安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学(理)试题
江淮十校2019届高三第三次联考理科综合能力测试
平 板车的长度为
A. 4 m
B. 5 m
C. 6 m
( D. 7 m
) / / ~ 子二石弓/
18 . 如图所示， OA 是点电荷电场中的一条电场线，场源电荷在 0 点， A 是该电场线上一点， B 点是空间的一
点， AB 与 OA 夹角 0 =60°,OA =AB ,C 是 AB 的中点， D 是 OA 的中点，则下列说法正确的是
、
`II'
.x. 、
L-, ,
、
、
xx xx xx
D. 细线未断时，细线的拉力大小为2mEL2iB2
第 11 卷（共 174 分）
三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第 22 题～第 32 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 33 题～第 38 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题（共 129 分）
乙
a
A. 调查鸟类常用的方法为标志重捕法
B.4 年中甲种群每年增加的数量是相等的
C. 无法推断 a 点时甲乙种群数量是否相等 D. 乙种群数量在第 3 年末达到了最大值
。
234 时间（年）
7. 冰晶石 (Na3AlF6) 微溶于水，工业上用萤石 (Ca凡含最为 96%) 、二氧化硅为原料，采用氯硅酸钠法制备冰
9900 、 1650 株，则亲代中开红色、粉色、白色花的植株数量比可能为
()
A. 4:2:1
B. 4:3:2
. C. 4 心 3
D. 5:5:1
4 科研小组准备研究垂体对机体生长发育的作用，以下关于实验方案的描述不合理的是
()
A. 用幼龄大鼠为材料，采用垂体切除法进行实验
B. 以体重变化作为生长发育的检测指标之一
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题 PDF版含答案
sin cos 1 tan 1 = ， = ， tan = 2 ， 2 2 2 sin + 4cos 4 4 + tan 4
1 −2 tan = tan ( + ) − = 3 = −1 . 1 1+ 2 3
15. 答案 240
2 ( x + y ) 4 z 2 ，所以形如 【解析】 ( x + y + z )6 = ( x + y) + z ，含 z 2 的项为 T2 = C6
( k + 1)2 3, k 4 − 2 3, 故选 C.
第1页 共 8 页
11 .答案 B
【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱
及一个八分之一球体得到的组合体， S表 = 6 22 − 4 − 5 12 .答案 C
1 + 4 + = 20 + , 故选 B. 4 8 4
【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 + 1) = 1980 个，
S = 1980 − 44 + (2019 − 1980) = 2019 − 44 = 1975, 故选 C.
二、填空题 题号 答案 13. 答案２ 14. 答案 −1 13
2
14Βιβλιοθήκη −11516240
57
【解析】 x = 0, y = 2 时， zmin = 3 0 + 2 = 2 【解析】
PB = 82 + 52 − 2 8 5 2 = 57 . 5
三、解答题 17【解析】 （1）由 a1 + a2 + a3 +
2019届安徽省等高三第三次联考理科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省等高三第三次联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 集合，则等于（）A ．______________B ．___________C ．___________D ．2. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A ． - 5___________B ． 5________________________C ． - 4 +i____________________ D ． -4- i3. 角的终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值为（）A ．______________B ．______________C ．______________D ．4. 若满足约束条件且向量，，则的取值范围是（）A ．______________B ．___________C ．___________D ．5. 已知函数，将的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数的解析式是（）A．B ．C．______________D ．6. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则= （）A ． 27_________ ________B ． 3_________ _________C ． -1或3________________________ D ． 1或277. 在中，“ ”是“ 是钝角三角形”的（）A．必要不充分条件B ．充分不必要条件________C．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知等差数列和等比数列各项都是正数，且，那么一定有（）A ．_________B ．_________C ．______________D ．9. 定义在区间上的函数的值域是，则的最大值和最小值分别是（）A ．___________B ．C ．________D ．10. 函数的图象大致是（）11. 如图，，若，那么（）A ．____________________B ．______________C ．___________D ．12. 设的定义域为，若满足下面两个条件，则称为闭函数．① 在内是单调函数；② 存在，使在上的值域为，如果为闭函数，那么的取值范围是（）A ．___________B ．_________C ．_________D ．13. 设函数，若函数为偶函数，则实数的值为．二、填空题14. 已知函数，则 f （ x ） dx．15. 直线与曲线相切于点，则的值为．16. 函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．三、解答题17. 在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（ 2 ）求的最大值，并求取得最大值时角的值．18. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，, ，分别为的中点．（1）试证：平面；（ 2 ）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围．19. 如图，在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和，现计划在和路边各维修一个物流中心和，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设．（1）为减少对周边区域的影响，试确定的位置，使和的面积之和最小；（ 2 ）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小．20. 设为关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数，都成立．（1）若，求证：数列是等比数列；（ 2 ）试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．21. 设函数在处的切线与轴相交于点．（ 1 ）求的值；（ 2 ）函数能否在处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由；（ 3 ）当时，试比较与大小．22. 已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点圆的切线，过点作于，交半圆于点．（1）证明：平分；（ 2 ）求的长．23. 在平面直角坐标系中，已知曲线（θ为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和 2倍后得到曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；（ 2 ）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值．24. 函数．（1）若，求函数的定义域；（ 2 ）设，当实数时，证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)答案
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案D 【解析】{2,2}A =−,故选 D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A. 3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B.5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BDAB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D.6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A.9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=，或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c = 故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C. 