【K12学习】XX届高考数学轮函数的表示专项复习教案
高三数学一轮复习函数及其表示1教案(1)
高三数学一轮复习函数及其表示1教案教材分析：以函数的概念与表示，分断函数及应用为重点，并注意新型概念与思维创新，高考以选择题、填空题为主出现。
学情分析：学生以C类为主，教学中注意基础知识的回顾与巩固。
教学目标：1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。
3.了解简单的分断函数，并能简单应用。
教学重点、难点：会求一些简单的函数定义域和值域，了解简单的分断函数，并能简单应用。
教学流程：一、课堂提问——知识回顾1.映射的概念与判定方法C设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。
2.函数的三要素及其表示法B①函数的三要素是定义域，值域，对应法则。
判断两个函数是否为相等函数只需判定两点: 定义域是否相同和对应法则是否相同。
函数的定义域：使f（x）有意义的自变量x的取值范围。
函数的值域：函数值的取值范围。
②函数的三种表示方法有解析法、图象法和列表法。
3.区间的概念C4.分段函数与复合函数B/A①如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。
二、课堂练习——习题讲练例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.[分析](1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.[小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.练习1.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？B(1)M={直线A x+B y+C=0}，N=R，f1:求直线A x+B y+C=0的斜率;(2)M={直线A x+B y+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线A x+B y+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.解：(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M 中任一元素Ax +By +C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈［0，π)，故f 2是从M 到N 的映射.但由于M 不是数集，从而f 2不是从M 到N 的函数.(3)由于M 中元素2k ππ+ (k ∈Z )的正切无意义，即它在N 中没有象，故f 3不是从M 到N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M 中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f 4是从M 到N 的映射，又M 、N 均为非空数集，所以f 4是从M 到N 的函数.例2.求下列函数的定义域C/B (1)2121y x =+ (2) 1y x x =-(3) 12y x =-(4) ()211x y x +=-+练习2.(1)已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，求函数(21)f x -的定义域.C(2)已知函数(23)f x +的定义域是[)4,5-，求函数(23)f x -的定义域.B/A(3) 已知函数1()1f x x =+，求函数[]()f f x 的定义域.B/A例3.试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B(1) 1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈(2) y =与y =(3) 1y x =+与1y t =+练习3. 试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B (1) ()0()1,()1f x x g x =-=(2) ()1,()f x x g x =-=(3) ()22(),()1f x x g x x ==+(4) 22()1,()1f x x g u u =-=-例4.已知二次函数2()y a x b x c x R =++∈的部分对应值如下表:C/B(1) 求函数的解析式；(2) 求(3),(4)f f -；(3)求函数的定义域和值域；(4) 求不等式20a x b x c ++≤的解集.练习4.求例4中二次函数[)2,3,2y a x b x c x =++∈--的值域.C三、作业布置1.求函数y =的定义域.C2. 求函数2ln (2)x x y x x +-=-的定义域.C3. 若函数(1)f x +的定义域为[]0,1,求函数(22)x f -及函数0(2)(1)f x x -的定义域.B4.已知函数22()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值.C 5.函数()f x 的定义域是R,值域是[]1,2,求函数(21)f x -的定义域和值域. A四、板书设计。
轮总复习教师教案(函数)完
函数总复习教师教案（一）一、教学目标1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 学会运用函数解决实际问题，提高数学建模能力。
二、教学内容1. 函数的概念与表示方法函数的定义函数的表示方法：解析式、表格、图象2. 函数的性质单调性：增函数、减函数奇偶性：奇函数、偶函数周期性：周期函数、周期三、教学重点与难点1. 重点：函数的概念、表示方法，以及函数的性质。
2. 难点：函数性质的运用，以及实际问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的概念、表示方法，以及函数的性质。
2. 利用案例分析法，分析实际问题，引导学生学会运用函数解决实际问题。
3. 运用数形结合法，结合图象讲解函数的性质，提高学生的直观理解能力。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在实际生活中的应用。
2. 讲解：讲解函数的表示方法，如解析式、表格、图象。
3. 练习：让学生举例说明函数的表示方法，并进行点评。
4. 讲解：讲解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用函数解决实际问题。
6. 练习：让学生举例说明函数性质的运用，并进行点评。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
8. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
函数总复习教师教案（二）一、教学目标1. 掌握函数的图像，学会分析函数图像的特点。
2. 掌握函数的变换，包括平移、翻折、缩放等。
3. 学会运用函数图像解决实际问题，提高数学建模能力。
二、教学内容1. 函数的图像直线函数的图像二次函数的图像指数函数、对数函数的图像2. 函数的变换平移：上移、下移翻折：关于x轴翻折、关于y轴翻折缩放：放大、缩小三、教学重点与难点1. 重点：函数图像的特点，以及函数图像的变换。
2. 难点：函数图像变换的运用，以及实际问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数图像的特点，以及函数图像的变换。
高三数学一轮复习精品教案8：2.1 函数及其表示教学设计
2.1 函数及其表示目标定位1. 了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解。
2．能根据函数的二要素判断两个函数是否为同一函数。
3．理解分段函数的意义。
4．掌握函数的三种表示方法。
知识梳理1. 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按照确定的法则f，都有，则这种对应关系叫做集合A的一个函数。
记作：。
2．确定一个函数只需两个要素：。
3．设A、B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B 内，则称f是集合A到集合B的映射。
4．函数的三种表示方法是：。
课堂互动知识点1 函数的概念函数的定义有各种不同的形式，不管哪种形式其中最核心的内容都是“对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应”，“惟一”是其中的关键字。
在处理有关函数的概念的问题时，必须切实把握“惟一”二字。
『例题1』下列各图象不能表示函数图象的是『分析』根据函数的定义，对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应，而在D中对于的x可能有两个y值与它对应，所以D不能表示函数图象。
『答案』D『点评』在解决考查函数的概念的题目时，必须把握两点：一是定义域非空数集（当然值域也非空数集）；二是对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应（必须是惟一的）。
巩固练习 以下四组函数中，表示同一函数的是A ．2)(|,|)(t t g x x f ==B ．22)()(,)(x x g x x f ==C ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 知识点2 函数的表示法函数的表示方法是函数的外在表现形式，在三种形式中最重要的是解析法、图象法（这两种表示方法必须既要能读懂，又要能用它们熟练地表示函数），列表法在以前的考查中主要是能读懂列表法表示的函数和列表法画函数图象，一般不要求学生用列表的方法表示函数。
【K12学习】XX届高考数学轮指数与指数函数专项复习教案
XX届高考数学轮指数与指数函数专项复习教案7指数与指数函数●知识梳理指数n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.方根的性质①当n为奇数时，=a.②当n为偶数时，=|a|=分数指数幂的意义①a=.②a==.指数函数指数函数的定义一般地，函数y=ax叫做指数函数.指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.指数函数的性质①定义域：R.②值域：.③过点，即x=0时，y=1.④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R 上是减函数.●点击双基•等于A.－B.－c.D.解析：•=a•=－=－.答案：A函数y=2的图象与直线y=x的位置关系是解析：y=2=x.∵＞1，∴不可能选D.又∵当x=1时，2＞x，而当x=3时，2＜x，∴不可能选A、B.答案：c若函数y=ax+b－1的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a＜1且b＞0B.a＞1且b＞0c.0＜a＜1且b＜0D.a＞1且b＜0解析：作函数y=ax+b－1的图象.答案：c函数y=－ex的图象A.与y=ex的图象关于y轴对称B.与y=ex的图象关于坐标原点对称c.与y=e－x的图象关于y轴对称D.与y=e－x的图象关于坐标原点对称解析：图象法.答案：D若直线y=2a与函数y=|ax－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.答案：0＜a＜函数y=的递增区间是___________.解析：∵y=x在上是减函数，而函数y=x2－2x+2=2+1的递减区间是y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cc.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c剖析：可先分两类，即的底数一定大于1，的底数小于1，然后再从中比较c、d的大小，从中比较a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c.答案：B【例2】已知2≤x－2，求函数y=2x－2－x的值域.解：∵2≤2－2，∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y=2x－2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1.故所求函数y的值域是［－，］.【例3】要使函数y=1+2x+4xa在x∈2x－x=－［x+］2+，当x∈=ax，g=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f 与y=g的图象A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x－y=0对称c.关于y轴对称D.关于原点对称解析：lga+lgb=0ab=1.∴g=－logbx=－loga－1x=logax.∴f与g的图象关于y=x对称.答案：B下列函数中值域为正实数的是A.y=－5xB.y=1－xc.y=D.y=解析：∵y=x的值域是正实数，而1－x∈R，∴y=1－x的值域是正实数.答案：B化简的结果是___________________.解析：原式====.答案：满足条件＞2的正数的取值范围是___________________.解析：∵＞0，∴当＞1时，有2＞2，即＞2；当0＜＜1时，有2＜2，即0＜＜1.综上所述，＞2或0＜＜1.答案：＞2或0＜＜1函数f=ax+loga在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A.B.c.2D.4解析：f在［0，1］上是单调函数，由已知f+f=a1+loga1+a+loga2=aloga2=－1a=.答案：B已知9x－10•3x+9≤0，求函数y=x－1－4x+2的最大值和最小值.解：由9x－10•3x+9≤0得≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x ≤2.令x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t+2=42+1.当t=即x=1时，yin=1；当t=1即x=0时，yax=2.培养能力若a2x+•ax－≤0，求y=2a2x－3•ax+4的值域.解：由a2x+•ax－≤0知0＜ax≤.令ax=t，则0＜t≤，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知y∈［3，4）.解方程4x+|1－2x|=11.解：当x≤0时，1－2x≥0.原方程4x－2x－10=02x=±2x=－＜0或2x=+＞1知x＞0.当x＞0时，1－2x＜0.原方程4x+2x－12=02x=－±2x=－4或2x=3x=log23.探究创新若关于x的方程25－|x+1|－4•5－|x+1|－=0有实根，求的取值范围.解法一：设y=5－|x+1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－=0在=y2－4y－，其对称轴y=2，∴f＞0且f≤0，得－3≤＜0.解法二：∵=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈2－4∈［－3，0）.●思悟小结利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.指数函数y=ax的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.指数函数的定义重在“形式”，像y=2•3x，y=2，y=3，y=3x+1等函数都不符合形式y=ax，因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心教学点睛本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.对可化为a2x+b•ax+c=0或a2x+b•ax+c≥0的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例1】若60a＝3，60b＝5.求12的值.解：a=log603，b＝log605，1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，＝＝log124，＝12＝12＝2.【例2】方程2x=2－x的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象.由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.。
