高三二诊理科数学word版试题及答案.

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高三第二次调研考试(数学理)Word版

河南省新乡平顶山许昌高三第二次调研考试（数学理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，分别答在答题卡（I 卷）和答题卷（II 卷）上，答在试卷上的答案无效。

第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题1．已知集合I 为实数集，集合2{|20},{|M x x x N x y =-<=-，则()MN =A ．{|02}x x <<B ．{|01}x x <<C ．{|1}x x <D ．φ2．如果复数1m ii ++是纯虚数，那么实数m 等于 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-3．已知双曲线的虚轴长为6，焦点F 到实轴的一个端点的距离等于9，则双曲线的离心率等于A ．53B ．54C ．135D ．13124．函数ln(1)y x =+的反函数的图象为5．设222220121(1)(12)(13)(1)x x x nx a a x a x +++++++⋅⋅⋅++=++，则201lim n a a →∞的值是A ．0B ．12C ．1D ．26．正方体1111ABCD A B C D -中对角线1B D 与平面11A BC 所成的角大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．已知3sin ()52πββπ=<<，且sin()cos αβα+=，则tan()αβ+=A ．1B ．2C ．2-D ．8258．设α、β、γ为平面，l 、m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件为 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,n n m αβα⊥⊥⊥C ．,,m αγαγβγ=⊥⊥D ．,,m αγβγα⊥⊥⊥9．已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．(,]6ππ10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA a =，OB b =，其中(3,1)a =，(1,3)b =。

四川省绵阳南山中学2023届高三二诊热身考试数学(理)试题+Word版含答案

绵阳南山中学高2023届高三“二诊”热身考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M Z =，{}220N x x x =--<，则MN =（）A ．{}1,2B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2- 2．已知i 是虚数单位，复数()22i +的共轭复数虚部为（） A ．4i B ．-4 C ．3 D ．43．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2504．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的2a =，则输入的,a b 可能是（） A ．15,18 B ．14,18 C ．12,18 D ．9,185．已知0b >，直线()2120b x ay +++=与直线210x b y --=互相垂直，则ab 的最小值为（）A ．1B ．2C ．22．236．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．0B ．2-．2D ．-1 7．某学校需要把6名实习老师安排到,,A B C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（） A ． 24 B ．36 C ．48 D ．72 8．以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布()2100,N σ，已知()801000.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分； ②已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；③在[]4,3-上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =+在R 上有零点的概率为37； ④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.其中真命题的序号为（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟10．若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．23,23⎡⎤-+⎣⎦B ．23,32⎡⎤---⎣⎦C ．23,23⎡⎤--+⎣⎦D ．23,23⎡⎤---⎣⎦11．如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()17,0F -的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为（）A ．22551728x y -=B ．2216x y -=C ．2216y x -= D ．22551287x y -=12．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知92a x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为94，则a = ． 14．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且25cos B =，26BD =ABC ∆的最短边的边长为．16．在平面直角坐标系Oxy 中，O 为坐标原点，点()()0,4,0,2A B ，平面向量,,OA OB OC 满足：()()20OC OA OC OB -⋅-=，则对任意0t <的实数和任意满足条件的向量OC ，()11ln 142OC t OA t OB -⋅---⋅⎡⎤⎣⎦的最小值．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在n ∈*N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求λ的取值范围.18． “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.19．已知函数()()3sin f x x ωφ=+0,22ππωφ<⎛⎫>-≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2）若322463f αππα⎛⎫⎛⎫=<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭得值. 20．如图，已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且52MF =. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，()3,2P 为定点，求PAB ∆面积的最大值.21．已知函数()ln 3f x a x bx =--（a ∈R 且0a ≠）（1）若a b =，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证：12ln ln 2x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,11,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为ρ=，定点()6,0M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为,A B ，若AB 的中点为D ，求PD 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.绵阳南山中学高2023届高三“二诊”热身考试参考答案一、选择题1-5:CBABB 6-10:DCBCB 11、12：CD 二、填空题 13．4 14．31015． 16三、解答题17．解：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++()112222n n n -=++. 因为存在n ∈*N ，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在n ∈*N ，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在n ∈*N ，使得()222n n T n ≤+成立.又()21114416222424n n n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）.所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.18．解：（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=.（2）40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯650.25750.154+⨯+⨯=.设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人，年龄在[)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人，所以X 的所有可能取值是0,1,2，()2024241015C C P X C ===， ()1124248115C C P X C ===，()0224246215C C P X C ===， X 的分布列如下：数学期望0121515153EX =⨯+⨯+⨯=.19．解：（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππφπ⋅+=+，k ∈Z ，即6k πφπ=-+，k ∈Z ，由22ππφ-≤<，得0k =，所以6πφ=-.（2）由（1），得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由263ππα<<，得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭=因此3cos sin sin sin cos 26666πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11cos sin 6642428ππα⎛⎫-=⨯+=⎪⎝⎭. 20．解：（1）设椭圆1C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，由已知得，点()1,0F ，则1c =，设点()()0000,0,0M x y x y >>，由抛物线的定义，得：0512MF x =+=，则032x =.从而0y ==，所以点32M ⎛⎝，设点E 为椭圆的左焦点，则()1,0E -，72ME ==，根据椭圆定义，得752622a ME MF =+=+=，则3a =. 从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方程是22198x y +=. （2）设点(),D m n ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，两式相减，得()2212124y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=，所以直线AB 的斜率124422k y y m m===+，从而直线AB 的方程为()2y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=，联立2222202240x my m m y my m m ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则122y y m +=，21224y y m m =-.所以12AB y y =-==设点P 到直线AB 的距离为d ，则d =，所以21642PAB S AB d m m ∆==-+ 由240m m ->，得04m <<，t =，则()23660222PAB t t t t S t ∆--==<≤.设()()26022t t f t t -=<≤，则()2632t f t -'=. 由()0f t'>，得0t <<从而()ft 在(上是增函数，在2⎤⎦上是减函数，所以()max f t f==，故PAB∆面积的最大值为.21．解：（1）由()ln 3f x a x ax =--知()()1a x f x x-'=当0a >时，函数()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,+∞，当0a <时，函数()f x 的单调增区间是()1,+∞，单调减区间是()0,1. （2）()ln g x x bx =-，设()g x 的两个相异零点为12,x x ，设120x x >>，∵()10g x =，()20g x =，∴11ln 0x bx -=，22ln 0x bx -=，∴()1212ln ln x x b x x -=-，()1212ln ln x x b x x +=+.要证12ln ln 2x x +>，即证()122b x x +>，即121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()1212122ln x x x x x x ->+，设121x t x =>上式转化为()()21ln 11t t t t ->>+. 设()()21ln 1t g t t t -=-+，∴()()()22101t g t t t -'=>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，∴12ln ln 2x x +>. 22．解：（1）由题意知，曲线1C的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.设点(),N x y ''，(),Q x y ，由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入2212360x y x ++-+=中，得点Q 的轨迹2C的直角坐标方程为(223x y +=.（2）P的坐标为)，设l的参数方程为,21,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）代入曲线2C 的直角坐标方程得：(2330t t -++=，设点,,A B D 对应的参数分别为123,,t t t ，则123t t +=，123t t =，123322t t PD t +===. 23．解：（1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143x >⎧⎨≤⎩，得1x <-或314x -≤≤ ∴不等式()3f x ≤的解集为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由方程()2f x a x +=可变形为11a x x x =+--+，令()11h x x x x =+--+2,1,,11,2,1,x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如下：于是由题意可得11a -<<.。

高三年级第二次诊断性测验(理科)

乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验sin 2A sin 2B sin 2C 1 2si n 2A 2si n 2B 1 2s in 2C理科数学试题参考答案及评分标准cos2A cos2B cos2C ，故选 C .选择题答案：DDCA DABACCBB1.选 D. 【解析】•/ M 1,2N2,2 , 2.选 D. 【解析】z 1 2i 2 i 4 3. 2 2 i ,i i 5 5 3.选 C. 【解析】Tf 2 4, 即 2a 4, a 2，又T a 是底数，a3，故选C . 在复平面上对应的点为 .MIN 1 .故选 D .2 log 2 8 10 .选 C .【解析】•/ cos A10 10sin A3 70 10s "C sinA B W ，由4.选A •【解析】执行程序框图，第一次循环 AB4 5,3，故选D .5S 4,k2，第二次循环 S 11, k3，第三次循环si nCS ABCBC ,BC 1 sin A，得ABABCAB BC 2 sin B -，设BC 边上的高为h , 61 -BC23c 2,故选C .11.选【解析】不妨取右焦点，根据题意 P 点坐标代入双曲线方程得2c 2 2a•— 23c23c 2二 4，得 e 24 2 3 ,a12.选B .【解析】由已知的图象关于点 0,0中心对称,S 26, k 4，结束循环，所以判断框内应填 k 5.选D.【解析】根据线面，面面平行垂直的性质，只有 6 .选A •【解析】由a 3b 2a b 得a 3b 3?,故选A . D 正确，故选D . 2a b 0,即 8 5a b 3 0,. a b 1 , 即f x 是奇函数,.cos a,b1，所以a 与b 的夹角为—.故选A .2 3 7.选B .【解析】由题意可知，该几何体由底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为 1，高为1的两个正三棱柱组成, 2 2:.f s 2s f 2b bs 1 b 1 ,又 Os 建立sOb 坐标系如图，设s 可知直线b s z 过点2,0z 取得最小值 2,2 zf s 2 2s f b 2 2b s 2 2sb 2 2b0 s 1 亠 1 s 2卜*2,或s b2s 2 s bsb z ，则b s z ,打1>时, z 取得最大值 2，在过点0,2时，2 ,故选B .r7&选A . 【解析】把函数 y sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到2y sin 2x ，再向右平移 —个单位, 得至U y sin 2x 2的图象关于 y 轴对称, 所以332k ,k Z , 可以取一 ,故选A .3269.选 C .【解析】在 ABC 中A B Ca b c sinA sinB si nCr 3 7 r1r 7 r21W r713•填2 •【解析】T r 1 C 7 ax 3C ；a x 2，常数项x 的次数为0，即21 r 0,r 6 ,Jx2所以 C ^a 7 6 14，•: a 2.14. 填 2 .【解析】T 4 2x 4y 2 2x4y2 2x2y:. 2x2y4 ,即x 2y 2，所以x 2y 的最大值是2.1215.填•【解析】如图，延长5AB交抛物线的准线于G，过A,B NO 1,OM 3, NE 2 , • OE . 3, EM 2 3 ,两点作准线的垂线，垂足为C, E，准线交x轴于D .根据题意|G A，即QB __5，得|EB| |CA 2 3ENM是直角三角形，•NE ME • ME 面ADEGB GB 10，又EB| 辟，12|DF|，得DF12•••p12"5（n）如图建立空间直角坐标系xyz，根据题意得,A 2, 1,0 ,B 2,3,0 ,D 2, 1,0 ,E 0,0,、3 ,M 0,3,016•填1 e.【解析】由题意得b In x 1 ax 1 ,对一切x 1都成立.令f x ln x 1 ax 1，则f x - 1 a ,当a 0 时，f x 0, f x在1, 上单x 1调递增，不成立.当a 0时， 1 x 11时， f x 0,x 11 时，f x 0,a a• f x f 11max .1 1 In a - 1 1 a 1 In a 2, 故a 0时， b a In a 2 ,a a ab , In a1 - -，令h a 1 In a2 山则h a1 In a2 ,a a a a a a1当a 时,h a 0,当0 a -时,h a 0, •h a hmin11 eIn 12e 1 e ,•—的最小e e e e a 值是1 e •三、解答题17. （12 分）（I）由已知：a 2n 1 a1 2 n 1 2n 1, a2n a2 3n1 2 3n 1 a3 a6 a? a12 a15 3a g a6 a12 3 9 2 32 2 35477 …6分（n）由（I）知a n 0 , •a n单调递增，S2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 2 nn 3 15，S1262 36 1 764 ；S13S I2 a13 777 ;S M7237 1 2235设平面4y2xBAE的法向量为n1 x, y, z ,uuu由AB 0,4,0uuu,AE 2,1，方，取z2，得n1.3,0,2则当n 13时，S n 2017 , n 14时，S n 2017 ,• n的最小值为14 …12分18. （12 分）（I）取AD 的中点N ,连结NM , NE ,则AD NM , AD NE,• AD 平面NME , • AD ME，过E点，作EO NM于O，根据题意得,由（I）知uuurME0, 3,、3 为平面ADE的法向量/ 吨--cos n^ ME•二面角B AE19. （12 分）（I）若进货量定为■uucn|n1ME|uuurn1 ME .77D的余弦值为」7…12分13 （件），则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于相应有13 13 8 4 38 （周），“进货量不超过市场需求量”的概率为同理，若进货量为14 （件），则“进货量不超过市场需求量”的概率为• “进货量不超过市场需求量”的概率大于0.5，进货量的最大值是13（n）进货量定为14 （件），设“平均来说今年每周的利润”为Y若售出10件：则利润售出11件：则利润y售出12件：则利润yy 1011 312 31 26 ；303413（件）”38E250.5；0.5;52…4分售出13 件:则利润 y 13 3 11 :售出14 件: 则利润 y 14 3 42售出15件: 则利润 y 14 3 1 2 44 售出16 件:则利润 y14 3 2 246则Y 的分布列为：38 2X 。

