数学模型-层次分析法的若干问题
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
(完整版)数学建模之层次分析法
层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。
（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。
（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。
1.模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。
（1）公司选拔人员，（2）旅游地点的选取，（3）产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5）煤矿安全研究，（6）城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。
2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层准则层方案层目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
通常只有一个总目标。
准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。
方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。
通常有几个方案可选。
注意：（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。
这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。
当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。
②构造判断（成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比a重要程度的衡量用Santy的1—9较。
数学建模方法之层次分析法
-89-数学建模方法之层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计和分析的数据，都是客观真实的；2、在考虑影响毕业生就业的因素时，假设我们所选取的样本为简单随机抽样，具有典型性和普遍性，基本上能够集中反映毕业生就业实际情况；3、在数据计算过程中，假设误差在合理范围之内，对数据结果的影响可以忽略.三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入，经济转轨加速，社会转型加剧，受高校毕业生总量的增加，劳动用工管理与社会保障制度，劳动力市场的不尽完善，以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响，如今的毕业生就业形势较为严峻.为了更好地解决广大学生就业中的问题，就需要客观地、全面地分析和评价毕业生就业的若干主要因素，并将它们从主到次依秩排序.针对不同专业的毕业生评价其就业情况，并给出某一专业的毕业生具体的就业策略.2、方法模型的建立 （1）层次分析法层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题.特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重.这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.我们现在主要对各个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用美国运筹学家T.L.Saaty 教授提出的AHP 法. （2）具体计算权重的AHP 法AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量k W .Step1. 构造成对比较矩阵 假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C 对上一层因素ο的影响，每次两个因素i C 和j C ，用ij C 表示i C 和j C 对ο的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵C ，也叫正互反矩阵.*()k k ij C C =， 0ij C >，1ij jiC C=， 1ii C =.若正互反矩阵C 元素成立等式：* ij jk ik C C C = ，则称C 一致性矩阵.标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29i C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数Step2. 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ，其中的ikq 就是i C 对ο的相对权重.由特征方程A-I=0λ，利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ和相应的特征向量.Step3. 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ：max 1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值，式中k 正互反矩阵的阶数，CI 越小，说明权重的可靠性越高.2）平均随机一致性指标RI ，下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标:3）当0.1CR RI=<时，（CR 称为一致性比率，RI 是通过大量数据测出来的随机一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵.进入Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵.转入Step2. Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量.计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重，这样一来，我们就可以按权重大小将进行排序了.（3）组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态，能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息，显然也是矩阵数学模型的重要应用价值. 因素往往是有层次的，我们经常在进行决策分析时，要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究，把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的.一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等，而每个这种因素又有新的成份在里面.这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在.定理1：对于三决策问题，假设第一层只有一个因素，即这是总的目标，决策总是最后要集中在一个总目标基础之上的东西，然后才能进行最后的比较.又假设第二层和第三层因素各有n 、m 个，并且记第二层对第一层的权向量（即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果）为：(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =， 而第3层对第2层的全向量分别是：(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =，这表示第3层的权重大小，具体表示的是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标.那么显然，第三层的因素相对于第一层的因素而言，其权重应当是：先构造矩阵，用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=，这个矩阵的第一行是第3层次的m 个因素中的第1个因素，通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重，故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑，从而可以统一表示为：(1)(3)(2)wWw=，它的每一行表示的就是三层（一般是方案层）中每一个因素相对总目标的量化指标.定理2：一般公式如果共有s 层，则第k 层对第一层（设只有一个因素）的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==，其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素，相对于第1k -层中每个因素的权向量；而列向量 (1)k w-则表示的是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量.于是，最下层对最上层的的组合权向量为：()()(1)(3)(2)s s s wWWW w-=，实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算.逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量. （4）灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要是对系统动态发展过程的量化分析，它是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间接近的程度，实质上就是各评价对象与理想对象的接近程度，评价对象与理想对象越接近，其关联度就越大.关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序，即评价对象与理想对象接近程度的先后次序，其中关联度最大的评价对象为最优.因此，可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较.利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下：1)用表格方式列出所有被评价对象的指标.2)由于指标序列间的数据不存在运算关系，因此必须对数据进行无量纲化处理.3)构造理想对象，即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值.4)计算指标关联系数.其计算公式为：min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆，max()()maxmaxiikk k x x =-∆，()ik ∆=0()()ik k x x -，1,2,i n =，1,2,k m =.式中n 为评价对象的个数；m 为评价对象指标的个数；()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数；A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最小绝对差中的最小值；max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最大绝对差中的最大值；min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差.