函数的复习教学设计
函数的复习教学设计教学设计：函数的复习一、教学目标1. 知识目标：复习函数的定义、性质和基本操作。
2. 技能目标：能够正确地使用函数的定义、性质和基本操作进行问题解答。
3. 情感目标：培养学生对函数的兴趣，激发学生对数学学习的自主性和探究性。
二、教学内容1. 函数及其定义。
2. 函数的性质和基本操作。
3. 函数的图像和图像的性质。
4. 函数的应用。
三、教学过程1. 导入新课通过介绍一道与函数相关的问题，引起学生的思考：小明在一个新的游戏中要解锁一个藏宝箱，他需要根据一个公式计算出一个数值，才能打开藏宝箱。
请问，这个公式中的计算过程是函数吗？为什么？2. 概念复习通过让学生回顾函数的定义，并解释函数的概念。
引导学生思考函数的定义中包含哪些要素，以及如何判断一个公式是否为函数。
3. 函数性质和基本操作的复习3.1 回顾函数的性质：单调性、奇偶性和周期性。
3.2 回顾函数的基本操作：加、减、乘、除和复合等。
4. 图像的复习4.1 引导学生复习函数的图像表示法。
4.2 复习常见函数的图像形状和性质。
5. 练习提供一些函数的计算题目，让学生通过计算和推理复习函数的性质和基本操作。
6. 拓展应用6.1 引导学生思考函数的应用场景并给出例子，如财务报表、物理运动等。
6.2 设计一些与实际生活相关的问题，让学生通过函数的定义和性质进行解答。
7. 总结归纳总结函数的定义、性质和基本操作，以及函数在实际生活中的应用。
8. 作业布置布置一些练习题，巩固学生对函数的理解和应用能力。
四、教学评价与反思1. 教学评价方式通过观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性，以及课后作业的完成情况，进行教学评价。
2. 反思2.1 教学内容安排是否合理。
2.2 学生的学习兴趣是否得到激发。
2.3 学生对函数的掌握情况如何。
2.4 是否需要调整教学方法和策略，提高教学效果。
通过本次函数复习的教学设计，可以帮助学生巩固函数的基本概念、性质和基本操作，并应用到实际问题中。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
【K12学习】XX届高考数学轮函数的综合问题专项复习教案
XX届高考数学轮函数的综合问题专项复习教案12函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.函数与实际应用问题的综合.●点击双基已知函数f=lg，若x∈［1，+∞）时，f≥0恒成立，则A.b≤1B.b＜1c.b≥1D.b=1解析：当x∈［1，+∞）时，f≥0，从而2x－b≥1，即b≤2x－1.而x∈［1，+∞）时，2x－1单调增加，∴b≤2－1=1.答案：A若f是R上的减函数，且f的图象经过点A和B，则不等式|f－1|＜2的解集是___________________.解析：由|f－1|＜2得－2＜f－1＜2，即－1＜f＜3.又f是R上的减函数，且f的图象过点A，B，∴f＜f＜f.∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2.答案：●典例剖析【例1】取象限内的点P1，P2，使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x的关系为A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上c.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l 的下方剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1×=，y2=，∵y1＜x1，y2＜x2，∴P1、P2都在l的下方.答案：D【例2】已知f是R上的偶函数，且f=0，g是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g=f，求f的值.解：由g=f，x∈R，得f=g.又f=f，g=－g，故有f=f=g=－g=－f=－f=－g=g=f，也即f=f，x∈R.∴f为周期函数，其周期T=4.∴f=f＝f=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】函数f=，x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f+f=.求的值；数列{an}，已知an=f+f+f+…+f+f，求an.解：由f+f=，得+=，∴4+4+2=［4++2］.∵x1+x2=1，∴=2.∴4+4=2－或2－=0.∵4+4≥2=2=4，而＞0时2－＜2，∴4+4≠2－.∴=2.∵an=f+f+f+…+f+f，∴an=f+f+f+…+f+f.∴2an=［f+f］+［f+f］+…+［f+f］=++…+=.∴an=.深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】函数f的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f=f+f，且当x＞0时，f＜0，f=－2.证明f是奇函数；证明f在R上是减函数；求f在区间［－3，3］上的最大值和最小值.证明：由f=f+f，得f［x+］=f+f，∴f+f=f.又f=f+f，∴f=0.从而有f+f=0.∴f=－f.∴f是奇函数.证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f－f=f－f［x1+］=f－［f+f］=－f.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f＜0.∴－f＞0，即f＞f，从而f在R上是减函数.解：由于f在R上是减函数，故f在［－3，3］上的最大值是f，最小值是f.由f=－2，得f=f=f+f=f+f=f+f+f=3f=3×=－6，f=－f=6.从而最大值是6，最小值是－6.深化拓展对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数，使得对于任意实数x，都有x*=x，试求的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得∴b=2+2c，a=－1－6c.又由x*=ax+b+cx=x对于任意实数x恒成立，∴∴b=0=2+2c.∴c=－1.∴+c=1.∴－1+6－=1.∴=4.答案：4.●闯关训练夯实基础已知y=f在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7c.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f－1的值域是［1，3］.答案：c关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图.由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：1若存在常数p＞0，使得函数f满足f=f，则f的一个正周期为__________.解析：由f=f，令px=u，f=f=f［－］，∴T=或的整数倍.答案：已知关于x的方程sin2x－2sinx－a=0有实数解，求a 的取值范围.解：a=sin2x－2sinx=2－1.∵－1≤sinx≤1，∴0≤2≤4.∴a的范围是［－1，3］.记函数f=的定义域为A，g=lg［］的定义域为B.求A；若BA，求实数a的取值范围.解：由2－≥0，得≥0，∴x＜－1或x≥1，即A=∪［1，+∞）.由＞0，得＜0.∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=.∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2.而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.故当BA时，实数a的取值范围是.培养能力已知二次函数f=x2+bx+c.若f的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f是否存在？若存在，求出f的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f存在，∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤0.①当－＜－≤0，即0≤b＜1时，函数x=－有最小值－1，则或.②当－1＜－≤－，即1≤b＜2时，则或.③当－≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得综上所述，符合条件的函数有两个，f=x2－1或f=x2+2x.已知二次函数f=x2+x+c.若f的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f是否存在？若存在，求出f的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤－.设符合条件的f存在，①当－≤－1时，即b≥1时，函数f在［－1，0］上单调递增，则②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则综上所述，符合条件的函数为f=x2+2x.已知函数f=x+的定义域为，且f=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为、N.求a的值.问：|P|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.设o为坐标原点，求四边形oPN面积的最小值.解：∵f=2+=2+，∴a=.设点P的坐标为，则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|P|==，|PN|=x0，∴有|P|•|PN|=1，即|P|•|PN|为定值，这个值为1.由题意可设，可知N.∵P与直线y=x垂直，∴P•1=－1，即=－1.解得t=.又y0=x0+，∴t=x0+.∴S△oP=+，S△oPN=x02+.∴S四边形oPN=S△oP+S△oPN=+≥1+.当且仅当x0=1时，等号成立.此时四边形oPN的面积有最小值1+.探究创新有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器.有人应用数学知识作了如下设计：如图，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；由于上述设计存在缺陷，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1.解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x，∴V1=2•x=4.∴V1′=4.令V1′=0，得x1=，x2=2.而V1′=12，又当x＜时，V1′＞0；当＜x＜2时，V1′＜0，∴当x=时，V1取最大值.重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1.故第二种方案符合要求.●思悟小结函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.●教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】设f是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.若a＞b，比较f与f的大小；解不等式f＜f；记P={x|y=f}，Q={x|y=f}，且P∩Q=，求c的取值范围.解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，∴＞0.∵x1－x2＜0，∴f+f＜0.∴f＜－f.又f是奇函数，∴f=－f.∴f＜f.∴f是增函数.∵a＞b，∴f＞f.由f＜f，得∴－≤x≤.∴不等式的解集为{x|－≤x≤}.由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，∴P={x|－1+c≤x ≤1+c}.由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.∵P∩Q=，∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，解得c＞2或c＜－1.【例2】已知函数f的图象与函数h=x++2的图象关于点A对称.求f的解析式；若g=f•x+ax，且g在区间若g=f+，且g在区间设f图象上任一点坐标为，点关于点A的对称点在h的图象上.∴2－y=－x++2.∴y=x+，即f=x+.g=•x+ax，即g=x2+ax+1.g在g=x+.∵g′=1－，g在ax=3，∴a≥3.【例3】在4月份，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量f关于时间n的函数关系如下图所示，其中函数f 图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为，且第天日销售量最大.求f的表达式，及前天的销售总数；按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.解：由图形知，当1≤n≤且n∈N*时，f=5n－3.由f=57，得=12.∴f=前12天的销售总量为5－3×12=354件.第13天的销售量为f=－3×13+93=54件，而354+54＞400，∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.设第n天的日销售量开始低于30件，即f=－3n+93＜30，解得n＞21.∴从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号.∴该服装流行时间不超过10天.。
2012届高考数学一轮复习教案2.2函数的表示
