高中物理 第三章 万有引力定律及其应用 微型专题3 天体运动分析学案 粤教版必修2

微型专题3 天体运动分析知识目标核心素养1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路．2．掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系.1.掌握牛顿第二定律和圆周运动知识在分析天体运行规律中的应用．2．通过推导线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，加强应用数学知识解决物理问题的能力.一、天体运动的分析与计算1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向．2．常用关系(1)GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.(2)忽略自转时，mg＝GMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．例1如图1所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：图1(1)A 的线速度大小v 1； (2)B 的角速度ω2；(3)A 、B 的角速度之比ω1∶ω2. 答案 (1)gR 2R ＋h 1 (2)gR 2(R ＋h 2)3 (3)(R ＋h 2)3(R ＋h 1)3 解析 (1)设地球质量为M ，卫星质量为m ， 由万有引力提供向心力，对A 有：GMm (R ＋h 1)2＝m v 12R ＋h 1① 在地球表面对质量为m ′的物体有：m ′g ＝G Mm ′R 2② 由①②得v 1＝gR 2R ＋h 1. (2)由G Mm(R ＋h 2)2＝mω22(R ＋h 2)③由②③得ω2＝gR 2(R ＋h )3. (3)由G Mm(R ＋h )2＝mω2(R ＋h )得ω＝GM(R ＋h )3 所以A 、B 的角速度之比ω1ω2＝(R ＋h 2)3(R ＋h 1)3. 针对训练 (多选)地球半径为R 0，地面重力加速度为g ，若卫星在距地面R 0处做匀速圆周运动，则( ) A ．卫星的线速度为2R 0g2B ．卫星的角速度为g 8R 0C ．卫星的加速度为g 2D ．卫星的加速度为g4答案 ABD解析 由GMm (2R 0)2＝ma ＝m v 22R 0＝mω2(2R 0)及GM ＝gR 02，可得卫星的向心加速度a ＝g 4，角速度ω＝g 8R 0，线速度v ＝2R 0g 2，所以A 、B 、D 正确，C 错误． 二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动．(1)由G Mm r 2＝m v 2r得v ＝GMr，r 越大，v 越小． (2)由G Mm r2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得T ＝2π r 3GM ，r 越大，T 越大．(4)由G Mm r 2＝ma 得a ＝GMr2，r 越大，a 越小．以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．例2 俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生的碰撞是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A ．甲的运行周期一定比乙的长 B ．甲距地面的高度一定比乙的高 C ．甲的向心力一定比乙的小 D ．甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D解析 甲的速率大，由G Mm r 2＝m v 2r，得v ＝GMr，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B 错；由G Mm r 2＝mr 4π2T2，得T ＝4π2r3GM，可知甲的运行周期小，故A 错；由于两碎片的质量未知，无法判断向心力的大小，故C 错；由GMm r 2＝ma 得a ＝GMr2，可知甲的向心加速度比乙的大，故D 对．例3 如图2所示，a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和2R (R 为地球半径)．下列说法中正确的是( )图2A ．a 、b 的线速度大小之比是2∶1B ．a 、b 的周期之比是1∶2 2C ．a 、b 的角速度大小之比是36∶4D ．a 、b 的向心加速度大小之比是9∶2 答案 C解析 两卫星均做匀速圆周运动，F 万＝F 向，向心力选不同的表达式分别分析．由GMm r 2＝m v 2r 得v 1v 2＝r 2r 1＝3R 2R ＝32，故A 错误． 由GMm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2得T 1T 2＝r 13r 23＝2323，故B 错误． 由GMm r 2＝mrω2得ω1ω2＝r 23r 13＝364，故C 正确． 由GMm r 2＝ma 得a 1a 2＝r 22r 12＝94，故D 错误.1．(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )图3A ．速度大B ．向心加速度大C ．运行周期长D ．角速度小答案 CD解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F 向，所以G Mm r 2＝ma ＝mv 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2， 即a ＝GMr2，v ＝GMr，T ＝4π2r3GM，ω＝GM r 3(或用公式T ＝2πω求解)． 因为r 1<r 2，所以v 1>v 2，a 1>a 2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确．2．(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图4A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 答案 C解析 根据万有引力定律F ＝G Mm r2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A 项错误；由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM，因为各小行星的轨道半径r 大于地球的轨道半径，所以它们的运行周期均大于地球的公转周期，B 项错误；向心加速度a ＝F m ＝G Mr 2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C 项正确；由G Mm r 2＝m v 2r得线速度v ＝GMr，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度值小于地球绕太阳的线速度值，D 项错误． 3．