高三第二次诊断性测试数学试题(理科)(附答案)

鲁实中学级第二次诊断性测试数学试题（理科）（.1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题：（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） (1) 定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}4,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（）A.6B.8C. 12D.16(2) 某单位有老年人28人，中年人56人，青年人80人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为41的样本，则适合的抽取方法是（）A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法 (3) 已知直线a 和平面βαβαβαβα、在，、a a a l ,,,⊄⊄= 内的射影分别是b 、c ，则b 、c 的位置关系是（） ①相交 ②平行 ③异面A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③(4) 过抛物线x y 42=的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ,则P 点的轨迹方程为（）A. )2(42-=x yB. )2(42+-=x yC. )2(42+=x yD. 12-=x y (5)ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形(6) 记7722107)1()1()1()21(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则7210a a a a ++++ 的值为( )A .1-B .1C .73-D .73（7）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x >时，139)(--=x x f x ，则函数()f x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（8）6名志愿者随机进入2个不同的全运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有两名志愿者的概率为（） A .31 B .121 C .43 D .3225 （9）给出右面的程序框图，那么，输出的数是（） A .3 B . 5 C .7 D .9(10)定义“等比数列”}{n a ：),1(,11i q i a +=-=*,1N n q a a n n ∈⋅=+，则在复平面内2011a 所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 (11)已知{}n a 是递减等比数列，5,2312=+=a a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（）A .[)16,12B .[)16,8C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 (12)已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，导函数为xx x f cos 2)(2'+=且(0)0f =，则满足0)()1(2>-++x x f x f 的实数x 的取值范围为( ) A ．(1,1)- B．(1,1- C．(1- D．(1第II 卷（非选择题 90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）已知1cos sin =βα，则=-)sin(βα ．（14）设函数dt t x f xx)1()(2-=⎰，则)('x f =__________.（15）平面上存在点(,)P x y 满足0)ln()ln(=++-y x y x ，那么|2|y x -的最小值是．（16）在xoy 坐标平面内，若关于y x 、的不等式0)12(22≥+--xy k xy y kx 表示三角形区域，则实参数k 的取值集合为________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