二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+= 14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=，[]123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分（2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分 又BCAO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分 （2）解法一：以O为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(1,2,2)BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则 11302(2,0,1)0220m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−++=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||22278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,6,0)BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1130,6(6,1,2)260y m AB x z x m z m BA x y ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪=⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||26278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===⋅…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCSBCAO A O −==⨯⨯⨯⨯= 设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则111111sin60332C ABA ABA V hSh AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ===2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑888111()()34.5()()8226.5ii i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。
安徽“江南十校”2019年高三3月联考(数学理)扫描版含解析
安徽“江南十校”2019年高三3月联考（数学理）扫描版含解析2018年安徽省“江南十校”高三联考数学(理科)参考答案及评分标准一. 选择题(1) B 【解析】i a a i a i )21()2())(21(-++=+-,由复数的定义有:⎩⎨⎧≠-=+02102a a ,∴2-=a .(2)A 【解析】由集合M 得,2122<-<-x 所以有2321<<-x ,由集合N 得1>x 故N M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<231x x . (3) C 【解析】由412=+a ,那么3=a ,∴33232===a c e .(4) B 【解析】23232343516C A C A ⋅-=⋅.(5)Ｂ【解析】由题设, ,12)(2≤-=x x f 那么当1-≤x 或1≥x 时,22)(x x f M-=;当11<<-x 时, 1)(=x f M .∴1)0(=Mf .(7)B 【解析】由三视图可知.(8)C 【解析】考查函数)(x f 的特征图象可得:)()()(a f b f c f >>正确.(9)D 【解析】设两个根依次为)(,βαβα<.而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,那么由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<.∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm .(10)C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内， 可求得320≤<k 或2-<k 、 二、填空题(11)34【解析】将直线与圆化成普通方程为:16,02222=+=-+y x y x ,进而可求得.(12)75【解析】由频率分布直方图得:75500)10005.01001.0(=⨯⨯+⨯.(13)4【解析】当1=n 时,S T S T ≤==,9,1;当2=n 时,S T S T ≤==,10,3;当3=n 时,S T S T ≤==,13,9;当4=n 时,,22,27==S T 不满足S T ≤,∴输出4=n . (14)2【解析】法一:取AD 的中点M ,连接OM .那么.212121121)(110)()(=⨯⨯+=+≤∙+=+∙+=∙+∙++=∙+∙+∙+∙=+∙+=∙OMAB OD OA AB AB OD AB OA AB OD DC OA DC AB OD OA AB OA DC OD OB OC法二:设θ=∠BAx ,那么)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B ,22sin 1cos sin sin cos cos sin )sin ,cos (sin )cos sin ,(cos 22≤+=+++=+∙+=∙∴θθθθθθθθθθθθθOB OC (15)①④⑤ 三、解答题(16)解：(Ⅰ)由题意)sin(2)(2ϕ++=x m x f又函数)(x f 的最大值为2,且0>m ,那么2,222=∴=+m m ……………………………………………………….2分∴)4sin(2cos 2sin 2)(π+=+=x x x x f由Zk k x k ∈+≤+≤+,232422πππππ………………………………………….4分 ∴Zk k x k ∈+≤≤+,45242ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,452,42ππππ…………………6分(Ⅱ)212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B ，当且仅当c a =时取等号、30,21cos 1π≤<∴≥>∴B B ……………………………….……………9分12,3)4sin(2)(ππ=∴=+=B B B f ……………………..………...……12分(17)解：(Ⅰ)由题163=a ,又823=-a a ,那么2,82=∴=q a∴12+=n n a …………………………………………………………….….....4分(Ⅱ)1411(3)log 2, (624)n n n n n n n b S b b +++==∴=+⋅⋅⋅+=分 )311(34)3(41+-=+=n n n n S n922)31211131211(34311...613151214111(341...111321<+-+-+-++=+-++-+-+-=++++∴n n n n n S S S S n …………………………………………………………………………………….10分 所以正整数k 可取最小值3…………………………………………..…….………...12分 (18)解：(Ⅰ)依题意，ξ的可能取值为20，0，—10，…………………………1分ξ的分布列为……………………………………………………………………………..………4分 1051)10(5105320=⨯-+⨯+⨯=ξE 〔万元〕…………………………….…6分 (Ⅱ)设η表示100万元投资投资“低碳型”经济项目的收益，那么η的分布列为20502030-=-=a b a E η……………………………………………….……10分依题意要求102050≥-a ，∴153≤≤a ……………………………………….…12分注：只写出53≥a ，扣1分. (19)解:(Ⅰ)证明：方法一，如图，分别取AD 、CD 的中点P 、Q ，连接FP ，EQ.∵△ADF 和△CDE 是为2的正三角形， ∴FP ⊥AD,EQ ⊥CD,且FP=EQ=3.又∵平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直， ∴FP ⊥平面ABCD ,EQ ⊥平面ABCD ,∴FP ∥QE 且FP=EQ ，∴四边形EQPF 是平行四边形，∴EF ∥PQ.……………………….……..４分 ∵PQ 是ACD ∆的中位线，∴PQ ∥AC,∴EF ∥AC ………………………………………………………………..……..6分方法二，以A 点作为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A垂直于xOy 平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图、 根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,3)，F(0,1,3)，G(1,0,3).…………………………………………..………………..４分 ∴AC =〔2，2，0〕，=(1，1，0)，那么AC =2，∴AC ∥，即有AC ∥FE ……………………………………………..……..6分 (Ⅱ)33833232=+=+=--ADEGF CDE ABG ABCDEFG V V V 四棱锥三棱柱多面体 (12)分(20)解：(Ⅰ)令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数,所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解， 又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根，所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分 (Ⅱ)易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②； 令)1(32ln 2)()(>+--=-=x xx x x g x F ， 那么12)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ，即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...……….….…………9分 (Ⅲ)不妨设βα<，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ， ∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 那么有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f (14)分(21)解:〔Ⅰ〕设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,那么由题意知1=c , 又∵,1=∙即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ,故椭圆的方程为:1222=+y x ……………………………………….