(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图5A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大 答案 A解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ＝mω2r ＝m v 2r ，可得a ＝GM r2，T ＝2πr 3GM ，ω＝GMr 3，v ＝GMr.由已知条件可得a 甲＜a 乙，T 甲＞T 乙，ω甲＜ω乙，v 甲＜v 乙，故正确选项为A.【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4．(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星．设“高分一号”轨道的离地高度为h ，地球半径为R ，地面重力加速度为g ，求“高分一号”在时间t 内绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转) 答案t2πgR 2(R ＋h )3 解析 在地球表面的物体m ′g ＝GMm ′R 2“高分一号”在轨道上GMm (R ＋h )2＝m (R ＋h )4π2T 2所以T ＝2π(R ＋h )3GM＝2π(R ＋h )3gR 2故n ＝t T ＝t2πgR 2(R ＋h )3. 【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题1．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A ．周期 B ．角速度 C ．线速度 D ．向心加速度答案 A解析 “高分五号”的运动轨道半径小于“高分四号”的运动轨道半径，即r 五<r四．由万有引力提供向心力得GMm r 2＝mr 4π2T 2＝mrω2＝m v 2r＝ma .T ＝4π2r3GM ∝r 3，T 五<T 四，故A 对；ω＝GMr 3∝1r 3，ω五>ω四，故B 错；v ＝GMr∝1r，v 五>v 四，故C 错；a ＝GM r 2∝1r2，a 五>a 四，故D 错．【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律2．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.1918 B. 1918C.1819D.1819答案 C解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G Mm (r ＋h )2＝m v 2r ＋h ，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有v 1v 2＝ r ＋h 2 r ＋h 1＝1819. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星的线速度与半径的关系3.(多选)如图1所示，a 、b 、c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则( )图1A ．b 所需向心力最小B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度大小 答案 ABD解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，由F 向＝GMmr 2知b 所受的引力最小，故A 对．由GMm r 2＝mrω2＝mr (2πT )2得T ＝2πr 3GM，即r 越大，T 越大，所以b 、c 的周期相等且大于a 的周期，B 对．由GMm r 2＝ma ，得a ＝GM r 2，即a ∝1r2，所以b 、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度大小，C 错．由GMm r 2＝mv 2r ，得v ＝GM r ，即v ∝1r，所以b 、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度大小，D 对．【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系4.a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图2所示，下列说法中正确的是( )图2A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度大小B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度大小C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度大小D ．a 、c 存在在P 点相撞的危险 答案 A解析 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma 可知，选项B 、C 错误，A 正确；因a 、c 轨道半径相同，周期相同，由题图可知当C 卫星运行至P 点时不相撞，以后就不可能相撞了，选项D 错误．【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系5．伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )名称 周期/天 木卫一 1.77 木卫二3.65A.木卫一角速度最小 B ．木卫四线速度最大 C ．木卫四轨道半径最大D ．木卫一受到的木星的万有引力最大 答案 C6．两颗行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为M AM B ＝p ，两行星的半径之比为R A R B ＝q ，则两个卫星的周期之比T a T b为( ) A.pq B ．q p C ．pp q D ．qq p答案 D解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：G Mm R 2＝mR (2πT )2，得T ＝4π2R3GM，解得：T a T b ＝qqp，故D 正确，A 、B 、C 错误． 【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律7．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，则下列判断正确的是( ) A ．若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群 B ．若v ∝R ，则该层是土星的一部分 C ．若v ∝1R，则该层是土星的一部分D ．若v 2∝1R，则该层是土星的卫星群答案 BD解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v ＝ωR 知v ∝R ，B 正确，C 错误；若是土星的卫星群，则由G Mm R 2＝m v 2R ，得v 2∝1R，故A 错误，D 正确．【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律8.