的解集为(-1,0).由x2f(x)>0,得f(x)>0(x≠0).又f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).15.(1)解因为f(x)=ax-ln x,所以f'(x)=-ax2−1x=-a+xx2.①当a≥0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是减函数.②当a<0时,由f'(x)>0,得0<x<-a;由f'(x)<0,得x>-a.即f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+∞)上是减函数.综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数;当a<0时,f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+∞)上是减函数.(2)证明因为f(x1)=f(x2)=2,所以a x 1-ln x 1-2=0,ax 2-ln x 2-2=0, 即x 1ln x 1+2x 1-a=0,x 2ln x 2+2x 2-a=0.设g (x )=x ln x+2x-a ,则g'(x )=ln x+3,故g (x )在0,1e 3上是减函数,在1e 3,+∞上是增函数. 由题意,设0<x 1<1e 3<x 2, 欲证x 1+x 2>2e 3,只需证x 2>2e 3-x 1, 又x 2∈1e 3,+∞,2e 3-x 1∈1e 3,+∞,g (x )在1e 3,+∞上是增函数,故只需证g (x 2)>g 2e 3-x 1. 因为g (x 1)=g (x 2),所以只需证g (x 1)>g2e 3-x 1对任意的x 1∈0,1e 3恒成立即可, 即x 1ln x 1+2x 1-a>2e 3-x 1ln 2e 3-x 1+22e 3-x 1-a , 整理得x 1ln x 1+2x 1>2e 3-x 1ln 2e 3-x 1+4e 3-2x 1, 即x 1ln x 1-2e 3-x 1ln 2e 3-x 1+4x 1-4e 3>0. 设h (x )=x ln x-2e 3-x ln2e 3-x +4x-4e 3,x ∈0,1e 3, 则h'(x )=ln x+ln2e 3-x +6=ln 2xe 3-x 2+6. 因为0<x<1e 3,所以0<2x e 3-x 2<1e 6,所以h'(x )=ln2xe 3-x 2+6<0,所以h (x )在0,1e 3上是减函数, 则h (x )>h 1e 3=0. 所以x 1+x 2>2e 3成立.16.(1)解当a=1时,f (x )=e x ,则f'(x )=e x,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线斜率为e x 0,切线方程为y-e x 0=e x 0(x-x 0),将(0,0)代入切线方程,解得x 0=1,所以切线方程为y=e x.(2)解不等式xf (x )-x+2>ln x 对于x ∈(0,+∞)恒成立,则a>lnx+x -2xe x ,x ∈(0,+∞)恒成立. 令g (x )=lnx+x -2xe x ,则g'(x )=(x+1)(3-lnx -x)x 2e x, 令m (x )=3-ln x-x ,则m'(x )=-1x -1<0,所以m(x)单调递减,m(2)>0,m(3)<0, 所以∃x1∈(2,3),m(x1)=0,所以当x∈(0,x1)时,g(x)单调递增; 当x∈(x1,+∞)时,g(x)单调递减.所以g(x)max=g(x1).因为m(x1)=3-ln x1-x1=0,所以ln x1=3-x1,x1=e3-x1,所以g(x1)=lnx1+x1-2x1e x1=1e3,所以a>1e3,所以a的取值范围为1e3,+∞.(3)证明要证x-x2-x2ln x<1+e 2e3f(x),即证1-x-x ln x<1+1e2e x-1x.令F(x)=1-x-x ln x,则F'(x)=-2-ln x,所以F(x)在(0,e-2)上单调递增,在(e-2,+∞)上单调递减,所以F(x)max=F(e-2)=1+1e2.令G(x)=1+1e2e x-1x,则G'(x)=1+1e2e x-1(x-1)x2,所以G(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以G(x)min=G(1)=1+1e2.因为F(x)max=F(e-2)=G(x)min=G(1),1≠e-2,所以1-x-x ln x<1+1e2e x-1x,原不等式得证.。
线性代数-第五章- 习题课
第四章 向量组的线性相关性一 重点内容1 非零正交向量组，正交矩阵∙ 非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα ∙ 非零正交向量组是线性无关的∙ 齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成∙ [定义] 若E A A =T (或E AA =T 或T A A =-1)，则A 是正交矩阵。
∙ 正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1∙ n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基) 2 矩阵的特征值和特征向量∙ [定义] 若Ax =λx ，其中x ≠O ，则数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量。