…………….2分(Ⅱ)设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N M M y x Q y x P y x N y x M .那么由题意+=+,即22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+-整理得,0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M P N y y y y y y y y x x x x x x x x即0))(())((=--+--Q P M N Q P M N y y y y x x x x所以21l l ⊥…………………………………………………………………..….…..6分(注:证明21l l ⊥,用几何法同样得分)①假设直线21,l l 中有一条斜率不存在,不妨设2l 的斜率不存在,那么可得x l ⊥2轴, ∴2,22==PQ MN ,故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S …….…….…….7分 ②假设直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程:)0)(1(≠-=k x k y ,那么由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得,0224)12(2222=-+-+k x k x k设),(),,(2211y x N y x M ,那么1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x12)1(2212)22(4)124(14)(1122222222212212212++=+--++=-++=-+=k k k k k k kx x x x k x x k MN…………………………………………………………………………………….9分 同理可求得，222)1(22k k PQ ++=………………………….………….……….10分 故四边形MPNQ 的面积:1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=”,综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916…………….………………….……13分。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试题(解析版)
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x2＞1，x∈U}，则（）A. B. C. 0， D. 0，2.复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23.抛物线y＝2x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为（）A. B. C. D.5.已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，则的值是（）A. B. C. D.6.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：曲线y＝x2（0≤y≤L）绕y轴旋转一周得几何体Z，将Z放在与y轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z的顶点O 距离为l的平面截几何体Z，得截面圆的面积为．由此构造右边的几何体Z1：其中AC⊥平面α，AC＝L，，AA1＝π，它与Z在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ为矩形，且PQ＝π，FP＝l，则几何体Z的体积为A. B. C. D.7.已知函数（ω＞0）的最小正周期为4π，则下面结论正确的是（）A. 函数在区间上单调递增B. 函数在区间上单调递减C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象关于点对称8.设函数，则不等式f（3log2x）＋f（1－log2x）＜0的解集是A. B. C. D.9.已知双曲线（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点且直线PF2与x轴垂直，若∠F1PF2的角平分线恰好过点（1，0），则△PF1F2的面积为A. 12B. 24C. 36D. 4810.已知函数，（e 是自然对数的底数），若对，，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A. B. 1 C. D.11.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为A. 20B.C.D.12.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第k＋1个0之间有2k＋1个1（k∈N*），即个，则该数的所有数字之和为A. 1973B. 1974C. 1975D. 1976二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）13.（1）设x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最小值为________．（2）已知，且，则tanβ的值为________．（3）在（x＋y＋z）6的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是________（用数字作答）．（4）如图，三棱锥A－BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，点P在侧面ACD上，且到直线AB 的距离为，则PB的最大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14.已知数列{a n}与{b n}满足：a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2b n（n∈N*），且{a n}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2＋4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，证明：T n＜1．15.斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，，∠A1AB＝∠A1AC＝60°．（Ⅰ）证明：平面A1BC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．16.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011－2018年的相关数据如下表所示：注：年返修率年返修台数年生产台数（Ⅰ）从该公司2011－2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．17.设O是坐标原点，圆O：x2＋y2＝r2（r≥3），椭圆C的焦点在x轴上，左、右顶点分别为A，B，离心率为，短轴长为4．平行x轴的直线l与椭圆C和圆O在y轴右侧的交点分别为E，F，直线AE与y轴交于点M，直线BE 与y轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当时，求r的取值范围．18.已知定义在区间（0，2）上的函数，m∈R．（Ⅰ）证明：当m＝1时，f（x）≥1；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）过点A（1，0）的切线有两条，求实数m的取值范围．19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝5．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）点P（m，n）为曲线C2上一点，若曲线C1上存在两点A，B，使得∠APB＝90°，求n的取值范围．20.设函数f（x）＝lg（|2x－1|＋2|x＋1|－a）．（Ⅰ）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题.【解答】解：∵集合U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x2＞1，x∈U}={-2，2}，则，故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算和复数的模和共轭复数，属于基础题.【解答】解：复数，则；故选A.3.【答案】C【解析】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y，故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），故选：C．将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．本题考查的知识点是抛物线的性质，化为标准方程是解答圆锥曲线类问题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦定理以及二倍角公式，属于基础题.由正弦定理求得cosC的值，再运用二倍角公式即可求得答案. 【解答】解：由正弦定理得,即,所以,则cosC=,所以cos2C=.故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积，属于一般题.【解析】解:，故故选D.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查空间几何体的体积计算，属于一般题.【解析】解:由题可知Z与Z1的体积相等，故Z1的体积为，故Z的体积为，故选C.7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数性质有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期、单调性和对称性的判断，根据相应的定义是解决本题的关键．通过函数的周期求出ω，然后利用函数的对称中心与对称轴、函数的单调性判断四个选项的正误．【解答】解：因为函数的最小正周期为4π，所以ω==，即令，即，当k=1时，是函数的对称轴，令，即，∴的对称中心为；故C正确，D不正确；∵，，；故f（x）在（0，π）不单调；故选C.