2.2函数的表示●知识梳理1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.复习目标（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域； （2）掌握求函数值域的几种常用方法；（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式； （4）会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性. ●点击双基1.（2004年春季安徽）若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于 A.2－sin2x B.2+sin2x C.2－cos2x D.2+cos2x 解析：∵f （sin x ）=2－（1－2sin 2x ）=1+2sin 2x ，∴f （cos x ）=f （sin 2π－x ）=1+2sin 2（2π－x ）=1+2cos 2x =2+cos2x . 答案：D2.（2004年湖北，3）已知f （x x+-11）=2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为A.21x x + B.－212x x+ C.212x x + D.－21x x + 解析：令x x +-11=t ，则x =t t +-11，∴f （t ）=122+t t .∴f （x ）=122+x x.答案：C评述：本题考查函数的定义及换元思想.3.（2005年春季北京，文2）函数f （x ）=|x －1|的图象是解析：转化为分段函数y =⎩⎨⎧<-≥-.1,1,1,1x x x x答案：B4.函数y =22++-x x 的定义域为______________，值域为___________________. 答案：［－1，2］ ［0，23］ ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是A.a ＞31 B.－12＜a ≤0C.－12＜a ＜0D.a ≤31 剖析：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0. 答案：B【例2】 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ. 根据余弦定理得12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2， ① 12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2. ②由①＋②整理得y ＝2732+-x x .其中⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 解得21＜x ＜25.∴函数的定义域为（21，25）. 评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】 若函数f （x ）=cx ax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c .解：由y =f （x ）=cx ax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0.当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0.∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 评述：求f （x ）=11212222c x b x a c x b x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.●闯关训练 夯实基础1.函数y =2211xx +-的值域是 A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211x x +-=212x +－1.∵1+x 2≥1，∴0＜212x +≤2.∴－1＜y ≤1. 解法二：由y =2211x x +-，得x 2=y y +-11. ∵x 2≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1.解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B2.如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=___________________. 解析：设f （x ）=kx +b ，则f ［f （x ）］=kf （x ）+b =k （kx +b ）+b =k 2x +kb +b . 由于该函数与y =2x －1是同一个函数，∴k 2=2且kb +b =－1.∴k =±2. 当k =2时，b =1－2；当k =－2时，b =1+2. 答案：f （x ）=2x +1－2或f （x ）=－2x +1+23.已知f （x 2－4）=lg 822-x x ，则f （x ）的定义域为__________.解析：设x 2－4=t ，则t ≥－4，x 2=4+t . ∴f （t ）=lg44-+t t .∴f （x ）=lg 44-+t x （x ≥－4）. 由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>-+,4,044x x x 得x ＞4.答案：（4，+∞）4.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.解：∵AB =2x ，则=πx ，AD =2π2xx l --. ∴y =2x ·2π2x x l --+22πx =－（2π+2）x 2+lx .由⎪⎩⎪⎨⎧-->2π2,02x x l x ＞0，解得0＜x ＜2π+l .5.（2005年北京市西城区模拟题）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________________；不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________.解析：f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5. 当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3. 总之x ∈（－5，5）.答案：－2 {x |－5＜x ＜5} 培养能力6.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010.7.设f （x ）=1214+-x x －2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）.解：∵f （m ）=2，∴1214+-m m －2m +1=2.①∴1214+-m m －2m =2－1.而f （－m ）=1214+---m m +2m +1=m m 212141⋅-+2m +1=12441+-⋅-m m m +2m +1=1241+-m m +2m +1=－1214+-m m + 2m +1=－（1214+-m m －2m ）+1=－（2－1）+1=2－2.8.（理）（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x .令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.（文）（2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f （x ）=sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,01,00,01x x x 则不等式x +2＞（x －2）sgn x 的解集是______________.解析：分类讨论.答案：（－5，+∞）探究创新9.图①是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.（1）试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义.（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：（1）点A 表示无人乘车时收入差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利.（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.深化拓展（1）图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？ （2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？ 答案：（1）图①②中的票价是2元. 图（3）中的票价是4元. （2）斜率表示票价.●思悟小结1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f ［g （x ）］的表达式来求f （x ），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.●教师下载中心 教学点睛1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学. 拓展题例 【例题】 已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域.解：设扇形的弧长为l ，则l =10－2r ，∴S =21lr =（5－r ）r =－r 2+5r . 由⎪⎩⎪⎨⎧<>>,π2,0,0r l l r 得1+π5＜r ＜5. ∴S =－r 2+5r 的定义域为（1+π5，5）.又S =－r 2+5r =－（r －25）2+425且 r =25∈（1+π5，π）， ∴当r =25时，S 最大=425. 又S ＞－52+5×5=0，∴S =－r 2+5r ，r ∈（1+π5，5）的值域为（0，425］.。
【K12学习】XX届高考理科数学轮总复习教案
XX届高考理科数学轮总复习教案第五章三角函数高考导航考试要求重难点击命题展望了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数的定义.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质，理解正切函数在上的单调性.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.了解函数y＝Asin的物理意义，能画出函数y＝Asin的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以360°＋90°＜α＜360°＋180°.因为2360°＋180°＜2α＜2360°＋360°，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为180°＋45°＜α2＜180°＋90°，当＝2n时，n360°＋45°＜α2＜n360°＋90°，当＝2n＋1时，n360°＋225°＜α2＜n360°＋270°.所以α2是或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即象限角的半角是或第三象限角，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是A.象限角B.或第二象限角c.或第三象限角D.或第四象限角【解析】由题意2π＜2α＜2π＋π，∈Z，得π＜α＜π＋π2，∈Z.当是奇数时，α是第三象限角.当是偶数时，α是象限角.故选c.题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10c，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；若扇形的周长是一定值c，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】设弧长为l，弓形面积为S弓，因为α＝60°＝π3，R＝10c，所以l＝10π3c，S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin60°＝50c2.因为c＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝c2＋α，S扇＝12αR2＝12α2＝c22αα2＋4α＋4＝c221α＋4α＋4≤c216，当且仅当α＝4α时，即α＝2时，扇形的面积有最大值为c216.【点拨】用弧长公式l＝|α|R与扇形面积公式S＝12lR ＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长c有最小值？并求出最小值.【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S，所以周长c＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，当且仅当l＝2R时，c＝4S，所以当α＝lR＝2时，周长c有最小值4S.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sinα；求满足sinx≤32的角x的集合.【解析】由⇒交点为或，所以sinα＝±255.①找终边：在y轴正半轴上找出点，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接oP1、oP2，则为角x的终边，并写出对应的角.②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x的集合是{x|2π－4π3≤x≤2π＋π3，∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为【解析】⇒2π＜x≤2π＋π3，∈Z.所以函数的定义域为{x|2π＜x≤2π＋π3，∈Z}.总结提高确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如•360°＋π3的错误书写.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f＝1－x，θ∈，则f＋f＝【解析】f＋f＝1－sin2θ＋1＋sin2θ＝2＋2＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.因为θ∈，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cos θ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a＝，b＝.若a∥b，求tanθ的值；若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.【解析】因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.