四川省宜宾市2024届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷含答案

宜宾市普通高中2021级第二次诊断性测试理科数学（答案在最后）（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，1.已知集合{}{}290,14A x x B x x =-<=-<<∣∣，则A B = （）A.{}|34x x -<<B.{}|13x x -<<C.{}|31x x -<<- D.{}|14x x -<<【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可知：{}{}29033A xx x x =-<=-<<∣∣，所以A B = {}|13x x -<<.故选：B.2.命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（）A.1,ln 0x x ∀><B.1,ln 0x x ∀>≤C.1,ln 0x x ∃>≤D.1,ln 0∃≤≤x x 【答案】C 【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是：1,ln 0x x ∃>≤.故选：C3.已知向量()()1,2,3,1a b == ，向量c 满足c a ⊥ ，()//a c b + ，则c =（）A.()2,1-- B.()2,1- C.()2,1- D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设出(),c x y = ，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.【详解】设(),c x y = ，则()3,1c b x y +=++，由c a ⊥，得20x y +=，又()//a c b +，得()1230y x +-+=，即25y x =+，联立2025x y y x +=⎧⎨=+⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩.()2,1c ∴=-.故选：C.4.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型011e -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭px Ny N y ，其中y （单位：万辆）为第x 年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，0y 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：ln0.8870.12,ln0.30 1.2≈-≈-）A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆【答案】B 【解析】【分析】把已知数据代入模型011e px Ny N y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，则2033年底该省新能源汽车的保有量为1.20.1210130013001300164e 11e20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20.30e -≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯，所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.故选：B.5.已知0.3561log ,5,log 23a b c =-==，则（）A.c a b <<B.a c b <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值1,12分析判断.【详解】因为551log log 33a =-=，且55log log 3log 5<<，即112a <<；0.315b =>；61log 2log 2c =<=；所以c<a<b .故选：A.6.若πcos 65⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.15-B.15C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】化πsin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭为πcos 26x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用二倍角公式即可即可求解.【详解】因为πππ22662x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππsin 2sin 2cos 26266x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π32cos 121655x ⎛⎫⎛⎫=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D7.为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲､乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（）A.213B.313C.413D.513【答案】D 【解析】【分析】根据古典概型结合排列数、组合数分析求解.【详解】由题意可知甲队和乙队共有213A 1312=⨯种不同安排方法，甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻，分以下三种情况，1、从2个端点饮水点任选一个安排甲，再从与该饮水点不相邻的5个服务站选一个安排乙；2、从中间5个饮水点任选一个安排甲，再从不与该饮水点相邻的4个服务站选一个安排乙；3、从6个服务站任选一个安排甲，再从不与该服务站相邻的5个饮水站选一个安排乙；共有111111255465C C C C C C 60++=种不同安排方法，所以甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为605131213P ==⨯.故选：D.8.在数列{}n a 中，已知122,1a a ==，且满足21n n n a a a +++=，则数列{}n a 的前2024项的和为（）A.3B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得321n n n a a a +++=-，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解.【详解】由题意得21n n n a a a ++=-，用1n +替换式子中的n ，得321n n n a a a +++=-，两式相加可得3n n a a +=-，即63n n n a a a ++=-=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期函数.又12a =，21a =，34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=.所以数列{}n a 得前2024项和()2024126123373S a a a a a =+++++=L .故选：A.9.已知点P 是直线30x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)1C x y ++=的一条切线，切点为A ，则线段PA 长度的最小值为（）A. B. C.D.1【答案】D 【解析】【分析】由题意可得PA =PC 取得最小值时，线段PA 长度的最小，利用点到直线的距离公式求出PC 的最小值即可得解.【详解】圆22:(1)1C x y ++=的圆心()1,0C -，半径1r =，由题意可得PA AC ⊥，则PA ===，则当PC 取得最小值时，线段PA 长度的最小，min PC ==，所以min 1PA =.故选：D .10.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是渐近线:b l y x a=-上位于第二象限的点，若2,cos 3∠==OP a F PO ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出2sin POF b c ∠=，2cos aPOF c∠=-，进而求出2sin PF O ∠，在2 POF 中，由正弦定理列式求得ba=.【详解】如图，根据题意可得2tan bPOF a∠=-，2sin b POF c ∴∠=，2cos aPOF c∠=-，又23cos 3F PO ∠=，26sin 3F PO ∴∠=，()222πPF O OPF POF ∠=-∠+∠ ，()222sin sin 333a b PF O OPF POF c c c⎛⎫∴∠=∠+∠=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，在2 POF 中，由正弦定理可得，222sin sin OP OF PF OOPF =∠∠，33c=ba=，3e ∴===.故选：D.11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点E F ､分别为棱PA 和PB 中点，则四棱锥P CDEF -和四棱锥P ABCD -的体积之比为（）A.25B.37C.38D.49【答案】C 【解析】【分析】连接,AC CE ，根据题意利用割补法分析求解.【详解】连接,AC CE，由题意可知：1124D PCE D PAC P ABCD V V V ---==，1148E PCE B PAC P ABCD V V V ---==，则113488P CDEF D PCE E PCE P ABCD P ABCD P ABCD V V V V V V ------=+=+=，所以38P CDEF P ABCD V V --=.故选：C.12.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分离参数转化为1ln exx xa x -->，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数法求出()min f x ，()min a f x >即为所求.【详解】不等式e 1ln x ax x x +>-有解，即1ln e x x xa x -->，0x >，只需要min1ln e xx x a x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()1ln e xx xf x x --=，()()()212ln e xx x x f x x +-+∴='，0x >，令()2ln g x x x =-+，0x >，()110g x x∴=+>'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()110g =-<，()2ln 20g =>，所以存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即002ln 0x x -+=，()00,x x ∴∈，()0g x <，即()0f x '<；()0,x x ∞∈+，()0g x >，即()0f x '>，所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()000001ln e x x x f x x --∴=，又由002ln 0x x -+=，可得020e e x x =，()0000002201ln 121e e e x x x x xf x x ---+-∴===-.21ea ∴>-.故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为1ln e xx xa x -->，0x >，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数求出()f x 的最小值，即只要()min a f x >.二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则|z |＝__.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算计算得z i =-，再根据复数的模长公式可得结果.【详解】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴|z |＝1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题.14.数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知131,7==a a ，数列(){}2log 1n a +为等差数列，则5S =__________.【答案】57【解析】【分析】根据题意，求出数列(){}2log 1n a +的通项，进而求得n a ，利用分组求和得解.【详解】令()2log 1n n b a =+，131,7a a ==Q ，11b ∴=，33b =，又数列{}n b 为等差数列，所以公差1d =，11n b n n ∴=+-=，即()2log 1n a n +=，21n n a ∴=-，()()5255125212222555712S a a a -∴=+++=+++-=-=-L L .故答案为：57.15.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ､，则线段MN 长度的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径R ，内切球半径r ，线段MN 长度的最大值为R r +得解.【详解】由正四面体的棱长为6，则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，设球心为O ，如图，连接AO 并延长交底面BCD 于H ，则AH ⊥平面BCD ，且H 为底面BCD △的中心，所以363BH =⨯=，在Rt AHB △中，可求得AH ==，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，则()222212R BH OH R =+=+，解得2R =，2r OH R ===，所以线段MN 长度的最大值为R r +=.故答案为：16.已知F 为抛物线2:8C x y =-的焦点，过直线:4l y =上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是,P Q ，则PQO 与(QFO O 为坐标原点）面积之和的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意直线PQ 斜率存在，设其方程为0y k x m =+，利用导数可得出抛物线在点P 、Q 处的切线斜率，联立直线AB 的方程与抛物线的方程，根据韦达定理即可求出m 的值，再利用面积公式结合基本不等式得出最小值.【详解】由28x y =-，得28x y =-，()0,2F -，求导得4x y '=-，根据题意直线PQ 斜率存在，设其方程为0y k x m =+，设211,8x P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，222,8x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知在,P Q 处切线斜率分别为1212,44x x k k =-=-，设()0,4M x ，显然过点M 的切线的斜率存在，设切线方程为()04y k x x -=-，联立方程()0248y k x x x y⎧-=-⎨=-⎩，消去y 得()208840x kx kx ++-=，则()20Δ643240k kx =--=，整理得20240k kx +-=，可得1212216x x k k ==-，即1232x x =-，联立方程028y k x m x y=+⎧⎨=-⎩，消去y 整理得20880x k x m ++=，则12832x x m ==-，可得4m =-，则直线PQ 的方程为04y k x =-，过定点()0,4G -，且1232x x =-，设10x <，则20x >，则122111222PQO QFO S S OG x OG x OF x +=-++ ()2122122642323x x x x x x x =-+=-=+≥=当且仅当22643x x =，即23x =时，等号成立，所以PQO 与(QFO O为坐标原点）面积之和的最小值为.故答案为：【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题.三个条件为：①2cos cos cos b A c A a C =+；②sin 3cos a B b A =；③()cos cos 3sin cos 0C B B A +=.（1）求角A 的大小；（2）若7,4a b c =+=，求bc 的值.【答案】17.所选条件见解析，π3A =；18.3.【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；若选③：利用三角恒等变换分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【小问1详解】若选①：因为2cos cos cos b A c A a C =+，由正弦定理可得()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C A A C C A B =+=+=，且()0,πB ∈，则sin 0B >，可得1cos 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =；若选②：因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =，且()0,πB ∈，则sin 0B >，可得tan A =，且()0,πA ∈，所以π3A =；若选③：因为()cos cos cos 0C B B A +-=，则()cos cos cos cos 0A B A B B A -++-=，可得sin sin cos A B B A =且()0,πB ∈，则sin 0B >，可得tan A =，且()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知：π3A =，由余弦定理可得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即7162bc bc =--，解得3bc =.18.为了加强企业文化建设，某公司组织了一次趣味答题比赛，题目分为生活和文化两大类，比赛规则如下：（i ）选手在每个类别中回答5道题目，每个类别中答对3道及以上为合格；（ii ）第一个类别答完5道题并且合格后可以进入下一个类别，否则该选手结束比赛；（iii ）选手进入第二个类别后再回答5道题，无论答对与否均结束比赛.若选手甲在生活类答题比赛中每道题目答对的概率都是0.5.（1）求选手甲参加生活类答题合格的概率；（2）已知选手甲参加文化类答题合格的概率为0.4.比赛规定每个类别答题合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择先进行哪个类别的答题比赛（每个类别合格的概率与次序无关），并说明理由.【答案】（1）0.5（2）选手甲先进行生活类答题【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）分析讨论甲先进行生活类答题或甲先进行文化类答题，分别求相应的期望，对比分析即可结果.【小问1详解】若选手甲参加生活类答题合格，则答对的题目数量为：3，4，5，所以选手甲参加生活类答题合格的概率()()()555345555C 0.5C 0.5C 0.50.5⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】选手甲先进行生活类答题，理由如下：若选手甲先进行生活类答题，可知：X 的可能取值为0，5，10，则()()()()010.50.5,50.510.40.3,100.50.40.2P X P X P X ==-===⨯-===⨯=，可得()00.550.3100.2 3.5E X =⨯+⨯+⨯=；若选手甲先进行文化类答题，可知：X 的可能取值为0，5，10，则()()()()010.40.6,50.410.50.2,100.40.50.2P X P X P X ==-===⨯-===⨯=，可得()00.650.2100.23E X =⨯+⨯+⨯=；因为3 3.5<，所以选手甲先进行生活类答题.19.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，延长AC 至D ，使AC CD =，连接1,,B D M N 分别是11,B D BC 的中点，动点P 在直线AD 上，12AB AA ==.（1）证明：MN ∥平面ABC ；（2）试确定点P 位置，使二面角1C BC P --的余弦值为5.【答案】（1）证明见详解（2）点P 为点O 或点D【解析】【分析】（1）连接1B C ，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）建系，设()0,,0P t ，利用空间向量处理二面角问题.【小问1详解】连接1B C ，可知N 为1B C 的中点，且M 分别是1B D 的中点，则MN ∥CD ，且MN ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC .【小问2详解】分别取AC 的中点O ，连接BO ，由题意可知：BO AC ⊥，以O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，过O 作平行于1AA 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则)()()()1,0,1,0,0,3,0,0,1,2B C D C ，设()0,,0P t，可得()()()1,2,,0BC BC BP t === ，设平面1BCC 的法向量()111,,n x y z =，则111111020n BC y n BC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令11x =，则110y z ==，可得()n = ，设平面1PBC 的法向量()222,,m x y z =，则221222020m BP ty m BC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令2x t =，则()2212y z t ==-，可得()12m t t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可得：cos ,5n m n m n m ⋅==⋅ ，整理得230t t -=，解得0=t 或3t =，结合图形可知0=t 或3t =均符合题意，所以当点P 为点O 或点D 时，二面角1C BC P--的余弦值为5.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下、上顶点分别为12,B B ，左、右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B的面积为，若椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于)12,A A 两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，探究三角形12B B M 的面积是否为定值，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）三角形12B B M 的面积是定值，理由见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质列式求,a b ，即可得结果；（2）设直线l ()()()1122:10,,,,x my m P x y Q x y =-≠，联立方程结合韦达定理可得()12124my y y y =-+，联立直线方程可得点M 在直线9x =-上，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()()1222226a b ab a c a c a ⎧⨯⨯==⎪⎨⎪++-==⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=.【小问2详解】三角形12B B M 的面积是定值，理由如下：由（1）可知：()()((12123,0,3,0,0,,0,A A B B -，因为()1,0-在椭圆C 的内部，可知直线l 与椭圆C必相交，由题意可设：直线l ()()()1122:10,,,,x my m P x y Q x y =-≠，联立方程221195x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()225910400m y my +--=，则1212221040,5959m y y y y m m +==-++，可知()12124my y y y =-+，又因为直线()121:33y A P y x x =--，直线()212:33y A Q y x x =++，联立方程()()11223333y y x x y y x x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪+⎩，解得()()()()()()()()12211221211221123333423324x y x y my y my y x x y x y my y my y ⎡⎤⎡⎤-++-++⎣⎦⎣⎦==+--+--()()12121212121234232922y y y y my y y y y y y y ⎡⎤-++-+-⎣⎦===-++，即点M 在直线9x =-上，所以三角形12B B M的面积为192⨯=【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21.已知函数()e ,,xf x ax b a b =++∈R .（1）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当,a b 满足什么条件时，()sin 0+>f x x 恒成立.【答案】（1）[)0,∞+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()e 0xf x a =+≥'在R 上恒成立，利用参变分离法结合恒成立问题分析求解；（2）构建()()sin F x f x x =+，可知()0F x >在R 上恒成立，分0a >、0a =和0a <三种情况，利用正弦函数的有界性进行放缩，利用导数判断函数单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】因为()e xf x a '=+，由题意可知：()e 0xf x a =+≥'在R 上恒成立，即e x a ≥-在R 上恒成立，且e 0x >，即e 0x -<，可得0a ≥，所以a 的取值范围为[)0,∞+.【小问2详解】构建()()sin e sin xF x f x x ax b x =+=+++，即()0F x >在R 上恒成立，（ⅰ）若0a >，当x 趋近于-∞时，则e x 趋近于0，ax b +趋近于-∞，[]sin 1,1x ∈-，可知()F x 趋近于-∞，即存在0x ，使得()00F x <，不合题意；（ⅱ）若0a =，则()e sin e 11x xF x b x b b =++≥+->-，①当10b -≥，即1b ≥时，则()0F x >，符合题意；②当10b -<，即1b <时，令π2π,2x k k =-∈Z ，则π2π2π2πe 12k F k b -⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，存在()ln 1112π2b k -⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，使得π2π02F k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不合题意；（ⅲ）若0a <，则()e sin e 1x xF x ax b x ax b =+++≥++-构建()e 1x g x ax b =++-，则()e xg x a '=+，令()0g x '<，解得()ln x a <-；令()0g x '>，解得()ln x a >-；可知：()g x 在()(),ln a -∞-内单调递减，在()()ln ,a -+∞内单调递增，可得()()()()ln ln 1g x g a a a a b ≥-=-+-+-，①当()ln 10a a a b -+-+->，即()ln 1b a a a >--+时，可知()0F x >，符合题意；②当()ln 10a a a b -+-+-≤，即()ln 1b a a a ≤--+时，令()ln x a =-，则()()()()()()()ln sin ln ln sin ln 1F a a a a a b a -=-+-+-+≤-+，因为0a <，取()πln 2a -=-，即π2e a -=-，则()()ln 0F a -≤，即()0F x >不恒成立，不合题意；综上所述：01a b =⎧⎨≥⎩或()0ln 1a b a a a <⎧⎨>--+⎩，符合题意.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题1.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．2.函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44-：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，点P 是曲线133cos :3sin x t C y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M 的坐标为π8,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线π:(0)3θρ=>l 与曲线12C C ､分别交于,A B 两点，求MAB △的面积.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=（2）)61-【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可求出曲线1C 的极坐标方程，结合已知，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）先求出点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离，再分别求出,A B ρρ，即可求出AB ，进而可得出答案.【小问1详解】将曲线133cos :3sin x t C y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程，得()2239x y -+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以()222cos 3sin 9ρθρθ-+=，整理得6cos ρθ=，即曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设Q 点的极坐标为(),ρθ，则P 点的极坐标为π,2ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 在曲线1C 上，所以π6cos 6sin 2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=；【小问2详解】由题意点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离π8sin 46d ==，联立π36cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3A ρ=，联立π36sin θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得B ρ=，故)31B A AB ρρ=-=，所以MAB △的面积为)1612d AB =.[选修4-5：不等式选讲]23.已知定义在R 上的函数()2122=++-f x x x .（1）若对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为n ，设,,R a b c ∈，满足2225322++=a b c n ，求证：53210a b c ++≤.【答案】（1）[]3,2-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用绝对值的三角不等式求出()min f x ，在分类讨论去绝对值符号即可得解；（2）利用柯西不等式求证即可.【小问1详解】()()()2122212421245f x x x x x x x =++-=++-≥+--=，当且仅当()()21240x x ++≤，即122x -≤≤时取等号，所以()min 5f x =，因为对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，所以125m m -++≤，则2125m m m ≤-⎧⎨---≤⎩或21125m m m -<<⎧⎨-++≤⎩或1125m m m ≥⎧⎨-++≤⎩，解得32m -≤≤-或21m -<<或12m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]3,2-；【小问2详解】由（1）可得()min 5f x =，所以5n =，则22253210a b c ++=，由柯西不等式可得))))()2222532a b c ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，即()21010532a b c ⨯≥++，所以53210a b c ++≤，当且仅当1a b c ===时取等号.。