ρ为分辨系数，ρ越小分辨力越大，一般ρ的取值区间[0,1]，更一般地取ρ=0.5.5)确立层次分析模型.6)确定判断矩阵，计算各层次加权系数及加权关联度，加权关联度的计算公式为：()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度，kω为第k 个指标的权重.7)依加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，建立评价对象的关联序，从而可以得出关联度较大的对象，关联度越大其综合评价结果也越好. （5）线性回归分析法假如对象（因变量）y 与p 个因素（自变量）12,,,p x x x 的关系是线性的，为研究他们之间定量关系式，做n 次抽样，每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y y它们是在因素(1,2,,)i i p x =数值已经发生的条件下随机发生的.把第j 次观测的因素数值记为：12,,,jjpj x xx （1,2,j n =）那么可以假设有如下的结构表达式：1111011212201213011p pp pn nppy x x y x x y x xβββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩其中，01,,,pβββ是1p +个待估计参数，12,,,n εεε是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量.这就是多元线性回归的数学模型.若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212111p p n n np x xx x x x x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式：y x βε=+在实际问题中，我们得到的是实测容量为n 的样本，利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计，得到的估计方法称为多元线性回归方程，记为011p p y b b x b x =+++式中，012,,,,p b b b b 分别为01,,,pβββ的估计值.（6）主成分分析法 1）主成分的定义 设有p 个随机变量12,,,p x x x ，它们可能线性相关，通过某种线性变换，找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z z，称为初始向量的主成分.设12(,,,)Tp αααα=为p 维空间pR 中的单位向量，并记所有单位向量的集合为{}0|1T R ααα==，且记X ＝12(,,,)Tp X X X .2）用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=，**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =.*X=***12(,,)Tp X X X ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为*X 的协方程.类似地，我们可对R 进行相应的分析.3）主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r rr rr X X r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 由特征方程0R I λ-=，求出p 个非负实根，并按值从大到小进行排列：120p λλλ≥≥≥≥.将iλ带入下列方程组，求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==确定m 的方法是使前m 个主成分的累计贡献率达到85％左右. 第二步、利用主成分进行分析在实际分析时，通常把特征向量的各个分量的取值大小和符号（正负）进行对照比较，往往能对主成分的直观意义作出合理的解释.利用主成分可以进行以下分析：a)对原指标进行分类；b)对原指标进行选择；c)对样品进行分类；d)对样品进行排序；e)预测分析.。
【数学建模浅谈层次分析法】
浅谈层次分析法摘要本文主要阐述层次分析法的定义、特点、基本步骤以及它的优缺点。
层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
关键词：层次分析多目标多准则成对比较一致性检验前言数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。
随着社会的发展，电子计算机的出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。
众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。
数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。
从学术的角度来讲，数学建模就是利用数学技术去解决实际问题；从价值的角度来讲，数学建模是一个思维过程，它是一个解决问题的过程（创新），更是一个升华理论方法的过程（总结）；从哲学的角度来讲，数学建模是认识世界和改造世界的过程。
1 数学建模过程和技巧数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象，提炼出数学模型；然后运用数学方法和计算机工具等，得到数学上的解答；再把它反馈到现实问题，给出解释、分析，并进行检验。
若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践；否则就再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。
构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤：⑴模型准备在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。
层次分析模型简介及例题
λ (3) m
3.006 3.002 3 3.009 3
CI(3) 0.003 0.001 0 0.005 0
CR(3)
RI(3)
0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
0.019
再谈层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
w( 2 )
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm
w(3) k
(w(3) k1
,
,
w(3) km
)T
,
k
1,2,
,n
构造矩阵
W (3)
[w(3) 1
,
,
w(3) n
]
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
的权向量为 w( 2)
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2
1/ 5 1/ 2 1
数学建模中的 层次分析法
层次分析法简介
• 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪 70年代提出的一种决策方法。它是将半 定性、半定量问题转化为定量问题的有 效途径，它将各种因素层次化，并逐层 比较多种关联因素，为分析和预测事物 的发展提供可的定量依据。
层次分析法AHP (Analytic Hierarchy Process)
m
a jCI j
CR
j 1 m
a j RI j
j 1
类似地，当 CR<0.1时，认为层次总排序结果具有满 意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
w W w (3)
(3) (2)
第s层对第1层的组合权向量
w W W W w (s)
( s ) ( s1)
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
• 便于定性到定量的转化：
尺度 aij
1 2 34
Ci
:
C
的重要性
j
相同
稍强
5 6 78 9 强 明显强 绝对强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤
成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
层次分析法数学建模范例
对学生建模论文的综合评价分析摘要本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。
首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。
其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判.最后,依据所得权重大小对论文排序。
针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。
依据数学建模竞赛论文评分基本原则,首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。
其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。
最后,结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。
针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。
在用模糊综合评判方法时，确定评估数据（评判矩阵）和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时,我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重；对于评判矩阵，我们通过对五篇论文进行评阅打分（用平均分数作为每项得分），用每一项得分占五篇论文该项得分的比重（商值法）,建立评价矩阵。
最终，我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4,论文2，论文1，论文5,论文3。
并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。
关键词：层次分析法；模糊综合评判；统计分析：matlab编程；论文评价一、问题重述数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
层次分析法的原理
层次分析法的原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策的数学模型。
它由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出，被广泛应用于各个领域的决策分析中。
层次分析法基于人们在决策过程中常常需要考虑多个因素及其相对重要性的观点，通过对这些因素进行定量化和比较，帮助决策者做出理性决策。
层次分析法的原理主要包括层次结构、成对比较和权重计算三个部分。
一、层次结构：在层次分析法中，我们首先需要构建一个层次结构，将决策问题划分为不同的层次。
层次结构由目标层、准则层、子准则层和方案层组成。
目标层：决策问题的最终目标，通常只有一个。
准则层：实现目标所需的准则或评价指标，可以有多个。
子准则层：对每个准则进行细分或进一步评价的子指标，根据实际情况确定是否需要。
方案层：候选方案或决策选项，可以有多个。
二、成对比较：通过成对比较来确定各个层次之间的重要性或优先级。
成对比较是指将两个层次中的元素逐一配对，并根据它们之间的重要性进行比较。
在成对比较中，使用1-9的数值尺度，其中1表示相等重要，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