由|a|＝|b|知，sin2θ＋2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tanα＝12，则2sinαcosα＋cos2α等于A.45B.85c.65D.2【解析】原式＝2sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα＋11＋tan2α＝85.故选B.题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x＜0且sinx＋cosx＝15，求：sinx－cosx的值；sin3＋cos3的值.【解析】由已知得2sinxcosx＝－2425，且sinx＜0＜cosx，所以sinx－cosx＝－2＝－1－2sinxcosx＝－1＋2425＝－75.sin3＋cos3＝cos3x－sin3x＝＝75×＝91125.【点拨】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinx±cosx取值符号.【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[2－2sin2αcos2α]1－[]＝2sin2αcos2α1－[2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2＋cos2＝1是恒成立的.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简.【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝＝＝－cosθ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cosθ.【变式训练1】化简2cos4x－2cos2x＋122tansin2.【解析】原式＝1222tancos2＝cos22x4cossin＝cos22x2sin＝12cos2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sinx2－2cosx2＝0.求tanx的值；求cos2x2cossinx的值.【解析】由sinx2－2cosx2＝0⇒tanx2＝2，所以tanx ＝＝2×21－22＝－43.原式＝cos2x－sin2x2sinx＝sinx＝cosx＋sinxsinx＝1tanx＋1＝＋1＝14.【变式训练2】2cos5°－sin25°sin65°＝【解析】原式＝2cos－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.题型三已知三角函数值求解【例3】已知tan＝12，tanβ＝－17，且α，β∈，求2α－β的值.【解析】因为tan2＝2tan1－tan2＝43，所以tan＝tan[2＋β]＝tan2＋tanβ1－tan2tanβ＝1，又tanα＝tan[＋β]＝tan＋tanβ1－tantanβ＝13，因为α∈，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin＝2sinα，则α与β的大小关系是A.α＝βB.α＜βc.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sinα＝sin≤1，所以sinα≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sinα＝sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，所以sinα＜sinβ.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.总结提高两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；K12学习教育掌握角的演变规律，如“2α＝＋”等.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.K12学习教育。
数学高考专题复习课教案
数学高考专题复习课教案一、教学目标。
1. 知识目标，复习高考数学中的重点知识点，包括函数、导数、不等式、平面向量、立体几何等内容。
2. 能力目标，提高学生的数学解题能力，培养学生的逻辑思维和数学建模能力。
3. 情感目标，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心，培养学生的坚韧不拔的学习态度。
二、教学重点和难点。
1. 教学重点，重点复习高考数学中的常见题型和解题技巧，帮助学生掌握解题方法。
2. 教学难点，帮助学生理解和掌握数学中的抽象概念和思维方法，提高解题能力。
三、教学内容。
1. 函数。
a. 函数的概念和性质。
b. 函数的图像和性质。
c. 函数的运算和复合函数。
d. 函数的应用题。
2. 导数。
a. 导数的定义和性质。
b. 导数的计算和应用。
c. 函数的极值和最值。
d. 函数的图像和导数的关系。
3. 不等式。
a. 不等式的基本性质。
b. 一元一次不等式和一元二次不等式的解法。
c. 不等式组的解法。
d. 不等式在几何问题中的应用。
4. 平面向量。
a. 平面向量的概念和性质。
b. 平面向量的运算和应用。
c. 平面向量的数量积和向量积。
d. 平面向量在几何问题中的应用。
5. 立体几何。
a. 空间直角坐标系和空间向量。
b. 空间中的点、直线和平面。
c. 空间几何体的性质和计算。
d. 空间几何问题的解法。
四、教学方法。
1. 理论讲解，通过教师讲解和板书展示，系统地介绍各个知识点的概念、性质和解题方法。
2. 例题演练，选择典型的高考题目，进行详细的解题分析和演示，让学生掌握解题技巧。
3. 课堂练习，布置一定数量的课堂练习题，让学生在课堂上进行练习和讨论，及时发现和纠正错误。
4. 课后作业，布置大量的课后作业，包括选择题、填空题、解答题和证明题，巩固学生的知识点和解题能力。
五、教学评价。
1. 课堂表现，通过课堂练习和讨论，评价学生的课堂表现和学习态度。
2. 作业完成情况，检查学生的课后作业完成情况，及时发现和纠正错误。
推荐学习K12年高考数学第二轮复习 函数教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：函数考纲指要：函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
考点扫描：1.函数概念,构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
2. 函数性质：（1）奇偶性；（2单调性；（3）最值；（4）周期性。
3．基本初等函数：正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
4．函数图象：图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
5．函数应用：以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。
考题先知：例1． 定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=)2(0)2(||2|lg |)(x x x x f ，若0<b ，则关于x 的方程0)()(2=+x bf x f ,的不同实根共有（ ）个。
A. 4 B.5 C.7 D.8解析： 方程0)()(2=+x bf x f 可化为0)(=x f 或b x f -=)(。
而)(x f y =的图象大致如图1所示，由图可知，直线0=y 与)(x f y =的图象有3个交点，直线)0(<-=b b y 与)(x f y =的图象有4个交点，即方程0)(=x f 有3个实根，方程b x f -=)(有4个实根，从而原方程共有7个实根，故答案选C 。
例2．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）（A ） 1个 （B ）4个 （C ）8个 (D) 10个分析：这是一个从集合A 到集合A 的函数，由于集合A 中的元素仅有三个，情况比较简单，通过列举便可解决此题。
【K12学习】XX届高考数学轮函数的表示专项复习教案
XX届高考数学轮函数的表示专项复习教案2函数的表示●知识梳理函数的三种表示法解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.复习目标由所给函数表达式正确求出函数的定义域；掌握求函数值域的几种常用方法；能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.●点击双基若f=2－cos2x，则f等于A.2－sin2xB.2+sin2xc.2－cos2xD.2+cos2x解析：∵f=2－=1+2sin2x，∴f=f=1+2sin2=1+2cos2x=2+cos2x.答案：D已知f=，则f的解析式可取为A.B.－c.D.－解析：令=t，则x=，∴f=.∴f=.答案：c评述：本题考查函数的定义及换元思想.函数f=|x－1|的图象是解析：转化为分段函数y=答案：B函数y=的定义域为______________，值域为___________________.答案：［－1，2］［0，］●典例剖析【例1】已知函数f=的定义域是R，则实数a的取值范围是A.a＞B.－12＜a≤0c.－12＜a＜0D.a≤剖析：由a=0或可得－12＜a≤0.答案：B【例2】在△ABc中，Bc=2，AB+Ac=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADc＝θ，则∠ADB＝π－θ.根据余弦定理得＋y2－2ycosθ＝2，①＋y2－2ycos＝x2.②由①＋②整理得y＝.其中解得＜x＜.∴函数的定义域为.评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】若函数f=的值域为［－1，5］，求实数a、c.解：由y=f=，得x2y－ax+cy－1=0.当y=0时，ax=－1，∴a≠0.当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y≥0.∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.∴∴评述：求f=的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.●闯关训练夯实基础函数y=的值域是A.［－1，1］B.D.解法一：y==－1.∵1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.解法二：由y=，得x2=.∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.解法三：令x=tanθ，则y==cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B如果f［f］=2x－1，则一次函数f=___________________.解析：设f=x+b，则f［f］=f+b=+b=2x+b+b.由于该函数与y=2x－1是同一个函数，∴2=2且b+b=－1.∴=±.当=时，b=1－；当=－时，b=1+.答案：f=x+1－或f=－x+1+已知f=lg，则f的定义域为__________.解析：设x2－4=t，则t≥－4，x2=4+t.∴f=lg.∴f=lg.由得x＞4.答案：用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.解：∵AB=2x，则=πx，AD=.∴y=2x•+=－x2+lx.由＞0，解得0＜x＜.已知函数f=则f=___________________；不等式xf＜10的解集是___________________.解析：f=f=f=－2，f=当x≥3时，x＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.总之x∈.答案：－2{x|－5＜x＜5}培养能力设定义在N上的函数f满足f=试求f的值.解：∵XX＞XX，∴f=f［f］=f［f］=f［1984+13］=f=1997+13=XX.设f=－2x+1，已知f=，求f.解：∵f=，∴－2+1=.①∴－2=－1.而f=+2+1=+2+1=+2+1=+2+1=－+2+1=－+1=－+1=2－.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3in以内收费0.2元，超过3in的部分为每分钟收费0.1元，不足1in按1in计算.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1in以内、1到2in以内、2到3in以内、3到4in以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1in以内、2in以内、3in以内、4in以内的通话次数为4x、3x、x、x，则y1=25+×0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2=10+6.8x.令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤≈3.06.∴总次数为×2×3.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.定义“符号函数”f=sgnx=则不等式x+2＞sgnx的解集是______________.解析：分类讨论.答案：探究创新图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.深化拓展图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？此问题中直线斜率的实际意义是什么？答案：图①②中的票价是2元.图中的票价是4元.斜率表示票价.●思悟小结并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f［g］的表达式来求f，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.●教师下载中心教学点睛用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学.拓展题例【例题】已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域.解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S=lr=r=－r2+5r.由得＜r＜5.∴S=－r2+5r的定义域为.又S=－r2+5r=－2+且r=∈，∴当r=时，S最大=.又S＞－52+5×5=0，∴S=－r2+5r，r∈的值域为（0，］.。
【K12学习】XX届高考数学轮函数专项复习教案