∙ 设 n 阶矩阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21 ，则①)(tr 21A =+++n λλλ[tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹]②A n =λλλ 21∙ 设λ0是矩阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值；②mλ是mA 的一个特征值；③)(0λϕ是)(A ϕ的一个特征值；[其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=-- ϕ是关于变量x 的k 次多项式，E A AA A 0111)(c c c c k k kk ++++=-- ϕ]④若A 可逆，10-λ是1-A 的一个特征值.且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λϕ,10-λ的特征向量.∙ A 和A T 有相同的特征值(即特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。
∙ 矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关。
3 相似矩阵∙ [定义] 若B AP P =-1(其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似 ∙ 若A 和B 相似，则①m A 和m B 相似； ②)(A ϕ和)(B ϕ相似；∙ 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
训练2习题课：曲线运动
[基础题]
1．关于合运动、分运动的说法，正确的是() A．合运动的位移为分运动位移的矢量和
B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
2．如图1所示，竖直放置且两端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个
用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动．已知圆柱体
实际运动的速度是5 cm/s，θ＝30°，则玻璃管水平运动的速度是
()
A．5 cm/s B．4.33 cm/s
C．2.5 cm/s D．无法确定图1 3．关于运动的合成，下列说法中正确的是() A．两个直线运动的合运动，一定是直线运动
B．两个直线运动的合运动，可能是曲线运动
C．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
D．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动
4．你以相对于静水不变的速度垂直渡河，当你游到河中间时，水流速度突增，则你实际所用时间与预定时间相比() A．增大B．不变C．减少D．无法确定5．某船以恒定的速率渡河，水流速度恒定(小于船速)．若要使船垂直到达对岸，则
() A．船应垂直河岸航行
B．船的航行方向应偏向上游一侧
C．船不可能沿直线到达对岸
D．河的宽度一定时，船到对岸的时间是任意的
[能力题]
6．如图2所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下
装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊
臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之
间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地
面的高度)规律变化，则物体做() 图2
A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小、方向均不变的曲线运动
D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
7．如图3所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平
方向夹角为α，则船的运动性质及此时刻小船水平速度v x 为 ( )
图3
A ．船做变加速运动，v x ＝v 0cos α
B ．船做变加速运动，v x ＝v 0cos α
C ．船做匀速直线运动，v x ＝v 0cos α
D ．船做匀速直线运动，v x ＝v 0cos α
8．如图4所示，在水平地面上以速度v 1做匀速直线运动的汽车，用绳
子通过定滑轮吊起一个物体，若设被吊物体的速度为v 2，求：
(1)两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小；
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？ 图4
(3)绳子对物体的拉力F 与物体所受重力mg 的大小关系如何？
[探究与拓展题]
9．已知某船在静水中的速度为v 1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，水流速度为v 2＝3 m/s ，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？
9．解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时，所用时间
最少．则最短时间为t ＝d v 1＝100 m 4 m/s
＝25 s ．如图所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识可得，船的位移为l ＝d 2＋x 2，由题意可得x ＝v 2t ＝3 m/s ×25 s ＝75 m ，代入得l ＝125 m.
(2)分析可知，当船的实际移动速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v 1＝4 m/s ，大于水流速度v 2＝3 m/s ，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如
图所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v 1cos θ＝v 2，cos θ＝v 21
3
4，θ＝arcos 3
4，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arcos
3
4.
＝。