通过比较各个元素对的重要性，可以建立一个判断矩阵。
例如，在准则层中，假设有三个准则A、B、C，那么我们需要进行三次成对比较，得到一个3x3的判断矩阵。
同样，在子准则层或方案层中，也需要进行成对比较，得到相应的判断矩阵。
三、权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到各个层次的权重，用于确定决策的最终结果。
特征向量是指矩阵的一个列向量，使得该矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘特征向量。
通过对判断矩阵的特征向量进行归一化处理，可以得到各个层次的权重，用于计算总体权重或方案的优先级。
最后，根据权重计算的结果，可以得到最优的决策选择。
层次分析法的原理基于多个准则、多个层次的权重计算，旨在帮助决策者以合理的方式处理决策问题，并提供一种定量化的决策分析方法。
层次分析法(详细)
1
1/5 1/3 2 6.53
5
1 3 3 20
3
1/3 1 1 7.33
1/2
1/3 1 1 3.83
B
p1 p2
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13
p3
p4 p5 p6
0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13
3
1
1
和积法具体计算步骤：
o将判断矩阵的每一列元素作归一 化处理，其元素的一般项为：
bij= bij 1nbij
(i,j=1,2,….n)
B
p1 p2
p1 1 1
p2 1 1
p3 1 2
p4 4 4
p5 1 1
p6 1/2 1/2
p3
p4 p5 p6
1
1/4 1 2 6.25
1/2
1/4 1 2 5.75
层次分析法（AHP）特点： 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； 分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
层次分析法（AHP）特点： 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 物流系统规划与评价、地区经济发 展方案比较、科学技术成果评比、 资源规划和分析以及企业人员素质 测评。
层次分析法（AHP）具体步骤： 建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次 某单元（元素），本层次与它有关 单元之间相对重要性的比较。一般 取如下形式：
Cs
p1 b11 b21 … … bn1
关于层次分析法的例题与解
旅游业发展水平评价问题摘要为了研究比较两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平，建立层次分析法]3[数学模型，对两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平进行了评价.首先，通过对题目中的图1、表1进行了分析与讨论，根据层次分析法，建立了目标层A、准则层B和子准则层C、方案层D四个层次，通过同一层目标之间的重要性的两两比较，得出判断矩阵,利用]1[MATLAB编程对每个判断矩阵进行求解.其次,用MATLAB软件算出决策组合向量，再比较决策组合向量的大小，由“决策组合向量最大”为目标,得出城市Y的决策组合向量为0.4325，城市Q组合向量为0.5675.最后，通过城市Q旅游业发展水平与旅游城市Y旅游业发展水平的决策组合向量比较，得出城市Q的旅游业发展水平较高.关键词层次分析法MATLAB旅游业发展水平决策组合向量1.问题重述本文要求分析QY,两个旅游城市旅游业发展水平,并且给出了两个城市各方面因素的对比，如城市规模与密度，经济条件，交通条件，生态环境条件，宣传与监督，旅游规格，空气质量，城市规模，人口密度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP，外贸依存度，市内外交通，人均拥有绿地面积，污水集中处理率，环境噪音，国内外旅游人数，理赔金额，立案数量，A级景点数量，旅行社数量，星级饭店数量.建立数学模型进行求解.2.问题分析本文要求分析QY,两个城市的分析Y,两个旅游城市旅游业发展水平，在对Q中，发现需要考虑因素较多，第一、城市规模与密度，包括城市规模与人口密度.第二、经济条件，包括外贸依存度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP.第三、交通条件，包括市内外交通.第四，生态环境条件包括空气质量，人均绿地面积，污水处理能力，环境噪音.第五、宣传与监督，包括国内外旅游人数，游客投诉立案件数.第六、旅游规格，包括A级景点个数，旅行社个数，星级饭店个数，这就涉及到层次分析法来估算各个指标的权重，评出最优方案.具体内容如下：（1）本文选择了对QY,两个旅游城市旅游业发展水平有影响的19个指标作为评价要素,指标规定如下：城市规模：城市的人口数量.人口密度：单位面积土地上居住的人口数.是反映某一地区范围内人口疏密程度的指标.人口影响城市规模.人口密度越大城市规模也就越大.人均GDP：即人均国内生产总值.人均城建资金：即用于城市建设的资金总投入.第三产业增加值：增加值率指在一定时期内单位产值的增加值.即第三产业增加值越高越能带动城市经济的发展.税收GDP：税收是国家为实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定，通过税收工具强制地、无偿地征收参与国民收入和社会产品的分配和再分配取得财政收入的一种形式.外贸依存度：即城市对于外贸交易的依赖程度.市内交通：即城市市区交通情况.市外交通：即城市郊区交通情况.市内交通与市外交通对于城市交通条件具有同等的重要性.空气质量：即城市总体空气质量情况.空气质量越好对于城市生态环境就越好.人均绿地面积：即反应城市绿化面积以及人口密度的比值关系.污水处理能力：城市污水处理水平.环境噪音：城市环境噪音情况.国内外旅客人数：国内外来旅客一年总人数.人数越多说明宣传与监督就越好.理赔金额：即立案后需要赔付的资金数.立案件数：即在旅游时发生违法事件后公安部立案的件数.A 级景点数量：即A 级景点的个数.A 级景点越多,越能带动旅行社数量以及星级饭店数量,则旅游规格越大.旅行社数量：即旅行社的个数.星级饭店数量：即星级饭店在旅游景点的个数.（2）用层次分析法建立模型，根据判断矩阵，利用MATLAB 软件，算出每个判断矩阵的特征向量W 、最大特征根c 、一次性指标CI ，再结合随机一次性指标，得出每个指标的特征向量.（3）用（2）得出的数据，运用MATLAB 软件算出两个城市的决策组合向量，做比较.3.模型假设1.假设两个城市Q 、Y 的人口流动不大.2.假设两个城市Q 、Y 的各项指标短期内不会发生太大的改变.4.符号说明A : 表示目标层；j B : 表示准则层第j 个指标的名称)6,,2,1( =j ；i C : 表示子准则层第i 个指标的名称()19,,2,1 =i ； q D : 表示方案层第q 个指标的名称()2,1=q ；1w : 表示准则层对目标层的特征向量组成的矩阵； 2w : 表示子准则层对准则层的特征向量组成的矩阵； 3w : 表示方案层对子准则层的特征向量组成的矩阵；CI : 表示一次性指标；CR : 表示随机一次性指标； Z : 表示决策组合向量.5.模型建立与求解5.1 根据层次分析法分析以及题目中的图1可以建立如下表5-1的层次分析结构，并构造两两比较判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层元素B 为准则层，所支配的下一层元素为1C ……19C ，要确定元素1C ……n C 对于准则层B 相对的重要性即权重，可分为两种情况：（1）如果1C 2C ……n C 对B 的重要性可定量，其权重可直接确定； （2）如果问题复杂，1C 2C ……n C 对B 的重要性无法直接定量，而是一些定性的，确定权重用两两比较方法.（3）其方法是，对于准则层C ，元素i C 和j C 哪一个更重要，重要多少，按1-9比例标度对重要性程度赋值.表5-2中列出了1-9标度的含义.对于准则B ，n 个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵P =()mxn ij P ，表示其中ij P 表示i P 和j P 对B 的影响之比，显然ij P >0，ij P =ijP 1，ij P =1，由ij P 的特点，P 称为正互反矩阵.通过两两判断矩阵用方根法求出他们的最大特征根和特征向量，求法如下： 1. 判断矩阵每一行元素的乘积，其中ij n1j 1p m =∏=，i =1,2…,n .2. 计算i m 的n 次方根_i w ，_i w =n i m .3. 对向量Tn w w w ⎪⎭⎫ ⎝⎛=__1,...,归一化，即∑==n j ji w 1__i w w ，则Tn w w w ⎪⎭⎫⎝⎛=__1,.为所求的特征向量.4. 计算判断矩阵的最大特征跟max λ，()∑==n1max i iinw pw λ，式中()i pw 表示pw 的第i 个元素.5. 定义⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1max n n CI CI λ为矩阵A 的一致性指标，为了确定A 的不一致性程度的容许范围，需要找出衡量A 的一致性指标CI 的标准.引入随机一致性指标RI .平均随机一致性指标RI 是这样得到的；对于固定的n ，随机构造正互反矩阵A ，其中ij a 是从1，2，……9,91......31,21中随机抽取的，这样的A 是最不一致的，取充分大的样子（500个样本）得到A 的最大特征跟的平均值max λ，定义⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1max n n RI λ，对于不同的n 得出随机一致性指标RI 的数值如下表5-3表中n =1,2时RI =0，是因为1,2阶的正互反矩阵总是一致阵.令RICICR =，称CR 为一致性比率，当CR <0.1时，本文认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性.最后通过计算得出下表5-4（其中n B 表示准则层的特征向量中的第n 个数值，in C 表示指标层的特征向量第n 个准则对第j 个指标的数值）层次总排序一致性检验的方法j n1CI c CI j j ∑==j n 1c RI RI j j ∑==RICI CR =若1.0CR时，所以认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断.矩阵，使之具有满意的一致性.5.2根据层次分析法求出各个指标的权重依据题目中的表1分析，对本题做出其中一种假设：（1）经济条件和交通条件重要性相当，生态环境条件最重要，旅游规格、宣传与监督、城市规模与密度依次次之.（2）在城市规模与密度中，城市人口比人口密度重要一点.（3）在经济条件中，第三产业增加值GDP第一重要，其次是人均GDP，税收GDP、外贸依存度、人均城建资金依次次之.（4）在交通条件中，市内交通和市外交通的重要性相当.（5）在生态环境条件中，空气质量第一重要，其次是人均绿地面积，污水处理能力、环境噪音依次次之.（6）在宣传与监督中，国内外旅游人数第一重要，理赔金额、游客投诉立案件数重要性相当.（7）在旅游规格中，A级景点个数第一重要，星级饭店个数、旅行社个数依次次之.