四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测+理科数学试题+Word版含答案

成都市2019级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位，则（）
A.1+iB.1－i
C －1+iD.－1－i
【1题答案】
【答案】B
2.设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（）
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】C
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13.某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为______．
【13题答案】
【答案】
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
6.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
7.已知数列的前项和为．若，，则（）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】C
8.若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】D
3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是直径为的圆．则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】A
4. 的展开式中的系数为（）
A. B. 160C. D. 80
【4题答案】
【答案】A
5.在区间（－2，4）内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（）

高三数学下学期二诊模拟考试试题理含解析试题

七中高2021届高三二诊模拟考试数学〔理科〕试卷一、选择题：〔一共12个小题，每一小题5分，一共60分.〕满足，那么为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法那么，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，应选A.【点睛】该题考察的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法那么和除法运算法那么，还有复数的模，属于简单题目.，集合，，那么A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或者，先求解，再由集合可以求出答案.【详解】因为全集,集合或者，所以，所以，应选B.【点睛】此题主要考察了集合的混合运算，属于根底题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.的二项展开式中，假设第四项的系数为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，解得：，应选B.4.在△中，,,且的面积为，那么的长为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为的面积为，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，应选B.考点：正弦定理；余弦定理.【方法点晴】此题主要考察理解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中根据三角形的面积公式，求得，再利用正、余弦定理是解得关键.内随机取两个数分别记为，，那么使得函数有零点的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率.【详解】因为函数有零点，所以所以所求概率为，选B.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．〔3〕几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．根本领件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法〞求解几何概型的概率．6. 假如执行如下图的程序框图，输出的S＝110，那么判断框内应填入的条件是( )．A. k＜10?B. k≥11?C. k≤10?D. k＞11? 【答案】C【解析】试题分析：因为，所以时完毕循环，因此选C. 考点：循环构造流程图【方法点睛】研究循环构造表示算法，第一要确定是当型循环构造，还是直到型循环构造；第二要注意根据条件，确定计数变量、累加变量等，特别要注意正确理解循环构造中条件的表述，以免出现多一次循环或者少一次循环的情况．，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，假设，那么的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进展化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原那么，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值是周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3〔或者都是最小值-3〕，所以的值是周期的整数倍，所以其最小值为，应选B.【点睛】该题考察的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，纯熟掌握相关公式是正确解题的关键.8.外接圆的半径为，圆心为，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】为边BC的中点，因此,又因为,所以为等边三角形，.9.给出以下说法：①“〞是“〞的充分不必要条件；②命题“，〞的否认形式是“，〞.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充要关系、存在性问题否认形式以及排列组合分别判断，最后得结果.【详解】①时，反之不然，所以“〞是“〞的充分不必要条件；②命题“，〞的否认形式是“，〞, ②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.综上正确说法的个数为2，选C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．〔1〕定义法：直接判断“假设那么〞、“假设那么〞的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒〞为真，那么是的充分条件．〔2〕等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．〔3〕集合法：假设⊆，那么是的充分条件或者是的必要条件；假设＝，那么是的充要条件．10.某多面体的三视图如下图，那么该几何体的体积与其外接球的体积之比为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先复原几何体，再根据锥体体积公式求体积，由长方体性质得外接球球心位置，根据球体积公式求条件，最后作商得结果.【详解】几何体为如图三棱锥S-ABC，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB中点,外接球半径为，所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A.【点睛】假设以三视图的形式给出几何体，那么应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求给定的几何体的体积．〔〕的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，假设以〔为坐标原点〕为直径的圆与相切，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：解：设以〔为坐标原点〕为直径的圆与相切于点 ,圆心为点，，，由题意可知：，解得：，设，那么，在中可得：，据此可得：，整理可得：，那么：，分解因式有：，双曲线的离心率，故：，解得：，双曲线的离心率： .此题选择D选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或者离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或者的范围；另一种是建立的齐次关系式，将用表示，令两边同除以或者化为的关系式，进而求解．，假设函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，那么充分利用函数的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到的取值范围．【详解】当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.当时，的图像恒过点，当时，；当时，.有5个零点，即方程有5个解，设，那么.结合图像可知，当时，方程有三个根，，〔∵，∴〕，于是有1个解，有1个解，有3个解，一共有5个解.由，得，再由，得，∵，∴. 而当时，结合图像可知，方程不可能有5个解.应选：C【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕次上班途中所花的时间是〔单位：分钟〕分别为，，，，.这组数据的平均数为，方差为，那么的值是__________.【答案】【解析】【分析】结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果，即可。

高三第二次质量检测理科数学试题附答案

高三第二次质量检测理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4页．满分150分，考试时间120分钟．考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合1{|()2}2x A x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =A ．{|1x x ≤-或0}x ≥B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >-2．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为 A ．110B ．110-C ．10iD ．10i -3．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A ．2x y += B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy >4．已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 A ．8?n ≤ B ．9?n ≤ C ．10?n ≤ D ．11?n ≤5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于A B C D6．定义：32414231a a a a a a a a -=，若函数1(sin f x xx，将其图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π7．已知函数133, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 A ．476 B ．233C ．152D ．79．若实数y x ,满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+010101y y x y x ，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为b a ,，则函数by ax z +=2在点)1,2(-处取得最大值的概率为 A ．15B ．25C ．16D ．5610．已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且 23AB AC =30BAC ∠=︒若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为,,x y z ，记149(,,)f x y z x y z=++，则(,,)f x y z 的最小值为 A ．26 B ．32C ．36D ．48第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 __________12．在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q = 13．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，60]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C 的人数为．14．已知对于任意的x R ∈，不等式35x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是________． 15．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（Ⅰ）求cos A 的值;（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影． 17．（本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望； 18．（本小题满分12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =AD =BC =12CD =a ，E 为CD 中点．若沿AE将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结DB ,DC ，得到如图2所示的几何体D -ABCE ，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF ⊥AC ；（Ⅱ）求二面角A -BD -C 的正弦值．19．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-．（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令22log 2n n nnc b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T 20．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若1()ag x x+=-，在[1,]( 2.71828)e e =⋯上存在一点0x ，使得00()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆22122:1,(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且过点(1．抛物线22:2,(0)C x py p =->的焦点坐标为1(0,)2-．（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）若点M 是直线l :2430x y -+=上的动点，过点M 作抛物线C 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 交椭圆C 1于P ，Q 两点．i ）求证直线AB 过定点，并求出该定点坐标； ii ）当△OPQ 的面积取最大值时，求直线AB 的方程．高三第二次质量检测理科数学参考答案一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC 二、填空题：11．4π12．2 13．8 14．()()--28∞+∞，， 15．[)∞+，5三、解答题：17．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ；依题意得(1)(1)0.08(1)0.121(1)(1)(1)0.88x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩ 解得0.40.60.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0．4 …………………………………．4分 (Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为0.24 ………………………………………… 8分 (Ⅲ）依题意知0,2ξ=，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯= ……………………12分 18．证明：（Ⅰ）取AE 中点H ，连结HF ，连结EB ，因为△DAE 为等边三角形，所以DH ⊥AE ，因为平面DAE ⊥平面ABCE ，.............................. 6分.............................. 12分.............................. 8分.............................. 10分所以DH ⊥平面ABCE ，AC ⊂平面ABCE ，所以AC ⊥DH ，因为ABCE 为平行四边形，CE =BC =a ，所以,ABCE 为菱形，AC ⊥BE ，因为H 、F 分别为AE 、AB 中点，所以GH ∥BE ，所以AC ⊥HF ；因为HF ⊂平面DHF ，DH ⊂平面DHF ，且HFDH H =，所以AC ⊥平面DHF ，又DF ⊂平面DHF ，所以DF ⊥AC 。

高三数学(理科)二诊模拟题答案

高20XX 级二诊模拟（理科）试题（参考解答）一．选择题：1. 答案：B{}{}1,2,,M P x x MP x x MP M PM P MP MP M P =>=≥∴⇒⇒∴/解：是的必要非充分的条件。

2.答案：D12211112222mm m m m ni i ni m n i n m ni i⎧=⎪=⎧⎪=-⇒+=-⇒⇒⎨⎨=-+⎩⎪=-⎪⎩∴+=-解： 3.答案： C1815889108883120,512024,22(2)(2)24.a a a a a a a a d a d a ++=∴=⇒=-=--+==解：4.答案：B解：①若直线l ⊥平面，l ∥平面β，则过l 的平面γ∩β=m,m ∥l,m ⊥α,所以α⊥β正确； ②反例底面为菱形时各侧面都是正方形的棱柱不是正棱柱，所以②不正确；③如图所示的两个半平面满足一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，但这两个二面角的平面角不一定相等或互为补角；所以③不正确；④过空间任意一点一定作两条相交直线分别平行于两条异面直线，则这两条相交直线所确定的平面与两条异面直线都平行，所以④正确。