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性及奇偶性比较大小解不等式，属于中档题. 先判断函数的奇偶性、单调性即可解答.【解答】解：设,则，所以，f（x）为奇函数，因为,则f（x ）在上单调递增,又f（0）=0，∴f（x）在R上单调递增，∴不等式f（3log2x）＋f（1－log2x）＜0得不等式f（3log2x）＜f（log2x-1），∴3log2x<log2x-1，∴，解得，∴原不等式的解集为，故选A.9.【答案】B【解析】【分析】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中过焦点垂直于x轴的弦长，以及有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得|PF2|，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：在双曲线中，a=2，b2=c2-4.∵直线PF2与x轴垂直，∴设P(c,y0)，则，解得，又PA平分∠F1PF2，∴=，，，∴解得c=4，所以，故选B.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的综合应用.解题关键是由对，，使得f（x1）≥g（x2）成立等价于对，使得f（x1）≥g（x2）min=g(e)=3;等价于，恒成立；然后结合不等式求最值即可.【解答】解：∵，∴; 当x∈[0,e],g'(x)<0,当x∈[e,3],g'(x)>0,g（x）min=g(e)=3;∵对，，使得f（x1）≥g（x2）成立等价于对，使得f（x1）≥3；即对，；等价于，恒成立；令；∵x∈（0，1），∴1-x∈（0，1）∴，当且仅当即时等号成立；∴；k≥;故选C. 11.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图及几何体的体积求法，属于中档题．【解答】解：由三视图可知，该几何体可看作棱长为2的正方体切掉四分之一圆柱和八分之一的球体得到的组合体，所以面积为，面积为，故选B.12.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的应用,属于较难题.将实际问题转化为数学模型是解决本题的关键.【解答】解:由题意可知,在第n+1个0和第n个0之间有2n+1个1,其中第一个0之前有1个1.所以共有个1.所以该数的所有数字之和为1975.故答案为C.13.【答案】(1) 2: (2)-1; (3)240: (4)【解析】（1）【分析】本题主要考查利用线性规划求最值.【解答】解：不等式组的平面区域，如下图：目标函数z=3x+y，化为直线y=-3x+z，当直线y=-3x+z经过点A（0,2）时，直线在y轴上的截距最小，即z最小，所以z min=2，故答案为2.(2)【分析】本题主要考查同角三角函数的关系式，以及两角和与差的正切公式.【解答】解：因为，解得tanα=2，所以，解得tanβ=-1，故答案为-1.(3)【分析】本题主要考查二项式特定项的系数.【解答】解：因为在（x＋y＋z）6的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项为，所以中有：，所以形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是，故答案为240.(4)【分析】本题主要考查空间中的距离.【解答】解：如图，取CD中点E,BE中点O,连接BE,AE,AO,过O作CD的平行线.由题意知，AB=AE=BE=8,故,由得,又,故,又,,故,建立如图所示的空间直角坐标系，可得,故取为平面ACD的基底，由共面向量基本定理设.易知点P到直线AB的距离为,化简得：.故，又，，又,即,由二次函数图象与性质易知当时取得.故答案为.14.【答案】解：（1）由a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2b n①,n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋a n-1＝2b n-1②,①－②可得：a n＝2（b n－b n－1）（n≥2），∴a3＝2（b3－b2）＝8,∵a1＝2，a n＞0，设{a n}公比为q，∴a1q2＝8，∴q＝2,∴a n＝2×2n－1＝2n,∴ ，∴ ．（2）证明：由已知：．∴.【解析】本题考查了等比数列通项公式与求和公式、裂项相消法求数列前n项和,属中档题.（1）先用n-1替换n ，作差可得，再根据条件得出，继而根据等比数列通项公式可求出公比及a n，最后根据等比数列前n项和公式求出b n；（2）根据通项公式可裂项，继而求和可前后相消，从而易证的.15.【答案】（1）∵AB＝2，，∠ ，由余弦定理得：，即，解得．取BC中点O，连接OA，. ∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AO⊥BC，且，BO＝1，由△ △易知，故⊥，且，∵ ，∴ ⊥，又BC∩AO＝O，平面ABC，AO平面ABC，故 ⊥平面ABC，∵ 平面，∴平面 ⊥平面ABC．（2）解法一：在平面中作⊥于，取中点，连结.易知，故⊥.由⊥，⊥，,,,∴ ⊥平面，又平面，∴ ⊥.且易求得，.以O为原点，OB所在的直线为x轴，OK所在的直线为y轴，OG所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示：易知B（1，0，0），（1，3，0），（－1，3，0），（0，2，）.∴，，.设平面的一个法向量为，则设所求角为θ，则．解法二：易知，设C到平面的距离为h，由平面知到平面的距离也为h，由.设所求角为θ，则.【解析】（1）先通过余弦定理计算出，再取BC中点O，由勾股定理易证，从而可证得平面，继而证得平面⊥平面ABC．（2）向量法可先建系写坐标，再求出平面的法向量，继而利用向量的数量积解出BC1与平面所成角的正弦值．直接法可先设到平面的距离为，并通过线面平行转化为到平面的距离为，再在三棱锥中通过等体积法解出，最后由线面角的定义即可得解.本题通过面面垂直的判定及线面角的求法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力以及运算化简能力，属中档题．16.【答案】解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，故ξ的分布列为：所求．（2）由表易知：，故去掉2015年的数据后不影响的值，即，去掉2015年的数据之后，，,故线性回归方程为：．【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望及线性回归方程，属于基础题．（1）先确定ξ的取值，解出每种情况的概率，再列出分布列，最后计算出数学期望．（2）易知去掉2015数据后不影响的值，再计算去掉2015年的数据后的，，最后代入公式计算出，即得线性回归方程．17.【答案】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由题意得，解得，∴椭圆C的标准方程为.（2）解：设：且t≠0，，，，.设，如图所示，由A、E、M三点共线易知k AM＝k AE，即，即，故，同理可得.；∵，∴ ，∴.【解析】本题综合考查了圆与椭圆的概念及标准方程、椭圆的几何性质、直线的斜率与方程、平面向量数量积的坐标表示，属于难题.(1)由椭圆的概念与几何性质，易求得椭圆的标准方程；(2)由题可设直线的方程及的坐标，由三点共线可得点M,N的坐标，再由平面向量数量积的坐标表示与已知条件，运算化简即可解得的取值范围.18.【答案】解:(1)证：时，，.从而易知：在（0，1]上单调递减，在[1，2）上单调递增，∴ ，∴ ．(2)解：当时，过点，显然不满足题意；当m≠0时，设切点为，由题意易知x0≠1，切线斜率，即，整理得：（*）由题意易知方程（*）在区间（0，2）上有两个不同的实数解．令，.①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再单调递增，由，，，，∴ 在区间上有唯一零点，在区间上无零点，不满足题意．②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由，，∴ 在区间上有唯一零点，不满足题意．③当时，在上单调递减，在上单调递增，由，，.当即时，在区间上有唯一零点，不满足题意．当即时，在区间和上各有一个零点，不妨设为，又显然在区间上单调递减，故，满足题意．综上所述，的取值范围为．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值，属于难题.(1)求导，易求得在的极小值，也是最小值，即可推出结论.(2)利用导数的几何意义及直线斜率公式，转化为函数与方程的零点分布问题，利用导数，逐级分类讨论，即可解得的取值范围.19.【答案】解：（1）消去参数可得：；由极坐标和直角坐标方程的关系可得：．（2）易知，过作曲线的两条切线，切点分别记为，由题意易知：∠ ，∠ ，即，即，即，解得．【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化、直线与圆，属中档题．（1）消去参数可得方程，由极坐标和直角坐标方程的关系可得的直角坐标方程；（2）由题意可得相切时，即，进而可解得的取值范围.20.【答案】解：（Ⅰ）由题意易知：.当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得.综上所述，的定义域为．(Ⅱ) 由题意易知：对于∈恒成立，即，∵，∴．【解析】【解析】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，属中档题．（1）根据对数函数概念有|2x－1|＋2|x＋1|＞4，解绝对值不等式即可解出函数的定义域；（2）问题转化为|2x－1|＋2|x＋1|＞a对于恒成立，根据绝对值不等式的性质，即可解出a的取值范围．。
安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学(理)试题
江淮十校2019届高三第三次联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.
1.已知复数z 满足2)1(i z ，则1
z （）i
D i C i B i A 1.1...2.已知命题,02:,:2x x q m x p 如果命题p 是命题
q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是
（）]1,.()
,1.[),2.()2.[D C B A ，3.如图所示，程序框图的输出结果是
（）
120137
.2425
.1211.43
.D C B A
4.已知数列n a 满足,2,2811n
a a a n
n 则n a n 的最小值为（）427
.