(多选)如图3所示，2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )图3A ．密度B ．向心力的大小C ．离地高度D ．线速度的大小答案 CD解析 设卫星绕地球运动的周期为T ，轨道半径为r ，地球质量和半径分别为M 、R ，则在地球表面的物体：GMm ′R2＝m ′g ，GM ＝gR 2① 对卫星：根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ② 联立①②式可求轨道半径r ，而r ＝R ＋h ，故可求得卫星离地高度． 由v ＝rω＝r 2πT，从而可求得卫星的线速度大小．卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力F ＝G Mmr2也不能求出．故选项C 、D 正确．9.(多选)2016年10月16日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接．如图4所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r ，地球表面重力加速度为g ，引力常数为G ，不考虑地球自转．则( )图4A ．可求出地球的质量B ．可求出地球的平均密度C ．可求出组合体做圆周运动的线速度D ．可求出组合体受到地球的万有引力答案 ABC解析 组合体在时间t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度ω＝θt；万有引力提供组合体的向心力，则GMm r 2＝mω2r ，所以M ＝ω2r 3G ＝θ2r 3t 2G①，A 正确．不考虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则mg ＝G MmR 2，解得R ＝GMg，地球的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3M 4π(g GM )32，代入①即可求出平均密度，B 正确．根据线速度与角速度的关系v ＝ωr 可知v ＝θrt，C 正确．由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，D 错误．【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算10．(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L .已知月球半径为R ，引力常数为G .则下列说法中正确的是( ) A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 02L2B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 02GL2C ．月球的自转周期T ＝2πR v 0D ．月球的平均密度ρ＝3hv 022πGL 2答案 AB解析 根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2，联立解得g 月＝2hv 02L2，选项A 正确；由mg月＝G mm 月R 2解得m 月＝2hR 2v 02GL 2，选项B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m 月43πR 3＝3hv 022πGL 2R ，选项D 错误． 【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算11．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示．已知引力常数为G ，由此可推导出月球的质量为( )图5A.l 3Gθt 2 B.l 3θGt 2 C.l Gθt 2D.l 2Gθt 2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝l θ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mm r 2＝mω2r ，由以上三式可得M ＝l 3Gθt 2.【考点】计算天体的质量 【题点】天体质量的综合问题 二、非选择题12．(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g 星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星R 地＝14，求该星球的质量与地球质量之比M 星M 地. 答案 (1)2 m/s 2(2)1∶80解析 (1)在地球表面以一定的初速度v 0竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处， 根据运动学公式可知t ＝2v 0g.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球落回原处，则5t ＝2v 0g 星根据以上两式，解得g 星＝15g ＝2 m/s 2(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ＝GMm R 2，所以M ＝gR 2G由此可得，M 星M 地＝g 星g ·R 星2R 地2＝15×142＝180.【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用 【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题13．(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M .现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常数为G .(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R 1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v 1为多大？(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R 2，周期为T 2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m 卫为多大？ 答案 (1)GM R 1 (2)4π2R 23GT 22－M 解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m 1，有G Mm 1R 12＝m 1v 12R 1，解得v 1＝GMR 1. (2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m 2，则有G (M ＋m 卫)m 2R 22＝m 2R 24π2T 22 解得m 卫＝4π2R 23GT 22－M .【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律。