5.答案：B解：因为12)(1-=+x x f 的反函数12()log (11,(1)f x x x -=+->-）的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，则)(x g 表达式为222()1log (11)1log 1,()log .g x x x g x x -=+--=-∴=6.答案：C解：y x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且()12244()189x y x y x y y x =++=+++≥+7.答案：C213243296A C A =解：8.答案：C解：因为A B 、A C 、AD两两互相垂直，且A B A C =2A D =， 22)664162,2,,3R R AD AOD π∴=++===∴∠=（，所以A 、D 两点间的球面距离为23π9.答案：A26226,2343642212()162334()6lim lim lim n nnnn n n n n nn n n n nn n a b a b a b →∞→∞→∞--⋅==∴=+⋅+⋅-⋅==+⋅解：10. 答案：A解：当x ＜0时,2x ＜1, f(x) =2x ； x ＞0时,2x ＞1, f(x) =1． 11.答案：B 如图,,,55,,,cos666523,1,cos 3.6CD OD OC CD AB OD AB OC AB OC AB ABO AB OD CD AB AB ODAB OD CD AB AB ODππππ=-∴⋅=⋅-⋅⊥∠=∴<>=∴⋅===∴⋅==-又 12.答案：C[][][][]00010010001110000000()ln()1,(,),ln()1()10ln()1(1),ln()ln()1(1)015x xx x x f x ax e P x y y y ax e x x y ax e x ax e ax e x i x m e -----'=++-=++-∴-=++--+=++-∴-==∴=解:设切点切线方程为，点（，）在切线上，，又在切线上，，二.填空题： 13. 答案：431514.解：过圆心C （1，1）作直线3480x y ++= 的垂线，垂足为P,这时四边形P A C B面积的最小值为P A C中,3,AB CP CP AB ⊥=∴=max 15.OA OP OAP B P P ⋅===设P(x,y),则Z=当点与点重合时，即时，Z 16.答案：①④44sin cos cos 21x x x π-=-∴最小正周期为，（）正确.终边在y 轴上的角的集合是,(2).2k πααπ⎧⎫=+∴⎨⎬⎩⎭不正确函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象只有一个交点，因此（3）不正确.3sin 2()3sin 2,(4)63y x x ππ⎡⎤=-+=∴⎢⎥⎣⎦正确.()sin()0,2y x ππ=-∴在上为增函数，（5）不正确. 二．解答题：17．（本小题满分12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x -=，且x ∈[0，2π]；（I ）求b a ·+ （II ）若f (x )＝x ，求f (x )的最大值与最小值．17．解：⑴b a ·＝)2sin (23sin 2cos 23cos x x x x -+＝2sin 23sin 2cos 23cos x x x x -＝)223cos(x x + ＝x 2cos 3分＝b a 222++＝1＋1＋2cos 2x ＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x ∵x ∈[0，2π] ∴cosx ≥0 2cosx6分⑵ f (x )＝cos 2x －3·2cosx ·sinx ＝cos 2x －3sin 2x＝2cos (2x ＋3π) 8分∵0≤x ≤2π ∴34323π≤π+≤πx ∴21)32cos(1≤π+≤-x ∴1)(2≤≤-x f ∴2)(min-=x f ，当x ＝3π时取得该最小值 1)(max=x f ，当x ＝0时取得该最大值 12分18．解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A 型”为事件A ，那么22025038()245C P A C ==，即这2人血型都为A 型的概率是38245． ┅┅┅┅4分（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B ，那么222220105152503502()12257CC C C P B C +++===，所以这2人血型相同的概率是27． ┅┅┅┅8分（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2．且2152353(0)17C P C ξ===，11201523560(1)119CC P C ξ===，22023538(2)119C PC ξ===．所以ξ的分布列是ξ的数学期望为E ξ=0×317+1×60119+2×38119=13681197=．┅┅┅┅12分19．解：⑴证明：在正方形ABCD 中，AB ⊥BC又∵PB ⊥BC ∴BC ⊥面PAB ∴BC ⊥PA 同理CD ⊥PA ∴PA ⊥面ABCD 4分 ⑵在AD 上取一点O 使AO =31AD ，连接E ，O ，则EO ∥PA ，∴EO ⊥面ABCD 过点O 做OH ⊥AC 交AC 于H 点，连接EH ，则EH ⊥AC ，从而∠EHO 为二面角E －AC －D 的平面角6分在△PAD 中，EO ＝32AP ＝34在△AHO 中∠HAO ＝45°，H O SFEPDCBA∴HO ＝AOsin 45°=3232·22=，∴tan ∠EHO ＝22=HO EO， ∴二面角E －AC －D 等于arctan 228分⑶当F 为BC 中点时，PF ∥面EAC ，理由如下： ∵AD ∥2FC ，∴21==AD FC SD FS ，又由已知有21=ED PE ，∴PF ∥ES ∵PF ⊄面EAC ，EC ⊂面EAC ∴PF ∥面EAC ，即当F 为BC 中点时，PF ∥面EAC 12分20．解（1）设),(),,0(),0,(y x P b B a A分为轨迹方程点即由题意知则分即41)1(4)1(4:4)1()1(42||,0,1)1()(2),(),(,22222222222 =+++∴=+++=+∴=>⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=+=⎩⎨⎧-=-=-∴--=-=t t y t x C P y tt x t b a AB t y t t b xt a y b t y tx a x y b x t y a x PB t AP （2）t=2时，11694922=+y x C 为 …………5分 11212121121211121212121111112121111194998|323||323|2217|323|)0(,.2),,(),,(y x y x S x y y x x y y x S y x x y h MN Q x x x y y MN y x MN y x N y x M QMN QMN-+=-=+-⋅+⋅=∴+-=≠=+=--=∆∆ 分分距离为到点的方程为设直线则则设分的最大值为等号成立时即当且仅当分而又1222,21,4323114949432321694919444991169491111121111212111221212121 QMN QMN S y x y x y x y x y x y x y x S y x y x ∆∆∴-==≤-∴-=⋅⋅-≥+=-=∴=+∴=+21．解：⑴由11221+++=n n n na a ，得n a a n nn n +=++2211 令n n n a b 2=，有n b b nn =-+1 ∴)()(...)(121121----+-++-+=n n n n n b b b b b b b b ＝)]1(...321[1-+++++n b ＝)1(211-+n nb 又b 1＝2a 1＝2，)1(212-+=n n b n 3分∴2)1(212+-=n n a nn∴*)()21(·)4(12N n n n a n n∈+-=+ 4分⑵证法1：(数学归纳法)1°，当n ＝1时，a 1＝1，满足不等式1121111≤=≤-a 5分2°，假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立即1211≤≤-k k a ，那么k k k k k k k k k k a a 2122221·2122111111>+-+≥+=+++++ 即121)1(1->++k k a 7分又122·22212211111=<+≤+=++++k k k k k k k k a a 由1°，2°可知，n ∈N *，都有1211≤≤-n n a 成立 9分⑵证法2：由⑴知：12)21(·)4(++-=n nn n a (可参照给分) ∵02≥-n n ，*N n ∈，∴1121)21(·4-+=≥n n n a ∵1224++-=n n n n a ∵21111111*********...1)11(2+++++-+++++++>++++++=+=n n n n n n n n n n n n C C C C C C C∴22221++>+n n n ∴122231224222<++--=+++-<n n n n n n n a n当n ＝1时，11==a a n ，综上1211≤≤-n n a⑵证法3：8224)4(24)1()1(22221+-++=+-++-+=+n n n n n n n n a a nn 0822415)21(8224122221<+----=+--+-=-+n n n n n n n a a nn ∴{a n }为递减数列当n ＝1时，a n 取最大值 ∴a n ≤1由⑴中知22)1(212≥+-=n n a nn121-≥n n a综上可知1211≤≤-n n a⑶nn n n n n n n n T )21(·)21(·)4(42122=+-+-=+ 欲证：nn n k T T <+22即证n n n T T k +<221 11分即ln(1＋T n )－T n ＜0，构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x∵xxx x f +-=-+=1111)(当x ＞0时，f ' (x )＜0 ∴函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内递减∴f (x )在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0 ∴当x ≥0时，ln(1＋x )－x ≤0又∵T n ＞0，∴ln(1＋T n )－T n ＜0 ∴不等式nn n k T T <+22成立 14分22.解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111xh x x x -'=-=++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；（Ⅲ）当0b a <<时，102b aa--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．。

高三毕业班第二次统一检测数学(理)试题Word版含答案

肇庆市中小学教学质量评估届高中毕业班第二次统一检测题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束。

监考人员将试卷、答题卷一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的模是（A ）2 （B ）12（C 2 （D ）22（2）{}1,0,1,2M =-，{}2|0N x x x =-≤，则MN =（A ）{}1,0- （B ）{}0,1 （C ）{}1,2- （D ）{}1,2（3）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（A ）101 （B ）91 （C ）111 （D ）81（4）已知()()()lg 10lg 10f x x x =++-，则()f x 是（A ）()f x 是奇函数，且在()0,10是增函数（B ）()f x 是偶函数，且在()0,10是增函数（C ）()f x 是奇函数，且在()0,10是减函数（D ）()f x 是偶函数，且在()0,10是减函数（5）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35（6）下列说法错误的是（A ）“0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件（B ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”（C ）若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题（D ）命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝:x R ∀∈，均有210x x ++≥（7）已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =（A ）94 （B ）32 （C ）1 （D ）34（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40（B ）-20 （C ） 20 （D ）40（9）能使函数的图象关于原点对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的ϕ的一个值是（A ）π3 （B ） 5π3 （C ）2π3 （D ） 4π3（10）已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则（A ）235x y z << （B ）523z x y << （C ）352y z x << （D ）325y x z << （11）如图是某几何体的三视图，222 正视图俯视图侧视图则该几何体的体积为（A ）83（B ）43（C ）8 （D ）4（12）已知函数()()24,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为（A ）[]2,1- （B ）[]4,1- （C ）[]2,0- （D ）[]4,0-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）已知1a b a b ==+=，则a b -= ▲ .（14）函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则()3f π-的值是 ▲ ．（15）正项数列{}n a 中，满足那么2534231+⋅++⋅+⋅+⋅n n a a a a a a a a ＝ ▲ .（16）在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AB BC AC ====，120VAC ∠=︒，则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是 ▲ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为sin 2ac B ．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若5c =，2223sin 5sin sin C B A =⋅，且BC 的中点为D ，求ABD ∆的周长．（18）（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知n S ，1+n a ，4成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设11nn n b a a +=，设n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.（19）（本小题满分12分）某工厂对A 、B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取6 次，记录数据如下：A ：8.3，8.4，8.4，8.5，8.5，8.9B ：7.5，8.2，8.5，8.5，8.8，9.5 （注：数值越大表示产品质量越好）（Ⅰ）若要从A 、B 中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A 今后的4次检测数据进行预测，记这4次数据中不低于8.5 分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ．（20）（本小题满分12分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，5=CD ，过A 、B 分别作CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别为E 、F ．已知1=DE ，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体BCF ADE -，如图2．（Ⅰ）若BD AF ⊥，证明：BE DE ⊥；（Ⅰ）若//,DE CF CD =，在线段AB 上是否存在点P 使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数()xf x ae x =-,()'f x 是()f x 的导数.（Ⅰ）讨论不等式()()'10f x x ->的解集；（Ⅰ）当0m >且1a =时，求()f x 在[],x m m ∈-上的最值；并求当()22f x e <-在[],x m m ∈-恒成立时m 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是7+=4cos 4sin ρθθρ+.（Ⅰ）当2πα=时，直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程；（Ⅰ）已知点P (1,)2π，且曲线1C 和2C 交于,A B 两点，求PA PB 的值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|3||1|f x x x =++-，()22g x x mx =-+.（Ⅰ）求不等式()4f x >的解集；（Ⅰ）若对任意的12,x x ，()12()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围.2018届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题13．14． 15．11134n⎛⎫- ⎪⎝⎭16．523π 三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由1sin sin 22ABC S ac B ac B ∆==，--------------------2分得1sin 2sin cos 2B B B =⋅，--------------------------3分 ∵∴故1cos 4B =，------------------5分又，∴15sin B =；-----------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）和 2223sin 5sin sin C B A =⋅得2216sin 25sin C A =-----------7分由正弦定理得221625c a =，---------------------8分 ∵5c =，∴4a =，122BD a ==，------------------------9分在ABD ∆中，由余弦定理得：2222212cos 52252244AD c BD c BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，------10分∴AD =----------------------------------------------11分∴ABD ∆的周长为7c BD AD ++=+12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的前n 项和为nS1,)1(41,11211=∴+==a a a n 时当…………………………………………….1分当2≥n 时，2112)1(4,)1(4+=∴+=--n n n n a S a S两式相减得,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a又2,01=-∴>-n n n a a a …………………………………………………………..5分∴数列}{n a 的首项为1，公差为2的等差数列，即12-=n a n ………………..6分（Ⅱ）()111111(21)2122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-•+-+⎝⎭…………… 8分所以. 1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪-+⎝⎭……………9分所以 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭……………………………………12分（19）（本小题满分12分）ξ的分布列如下ξ 0 1 2 3 4P116 14 38 14 1160123421648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或者=422E ξ⨯=）. …………12分（20）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）证明：由已知得，四边形ABFE 为正方形，且边长为2，则在图2中，BE AF ⊥由已知BD AF ⊥，B BD BE =⋂，可得BDE AF 面⊥，…………2分又BDE DE 平面⊂，所以DE AF ⊥，……………………3分又DE AE ⊥， A AE AF = ，所以ABFE DE 平面⊥，…………4分又BE ABFE ⊂平面，所以DE BE ⊥ ………………………………5分（Ⅱ）当P 为AB 的中点时满足条件。