548
.1-74.329
.D C B A 5.已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是（）
324.3
16
.38
.4.D C B A 6.已知24log 52512
4,9,)2(e c b
a ，则下列结论成立的是（）b
c a D c a b C a b c B c b a A ....7.甲乙两人玩猜数字游戏，
先由甲心中猜想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中,1,2,3,4,5,6,7a b ，若a-b 1，就称甲乙心有灵犀。
现任
意找两人就玩这个游戏，则他们心有灵犀的概率为
（）1.9A 12.49B 19.49C 4.9D。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试卷
2019年03月26日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设集合{}{}22,1,0,1,2,|1,,U A x x x U =--=>∈则( )A.{}2,2-B. {}1,1-C. {}2,0,2-D. {}1,0,1- 2.复数i 1iz =- (i 为虚数单位),则z = ( )A.B.C. 12D. 2 3.抛物线22y x =的焦点坐标是( ) A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭4.在△ABC 中,角A 、B 、 C 的对边分别为a 、 b 、c ,若b =3,2c B C ==,则cos 2C 的值为( )A.B. 59C. 49D. 4 5.已知边长为1的菱形ABCD 中, 60?BAD ∠=,点E 满足2BE EC =,则AE BD ⋅的值是( )A. 13-B. 12- C. 14- D. 16- 6.我国南北朝时期的科学家祖暅,提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:如果两个等高的几何体,在等高处的截面积恒等,则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积:曲线()20y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上,用平行于平面α,且与Z 的顶点 O 距离为l 的平面截几何体Z ,得截面圆的面积为2l π=π.由此构造右边的几何体1Z :其中AC ⊥平面α,AC L =,1AA α⊂,1πAA =,它与Z 在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ 为矩形,且π,PQ FP l ==,则几何体Z 的体积为( )A. 2πLB. 21πL 2C. 21πL 2D. 31πL 2 7.已知函数2()cos()3f x x ωπ=+(0)ω> (ω的最小正周期为4π,则下面结论正确的是 A. 函数f ()x 在区间()0,π上单调递增B.函数f ()x 在区间()0,π上单调递减C.函数f ()x 的图象关于直线23x π=对称 D.函数() f x 的图象关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。
2019届江淮十校高三第三次联考理科数学-20190419
江淮十校2019届高三第三次联考数学（理科）试建第1页（共4页）数学（理科）2019.4考生注意:1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.必须在题号所指示的答题区域作答，超申菅翠厚尊专号即菅季无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1-已知复数z满足z（ 1 + £） =2（其中，为虚数单位），则z - 1 =A.£ D.12.已知命题p：*Nm,g：2 +x -x <0,如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（D. （- 00 , - 1 ]B. (2, +oo)C. [1 , + 8 )3.如图所示，程序框图的输出结果是A-4厂25C'24D也1204.已知数列｛%｝满足％ =28,竺土二冬=2,则色的最小值为nn「- ‘厂I S=o I |n=2 |B. 4# -1 厂48C T27D号5.已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为龙■，则该四棱锥的体积是A.4 B冷侧视图C•孕B. c <b <a 9 .若实数％,y 满足 c. [y, + 8 )D. [2, +oo)A. (- 8 ,y ］10.当动点P 在正方体ABCZJ-A 屈G“的体对角线上运动时，异面直线8F 与40所成角的取值范围 是 ()B- (一 8 ,2] D5B ・(- 8 , -1) D. (2, +oo)D.5^C. ^306.已知a =(如)*上=9^,c =4蜘七则下列结论成立的是 A. a <6 <c C. 6 <a <cD. a <c <67.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 们其中a,此{1,2,3,4,5,6,7},若|a-b|wl,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们 “心有灵犀”的概率为()B ・H8.已知函数/*(%) = (1 +cosx)cos%tan 成，那么下列说法正确的是 A.函数/(%)在［-*,?］上是增函数，且最小正周期为" B. 函数犬聂在?芝］上是减函数，且最小正周期为2e C. 函数/'⑴在哥罕］上是增函数，且最小正周期为” D.函数/(%)在崂肆］上是减函数，且最小正周期为2宣,x —y +1 WOx +y-2W0,且2% +/-7N C G -3)恒成立，则c 的取值范围是A NOB ・g11.已知在△ABC 中，角A,矶C 所对的边分别为a,A,c,且a =6,点0为其外接圆的圆心.已知泌• AC = 15, 则当角C 取到最大值时△4BC 的面积为()B •邙12.已知函数六多)二§履一蛆+x +2019/(x)>/(x)的导函数，若f (为)存在唯一的零点尤°,且％o 仁(0, + 8), 则实数a 的取值范围是 A. (- 8 , -2) C.(l,+8)数学(理科)试题 第3页(共4页)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置. 13- (l--)(l+x)7展开式中的常数项为.X，则不等式/ •_/■(%) +.-2W0的解集是.15. 已知椭圆C ：§ + # = l(a>6>0)的离心率为号，过右焦点F 作倾斜角为60。
【数学】安徽省江淮十校届高三下学期第三次联考试卷(理)(解析版)