（8）对于城市规模，城市Q比城市Y的重要性小一些；对于人口密度，城市Y比城市Q的重要性明显重要；对于人均GDP，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于人均城建资金，城市Q比城市Y的重要性稍微重要；对于第三产业增加值GDP，城市Q比城市Y的重要性小一些；对于税收GDP，城市Q比城市Y的重要性稍小一点；对于外贸依存度,城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于市内交通，城市Y比城市Q的重要性稍重要一点；对于市外交通，城市Y比城市Q的重要性比稍重要小一点；归于空气质量，城市Q比城市Y的重要性相当；对于人均绿地面积，城市Y比城市Q的重要性稍重要；对于污水处理能力，城市Y比城市Q的重要性稍重要一些；对于环境噪音，城市Q比城市Y的重要性相当；对于国内外旅游人数，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于理赔金额，城市Q比城市Y的重要性稍重要一些；对于游客投诉立案件数，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于A级景点个数，城市Y比城市Q的重要性稍重要小一些；对于旅行社个数，城市Y比城市Q的重要性稍重要小一些；对于星级饭店个数，城市Q比城市Y的重要性相当.根据上述分析，按1-9比例标度对准则层对目标层、子准层对准则层、目标层对子准则层的重要程度进行赋值，构造准则层对目标层的判断矩阵、子准则层对准则层的判断矩阵、方案层对子准则层的判断矩阵.准则层()6,,2,1 =j B j 对目标层A 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12312121321141313123412252321114232111431215141411A 利用MATLAB 软件(附录1)求得 最大特征值0719.6m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1219.00753.03422.02057.02057.00492.01w一致性检验比率1.00116.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层21,C C 对准则层1B 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=131311B利用MATLAB 软件(附录2)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 子准则层76543,,,,C C C C C 对准则层2B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121412312131321431522131511413221412B 利用MATLAB 软件(附录3)求得 最大特征值0681.5m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0973.01599.04185.00618.02625.0w一致性检验比率1.00152.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层98,C C 对准则层3B 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11113B 利用MATLAB 软件(附录4)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 子准则层13121110,,,C C C C 对准则层4B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1121311121312212133214B 利用MATLAB 软件(附录5)求得最大特征值0104.4m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1409.01409.02628.04554.0w 一致性检验比率1.00038.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层161514,,C C C 对准则层5B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1221211212215B 利用MATLAB 软件(附录6)求得最大特征值0536.3m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3108.01958.04934.0w 一致性检验比率1.00462.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层191817,,C C C 对准则层6B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1221211312316B 利用MATLAB 软件(附录7)求得最大特征值0092.3m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2970.01634.05396.0w 一致性检验比率1.00079.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.方案层对子准则层的判断矩阵 方案层21,D D 对子准则层1C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122111C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层2C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=155112C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=1667.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层3C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=133113C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层4C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=144114C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层5C 的判断矩阵：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122115C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=3333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层6C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=133116C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层7C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=141417C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层8C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=155118C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=8333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层9C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122119C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层10C 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111110C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层11C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1313111C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7500.02500.0w因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层12C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1414112C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2000.08000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层13C 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111113C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层14C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331114C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.2115⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1441115C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层16C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331116C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层17C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331117C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.2118⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1221118C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子19C 的判断矩阵： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111119C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 通过准则层()6,,2,1 =j B j 对目标层A 的判断矩阵、子准则层()19,,2,1 =i C i 对准则层()6,,2,1 =j B j 的判断矩阵得出特征向量，建立层次总表5-5层次总排序一致性检验如下:0073.061==∑=j j j CI B CI65274.0j 61j j ==∑=RI B RI0111.065274.00073.0===RI CI CR 由于1.00111.0<=CR ,所以认为层次总排序的结果具有满意的一致性，因此不需要重新调整判断矩阵的元素取值.5.3 利用MATLAB 进行决策组合向量的运算（附录9）⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⋅⋅=Tw w w Z 2970.0001634.0000005396.00000003108.0000001958.0000004934.00000001409.0000001409.0000002628.0000004554.00000005000.0000005000.00000000973.0000001599.0000004185.0000000618.0000002625.00000002500.0000007500.0132⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5000.05000.06667.03333.06667.03333.02500.07500.08000.02000.02500.07500.05000.05000.02000.08000.07500.02500.05000.05000.06667.03333.01667.08333.08000.02000.02500.07500.06667.03333.02000.08000.02500.07500.08333.01667.03333.06667.0⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅1219.00753.03422.02057.02057.00492.0 Z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5675.04325.0 比较Z 值大小可知，12Z Z >,表明城市Q 的旅游发展也水平最高，城市Y 的旅游业发展水平次之，所以城市Q 的旅游发展也水平高.6模型的评价优点：(1) 本文选择了计算比较简单的层次分析法，经过计算得到了相应的综合发展旅游业的估计值，为城市旅游业的发展提供了依据.