XX届高考数学轮函数专项复习教案第二章函数●网络体系总览●考点目标定位理解函数的概念，了解映射的概念.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.●复习方略指南基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习本章要注意：深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.1函数的概念●知识梳理函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f，x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f|x∈A}叫做函数的值域.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域c和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A 到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.特别提示函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.●点击双基设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是A.f:x→y=|x|B.f:x→y=c.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2解析：指数函数的定义域是R，值域是，所以f是x→y=3－x.答案：c设={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f的定义域为，值域为N，则f的图象可以是解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，c项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.答案：B已知函数f=lg，若f=b，则f等于A.bB.－bc.D.－解析：f=lg=－lg=－f=－b.【答案】B函数y=的定义域是A.［－，－1）∪∪c.［－2，－1）∪∪解析：－≤x＜－1或1＜x≤.∴y=的定义域为［－，－1）∪若函数f=loga的定义域和值域都是［0，1］，则a等于A.B.c.D.2解析：f=loga的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.当a＞1时，0=loga1≤loga≤loga2=1，∴a=2；当0＜a＜1时，loga2≤loga≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.综上，a=2.答案：D●典例剖析【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？f=，g=；f=，g=f=，g=2n－1；f=，g=；f=x2－2x－1，g=t2－2t－1.剖析：对于两个函数y=f和y=g，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f和y=g才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：由于f==|x|，g==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.由于函数f=的定义域为∪，而g=的定义域为R，所以它们不是同一函数.由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f==x，g=2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.由于函数f=的定义域为{x|x≥0}，而g=的定义域为{x|x ≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：第小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f=x2+1，f=t2+1，f=2+1都可视为同一函数.对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A 到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.剖析：从A到B可分两步进行：步A中的元素3可有3种对应方法，第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.答案：98深化拓展设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有同一个象，因此，共有cA=36个映射.答案：36【例3】设函数f=|1－|，证明：当0＜a＜b，且f=f时，ab＞1.剖析一：f=f|1－|=|1－|2=22ab=a+b≥2ab＞1.证明：略.剖析二：f=证明：f在上是增函数.由0＜a＜b且f=f，得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2ab＞1.评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.●闯关训练夯实基础设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是A.2B.3c.4D.5解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选c.答案：c某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的XX元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是A.10%B.15%c.18%D.20%解析：设降价百分率为x%，∴XX2=1280.解得x=20.答案：D设函数f=则使得f≥1的自变量x的取值范围为A.是分段函数，故f≥1应分段求解.当x＜1时，f≥12≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.当x≥1时，f≥14－≥1≤3x≤10，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：A已知f=则不等式xf+x≤2的解集是___________________.解析：x≥0时，f=1，xf+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；当x＜0时，f=0，xf+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1.答案：{x|x≤1}已知函数y=logx与y=x的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则的值等于A.－B.c.－D.解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－.又A在y=x图象上，－=•2，∴=－.答案：A培养能力如下图，在边长为4的正方形ABcD上有一点P，沿着折线BcDA由B点向A点移动，设P点移动的路程为x，△ABP 的面积为y=f.求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：这个函数的定义域为.当0＜x≤4时，S=f=•4•x=2x；当4＜x≤8时，S=f=8；当8＜x＜12时，S=f=•4•=2=24－2x.∴这个函数的解析式为f=其图形为由图知，［f］ax=8.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、的值及集合A、B.解：∵f=3×1+1=4，f=3×2+1=7，f=3×3+1=10，f=3+1，由映射的定义知或∵a∈N，∴方程组无解.解方程组，得a=2或a=－5，3+1=16，3=15，=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.如果函数f=3对任意x∈R都有f=－f，试求f+f的值.解：∵对任意x∈R，总有f=－f，∴当x=0时应有f=－f，即f=－f.∴f=0.又∵f=3，∴f=3.故有3＝0a=－1.∴f=3.∴f+f=3＋3＝13＋3＝－26.探究创新集合={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:→N满足f+f+f=0，那么映射f:→N的个数是多少？解：∵f∈N，f∈N，f∈N，且f+f+f=0，∴有0+0+0=0+1+=0.当f=f=f=0时，只有一个映射；当f、f、f中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有c•A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.●思悟小结本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.理解映射的概念，应注意以下几点：集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1……实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.●教师下载中心教学点睛复习本节时，教师应先指导学生看课本，并对课本上的重要知识点归纳总结，对课本上的典型例题、典型习题要让学生再做，并注重一题多解、一题多变.画分段函数的图象，求分段函数的定义域、值域是本节的一个难点.教学时，要指导学生按x的特点分好段，并向学生指明分段函数其实是一个函数，只是由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出，因此它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.拓展题例【例1】设f是定义在上的函数，对一切x∈R均有f+f=0，当－1＜x≤1时，f=2x－1，求当1＜x≤3时，函数f的解析式.解：设1＜x≤3，则－1＜x－2≤1，又对任意的x，有f+f=0，∴f=－f.∴f=－f［+2］=－f.又－1＜x－2≤1时，f=2－1=2x－5，∴f=－f=－2x+5.评述：将1＜x≤3转化成－1＜x－2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.【例2】设=2+log2x+1－t，若t在区间［－2，2］上变化时，值恒正，求x的取值范围.解：由=［log2x+］＞0，得①或②在①中，+t＞0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x －1＞2，即x＞8；在②中，+t＜0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x －1＜－2，即0＜x＜.综上，得x＞8或0＜x＜.评述：本题还可用如下方法求解：=t+［2－2log2x+1］关于变量t的图象是直线，要t∈［－2，2］时值恒正，只要t=－2和2时的值恒正，即有∴log2x＞3或log2x＜－1.∴x＞8或0＜x＜.。
【K12学习】XX届高考数学轮对数与对数函数专项复习教案
XX届高考数学轮对数与对数函数专项复习教案8对数与对数函数●知识梳理对数对数的定义：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.对数运算性质:①loga=loga+logaN.②loga=loga－logaN.③logan=nloga.④对数换底公式：logbN=.对数函数对数函数的定义函数y=logax叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.对数函数的性质:①定义域：.②值域：R.③过点，即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在上是增函数；当0＜a＜1时，在上是减函数.●点击双基函数f=|log2x|的图象是解析：f=答案：A若f－1为函数f=lg的反函数，则f－1的值域为___________________.解析：f－1的值域为f=lg的定义域.由f=lg的定义域为，∴f－1的值域为.答案：已知f的定义域为［0，1］，则函数y=f［log］的定义域是__________.解析：由0≤log≤1log1≤log≤log≤3－x≤12≤x≤.答案：［2，］若logx=z，则x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zc.y=7xzD.y=zx解析：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.答案：B已知1＜＜n，令a=2，b=logn2，c=logn，则A.a＜b＜cB.a＜c＜bc.b＜a＜cD.c＜a＜b解析：∵1＜＜n，∴0＜logn＜1.∴logn＜0.答案：D●典例剖析【例1】已知函数f=则f的值为A.B.c.D.剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f=f=3+log23=.答案：D【例2】求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是，递增区间是.评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y=log［a2x+2x－b2x+1］，如何求使y为负值的x 的取值范围?提示：要使y＜0，必须a2x+2x－b2x+1＞1，即a2x+2x －b2x＞0.∵b2x＞0，∴2x+2x－1＞0.∴x＞－1或x＜－－1.再分＞1，=1，＜1三种情况进行讨论.答案：a＞b＞0时，x＞log；a=b＞0时，x∈R；0＜a＜b时，x＜log.【例3】已知f=log［3－2］，求f的值域及单调区间.解：∵真数3－2≤3，∴log［3－2］≥log3=－1，即f的值域是［－1，+∞）.又3－2＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈2单调递增，从而f单调递减；x∈［1，1+）时，f单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练夯实基础若函数f=logax在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于A.B.c.D.解析：∵0＜a＜1，∴f=logax是减函数.∴logaa=3•loga2a.∴loga2a=.∴1+loga2=.∴loga2=－.∴a=.答案：A函数y＝log2｜ax－1｜的对称轴方程是x＝－2，那么a 等于A.B.－c.2D.－2解析：y=log2|ax－1|=log2|a|，对称轴为x=，由=－2得a=－.答案：B评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f=f，可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－.设f－1是f=log2的反函数，若［1+f－1］［1+f－1］=8，则f的值为A.1B.2c.3D.log23解析：∵f－1=2x－1，∴［1+f－1］［1+f－1］=2a•2b=2a+b.由已知2a+b=8，∴a+b=3.答案：c方程lgx+lg=1的解x=___________________.解析：由lgx+lg=1，得x=10，x2+3x－10=0.∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.