安徽省江淮十校 2021 届高三下学期第三次联考理数试卷一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.在复平面内，复数 z cos3 i sin 3 〔 i为虚数单位〕，那么 z 为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 42. x 1 2x0 的解集为〔 〕A.,00,1B.,1C. 1 ,D. 0,122223. 4 sin x a cosx dx 2，那么实数 a等于〔 〕2A. 1B.2C. 1D.34.n 的值为 5 ，那么输出的S的值为〔 〕执行如下图的程序框图，假设输入的A. 17B. 36C. 52D. 725.函数 fxx 2bxc ，满足 f x 1f 1x ，且 f 03 ，那么 f b x与 f c x的大小 关系是〔 〕A. f b xf c xB. f b x f c xC. f b xf c xD.与x 有关，不确定6.如图，半径为5cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm 的小圆，现将半径为1cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，那么硬币与小圆无公共点的概率为〔〕12113A.B.C.D.2 25447.如图，正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD的中点，那么直线AE和 CF所成的角的余弦值为〔〕1B.213A.3C.D.3448.中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1 、 F 2 ，且两条曲线在第 一象限的交点为 P ， PF 1 F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形，假设PF10 ，椭圆与双曲线1的离心率分别为 e 1 、 e 2 ，那么 e 1 e 2 的取值范围是〔〕A. 0,B. 1 ,C. 1 ,D. 1 ,359x 19. a 0， x 、 y 满足约束条件x y 3 ，假设 z 2x y 的最小值为 1，那么 a〔 〕y a x311C. 1D. 2A.B.2310.定义： Fx, yy x x 0, y 0，数列 a n 满足： a nF n,2 n N ，假设对任F 2, n意正整数 n ，都有 a n a k k N成立，那么 a k 的值为〔 〕1B. 2C.98A.8D.2911.一光源 P 在桌面 A 的正上方， 半径为 2 的球与桌面相切， 且 PA 与球相切， 小球在光源 P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如下图，形成一个空间几何体，且正视图是Rt PAB ，其中 PA 6，那么该椭圆的短轴长为〔〕A. 6B. 8C. 4 3D. 312.设函数f x 满足 xf x f x ln xf e1f x 〔〕x，，那么函数eA. 在(0,e)上单调递增，在e, 上单调递减B.在e, 上单调递增，在0, e 上单调递减C.在0, 上单调递增D.在0, 上单调递减二、填空题〔每题5 分，总分值20 分，将答案填在答题纸上〕13.设有两个命题，p :关于 x 的不等式a x 1〔a 0 ,且 a 1 〕的解集是 x x 0 ； q :函数 y lg ax2 x a的定义域为 R .如果 p q 为真命题，pq 为假命题，那么实数 a 的取值范围是 .1 814. 1 2x2 x 的展开式中的常数项为_________.x15.向量a 2 ， b 与 b a 的夹角为30 ，那么 b 最大值为________.16.如图，矩形ABCD中，AB 2BC 4 ， E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成 A1 DE .假设M为线段 A1C 的中点，那么在ADE 翻折过程中：① BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE A1C ；④存在某个位置，使MB ∥平面A1DE .其中正确的命题是_________.三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分 .解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.向量m sin x, 1 ，向量n 3 cos x,1，函数 f x m n m. 2〔1〕求f x的最小正周期T ；〔2〕a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边，A为锐角，a 2 3 ，c 4 ，且 f A 恰是 f x 在0,上的最大值，求 A 和 b 的值.218.四棱锥P ABCD中，PD 面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，且 PD DA 2 ，CDA 60 ，过点B作直线l ∥ PD ，Q为直线 l 上一动点.〔1〕求证：QP AC ；〔2〕当二面角Q AC P 的大小为 120 时，求 QB 的长；〔3〕在〔 2〕的条件下，求三棱锥Q ACP 的体积.19.医生的专业能力参数K 可有效衡量医生的综合能力，K 越大，综合能力越强，并规定：能力参数 K 不少于 30 称为合格，不少于 50 称为优秀 .某市卫生管理部门随机抽取300 名医生进行专业能力参数考核，得到如下图的能力K 的频率分布直方图：〔1〕求出这个样本的合格率、优秀率；〔2〕现用分层抽样的方法从中抽中一个样本容量为20 的样本，再从这20 名医生中随机选出2 名.①求这 2 名医生的能力参数K 为同一组的概率；②设这 2 名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.20.如图，椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点 M 、 N 在 x 轴上，椭圆C2的短轴为MN，且 C1、 C2的离心率都为e，直线 l MN , l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为 A 、 B 、 C 、 D .〔1〕设e 1，求 BC 与 AD 的比值；2〔2〕假设存在直线l ,使得 BO ∥ AN ，求两椭圆离心率 e的取值范围.21.函数f x x2 2 a ln x 〔x 0，a为常数〕.x〔1〕讨论函数g x f x x2 的单调性；〔2〕对任意两个不相等的正数x1、 x2，求证：当 a 0 f x1 f x2 x1 x2.时， f22请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，直x 1 3 t线的参数方程是 5 〔 t 为参数〕，曲线C的极坐标方程为 2 sin .y 1 4 t 45（1〕求曲线C的直角坐标方程；（2〕设直线与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离 .23.选修 4-5：不等式选讲函数 f x x 4 x 1 .〔1〕解不等式fx 3 ；〔2〕假设不等式f x 1 4a 5 2a有解，求实数 a 的取值范围.参考答案一、选择题【解析】z cos2 3 sin2 3 1，应选项为 A.【解析】分 x 0 和 x 0 两种情况，当 x 0 时，原不等式即为 x 1 2x 0 ，所以 0 x 1 ；2当 x 0 时，原不等式即为x 1 2x 0 ，所以x 0 ，综上两种情况，x ,0 0, 1，2应选 A.【解析】 4 2 21 ，0 (sin x acos x)dx ( cos x a sin x) 42 a0 22 2 a 1 2 ， a 2 ，应选 B.2 2 2【解析】根据程序框图可知k 1 ， S 0 ，进入循环体后，循环次数、S 的值、 k 的值的变化情况为：循环次数0 1 2 3 4 5 退出循环S 的值0 2 7 17 36 72k 的值 1 2 3 4 5 6所以输出的 S 的值为72 .应选 D.【解析】由 f x 1 f 1 x 知：函数 f x 的图象关于直线x 1 对称， b 2，由f 0 3 知：c 3, f b x f 2x , f c x f 3x .当 x 0 时，x2 x1，而函数f x在1,单调增，xf 2x xf cx3 f 3 ，即 f b ；当 x 0 时，3x 2x 1 ， f 3x f 2x ，即 f b x f c x；当 x 0 时，0 3x 2x 1，函数 f x 在,1 单调减， f 3x f 2x ，即f b x f c x ；综上知： f b x f c x，选A.