高三数学第二次诊断性考试试题理含解析试题

高中2021级高三第二次诊断性考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学(理工农医类)试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕1.全集U=R，，那么A∪B=〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在全集U下，先由集合A的补集求出集合A，再与集合B进展并集运算。

【详解】应选：C．【点睛】考察描绘法的定义，以及并集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。

〔1+i〕=2i〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进展化简，在由一共轭复数的性质即可求出。

【详解】复数可变形为那么复数。

应选A.【点睛】在对复数的除法进展化简时，要采用分子分母同时乘以分母的一共轭复数，使分母“实数化〞。

3.展开式中项的系数是〔〕A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．【详解】∵，∴展开式中项的系数为 270，应选：A．【点睛】此题可用二项式定理展开，即可得出所求系数。

4.运行如图程序框图，输出m的值是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据程序框图进展模拟运算即可．【详解】a=16，a≤0否，a=4，a≤0否，a=2，a≤0否，a=1，a≤0否，a=0，a≤0是，输出m=4，应选：D．【点睛】此题主要考察程序框图的识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序构造、条件构造、循环构造的真正含义。

5.α为锐角，且tan，那么cos〔2〕=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用诱导公式对进展化简，按二倍角公式展开，对进展适当变形，结合即可得出答案。

【详解】【点睛】此题的关键是对的变形的处理，结合平方关系即可得出，利用化弦为切简化运算量。

=1〔a＞0，b＞0〕的焦距为8，一条渐近线方程为y=，那么此双曲线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由焦距为8可得,利用渐近线方程得出的关系，再结合即可得出双曲线方程。

高三数学第二次诊断性考试理试题

高中2021级“二诊〞考试数学试卷〔理工农医类〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

说明：1.本套试卷分第I卷和第II卷，第I卷1一2页,第II卷3~4页.将第I卷的正确选项填在答题卡上，第II卷用钢笔或者圆珠笔直接答在II卷答题卡上.在考试完毕之后，将I卷答题卡和II卷答题卡一起交回。

2. 本套试卷满分是150分，120分钟完卷.第I卷〔选择题一共60分〕参考公式：.假如事件A,B互斥，那么球的外表积公式P(A +B) = P(A) +P(B)假如事件A,B互相HY，那么其中表示球的半径P(A • B) = P(A) .P(B) 球的体积公式假如事件k在一次试验中发生的概率是P，那么n次HY重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径-、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕.1. 假设i为虚数单位，m,n R，且=n+i 那么|m-n|=A. 0B. 1C. 2D. 32. 函数在R上连续，那么直线的倾斜角为A. arctan2B.- arctan2C. arctan( -2)D.+ arctan23. 直线与圆交于A,B两点，那么|AB|=A. B. C. D.4. 如图，在正方体从ABCD-EFGH 中，以下命题中错误的选项是A. BD // 面 FHAB. EC 丄 BDC. EC丄面 FHAD 异面直线BC与AH所成的角为60°5对于函数，有以下四个命题：①为奇函数；②的最小正周期为，③在(0，上单调递减，④x=是A 1个B 2个 C. 3个 D. 4个6.甲，乙，丙，丁，戊五人排队，假设某两人之间至多有一人，那么称这两人有“心灵感应〞，那么甲与乙有“心灵感应〞的概率是A. B. C. D.7. 条件P:，条件q:，那么P是q的A 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件8. 数列的前n项和为，=n2+n，数列的前n项和=那么n=A. 1B. 8C. 9D. 109. A,B,C三点在半径为1的球O面上，A,B及A、C的球面间隔均为，且OA与平面所成的角的正切值为，那么二面角B-0A-C的大小为A. B. C. D.10.某钢铁企业消费甲乙两种毛坯，消费每吨甲毛连要用4原料3吨，B原料2吨;消费每吨乙毛坯要用A原料1吨，B原料3吨。

高三第二次诊断检测数学(理)试题 Word版含答案

高级第二次诊断性测试题理科数学本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上的对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后，请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}|32,A x x n n ==+∈N ，{}14,12,10,8,6=B ，则集合=B A（A ）{}10,8（B ）{}12,8 （C ）{}14,8 （D ）{}14,10,8（2）已知复数满足(1)i 1i z -=+，则=z（A ）2i --（B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（3）等差数列的前n 项和为，且155=S ，52=a ，则公差d 等于（A ）3- （B ）（C ）（D ）（4）若非零向量,a b ，满足||||=a b ，(2)0-⋅=a b a ，则a 与b 的夹角为z {}n a n S 2-1-2（A ）6π （B ）3π（C ）23π （D ）56π（5）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ 2.4b =，ˆˆa y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）20 （6）将函数)4332sin(2π+=x y 图象上所有点的横坐标缩短为原来的31，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（A ）函数)(x g 的一条对称轴是4π=x （B ）函数)(x g 的一个对称中心是)0,2(π（C ）函数)(x g 的一条对称轴是2π=x （D ）函数)(x g 的一个对称中心是)0,8(π（7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）10 （B ）15 （C ） 18 （D ）20 （8）执行下图的程序框图，若输入的n 为6，则输出的p 为（A ）8 （B ）13 （C ） 29 （D ）35 （9）三棱锥BCD A -内接于半径为2的球O ，BC 过球心O ，当三棱锥 BCD A -体积取得最大值时，三棱锥BCD A -的表面积为（A ） 346+ （B ）328+ （C ）364+ （D ）348+ （10）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时， 12)(-=xx f ，则（A ）)211()7()6(f f f <-< （B ）11(6)()(7)2f f f <<- （C ）)6()211()7(f f f <<- （D ）11()(7)(6)2f f f <-<（11）已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右两焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于Q P ,两点，若2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中),3[2ππ∈∠PQF ，则双曲线离心率e的取值范围为（A ） )3,7[ （B ） )7,1[ （C ） )3,5[ （D ）)7,5[（12）已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为（A ）1(,1)2（B ）13(,)24（C ）1(,1)3 （D ）1(,2)2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

二诊数学理科答案 (1)