(2) 使用了MATLAB 软件，减少了计算工作量，大大降低了运算的困难.缺点：判断的结果具有一定的主观性，不能比较切实的结合当地的具体情况，做出科学的决策方案.7参考文献[1] 姜启源等，数学建模（第四版）北京:高等教育出版社.2011年[2] 马莉，数学实验与建模，北京:清华大学出版2010年[3] 王莲芬，层次分析法引论，北京:中国人民大学出版社，1990年附录：附录1x=[1 1/4 1/4 1/5 1/2 1/3;4 1 1 1/2 3 2;4 1 1 1/2 3 2;5 2 2 1 4 3;2 1/3 1/3 1/4 1 1/2;3 1/2 1/2 1/3 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-6)/5 %一致性指标CR=CI/1.24 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =6.0719W =0.04920.20570.20570.34220.07530.1219B =0.04670.21410.21410.29180.08810.1452CI =0.0144CR =0.0116C =0.2146附录2：>> x=[1 3;1/3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250附录3：x=[1 4 1/2 2 3;1/4 1 1/5 1/3 1/2;2 5 1 3 4;1/2 3 1/3 1 2;1/3 2 1/4 1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-5)/4 %一致性指标CR=CI/1.12 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =5.0681W =0.26250.06180.41850.15990.0973B =0.27340.05940.36640.18730.1135CI =0.0170CR =0.0152C =0.2698附录4：x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000附录5：x=[1 2 3 3;1/2 1 2 2;1/3 1/2 1 1;1/3 1/2 1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-4)/3 %一致性指标CR=CI/0.90 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =4.0104W =0.45540.26280.14090.1409B =0.43950.27870.14090.1409CI =0.0035CR =0.0038C =0.3131附录6：x=[1 2 2;1/2 1 1/2;1/2 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-3)/2 %一致性指标CR=CI/0.58 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =3.0536W =0.49340.19580.3108B =0.46060.18790.3515CI =0.0268CR =0.0462C =0.3733附录7：x=[1 3 2;1/3 1 1/2;1/2 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-3)/2 %一致性指标CR=CI/0.58 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =3.0092W =0.53960.16340.2970B =0.51990.16200.3181CI =0.0046CR =0.0079C =0.4015附录8：% 目标层Q,Y对子准则层C1的赋值>> x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C2的赋值x=[1 5;1/5 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.83330.1667B =0.83330.1667CI =CR =NaNC =0.7222End% 目标层Q,Y对子准则层C3的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C4的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.80000.2000B =0.80000.2000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C5的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.66670.3333B =0.66670.3333CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C6的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C7的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.20000.8000B =0.20000.8000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C8的赋值x=[1 5;1/5 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.16670.8333B =0.16670.8333CI =CR =NaNC =0.7222End% 目标层Q,Y对子准则层C9的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C10的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =NaNC =0.5000% 目标层Q,Y对子准则层C11的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.25000.7500B =0.25000.7500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C12的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =W =0.80000.2000B =0.80000.2000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C13的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000% 目标层Q,Y对子准则层C14的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C15的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.20000.8000B =0.20000.8000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C16的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C17的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C18的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C19的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000附录9：% 最终组合权向量：x=[0.75 0 0 0 0 0;0.25 0 0 0 0 0;0 0.2625 0 0 0 0;0 0.0618 0 0 0 0;0 0.4185 0 0 0 0;0 0.1599 0 0 0 0;0 0.0973 0 0 0 0;0 0 0.5 0 0 0;0 0 0.5 0 0 0;0 0 0 0.4554 0 0;0 0 0 0.2628 0 0;0 0 0 0.1409 0 0;0 0 0 0.1409 0 0;0 0 0 0 0.4934 0;0 0 0 0 0.1958 0;0 0 0 0 0.3108 0;0 0 0 0 0 0.5396;0 0 0 0 0 0.1634;0 0 0 0 0 0.2970]x =0.7500 0 0 0 0 00.2500 0 0 0 0 00 0.2625 0 0 0 00 0.0618 0 0 0 00 0.4185 0 0 0 00 0.1599 0 0 0 00 0.0973 0 0 0 00 0 0.5000 0 0 00 0 0.5000 0 0 00 0 0 0.4554 0 00 0 0 0.2628 0 00 0 0 0.1409 0 00 0 0 0.1409 0 00 0 0 0 0.4934 00 0 0 0 0.1958 00 0 0 0 0.3108 00 0 0 0 0 0.53960 0 0 0 0 0.16340 0 0 0 0 0.2970y=[0.0492;0.2057;0.2057;0.3422;0.0753;0.1219]y =0.04920.20570.20570.34220.07530.1219z=x*y运算结果：z =0.03690.01230.05400.01270.08610.03290.02000.10290.10290.15580.08990.04820.04820.03720.01470.02340.06580.01990.0362a=[0.3333 0.8333 0.75 0.2 0.3333 0.75 0.2 0.1667 0.3333 0.5 0.25 0.8 0.5 0.75 0.2 0.75 0.3333 0.3333 0.5;0.6667 0.1667 0.25 0.8 0.6667 0.250.8 0.8333 0.6667 0.5 0.75 0.2 0.5 0.25 0.8 0.25 0.6667 0.6667 0.5]a =Columns 1 through 70.3333 0.8333 0.7500 0.2000 0.3333 0.7500 0.20000.6667 0.1667 0.2500 0.8000 0.6667 0.2500 0.8000Columns 8 through 140.1667 0.3333 0.5000 0.2500 0.8000 0.5000 0.75000.8333 0.6667 0.5000 0.7500 0.2000 0.5000 0.2500Columns 15 through 190.2000 0.7500 0.3333 0.3333 0.50000.8000 0.2500 0.6667 0.6667 0.5000c=a*z运算结果：c =0.43250.5675。