【解析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于 4 ，硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于 2 ，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算方式可求.记“硬币落下后与小圆无公共点〞为事件 A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于 4 ，其面积为 16，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过 2cm ，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm 的圆，硬币的圆心在此圆外面，那么硬币与半径为 1cm 的小圆无公共交点.所以有公共点的概率为4，无公共点的概率为4 3 16p A 1 ，故答案为 D.16 4【解析】连接 BF 、 EF ，那么 AD 面 BCF ，AE 在平面 BCF 上的射影为 EF ，设异面直线 AE 和 CF 所成的角为，正四面体棱长为1，那么 AE CF 3 , EF 2 .由2 22 22cos cos AEF cos EFC 知： cos 2 2 ，应选 B.3 3 32 2【解析】设椭圆和双曲线的焦距为2c ，椭圆的长轴为2a1，双曲线的实轴长为2a2，那么：10 2c 2a1，10 2c 2a2，两式相减得： 4c 2a1 2a2，即 1 1 2 ，1 2 1 ，e1 e2 e1 e21 2 1 1 21 2 111为 e 2 的减函数，又 e 2 3 ,即 e 1e 2e 1e 2e 2 e 221>1,e 2 e 22 .e 2e 1e 23应选 B.二、填空题13. 01 或 a114.4215. 416.①②④a2三、解答题17.解：〔 1〕 fxm n msin 2 x 13 sin xcos x 121 cos2 x 13 sin 2x13sin 2x1cos2x 2 sin( 2x ) 2 .2 222262 . T2〔2〕由〔 1〕知： f (x)sin(2x) 2 ，∴ x 0, 时，2x 5，62666当 2x62 时 f x 取得最大值 3，此时 x.由 fA3 得 A .31 3 由余弦定理，得a 2b 2c 22bc cosA ，∴ 12 b 216 2 4b ，2即 24 4 0 ，那么.bb 2 b18.解 :〔 1〕由题意知直线 QP 在面 ABCD 上的射影为 DB ,又菱形 ABCD 中 DBAC ，由三垂线定理知 QP AC .〔2〕 PAC 和 QAC 都是以 AC 为底的等腰三角形，设AC 和 BD 的交点为 O ,连接 OP 、 OQ ，那么POD 是二面角 P AC D 的平面角，23 知，二面角 P AC B 大于 120 ，由 tan POD3所以点 Q 与点 P 在平面 ABCD 的同侧，如下图 .那么 POQ 是二面角PAC Q 的平面角，故POQ 120 .在 Rt POD 中， OP7 ，设 QB x ，那么Rt OBQ 中， OQx 23 ，在直角梯形PDBQ 中，2(2 3)224 16 ，PQ (2 - x)xx在 POQ 中，由余弦定理得 7(x 23) 6 4x ，故 6 4x0 且 3x 216x 5 0 ，解得 x1 13 ，即 QB.3〔3〕由〔 2〕知： OQ2 7 ，S POQ1 2 7sin 1207 3 3 276 ，3且 AC面 POQ ，∴ V QACPV A POQ1S POQ AC 7 3 .V C POQ9319.解：〔 1〕合格率： 10 1 0.8 .优秀率：10 1010 0.3 .（ 2〕由题意知， 这 20 名医生中， [20,30] 有 4 人，[ 30,40] 有 6 人，[ 40,50] 有 4 人，[50,60]有 3人， [60,70] 有 2 人， [ 70,80] 有 1人.C 42 C 62 C 42 C 32 C 2231 .① PC 202190②优秀的人数为： 3 2 1 6 人， X 0、1、2 .P( X 0)C 14291， P( X 1) C 141C 6142 ， P( X 2) C 2 153 ，C 202190 C 202 95 C 202 190 38∴ X 的分布列是：X 0 12P9142 31909538故 X 的期望是 E (X )57 395 .520.解：〔 1〕因为 C 1 、 C 2 的离心率相同，故依题意可设 C 1 :x 2y 21, C 2: b 2 y 2 x 21, (a b 0) .a 2b 2a 4a 2设直线 l : xt( t a) 分别和 C 1 、 C 2 的方程联立，求得 A(t,aa 2 t 2), B(t ,ba 2 t 2 ) .ba当 e13a ，分别用 y A 、 y B 表示 A 、B 的纵坐标， 可知BC2 y B b 2 3时，b.AD2 y A2 22a 4〔2〕 t0 时的 l 不符合题意， t 0时， BO ∥ AN ，当且仅当 BO 的斜率 k BO 与 AN 的斜b a 2t 2a a 2 t 22 2 率 k AN 相等，即：atb，解得 tab1 e a .t aa 2b 2e 2因为 ta ，又 0 e1 e2 1，解得 2 e 1.1 ，所以 e2 2∴当 2e1时，存在直线 l ,使得 BO ∥ AN ，即离心率 e 的取值范围是 (2,1) .2221.解：〔 1〕 g( x)f xx22 a ln x ，∴ g ( x)2a ax 2( x 0) .x x 2x x 2①当 a 0 时， g (x)0 ， g x 在 (0, ) 为减函数；a( x 2 )②当 a0 时， g ( x)x2a ，当 0x 2g (x) 0 ， g x为减函数；时，2a当 x时， g (x)0 ， g x 为增函数 .a2) 上为减函数， g x 2 , ∴当 a0 时， g x 在 (0, 在 ( ) 上为增函数 .aa〔2〕证明：以 x 1 为自变量，构造 t (x)f x2 f x 2f xx 2 , x (0,) .2∴ t ( x)1 f (x) 1 f ( x x2 )，又 f ( x) 2x 2a ，2 2 2x 2 xt ( x) x1 a 1[( x x 2 ) 82a ]x 2 2x 2 (x x 2) 2 x x 2( x x 2 )[13x x 2a ]2 x 2 ( x x 2 )2 2 x(x x 2 )∵1 0, 3x x2 0, a 0 ，∴ 13x x 2a 0 .2 x 2 ( x x 2 )22x( x x 2 ) 2 x 2 ( x x 2 ) 2 2x(x x 2 )故当 x (0, x 2 ) 时， t (x) 0 ， t (x) 为减函数；当 x (x2 , ) 时， t ( x) 0 ， t (x) 为增函数.故对一切 x (0, ) ， t (x) t ( x2 ) 0 .当且仅当 x x2时取等号. 题中 x1 x2，故 t( x1 ) 0恒成立.得证.22.解：〔 1〕由 2 sin4得，sin cos ，两边同乘得 2 cos sin 0 ，再由 2 x2 y 2 , cos x, sin y ，得曲线 C 的直角坐标方程是x2 y 2 x y 0 .〔2〕将直线参数方程代入圆C 方程得 5 2 21 20 0 ，t tt1 t 2 21, t1t 2 4 ，MN t1 t2 (t1 t 2 ) 2 4t1t2 41 .5 55, x 423.解：〔 1〕f ( x) 2 x 3, 4 x 1, .5, x 1那么当x 4 时，不成立；当 4 x 1时， 2x 3 3 ，解得 0 x 1；当 x 1时， 5 3 成立，故原不等式的解集为x x 0 .〔2〕由f x 1 4a 5 2a即 f ( x) 4a 5 2a 1有解，转化为求函数 f (x) 的最小值. ∵ x 4 x 1 ( x 4) ( x 1) 5 恒成立.当且仅当 ( x 4)( x 1) 0 即 x 4 或 x 1时，上式取等号，故 f (x) 的最小值为 5 ，∴ 4a 5 2a 1 5 ，即 4a 5 2a 4 0 ，即 2a 4 或 2a 1 ，∴a 2 或 a 0 ，故实数 a 的取值范围是( ,0] [2, ) .。