1 ⎨2 绵阳市高中 2021 级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．DCABBADBCDAD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．214．3.1215．2π 16．83三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5 ＋0.06×5 =0.5．所以阅读时间的中位数 m =10．………………………………………………4 分（2）由题意得，男生人数为 45 人，因此女生人数为 55 人，阅读时长大于等于 m 的人数为 100×0.5=50 人，故列联表为如右图： ………………………8 分K 2 的观测值 k = 100 ⨯ (25⨯ 30 - 25 ⨯ 20)2= 10050 ⨯ 50 ⨯ 45⨯ 55 99≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关．……12 分 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为 d ，等比数列{b n }的公比为 q ．⎧2a + d = 0， ⎪ ⎧a 1 = -1 由题意，得 ⎨6a + 6 ⨯ 5 d = 24.解得 ⎨d = 2.⎩⎪ 1 2⎩ ∴ a n = 2n - 3 ．………………………………………………………………… 4 分 ∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，⎧⎪b + b q = 6， ⎧b = 2， ⎧b 1 = 18，1 1由 ⎪b q = 8. 解得 ⎨ 1 q ⎪ = 2. 或 ⎨q =- 2 .(舍) ⎩ 1 ⎩ 1 ⎩⎪ 23 n -1n∴ b n = 2⨯ 2= 2 ．…………………………………………………………… 7 分（2）由（1）得， 1+b 1 +b 2 + + b n -1 =1+2+22 ++ 2n -1 =2n -1 ． ………………9 分T n =1+(1+b 1 )+(1+b 1 +b 2 )+ …+(1+b 1 +b 2 + … +b n -1 ) =1+ (22 -1) + (23 -1) + … +(2n -1) = (21 -1) + (22 -1) + (23 -1) + … +(2n -1)2(1- 2n )男女总计 t ≥m 25 25 50 t <m 20 30 50 总计4555100=-n =2n+1 -n - 2 ．………………………………………………12 分1- 23 a 2 319．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得(a + b )(a - b ) = c (c + b ) ，即 a 2 = b 2 + c 2 + bc ． …………………………………3 分b 2 +c 2 - a 21由余弦定理得 cos A == - ， ………………………………………5 分2bc2结合 0 < A < π ，可知 A = 2π ． ………………………………………………… 6 分31 1 3（2）在△ABC 中，S △ ABC = AB ⋅ AC sin ∠BAC = BC ⋅ AD ，即 bc = a ⋅ AD ．2 2 2由已知 BC = 2 AD ，可得 AD =．∴ 3bc = a 2 ． …………………………………………………………………… 9 分在△ABC 中，由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos120︒ ，即 3bc = b 2 + c 2 + bc ，整理得 (b - c )2 = 0 ，即 b =c ， ∴ A = B = π．6π 1∴ sin B = sin = ． …………………………………………………………12 分6 220．解：（1）设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 OA + OB + OP =0，且点 P (-1，1)，得 x 1 + x 2 =1，y 1 + y 2 = -1．①∴ 线段 AB 的中点坐标为( 1 ，- 1 2 2)，其在椭圆内． …………………………2 分⎧ x 2 2 + y 2 = 1， 2 2 ⎪ 2 2 x 2 - x 12 2由 ⎨ 两式相减得 x 22+ y 2 - y 1 = 0 ，⎪ 1+ y 2 = 1，⎪⎩ 21y 2 - y 2 1 ( y + y )( y - y ) 1 整理得2 1 = - ，即 2 1 2 1=- ． x 2 - x 22 (x + x )(x - x ) 22 1 2 1 2 1将①代入，得 k AB = y 2 - y 1 = 1．x 2 - x 1 2∴ 直线 AB 方程为 y - (- 1) = 1 (x - 1) ，即 2x -4y -3=0． ……………………4 分2 2 22 a + a 2 + 8 a - a 2 - 8 a 2 - 8联立 ⎪ 2⎩ ⎩y ⎧ x 2 + 2⎨ = 1，消去 x 得 24y 2 + 24y +1 = 0 ， ⎪⎩2x - 4 y - 3 = 0，由韦达定理得 y + y = -1， y y = 1．1 2∴ AB = 1 224 = 5 6 6． …………………………………6 分（2）设直线 AB 的方程为 x =ty +2．由题意得 M (x 1，-y 1)．由已知 MN = λ NB ，可知 M ，N ，B 三点共线，即 k MN = k MB ．∴0 - (- y 1 ) = y 2 - (- y 1 ) ，即 y 1 = y 2 + y 1 ，n - x 1 x 2 - x 1 n - x 1 x 2 - x 1解得 n = y 1 (x 2 - x 1 )+ x ． ……………………………………………………… 9 分 y + y 12 1将 x = ty + 2，x = ty + 2 ，代入得 n =2ty 1 y 2+ 2 ．②1122y + y⎧x 2 + 2 y 2 - 2 = 0联立 ⎨x = ty + 2， 12消去 x 得(t 2 +2)y 2 +4ty +2=0，由韦达定理得 y + y =-4t ， y y =2． ③ …………………………11 分12t 2 + 2 1 2 t 2 + 2将③代入②得到 n =1．……………………………………………………12 分21．解：（1） f '(x ) =2 + x - a = xx 2 - ax + 2 x (x >0)． ………………………………2 分令 g (x ) = x 2 - ax + 2 ，则 ∆ = a 2 - 8 ．① 当 a ≤0 或△≤0，即 a ≤ 2 2 时，得 f '(x ) ≥0 恒成立，∴ f (x ) 在 (0，+ ∞) 上单调递增． ………………………………………………3 分⎧a > 0，②当 ⎨∆> 0 即 a > 2 时，由 f '(x ) > 0 ，得 0 < x <由 f '(x ) < 0 ，得 2a - 2< x <a 2- 8 或 x > ； 2． 2 ∴ 函数 f (x ) 在 (0，和 ( 2 + ∞) 上单调递增，2a + 在( 上单调递减． ………………………………………5 分21 + 1 ( y + y )2- 4 y y k 2 1 2 1 2a - a 2 - 8 a - a 2 - 8 a + a 2- 8 a + a 2+ 8a + a 2 + 8 a - a 2- 8 1 2 x 2 2 综上所述，当 a ≤ 2 2 时， f (x ) 在 (0，+ ∞) 上单调递增；当 a > 2 时， f (x ) 在a a 2 - 8 a a 2 - 8 (0，和 ( 2 ，+ ∞) 上单调递增，在 ( 上单2 调递减．………………………………………………………………………6 分（2）由（1）知，当 a > 2 时， f (x ) 有两极值点 x 1，x 2 (其中 x 2 > x 1 )，由（1）得 x ，x 为 g (x ) = x 2 - ax + 2 = 0 的两根，于是 x 1 + x 2 = a ， x 1x 2 = 2 ．∴ f (x ) - f (x ) = 2ln x 2 + 1(x 2 - x 2 ) - a (x - x )2 1 2 1 2 11x x 2 - x 2 x x 2 - x 2= 2ln 2 - 2 1 = 2ln 2 - 21x 1 2 x 1 x 1x 2 = 2ln x 2 - x 2 + x1 ． ……………………………………………7 分x 1 x 1 x 2令 t = x 2 （ t > 1），则 f (x ) - f (x ) = h (t ) = 2ln t - t + 1 ．x 1 ∵ ' 2 12-t 2 + 2t -11 t -(t -1)2 ，h (t ) = -1- = =< 0t t 2t 2t 2∴ h (t ) 在 (1，+ ∞) 上单调递减．…………………………………………………9 分由已知 h (t ) = f (x ) - f (x ) 的最大值为 2ln 2 - 3，2 12而 h (2) = 2ln 2 - 2 + 1 = 2ln 2 - 3．2 2∴ t =2．………………………………………………………………………… 10 分设 t 的取值集合为 T ，则只要满足 T ⊆ [2，+ ∞) 且 T 中的最小元素为 2 的 T 集合均符合题意．又 a = 2(x 1 + x 2 )2 x 1x 2 = t + 1 t + 2 (t ∈T)，易知 ϕ(x ) = t + 1+ 2 在[2，+ ∞) 上单调递增，t 结合 a > 2 2 ，可得 a 与 t 是一一对应关系．而当 t =2，即 x2 =2 时，联合 x 1x 2 = 2 ，解得 x 2=2，x 1=1，进而可得 a =3．x 1 ∴ 实数 a 的取值范围为[3，+ ∞) 或[3，+ ∞) 的任意最小元素为 3 的子集．2 2……………………………………………………………… ………………12 分1 OA2 1 OB 2 22．解：（1）将 C 1 的参数方程化为普通方程为(x -1) 2 +y 2 =r 2 ．由x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ，得点 P (2， π)的直角坐标为(1， 3 )，代入 C 1，得 r 2 = 3 ，3∴ 曲线 C 1 的普通方程为(x -1)2 +y 2 =3．………………………………………3 分 C 2 可化为 ρ2 cos 2 θ - ρ2 sin 2 θ = 1，即 ρ2 (cos 2 θ - sin 2 θ ) = 1∴ 曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2 cos 2θ = 1．……………………………………5 分（2）将点 A (ρ ，α ) ， B (ρ ，α - π) 代入曲线 C 2 的极坐标方程，1 26 得 ρ 2 cos 2α =1 ， ρ 2cos(2α - π )=1 ，12 3∴1 + 1 = 1 + 1 = cos 2α + cos(2α - π) OA 2 OB 2 ρ 2 ρ 23 1 2 = 3 cos 2α + 3 sin 2α = 3 sin(2α + π) ． ……………………8 分2 23 由已知α ∈ (0 π ) ，可得 2α π (π 5π ) ，于是 3 sin(2α + π ) ∈( 3 ， 3] ．， + ∈ ，4 3 3 6 3 2所以 + 的取值范围是( 3， 2 ]． ………………………………10 分23．解：（1）由 a =4 时， log 1 a = -2 ．原不等式化为 x +1 - 2x -1 ≤ -2 ，2当 x ≥ 1 2时，x +1-(2x -1)≤-2，解得 x ≥4，综合得 x ≥4； ………………3 分当-1< x < 1 2 时， x +1+ 2x -1≤-2 ，解得 x ≤ - 2 3 ，综合得 -1 < x ≤ - 2；3当 x ≤-1 时， -(x +1) + 2x -1≤-2 ，解得 x ≤0，综合得 x ≤-1． ………… 4 分 ∴不等式的解集为{x | x ≤ - 2，或 x ≥4}．……………………………………6 分3（2）设函数 f (x ) = x + 1 - 2x -⎧⎪x - 2，x < -1，⎪ ⎪ ，-1≤ x < 11 = ⎨3x2 ⎪-x + 2.x 1⎪⎩≥ 2，画图可知，函数 f (x )的最大值为 3.23由3≤log2a ，解得0<a≤2．………………………………………………10 分412。

2021级高三第二次诊断性考试(理科数学)(Word可编辑版)

2021级高三第二次诊断性考试(理科数学)（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021级高三数学考试数学（理工类）本试卷分为试题卷和大题卷,其中试题卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成,共4页;大题卷共4页.全卷满分150分.考试结束后将大题卡和答题卷一并交回.第Ⅰ卷（选择题,共60分）注意事项:1.答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.3.参考公式:如果事件、互斥,那么;如果事件、相互独立,那么;如果事件在一次试验中发生的概率为,那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率:正棱锥、圆锥的侧面积公式:其中表示底周长,表示斜高或母线长. 球的体积公式:,其中表示球的半径.一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,把它选出来填涂在答题卡上.1.设,若存在,则常数的值为A -1B 0C 1 D2.设,则的值为A B C D3.若向量与共线,则A -3B 3C D4.若为圆的弦的中点,则弦所在直线的方程是A BC D5.在中, “”是“”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6.设是平面直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量,且,则的面积等于A 5B 9C 10D 157.不等式的解集是A B C D8.设是等差数列的前项和,若,则=A 5:9B 9:5C 3:5D 5:39.已知,且,则A 的符号不确定BC D10.已知函数,若,则A BC D的大小不能确定11.为了得到函数的图象,可以将函数的图象A 向左平移个单位长度B 向左平移个单位长度C 向右平移个单位长度D 向右平移个单位长度12.设,记,则A B C D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题4个小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.已知的半径为,是其圆周上的两个三等分点,则等于________14.若三个实数成等比数列,且成等差数列,则实数的取值范围是________15.已知,且成等比数列,则的值为________16.已知,是大于零的常数,且函数的最小值为9,则的值为________三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）在中,角、、所对的边分别是、、,若最短边长为1,求最长边的大小.18.（本题满分12分）已知三个不等式: 1; 2;3.若同时满足1和2的值也满足3,求的取值范围.19.（本题满分12分）某私营企业家准备投资1320万元新办一所完全中学（含教师薪金）.对教育市场进行调查后,得到了下面的数据（以班为单位）:学段班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师薪金（万元）初中402.5253.2/人高中454.0504.0/人根据教育、物价、财政等部门的有关部门规定,在达到办学要求的前提下,初中每人每年可收取学费7000元,高中每人每年可手学费8000元,那么第一年开办初中班和高中班各多少个,收取的学费最多? （注:一个学校办学规模以20至30个班为宜,教师实行聘任制）20.（本题满分12分）对于的三次函数（Ⅰ）若有极值,求的取值范围;（Ⅱ）当在（Ⅰ）中的取值范围内变化时,求的极大值和极小值之和,并求的最大值和最小值.21. （本题满分12分）已知点在圆上运动,, 直线与二次函数的图象——抛物线相交于、,而抛物线在点、处的两条切线的交点是,求的轨迹方程.22.（本题满分14分）已知正项数列满足,当时都有（Ⅰ）试求数列的通项公式;（Ⅱ）设…,试比较与的大小。