评价模型——精选推荐
评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
层次分析法-数学建模
步骤5 层次总排序即求各方案的综合得分
前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单
层次排序。不妨设准则层权向量W (w1, w2,L , wn )，T 而方案层有 l
个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为 1, 2,L , l 。那么 每个方案对最终目标的影响程度(C1,C2,L ,Cl )T 就可以通过下面的 式子算出来了。
合理分配企业利润
准则层 调动积极性 提高企业质量 改善生活条件
方案层 发奖金 扩展福利设施 引进人才和设备
在层次划分及因素选取时，我们要注意三点：
（1）上层对下层有支配作用；
（2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；
（3）每层因素一般不要超过9个。 （心理学家通过实验认为，人对许多东西优劣及优劣 程度判断能力，最多大致在9个以内，超过这个范围就 会判断失真。例如，人们在面对琳琅满目的商品常常会 眼花缭乱，难以抉择。）
23
9
重要性
xi比 x j 相同 稍重要 重要
绝对 很重要 重要
aij
1
3
5
7
9
在每两个等级之间有一个中间状态， aij 可分别 取值 2 , 4 ,L , 8 。
例如：评价电影的好坏
目标层
评价
准则层 娱乐性 x1 艺术性 x2 教育性 x3
方案层 电影1
电影2
……
这
个人认为：
x1 : x2 3
层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手 段。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用 数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七 十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。
数学建模方法及其应用
一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理1层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和n n C C ,,1 O i C j C ij a i C 对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵j C O 表示，称为正互反矩阵．()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=A 一般地，如果一个正互反阵满足：A （1）,ij jk ik a a a ⋅=,,1,2,,i j k n = 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质：A n A ①的秩为1，的唯一非零特征根为；A A n ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量．A n 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表n示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的n C C ,,1 O A 容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足：A λw w （2）Aw w λ=直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,A ij a ij a 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．A 2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty 等人提出的尺i C j C O 91-度，即的取值范围是及其互反数．ij a 9,,2,1 91,,21,1 3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其λ不一致程度应在容许范围内．若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以n n n A n λ≥n λ=A 比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值λn A n λ-的大小衡量的不一致程度．Saaty 将A3(3)1nCI n λ-=-定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等0CI =A CI A A n 于，所以相当于除外其余个特征根的平均值．n CI λ1n -为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指A A CI 标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标．RI RI n A 'A 'CI 表1 随机一致性指标的数值RI 表中时，是因为阶的1,2n =0RI =2,1正互反阵总是一致阵．对于的成对比较阵，将它3n ≥A 的一致性指标与同阶（指相同）CI n 的随机一致性指标之比称为一致性比率，当RI CR (4)0.1CICR RI=<时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．A 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已A 有的进行修正．A n1234567891011RI00．580．901．121．241．321．411．451．491．514． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足：s k 1 （5）()()()1,3,4,k k k w W w k s -== 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:()k W k 1k - （6）()()()()()132sss w W W W w -= 5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致p ()()p n p CI CI ,,1 n 1-p 性指标为，定义()()1,,p p n RI RI ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第层的组合一致性比率为:p5(7)()()(),3,4,,pp p CI CRp s RI== 第层通过组合一致性检验的条件为．p ()0.1p CR <定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为：s (8)()2*sP p CR CR ==∑对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．*CR 层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有个因素，最下层通常为1方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一19步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成2对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．91-(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵．CR(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1对于正矩阵（的所有元素为正数）A A1）的最大特征根是正单根；Aλ2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；λwω73），其中，是对应的归一化特征向量．w IA I I A k k k =T ∞→lim ()T=1,1,1 I w λ定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵．n A n λ≥n λ=A 定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根．n A A n λ=2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．(1) 幂法 步骤如下：a ．任取维归一化初始向量n ()0w b ．计算()()1,0,1,2,k k wAw k +== c ．归一化,即令()1k w+ ()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd ．对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回bε()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= ()1k w +e.计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑9这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果．()0w (2) 和法 步骤如下：a.将的每一列向量归一化得A 1nij ij iji a aω==∑ b ．对按行求和得ij ω1ni ij j ωω==∑ c ．将归一化即为近似特征向量．i ω()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ d.计算，作为最大特征根的近似值．()11n ii iAw n λω==∑这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量．A A (3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对按行求积并开次方，即．根法是将和法ij ω n 11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ 中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量A ij a ()T =n w ωω,,1 iij ja ωω=A的选择应使得与相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题：w ij a ijωωw (9)()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，i ω计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：(10)()21,,11min ln ln i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 则化为求解关于的线性方程组．