答案：2已知y=loga在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上应有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜.故1＜a＜.设函数f=lg，g=lg，在f和g的公共定义域内比较|f|与|g|的大小.解：f、g的公共定义域为.|f|－|g|=|lg|－|lg|.当0＜x＜1时，|lg|－|lg|=－lg＞0；当x=0时，|lg|－|lg|=0；当－1＜x＜0时，|lg|－|lg|=lg＜0.综上所述，当0＜x＜1时，|f|＞|g|；当x=0时，|f|=|g|；当－1＜x＜0时，|f|＜|g|.培养能力函数f=log2|x|，g=－x2+2，则f•g的图象只可能是解析：∵f与g都是偶函数，∴f•g也是偶函数，由此可排除A、D.又由x→+∞时，f•g→－∞，可排除B.答案：c若f=x2－x+b，且f=b，log2［f］=2.求f的最小值及对应的x值；x取何值时，f＞f且log2［f］＜f？解：∵f=x2－x+b，∴f=log22a－log2a+b.由已知有log22a－log2a+b=b，∴log2a=0.∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.又log2［f］=2，∴f=4.∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.故f=x2－x+2，从而f=log22x－log2x+2=2+.∴当log2x=即x=时，f有最小值.由题意0＜x＜1.探究创新已知函数f=3x+，A是函数y=f－1图象上的点.求实数的值及函数f－1的解析式；将y=f－1的图象按向量a=平移，得到函数y=g的图象，若2f－1－g≥1恒成立，试求实数的取值范围.解：∵A是函数y=f－1图象上的点，∴B是函数y=f上的点.∴－2=32+.∴=－3.∴f=3x－3.∴y=f－1=log3.将y=f－1的图象按向量a=平移，得到函数y=g=log3x，要使2f－1－g≥1恒成立，即使2log3－log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要in≥3.又x+≥2，∴in=4，即4≥3.∴≥.●思悟小结对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心教学点睛本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例【例1】求函数y=2lg－lg的最小值.解：定义域为x＞3，原函数为y＝lg.又∵＝＝＝＋＋2≥4，∴当x＝4时，yin＝lg4.【例2】在f1=x，f2=x2，f3=2x，f4=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f+f］＜f成立的函数是A.f1=xB.f2=x2c.f3=2xD.f4=logx解析：由图形可直观得到：只有f1=x为“上凸”的函数.答案：A。
【K12学习】XX届高考理科数学轮函数总复习教案
XX届高考理科数学轮函数总复习教案第二章函数高考导航考试要求重难点击命题展望了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3,y ＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解.14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.本章重点：1.函数的概念及其三要素；2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用.本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】已知f＝x2＋x＋1，求f的表达式；已知f＋2f ＝3x2＋5x＋3，求f的表达式.【解析】设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得f＝2＋＋1＝t2－t＋1，所以f＝x2－x＋1.由f＋2f＝3x2＋5x＋3，x换成－x，得f＋2f＝3x2－5x＋3，解得f＝x2－5x＋1.【点拨】已知f，g，求复合函数f[g]的解析式，直接把f中的x换成g即可，已知f[g]，求f的解析式，常常是设g＝t，或者在f[g]中凑出g，再把g换成x.【变式训练1】已知f＝，求f的解析式.【解析】设＝t，则x＝，所以f＝＝，所以f＝.题型二求函数的定义域【例2】求函数y＝的定义域；已知f的定义域为[－2,4]，求f 的定义域.【解析】要使函数有意义，则只需要即解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定义域为∪.依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f的定义域为[－1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g]的定义域要把g当作f中的x来对待.【变式训练2】已知函数f的定义域为[－1,1]，求f的定义域.【解析】因为y＝f的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y＝f的定义域为[，2].令≤log2x≤2，所以≤x≤22＝4，故所求y＝f的定义域为[，4].题型三由实际问题给出的函数【例3】用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底部长为2x，求此框围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx ＝l，即a＝－x－x，半圆的半径为x，所以y＝＋·2x＝－x2＋lx.由实际意义知－x－x＞0，因x＞0，解得0＜x＜.即函数y＝－x2＋lx的定义域是{x|0＜x＜}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f，则y＝f的图象是【解析】由题意得y＝，选A.题型四分段函数【例4】已知函数f＝求f＋f的值；若f＝1，求a的值；若f＞2，求x的取值范围.【解析】由题意，得f＝2，f＝2，所以f＋f＝4.当a＜0时，f＝a＋3＝1，解得a＝－2；当a≥0时，f＝a2＋1＝1，解得a＝0.所以a＝－2或a＝0.当x＜0时，f＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；当x≥0时，f＝x2＋1＞2，解得x＞1.所以x的取值范围是－1＜x＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f＝若a，b，c互不相等，且f＝f ＝f，则abc的取值范围是A.B.c.D.【解析】不妨设a＜b＜c，由f＝f＝f及f图象知＜a＜1＜b＜10＜c＜12，所以－lga＝lgb＝－c＋6，所以ab＝1，所以abc的范围为，故选c.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.2.2 函数的单调性典例精析题型一函数单调性的判断和证明【例1】讨论函数f＝在上的单调性.【解析】设x1，x2为区间上的任意两个数且x1＜x2，则f－f＝－＝，因为x1∈，x2∈，且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.所以当a＜时，1－2a＞0，f＞f，函数f在上为减函数；当a＞时，1－2a＜0，f＜f，函数f在上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.【变式训练1】已知函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝x＋cosx，则f，f，f的大小关系是 A.f＜f＜fB.f＜f＜fc.f＜f＜fD.f＜f＜f 【解析】B.题型二函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间.y＝|x－1|；y＝x2＋2|x－1|；y＝.【解析】y＝|x－1|＝所以此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.y＝x2＋2|x－1|＝所以此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.由于t＝－x2＋4x－3的单调递增区间是，单调递减区间是，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2.则函数f＝x－，x∈[－2,2]的最大值是A.－1B.6c.1D.12【解析】B.题型三函数单调性的应用【例3】已知函数f的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有＞0.试判断函数f在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；解不等式f＜f.【解析】当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由＞0，得f＜f，所以函数f在区间[－1,1]上是增函数.因为f在[－1,1]上是增函数.所以由f＜f知，所以0≤x＜，所求不等式的解集为{x|0≤x＜}.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.【变式训练3】已知函数y＝f是R上的偶函数，对于x∈R都有f＝f＋f成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有＞0，给出下列命题：①f＝0；②直线x＝－6是函数y＝f的图象的一条对称轴；③函数y＝f在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f在[－9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为【解析】①②④.总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线.3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧.5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.3 函数的奇偶性典例精析题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性.f＝；f＝【解析】由得定义域为∪，这时f ＝＝－，因为f＝－＝－＝f，所以f为偶函数.当x＜0时，－x＞0，则f＝－2－x＝－＝－f，当x＞0时，－x＜0，则f＝2－x＝x2－x＝－f，所以对任意x∈∪都有f＝－f，故f 为奇函数.【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f与f的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.【变式训练1】若函数f＝3x ＋与g＝3x－的定义域均为R，则A.f与g均为偶函数B.f 为偶函数，g为奇函数c.f与g均为奇函数D.f为奇函数，g 为偶函数【解析】B.题型二由奇偶性的条件求函数的解析式【例2】若函数f＝是定义在上的奇函数，求f的解析式.【解析】因为函数f＝是定义在上的奇函数，所以f＝0，从而得＝0.又f＋f＝0，解得n＝0.所以f＝.【变式训练2】已知定义域为R的函数f＝是奇函数，求a，b的值.【解析】因为f是奇函数，所以f＝0，即＝0，解得b＝1，所以f＝.又由f＝－f，所以＝－，解得a＝2.故a＝2，b＝1.题型三函数奇偶性的应用【例3】设函数f的定义域为R，对于任意实数x，y都有f＝f＋f，当x＞0时，f＞0且f＝6.求证：函数f为奇函数；求证：函数f在R上是增函数；在区间[－4,4]上，求f的最值.【解析】证明：令x＝y＝0，得f＝f ＋f，所以f＝0，令y＝－x，有f＝f＋f，所以f＝－f，所以函数f为奇函数.证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f －f＝f＋f＝f，又x＞0时，f＞0，所以f－f＝f＞0，即f ＞f，所以函数f在R上是增函数.因为函数f在R上是增函数，所以f在区间[－4,4]上也是增函数，所以函数f的最大值为f，最小值为f，因为f＝6，所以f＝f＋f＝12，又f 为奇函数，所以f＝－f＝－12，故函数f在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12.【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.【变式训练3】定义在R上的函数f满足f＝则f＝f＝【解析】4；－2.总结提高1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f与f的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形.2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f±f＝0或＝±1≠0)进行处理.3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解. 2.4 二次函数典例精析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y＝f的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f的解析式.【解析】设f＝ax2＋bx＋c，由已知有解得a ＝，b＝2，c＝1，所以f＝x2＋2x＋1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝.【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1.所以1＋b＋c＝0，又－＝2⇒b＝－4，所以c＝3.所以f＝x2－4x＋3.题型二二次函数的最值【例2】已知二次函数f 的二次项系数为a，且不等式f＞－2x的解集为.若方程f＋6a＝0有两个相等实根，求f的解析式；若f的最大值为正数，求a的取值范围.【解析】因为f＋2x＞0的解集为.所以f＝a－2x＝ax2－x＋3a.①由f＋6a＝0⇒ax2－x＋9a＝0，②由②知，Δ＝[－]2－4a×9a＝0⇒5a2－4a－1＝0，所以a ＝1或a＝－.因为a＜0，所以a＝－，代入①得f＝－x2－x －.由于f＝ax2－2x＋3a＝a2－，又a＜0，可得[f]ax＝－.由⇒a＜－2－或－2＋＜a＜0.【点拨】利用Δ＝0；利用配方法.【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，]上有最大值3和最小值2，则的取值范围是【解析】[1,2].题型三二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数f＝ax2＋bx＋c，x1＜x2，f≠f，对于方程f＝[f＋f]，求证：方程在区间内必有一解；设方程在区间内的根为，若x1，－，x2成等差数列，则－＜2.【证明】令g＝f－[f＋f]，则gg＝[f－f][f－f]＝－[f－f]2＜0，所以方程g＝0在区间内必有一解.