高三第二次诊断考试模拟数学(理)试题-Word版含答案

高三第二次诊断考试模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}4,2,0{=A ，}03|{2≥-=x x x B ，则集合B A 的子集个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．82.已知复数z 满足i z i -=⋅+2)1(（其中i 为虚数单位），则=||z （）A ．25 B ．210 C ．223 D ．10 3.若]6,1[∈a ，则函数xa x y +=2在区间),2[+∞内单调递增的概率是（）A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 4.中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（） A ．200 B ．300 C ．3500D ．400 5.已知双曲线M 的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为x y 2=，则双曲线M 的标准方程可能是（）A ．1422=-y x B ．164422=-y x C. 1422=-x y D ．1422=-x y 6.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．π105614++B ．π205614++ C. π1212+ D ．π105626++7.点),(y x P 的坐标满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥++≥-082704202y x y x y x ，由点P 向圆C ：1)1()2(22=-++y x 作切线PA ，切点为A ，则线段||PA 的最小值为（）A ．554 B ．555 C. 19 D ．2338.设50log ,18log ,3534.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．a c b >> 9.执行如图所示的程序框图，输出的n 值为（）A ．5B ．6 C. 7 D ．8 10.如图所示为函数)2||,0)(sin(2)(πϕωϕω≤>+=x x f 的部分图象，其中B A ,两点之间的距离为5，则函数)cos(2)(ωϕ+=x x g 图象的对称轴为（）A ．)(812Z k k x ∈-=B ．)(26Z k k x ∈-= C. )(86Z k k x ∈-= D ．)(212Z k k x ∈-=11.动直线l 与抛物线C ：y x 42=相交于B A ,两点，O 为坐标原点，若2=，则224)(OG OB OA --的最大值为（）A ．16-B ．8 C. 16 D ．2412.不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作][x .已知)]cos([)(x x x f -=，给出下列结论： ①)(x f 是偶函数；②)(x f 是周期函数，且最小值周期为π； ③)(x f 的单调递减区间为))(1,[Z k k k ∈+； ④)(x f 的值域为)1,1[cos . 其中正确的个数为（）A ．0B ．1 C. 2 D ．3第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量)1,(sin θ=，)0,sin (θ-=，)1,(cos -=θ，且//)2(-，则θ2s i n 等于． 14.若6)12(1=-⎰mdx x （其中1>m ），则多项式mxx )21(22-+展开式的常数项为． 15.已知正项等比数列}{n a 的公比1>q ，且满足62=a ，9002534231=++a a a a a a ，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若不等式n n S a +≤1λ对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的最大值为．16.下图是两个腰长均为cm 10的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为 3cm ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足0)2017sin()2016cos(3=+--C B c ππ.（1）求角B 的大小；（2）若动点D 在ABC ∆的外接圆上，且点B D ,不在AC 的同一侧，7=AC ，试求ACD ∆面积的最大值. 18.如图（1），在五边形BCDAE 中，AB CD //，90=∠BCD ，1==BC CD ，2=AB ，ABE ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形.现将ABE ∆沿AB 折起，使平面⊥ABE 平面ABCD ，如图（2），记线段AB 的中点为O .（1）求证：平面⊥ABE 平面EOD ；（2）求平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小.19.团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“2≥η”的概率.20.已知点M 是圆心为E 的圆16)3(22=++y x 上的动点，点)0,3(F ，O 为坐标原点，线段MF 的垂直平分线交EM 于点P . （1）求动点P 的轨迹H 的方程；（2）过原点O 作直线l 交（1）中的轨迹H 于点B A ,，点C 在轨迹H 上，且||||CB AC =，点D 满足CB CA CD +=，试求四边形ACBD 的面积的取值范围.21.已知函数x e ae x f x)2()(-+=（a 为实数，e 为自然对数的底数），曲线)(x f y =在0=x 处的切线与直线010)3(=+--y x e 平行.（1）求实数a 的值，并判断函数)(x f 在区间),0[+∞内的零点个数；（2）证明：当0>x 时，)1ln(1)(+>-x x x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==mt y t x （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数）.（1）若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围；（2）若点A 的坐标为)0,2(，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|3||1|)(--+=x x x f . （1）画出函数)(x f 的图象；（2）若不等式|1||1||13|)(+--+≥m m m x f 对任意实数1≠m 恒成立，求实数x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCBD 6-10: ABDCB 11-12:CB二、填空题13.1312-14.20- 15.34 16.π3500 三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，∵0)2017sin()2016cos(3=+--C b B c ππ， ∴0sin cos 3=+C b B c ，由正弦定理，得0sin sin cos sin 3=+C B B C ，又π<<C 0，∴0si n ≠C ，∴0si n cos 3=+C b B c ，即3tan -=B ，又π<<B 0，∴32π=B . （2）由点D 在ABC ∆的外接圆上，D B ,不在AC 的同侧，得3ππ=∠-=∠B D ，在ACD ∆中，由余弦定理，得D CD AD CD AD AC cos 2222⋅-+=CD AD D CD AD ⋅=-⋅≥)cos 1(2，即CD AD ⋅≥49，当且仅当CD AD =时，取等号.∴ACD ∆的面积43493sin 4921sin 21=⨯≤⋅=πD CD AD S . 19.（1）解：∵CD AB 2=，O 是线段AB 的中点，∴CD OB =.又∵AB CD //，∴四边形OBCD 为平行四边形，又90=∠BCD ，∴OD AB ⊥，又∵O 是等腰直角EAB ∆的中点，∴AB EO ⊥. ∵O DO EO = ，∴⊥AB 平面EOD . ∵⊂AB 平面ABE ， ∴平面⊥ABE 平面EOD .（2）∵平面⊥ABE 平面ABCD ，且AB EO ⊥，∴⊥EO 平面ABCD ，∴OD EO ⊥.∴OE OD OB ,,两两垂直，以O 为坐标原点，以OE OD OB ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.∵EAB ∆为等腰直角三角形，且1==BC CD ， ∴1====OE OD OB OA ，∴)0,0,0(O ，)0,0,1(-A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(E ，∴)0,0,1(-=CD ，)1,1,0(-=DE ，设平面ECD 的一个法向量为),,(z y x =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n CD n ，∴⎩⎨⎧=+-=-00z y x ，取1=z ，得)1,1,0(=n ， ∵⊥OD 平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为)0,1,0(=OD ，设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则22111|101100||,cos |cos 22=+⨯⨯+⨯+⨯=><=n OD θ， ∴平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角大小为45.19.解：（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则4920)(25022022525=++=C C C C A P ，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为4929)(1=-A P . （2）由题，知ξ的可能取值分别为0，1，24920)0(25022022525=++==C C C C P ξ， 4925)1(25012512012515=+==C C C C C P ξ， 494)2(25012015===C C C P ξ，从而ξ的分布列为49334942491490)(=⨯+⨯+⨯=ξE . （3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为215025==P ，所以)21,3(~B η，所以事件“2≥η”的概率为21)21()211()21()3()2(333223=+-==+=C C P P ηη.20.解：（1）由于点P 在线段MF 的垂直平分线上，故||||PF PM =，因此324||||||||||>==+=+ME PM PE PF PE ，故点P 轨迹为椭圆，其中42=a ，3=c ，因此P 点的轨迹H 的方程为1422=+y x . （2）由CB CA CD +=，知四边形ACBD 为平行四边形，故ABC ACBD S S ∆=2.（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意，知点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时2||||21==∆AB OC S ABC ，即4=ACBD S . （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为kx y =，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1422，消去y ，得04)41(22=-+x k ，故22414k x A +=，222414k k y A +=，所以2222241)1(4||kk y x OA AA++=+=，由||||CB AC =，知ABC ∆为等腰三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，所以直线OC 的方程为x ky 1-=，同理，得4)1(4)1(41])1(1[4||22222++=-+-+=k k k k OC ， )4)(41()1(44)1(441)1(4||||22222222+++=++⨯++===∆∆k k k k k k k OA OC S S OACADC ，设)1(12>=+t t k ，则425)211(91)3)(34(42+--=+-=∆t t t tS ADC ，而110<<t ，所以当211=t 时，58)(min =∆ADC S ，又110<<t ，所以2<∆ADC S ，所以258<≤∆ADC S ，综上所述，258≤≤∆ADC S .所以四边形ACBD 的面积的取值范围为]4,516[. 21. （1）e ae x f x-+=2)('，由题设，可知曲线)(x f y =在0=x 处的切线的斜率e e af k -=-+==32)0('，解得1=a ，∴x e e x f x)2()(-+=，∴当0≥x 时，022)('0>-+≥-+=e e e e x f x， ∴)(x f 在区间),0[+∞内为增函数，又01)0(>=f ，∴)(x f 在区间),0[+∞内没有零点. （2）当0>x 时，)1ln(1)(+>-x x x f 等价于)1ln(1)(+>-x xx f ，记)1()(+-=x e x g x ，则1)('-=xe x g ，当0>x 时，0)('>x g ， ∴当0>x 时，)(x g 在区间),0(+∞内单调递增，∴0)0()(=>g x g ，即1+>x e x，两边取自然对数，得)1ln(+>x x （0>x ）， ∴要证明)1ln(1)(+>-x x x f （0>x ），只需证明x xx f >-1)(（0>x ），即证当0>x 时，01)2(2≥--+-x e x e x，①设1)2()(2--+-=x e x e x h x，则e x e x h x-+-=22)('，令e x e x x-+-=22)(ϕ，则2)('-=xe x ϕ，当)2ln ,0(∈x 时，0)('<x ϕ；当),2(ln +∞∈x 时，0)('>x ϕ.∴)(x ϕ在区间)2ln ,0(内单调递减，在区间),2(ln +∞内单调递增，又03)0(>-=e ϕ，0)1(=ϕ，12ln 0<<，∴0)2(ln <ϕ，∴存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，∴当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)(>x ϕ；当)1,(0x x ∈时，0)(<x ϕ，∴)(x h 在区间),0(0x 内单调递增，在区间)1,(0x 内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增，又0)1()0(==h h ，∴01)2()(2≥--+-=x e x e x h x ，当且仅当1=x 时，取等号，即①式成立， ∴)1ln(1)(+>-x x x f .22.解：（1）直线l 的普通方程为mx y =，圆C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，圆心)1,0(C 到直线l 的距离112+=m d ，相交弦长为11122222+-=-m d r ，令21112≥+-m ，解得1-≤m 或1≥m .即实数m 的取值范围为),1[]1,(+∞--∞ .（2）设)si n 1,(cos αα+P ，),(y x Q ，则由线段的中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2sin 122cos ααy x （α为参数），消去参数α并整理，得1)12()22(22=-+-y x ，即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为41)21()1(22=-+-y x .23.解：（1）由零点分段法，得⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤---<-=)3(4)31(22)1(4)(x x x x x f ，函数)(x f 的图象如图所示，（2）2|1||113||1||1||13|=+-++≤+--+m m m m m m ，当且仅当0)1)(13(≤-+m m 且|1||13|m m -≥+，1≠m ，即1≥m 或1-<m 时，取等号. 由不等式|1||1||13|)(+--+≥m m m x f 对任意实数1≠m 恒成立，得2|3||1|≥--+x x由（1）中图象，可知2≥x ，所以实数x 的取值范围是}2|{≥x x .。

高三第二次诊断考试数学(理)试题

高三第二次诊断考试数学（理）试题考生注意：1．本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在本试卷上，否则无效。

4．回答第II 卷时，须用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡上相对应的答题区域内，写在本试题上无效。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|31,},{|5,},A x x k k N B x x x Q AB ==+∈=≤∈则等于A ．{1，2，4}B ．{1，2，5}C ．{1，4，5}D ．{1，2，4，5}2．已知角α的终边经过点4(,3),cos ,5P m m α-=-且则等于A ．114-B ．114C ．—4D ．43．已知命题:,sin p x x x ∀∈>R ，则p 的否定形式为 A ．000,sin x x x ∃∈<R B ．000,sin x x x ∃∈≤RC ．,sin x x x ∀∈≤RD ．,sin x x x ∀∈<R4．函数ln(1)y x =-的大致图象为5．1tan12tan12ππ-等于A ．4B ．—4C ．23D ．—236．设2()()(0)11f x x ax bx c a x x =++≠==-在和处无有极值，则下列点中一定在x 轴上的是A ．(,)a bB ．(,)a cC ．(,)b cD ．(,)a b c +7．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如图所示，则在（-2，0）上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是A ．21y x =+B ．||1y x =+C ．321(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．(0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩8．函数()sin()(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度9．若0,2x π<<1sin x x <”是“1sin x x>”A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件10．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于A ．89B ．109C ．169D ．28911．已知2223tan 1()[0,]21tan x x f x m x xπ+-=-∈+在上有两个不同的零点，则m 的取值范围为 A ．（-1，2）B ．[1,2)C ．2,2)D ．[3,2)12．已知函数211()()1x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的*,()3x N f x ∈≥恒成立，则a 的最小值等于A ．83-B ．—3C．3-+D ．-6第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上。