可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果．ln i ωi ω特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？11一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令()ij A a =()ij Aa = ,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i j m m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数,(11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵．θA A (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价2食品维生素A/(IU/g)维生素B/(mg/g)热量/(kJ/g)单价/（元/g ）肉面包蔬菜0.3527250.00210.00060.002011.9311.511.040.02750.0060.0.007该人体重为kg，每天对各类营养的最低需求为：55维生素A 国际单位 (IU)7500维生素B mg1.6338热量 R kJ8548.5考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构②根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵13W D ED 13E311，，，主特征向量max 2λ=10CI =100.1CR =<()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=表4 比较判断矩阵D ABR A 112B 112R5.05.01，主特征向量111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ====()0.4,0.4,0.2W T=故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为,()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出的总权重E15为：()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始W 的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化食品维生素A维生素B 热量R单价F肉0.0139 0.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为：，结果表明，按这个人的偏好，肉、()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==面包和蔬菜的比例取较为合适．引入参数变量，令，，，0.2376:0.2293:0.533110.2376x k =20.2293x k =30.5331x k =代入()1LP 123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得kf 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得，故得最优解；最优值，即肉g ，面1418.1k =()*336.9350,325.1650,755.9767x T=*16.4497f =336.94g ，蔬菜g ，每日的食品费用为元．325.17755.9816.45总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容一一一研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；一一一研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；一一一研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是17用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量,其中， ，为()12,,,m b b b b =01j b <<m 可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当时，最大隶属原则最有效；而在11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑()1max 01,j j nb c c ≤≤=<<时，最大隶属原则完全失效，且越大（相对于而言），最大隶属原则也越有效．由此可1njj bnc ==∑1max j j nb ≤≤1njj b=∑19认为，最大隶属原则的有效性与在中的比重有关，于是令：1max j j nb ≤≤1njj b=∑ (12)11max njjj nj b bβ≤≤==∑显然，当时，则为的最大值，当, 时，有为11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑1β=β()1max 01j j nb c c ≤≤=<<1nj j b nc ==∑1n β=的最小值，即得到的取值范围为:．由于在最大隶属原则完全失效时，而不为，所以不宜ββ11n β≤≤1n β=0直接用值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：β (13)()()11111n n n n βββ--'==--则可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与（的含义是β'j n j b ≤≤1sec j nj b ≤≤1sec 向量各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：b (14)11sec njjj nj b bγ≤≤==∑可见： 当时，取得最大值．()1,1,0,0,,0b = γ12当时，取得最小值．()0,1,0,0,,0b = γ0即的取值范围为，设．一般地，值越大最大隶属原则有效程度越高；而值越大，γ012γ≤≤()02120γγγ-'==-β'γ'最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：(15)()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫===⎪'--⎝⎭使用指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．α2. 指标的使用α从指标的计算公式看出与成反比，与成正比．由与的取值范围，可以讨论的取值范围：ααγββγα当取最大值，取最小值时，将取得最小值；γβα0当取最小值，取最大值时，将取得最大值：因为 ，所以可定义时，．即：γβα0limγα→=+∞0γ=α=+∞．0α≤<+∞由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当时，可认为α=+∞1α≤<+∞施行最大隶属原则非常有效；当时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为值；当0.51α≤<α21时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测00.5α<<0α=量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级．讨论a ． 在很多情况下，可根据值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算值．根据与βαα之间的关系，当，且时，一定存在．通常评价等级数取和之间，所以这一条件往往β0.7β≥4n >1α>494n >可以忽略，只要就可免算值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．0.7β≥αb ． 如果对进行归一化处理而得到，则可直接根据进行最大隶属原则的有效度测量．()12,,,m b b b b = b 'b '(四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设是一个带出发点和收点的容量-费用网络，(),,,D V A c ω=s v t v 对于任意，表示弧上的容量，表示弧上通过单位流量的费用，是给定的非负数，问(),i j v v A ∈ij c (),i j v v ij ω(),i j v v 0v 怎样制定运输方案使得从到恰好运输流值为的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路s v t v 0v的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从到运送的流的值恰好为；(2)总运输费用最小;(3)在容量大的弧 上适当多运输．如果仅考虑s v t v 0v ij c (),i j v v 条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：()()()()()()()}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v A v v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑把条件(3)中的“容量大”看作上的一个模糊子集，定义其隶属函数：为：A Aμ[]0,1A →()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中（平均容量）()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑:23()()()()21,21,0,11i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c c -∈-∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎢⎥->⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑::建立是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量大的弧，人为地降低ij μij c (),i j v v 运价，形成“虚拟运价”，其中满足：越大，相应的的调整幅度也越大．选取为，ij ωij ωij ωij c ij ωij ω()1k ij ij ij ωωμ=-．其中是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，取值(),ijv v A ∈k k 越小；当取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的值最好通过使用一定数量的实际数据进k k 行模拟、检验和判断来决定．最后，用代替原模型中的，得到一个新的模型．用现有的方法求解这ij ωM ij ωM '个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一) 灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1． 原始数据初值化变换处理分别用时间序列的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，()k 各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3． 取分辨系数01ρ<<254． 求关联度 ()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1． 灰色预测方法的特点(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为：（1）1-ADO ：对原始数据序列进行一次累加生成序列(){}0k x ()1,2,,k n = ()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =。