依题意2－1＝x1＋x2，即2－x1－x2＝1，又f＝[f＋f]，即2＝ax＋bx1＋c ＋ax＋bx2＋c.整理得a＋b＝0，a＋b＝0，所以－＝2－＜2.【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－与区间的位置关系.【变式训练3】已知f＝－2，α，β是f ＝0的两根，则实数α，β，a，b大小关系为A.α＜a＜b ＜βB.a＜α＜β＜bc.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b【解析】A.总结提高1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点.3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算：；－－2＋－0.【解析】原式＝····＝.原式＝－2－2＋＝2.题型二指数函数性质的应用【例2】已知函数f＝，其中x ∈R.试判断函数f的奇偶性；证明f是R上的增函数.【解析】因为函数f的定义域为x∈R，且f＝＝＝－f，所以f 为R上的奇函数.证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f－f ＝－=＜0，所以f是R上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.【变式训练2】函数y＝的图象大致为【解析】A.题型三指数函数的综合应用【例3】已知函数f＝2x－.若f＝2，求x的值；若2tf＋f≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数的取值范围.【解析】f＝2x－＝因为f＝2，所以2x－＝2.因为x≥0，所以2x＝1＋，解得x＝log2.因为t∈[1,2]，所以2tf＋f≥0可化为2t＋≥0，即≥－.因为22t－1＞0，所以上式可化为≥－.又因为－的最大值为－5，所以≥－5.故使得2tf＋f≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数的取值范围是[－5，＋∞).【变式训练3】已知函数f＝|2x－1|，a＜b＜c，且f＞f＞f，则下列结论中一定成立的是A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0c.2－a＜2cD.2a＋2c＜2【解析】D.总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.6 对数与对数函数典例精析题型一对数的运算【例1】计算下列各题：22＋lglg5＋；.【解析】原式＝2×2＋lg2lg5＋＝lg2＋1－lg2＝1.原式＝＝＝1.【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg3为【解析】由⇒lg3＝.题型二对数函数性质的应用【例2】设函数f＝loga.求函数f经过的定点坐标；讨论函数f 的单调性；解不等式log3＜1.【解析】当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f所经过的定点坐标为.当a＞1时，函数f在区间上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f在区间上为单调递减函数.不等式log3＜1等价于不等式组解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为.【变式训练2】已知函数f＝若f在上单调递增，则实数a的取值范围为【解析】要保证函数f在上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f＝x－1在区间＝logax在区间上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f在上单调递增还必须满足×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.题型三对数函数综合应用【例3】已知函数f＝loga.当x∈[0,2]时，函数f恒有意义，求实数a的取值范围；是否存在这样的实数a，使得函数f在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【解析】由题设知3－ax＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1.因为a＞0，所以g＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g＝3－2a＞0，所以a＜，所以a 的取值范围为∪.假设存在这样的实数a，由题设知f＝1，即loga＝1，所以a＝，此时f＝.当x＝2时，f没有意义，故这样的实数不存在.【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.【变式训练3】给出下列四个命题：①函数f＝lnx－2＋x在区间上存在零点；②若f′＝0，则函数y＝f在x＝x0处取得极值；③若≥－1，则函数y＝的值域为R；④“a＝1”是“函数f＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.则其中正确的序号是【解析】因为f＝ln1－2＋1＝－1＜0，f＝lne－2＋e ＝e－1＞0，故函数f在区间上存在零点，命题①正确；对于函数f＝x3来说，f′＝3x2，显然有f′＝0，但f在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－，若≥－1，则Δ＝2－4×1×＝4＋4≥0，所以t＝x2－2x－可以取遍所有的正数，所以函数y＝的值域为R，命题③正确；由f＝－f，可得＝－，解得a＝±1，即函数f为奇函数的充要条件为a＝±1，故“a＝1”是“函数f＝为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.总结提高1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.7 幂函数与函数的图象典例精析题型一幂函数的图象与性质【例1】点在幂函数f的图象上，点在幂函数g的图象上.求f、g的解析式；问当x为何值时，有：①g＜f；②f＝g；③f＜g.【解析】设f＝xa，因为点在幂函数f的图象上，将代入f＝xa中，得2＝a，解得a＝2，即f＝x2.设g＝xb，因为点在幂函数g 的图象上，将代入g＝xb中，得＝b，解得b＝－2，即g＝x －2.在同一坐标系中作出f和g的图象，如图所示，由图象可知：①当x＞1或x＜－1时，g＜f；②当x＝±1时，f＝g；③当－1＜x＜1且x≠0时，f＜g.【点拨】求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xa；②根据已知条件求出a的值；③写出幂函数的解析式.本题的第问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果.【变式训练1】函数f＝是幂函数，且当x∈时是减函数，求实数.【解析】因为f为幂函数，所以2－－1＝1，解得＝2或＝－1.当＝2时，f＝x－3在上是减函数；当＝－1时，f＝x0在上不是减函数.所以＝2.题型二作函数图象【例2】作下列函数图象：y＝1＋log2x；y＝2|x|－1；y＝|x2－4|.【解析】y＝1＋log2x的图象是：y＝2|x|－1的图象是：y＝|x2－4|的图象是：【变式训练2】在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象只可能是【解析】A.题型三用数形结合思想解题【例3】已知f ＝|x2－4x＋3|.求f的单调区间；求的取值范围，使方程f＝x有4个不同实根.【解析】递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；递减区间为，.设y＝x与y＝f有四个公共点，过原点的直线l与y＝f有三个公共点，如图所示.令它的斜率为，则0＜＜.由⇒x2＋x＋3＝0.①令Δ＝2－12＝0⇒＝4±2.当＝4＋2时，方程①的根x1＝x2＝－∉，舍去；当＝4－2时，方程①的根x1＝x2＝∈，符合题意.故0＜＜4－2.【点拨】作出f的图象；利用的图象，研究函数y＝x与y＝f的交点情况.【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是A.0＜a＜1B.≤a＜1c.a＞1D.0＜a≤【解析】原不等式为x2＜logax，设f＝x2，g＝logax，因为0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f在x∈内的图象，如图所示.因为f＝，所以A，当g图象经过点A时，＝loga⇒a＝，因为当x∈时，logax＞x2，g图象按如图虚线位置变化，所以≤a＜1，故答案为B.题型四有关图象的对称问题【例4】设函数f＝x＋，x∈∪的图象为c1，c1关于点A对称的图象为c2，c2对应的函数为g.求函数y＝g的解析式，并确定其定义域；若直线y＝b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.【解析】设P 是y＝x＋上任意一点，所以v＝u＋.①设P关于A对称的点为Q，所以⇒代入①得2－y＝4－x＋⇒y＝x－2＋.所以g＝x －2＋，其定义域为∪.联立方程得⇒x2－x＋4b＋9＝0，所以Δ＝2－4×＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为；当b＝4时，交点为.【变式训练4】函数f的定义域为R，且满足：f是偶函数，f是奇函数.若f＝9，则f等于A.－9B.9c.－3D.0【解析】因为f＝f，f＝－f，所以f ＝－f＝－f，则f＝－f＝f，即4是函数f的一个周期，所以f＝f＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.总结提高掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况.2.8 函数与方程典例精析题型一确定函数零点所在的区间【例1】已知函数f＝x＋log2x，问方程f＝0在区间[，4]上有没有实根，为什么？【解析】因为f＝＋log2＝－2＝－＜0，f＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，ff＜0，又f＝x＋log2x在区间[，4]是连续的，所以函数f在区间[，4]上有零点，即存在c ∈[，4]，使f＝0，所以方程f＝0在区间[，4]上有实根.【点拨】判断函数f的零点是否在区间内，只需检验两条：①函数f在区间上是连续不断的；②ff＜0.【变式训练1】若x0是函数f＝x＋2x－8的一个零点，则[x0]＝【解析】因为函数f＝x＋2x－8在区间上是连续不间断的单调递增函数，且ff＜0，所以函数f在区间上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2.题型二判断函数零点的个数【例2】判断下列函数的零点个数.f＝x2＋x＋；f＝x－4＋log2x.【解析】由Δ＝2－4＝2＋4＞0，得知f＝x2＋x＋＞0有两个不同的零点.因为函数f＝x－4＋log2x在区间上是连续不间断的单调递增函数，且ff＜0，所以函数f在区间上存在唯一的零点.【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：方程f＝0的根的个数即为函数f的零点个数；函数f与x 轴的交点个数，即为函数f的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f＝0化为方程g＝h，然后再看函数y＝g与y＝h 的交点个数.【变式训练2】问a为何值时，函数f＝x3－3x ＋a有三个零点，二个零点，一个零点？【解析】f′＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f有极大值f＝2＋a，极小值f＝－2＋a.由图象得知：当－2＜a＜2时，函数f有三个零点；当a＝－2或a＝2时，函数f有两个零点；当a＜－2或a＞2时，函数f有一个零点.题型三利用导数工具研究函数零点问题【例3】设函数f＝x3＋2x2－4x＋2a.求函数f的单调区间；关于x的方程f＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围.【解析】f′＝3x2＋4x－4.由f′＞0，得x＜－2或x＞；由f′＜0，得－2＜x＜.故f的递增区间为、，f的递减区间为.由f＝a2⇔x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0，令g＝x3＋2x2－4x－a2＋2a.所以g′＝3x2＋4x－4.由可知，g在和上递增，在上递减，故g在[－3，－2]和[，2)上为增函数，在[－2，]上为减函数.关于x的方程f＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则解得－2＜a ≤－1或3≤a＜4.【点拨】先求f′，由f′＝0求出极值点，再讨论单调性；利用及函数f的大致图形，找到满足题设的a的条件.【变式训练3】已知函数f＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f和f，若x1和x2分别在区间与内，则的取值范围为A.B.∪c.D.【解析】因为f′＝x2＋ax＋2b，由题意可知，画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分所示，表示可行域内的点与点D的连线的斜率，记为，观察图形可知，cD＜＜BD，而cD＝＝，BD＝＝1，所以＜＜1，故选c.总结提高函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在内有零点时，未必ff＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.9 函数模型及其应用典例精析题型一运用指数模型求解【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？【解析】已知本金为a元，1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a；2期后的本利和为y2＝a＋ar＝a2；3期后的本利和为y3＝a2＋a2r＝a3；⋮⋮x期后的本利和为y＝ax.将a＝10000，r＝2.25%，x ＝5代入上式得y＝100005＝11176.8，所以5期后的本利和是11176.8元.【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝Nx.【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是 A.12－1B.12c.11D.12p【解析】今年十二月产值为a12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[12－1]a，故选A.题型二分段函数建模求解【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费.在甲。