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2. 已知命题 p : x ≥ m, q : 2 + x − x 2 < 0, 如果命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则实数 m
的取值范围是
（）
A.[2，+ ∞)
B.(2,+∞)
C.[1,+∞)
3. 如图所示，程序框图的输出结果是
D.(−∞,−1]
（）
-1千里之行 始于足下
A. 3
B.11 C. 25 D.137
∈
(0,
π 2
),
且
a1
=
π 3
,
f
(an +1 )
=
f
'(an ),
则
使
得
sin a1 ⋅sin a2 ⋅⋅⋅sin ak
<1 10
成立的最小正整数
k
为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）
在 ∆ ABC 中， AB = (− 3 sin x,sin x), AC = (sin x, cos x). （1）设 f (x) = AB ⋅ AC, 求 f (x) 的值域和单调增区间； （2）若对任意实数 t，恒有 AB − t AC ≥ BC , 求 ∆ABC 面积的最大值.
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填写在答题卡相应的位置.
13. 1− 2 (1+ x)7 展开式中的常数项为
.
x
14. 已 知 函 数
f
(
x)
=
3, 1 x
(x < 1) 2
,(x ≥ 1) 2
，则不等式
x2 ⋅ f (x) + x − 2 ≤ 0 的 解 集
成角的取值范围是
（
）
A.π6
,π 4
B.π6
,
π 3
C.π4
,
π 3
D.π3
,
π 2
11. 已知在 ∆ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 且 a = 6, 点 O 为其外接圆的圆心.已知
→→
BO⋅ AC = 15, 则当角 C 取到最大值时 ∆ABC 的面积为（ ）
-5千里之行 始于足下
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18. （本小题满分 12 分）
三棱柱 ABC − A1B1C1 中， D 为 AB 的中点，点 E 在侧棱 CC1 上， DE // 平面 AB1C1. (1) 证明： E 是 CC1 的中点； (2) 设 ∠BAC = 900 ,四边形 ABB1A1 为正方形，四边形 ACCA1 为 矩 形 ， 且 异 面 直 线 DE 与 B1C1 所 成 的 角 为 30O ， 求 二 面 角 A1 − AB1 − C1 的余弦值.
A.3 5
B.2 5
C. 30
D.5 6
12. 已知函数 f (x) = 1 ax 4 − x3 + x + 2019, f '(x) 是 f (x) 的导函数，若 f '(x) 存在唯一的零 4
点 x0 ，且 x0 ∈ (0,+∞), 则实数 a 的取值范围是
（
）
A.(−∞,−2)
B.(−∞,−1)
江淮十校 2019 届高三第三次联考
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数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足 z(1 + i) = 2 ，则 z −1 =
（）
A.i
B. − i
C.1 + i
D.1 − i
把乙猜的数字记为 b，其中 a,b ∈{1, 2, 3, 4,5, 6, 7} ，若 a-b ≤ 1，就称甲乙心有灵犀。现任意
-2-
千里之行 始于足下
找两人就玩这个游戏，则他们心有灵犀的概率为
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（
）
A. 1
B. 12
C. 19
D. 4
9
49
49
9
8. 已知函数 f (x) = (1 + cos x)cos x tan x ，那么下列说法正确的是
4
12
24
120
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4.
已知数列{an }满足 a1
=
28,
an+1 − n
an
= 2, 则 an 的最小值为（ n
）
A. 29
B.4 7-1 C. 48 D. 27
3
5
4
5. 已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如
图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 2 ，则该四棱锥的体积是（ ）
是
.
-4千里之行 始于足下
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15. 已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b>源自0) 的离心率为1 2
，过右焦点 F
作倾斜角为 60o 的直线 l
交 C 于 A, B 两点，则 AF =
.
BF
16. 已 知
f (x) = tan x,
数
列
{an }
满
足
：
对
任
意
n
∈
N
∗
,
an
19.（本小题满分 12 分） 为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图
所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3 ，其中体重在 [50，55]
-6千里之行 始于足下
的有 3 人.
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（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）从该校报考飞行员的体重在 [65，75]学生中任选 3 人，设 X 表示体重超过 70kg 的学生
2
A.
函数
f
(x ) 在
-
π ，π 44
上是增函数，且最小正周期为 π
B.
函数
f
(x ) 在
-
π ，π 44
上是减函数，且最小正周期为
2π
C.
函数
f
(x ) 在
π 4
，3π 4
上是增函数，且最小正周期为 π
D.
函数
f
(x
)
在
π 4
，3π 4
上是减函数，且最小正周期为
2
π
（
）
x − y +1≤ 0
9. 若实数 x, y 满足 x + y − 2 ≤ 0 ，且 2x + y − 7 ≥ c(x − 3) 恒成立，则 c 的取值范围是（ ）
x ≥ 0
A .
−
∞,
5 3
B.π6
,
π 3
C.π4
,
π 3
千里之行 始于足下
D. π3
,
π 2
-3-
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10. 当动点 P 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 的体对角线 A1C 上运动时，异面直线 BP 与 AD1 所
A.4
B. 8 C.16 D. 4 2
3
3
3
12
2
6. 已知 a = ( 2) 5 , b = 9 5 , c = 4log4 e2 ，则下列结论成立的是（
）
A.a < b < c B.c < b < a C.b < a < c D.a < c < b
7.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中猜想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，