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
数学建模的层次分析法
1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学 建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决 实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根 据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解 决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。 例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到 最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的 数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标 体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选 题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范 性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例 如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域， 数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数 学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域 也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究 领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行 科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方 法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。
层次分析法模型
1 aij
，aii 1
某人对选择旅游 地用成对比较法 得到的A
A是正互反阵，要由A确定C1,… , Cn对O的权向量。
成对比较的不一致情况
1 A 2 1/ 2 1 4 7
不一致
a23 7 : 1 (C2 : C3 )
a12 1 : 2 (C1 : C2 ) 一致比较
层次分析法的基本步骤
1.建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2.构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3.计算权向量并作一致性检验和组合一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
同理求出P2，P3，则各方案层对目标的组合权向量为 w(3)=(0.300, 0.246, 0.456)T，结果表明P3占的权重近于1/2, 远大于P1,P2，应为第一选择地。
组合权向量
第2层对第1层的权向量
w
( 2)
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
( w1 , , wn )
4.计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二、层次分析法的广泛应用
例1 国家实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
工作选择
贡 献
收 入
发 展
声 誉
关 系
位 置
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ij
（4）
4
利用（2）式并注意到εij=1，（4）式可化为
1 n
n 1 n i 1 j i 1
( ij
1
) 1
（5）
ij
因为恒有
ij
1
n( n 1) 而（5）式中Σ和号内共 2
2
（6）
项，所以
ij
（5）、（6）给出
n2
（7）
5
此即定理的第1部分。当λ=n时由（5）、（6） 式可知必有
12
（3）根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b ~ 按行求积并开n次方 该为b/.对w ij
~ ( w )1 / n w ij ij
j 1
n
根法是将和法中求列向量的算术平均值该为求 几何平均值。
以上3个方法中以和法最简单。用它计算一 个例子
13
2 6 1 A 1 / 2 1 4 1 / 6 1 / 4 1
i 1
n
~ 按行求和得 b. 将 w ij
~ 归一化 c. 将 w i
n i 1
~ w ~ w i ij
j 1
n
1 2 n T ~ ~ ~ wi wi / wi , w ( w , w , w )
11
即为近似特征向量。 1 n ( Aw) i d. 计算 ，作为最大特征 n i 1 wi 根的近似值。 这个方法实际上是将A的列向量归一化后 取平均值，作为A的特征向量。因为当A为 一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所 以若A的不一致性不严重，则取A的列向量 （归一化后）的平均值作为近似特征向量是 合理的。
wj
wi ( i 1,, n )
min
(ai j
i 1 j 1
n
n
wi wj
)2
（9）
15
由（9）式得到的最小二乘权向量一般与特征根 法得到的不同。但是因为（9）式将导致求解关于 w1的非线性方程组，计算复杂，没有有实用价值。
1
这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在 正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大 小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性 指标为零时，它是否就变为一致阵。下面两个定理 可以回答这些问题。 定理1 对于正矩阵A(A的所有元素为正数）， 1）A得最大特征根是正单根λ； 2） λ对应正特征向量w（w得所有分量为正数）；
ij
ij
1
2
（8）
ij
于是 1 ，由（1）知
wi aij wj
满足一致阵条件（9.1节（4）式），A是一致阵。
6
定理2和9.1节所述的一致阵的性质表明，n阶正互 反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根λ=n。
上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的 理论根据。
7
2、正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法。 众所周知，利用定义计算矩阵的特征根和特征 向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。 另一方面，因为成对比较阵基本上是定义比较的量 化结果，对它做精确计算是不必要的、，所以完全 可以用简便的近似算法计算特征值和特征向量，下 面介绍几种。
Ak e 3） lim k eT A k e
2
其中e=(1,1,…，1）T,w是对应λ的归一化特征向量。 定理1）、2）是著名的Perron（1907）定理的 一部分，3）可以通过将A化为表征证明。 定理2）n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n;当λ=n 时A是一致阵。 [证明] 设A的对应于λ的特征向量为 w=(w1,w2,…，wn),由定理1， λ>n,w>0.不妨将A的 元素aij记做
类向量归一化
0.6 0.615 0.545 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
按行求和
1.760 0.972 0.268
0.587 归一化 0.324 w, 0.089
0.587 Aw 0.974 0.268
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.0098 3 0.587 0.324 0.089
14
精确计算给出w=（0.588，0.322，0.090）T,λ=3.010.二 者相比，相差甚微。
3、为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量 我们知道，当成对比较阵A是一致阵时，aij与 w 权向量w=(w1,…,wn)T得关系满足 aij wi ，那么当 j w A不是一致阵时候，权向量w的选择应使得aij与 i 相差（对所有的i,j)尽量小。这样，如果从拟合的 角度看，确定w可以化为如下的最小二乘问题：
aij
wi ij , i, j 1,2,, n wj
（1）
3
由A的正互反性，
0, 1/
ij ji
ij
（2）
根据特征根和特征向量的定义
w
i
a w , i 1,2,, n
n ij j j 1
（3）
将（1）代入（3）并对i求和得
1 n
n n i 1 j 1
9
e. 计算最大特征根
( k 1) ~ 1 wi (k ) n i 1 wi n 1
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法，其收敛 性由定理1的3）保证。w(0)可任取或取为下面方法 得到的结果。
10
（2）和法 步骤如下
a. 将A的每一列向量归一化得
~ a / a w ij ij ij
8
（1）幂法 步骤如下 a . 任取n维归一化初始向量w(0)
~ b. 计算 w
~ c. w
( k 1 )
ห้องสมุดไป่ตู้( k 1)
aw(k ), k 0,1,2,
归一化，即令
~ ( k 1) w(k 1) w
n i 1
~ ( k 1) w i
d .对于预先给定的精度ε，当 |wi(k+1)-wik| < ε(i=1,2,…，n),w(k+1)即为 所求的特征向量；否则 返回b.
9.3层次分析法的若干问题
层次分析法问世几十年来不仅得到广泛的 应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更 复杂的层次结构等方面都有着很快的发展。本 节将着重从应用的角度分析几个问题。 1、正互反阵最大特征根和对应特征向量的 性质 成对比较阵是正互反阵。在层次分析中用对 应它的最大特征根的特征向量最为权向量，用 最大特征根定义一致性指标进行一致性检验。