201X届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数实用文档相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )A．－2x＋1 B．2x－1实用文档实用文档C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选D f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.2．(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x实用文档解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t. 故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)． 答案：5x ＋1x 2(x ≠0) 5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式实用文档实用文档的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；(3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．实用文档[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)．[答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，实用文档故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．实用文档实用文档求函数的解析式典题导入 [例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1， 又x >0，所以t >1，实用文档故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法实用文档(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.分段函数典题导入实用文档实用文档[例3] (2012·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋∞，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x ≥1，所以x >2.综上可得x <－2或x >2.[答案](－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值．解：∵f (－2)＝22＝4，∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求实用文档解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(2012·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，(2,0)分别代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x≤1，3－32x，1≤x≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A．y＝x－1与y＝x－12B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 100答案：D2．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )实用文档实用文档A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选实用文档项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．1C ．2D ．3解析：选D f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＋2＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43＝3.5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1实用文档C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.答案：(－1,3)9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x对应着唯一一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．答案：②10．若函数f(x)＝xax＋b(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．实用文档解：由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x⎝⎛⎭⎪⎪⎫1ax＋b－1＝0，解此方程得x＝0或x＝1－b a，又因方程有唯一解，故1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝1 2，所以f(x)＝2x x＋2.11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．试写出y ＝f(x)的函数解析式．解：当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，实用文档实用文档由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.实用文档综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x<A，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( ) A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16解析：选D 因为组装第A件产品用时15分钟，所以cA＝15，①实用文档实用文档所以必有4<A ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(2012·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x实用文档＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4，或x<－1}．1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.实用文档答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.实用文档(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.31378 7A92 窒28422 6F06 漆35119 892F 褯38245 9565 镥30123 75AB 疫33780 83F4 菴*Z28868 70C4 烄N38160 9510 锐/33164 818C 膌23595 5C2B 尫29230 722E 爮实用文档。
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XX届高考数学轮函数的表示专项复习教案
2函数的表示
●知识梳理
函数的三种表示法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
复习目标
由所给函数表达式正确求出函数的定义域；
掌握求函数值域的几种常用方法；
能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；
会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.
●点击双基
若f=2－cos2x，则f等于
A.2－sin2x
B.2+sin2xc.2－cos2xD.2+cos2x
解析：∵f=2－=1+2sin2x，
∴f=f=1+2sin2=1+2cos2x=2+cos2x.
答案：D
已知f=，则f的解析式可取为
A.B.－
c.D.－
解析：令=t，则x=，∴f=.∴f=.
答案：c
评述：本题考查函数的定义及换元思想.
函数f=|x－1|的图象是
解析：转化为分段函数y=
答案：B
函数y=的定义域为______________，值域为___________________.
答案：［－1，2］［0，］
●典例剖析
【例1】已知函数f=的定义域是R，则实数a的取值范围是
A.a＞
B.－12＜a≤0c.－12＜a＜0D.a≤
剖析：由a=0或可得－12＜a≤0.
答案：B
【例2】在△ABc中，Bc=2，AB+Ac=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：设∠ADc＝θ，则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得
＋y2－2ycosθ＝2，①
＋y2－2ycos＝x2.②
由①＋②整理得y＝.其中解得＜x＜.
∴函数的定义域为.
评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.
【例3】若函数f=的值域为［－1，5］，求实数a、c.
解：由y=f=，得x2y－ax+cy－1=0.
当y=0时，ax=－1，∴a≠0.
当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.
∴∴
评述：求f=的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.
●闯关训练
夯实基础
函数y=的值域是
A.［－1，1］
B.D.
解法一：y==－1.∵1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y=，得x2=.∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y
≤1.
解法三：令x=tanθ，则y==cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.
答案：B
如果f［f］=2x－1，则一次函数f=___________________.
解析：设f=x+b，则f［f］=f+b=+b=2x+b+b.
由于该函数与y=2x－1是同一个函数，∴2=2且b+b=－1.∴=±.
当=时，b=1－；当=－时，b=1+.
答案：f=x+1－或f=－x+1+
已知f=lg，则f的定义域为__________.
解析：设x2－4=t，则t≥－4，x2=4+t.∴f=lg.∴f=lg.
由得x＞4.
答案：
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.
解：∵AB=2x，则=πx，AD=.
∴y=2x•+=－x2+lx.
由＞0，解得0＜x＜.
已知函数f=则f=___________________；不等式xf＜10的解集是___________________.
解析：f=f=f=－2，f=
当x≥3时，x＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.
当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.
总之x∈.
答案：－2{x|－5＜x＜5}
培养能力
设定义在N上的函数f满足f=试求f的值.
解：∵XX＞XX，
∴f=f［f］=f［f］=f［1984+13］=f=1997+13=XX.
设f=－2x+1，已知f=，求f.
解：∵f=，∴－2+1=.①
∴－2=－1.
而f=+2+1=+2+1=+2+1=+2+1=－+2+1=－+1=－+1=2－.
某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3in以内收费0.2元，超过3in的部分为每分钟收费0.1元，不足1in按1in计算.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1in以内、1到2in以内、2到3in以内、3到4in以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？
解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2
元，分别在1in以内、2in以内、3in以内、4in以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
y1=25+×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤≈3.06.
∴总次数为×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
定义“符号函数”f=sgnx=则不等式x+2＞sgnx的解集是______________.
解析：分类讨论.
答案：
探究创新
图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
解：点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.
图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加
票价.
深化拓展
图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
此问题中直线斜率的实际意义是什么？
答案：图①②中的票价是2元.
图中的票价是4元.
斜率表示票价.
●思悟小结
并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.
求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f［g］的表达式来求f，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.
要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.
●教师下载中心
教学点睛
用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.
强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.
新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学.
拓展题例
【例题】已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域.
解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S=lr=r=－r2+5r.
由得＜r＜5.∴S=－r2+5r的定义域为.
又S=－r2+5r=－2+且r=∈，
∴当r=时，S最大=.又S＞－52+5×5=0，
∴S=－r2+5r，r∈的值域为（0，］.。