核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间中的垂直关系习题 理

§8.5 空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若l⊥m，m⊥平面α，则l∥α或l⊂α；若l∥α，m⊥平面α，则l⊥m，∴“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选B.(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解：对于A，由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，B错误；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，C 错误；对于D，l，m平行、异面都有可能，D错误．故选A.在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，可知AE ⊥侧面BB 1C 1C ，∠ADE 就是AD 与侧面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则在Rt △AED 中，DE ＝12a ，AE ＝32a ，tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°.故选C .如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，连接BC，在β内作CD⊥l，交l于点D，连接AD.∵l⊥CD，l⊥AC，AC∩CD＝C，∴l⊥面ACD.∴l⊥AD.故∠ADC为二面角α­l­β的平面角，即∠ADC＝60°，易知∠ABC 为直线AB 与平面β所成的角． 设CD ＝a ，则AD ＝2a ，AC ＝3a . 又∵∠ABD ＝30°，∴AB ＝4a .∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝3a 4a ＝34.故填34.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝______时，CF ⊥平面B 1DF .解：B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF . 要CF ⊥平面B 1DF ，只要CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，∠A 1FD ＝∠ACF ，∠AFC ＝∠A 1DF ， 设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a， 解得x ＝a 或x ＝2a .(亦可由勾股定理求得)故填a 或2a.类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，D1D ⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明：(1)∵D1D⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴D1D⊥BD.又∵AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵AD∩D1D＝D，∴BD⊥面ADD1A1.又AA1⊂面ADD1A1, ∴AA1⊥BD.(2)连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接A 1E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，∴四边形A 1ECC 1为平行四边形．∴CC 1∥A 1E .又∵A 1E ⊂面A 1BD ，CC 1⊄面A 1BD ， ∴CC 1∥面A 1BD .【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A 1BD 中没有与CC 1平行的直线，故需作辅助线．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知E为B1C的中点，又D为AB1的中点，∴DE∥AC.又∵DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，∴DE∥平面AA1C1C.(2)∵棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1.又∵AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面BCC1B1.又∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC.∵BC＝CC1，∴矩形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面B1AC.又∵AB1⊂平面B1AC，∴BC1⊥AB1.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ­ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CE . 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD . 又PA ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD . (2)由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，CE ＝CD ·sin45°＝1，DE ＝CD ·cos45°＝1， 又因为AB ＝1，则AB ＝CE . 又CE ∥AB ，AB ⊥AD ，所以四边形ABCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形． 因为AD ＝3，所以BC ＝AE ＝AD －DE ＝2，S ABCD ＝12(BC ＋AD )·AB ＝12(2＋3)×1＝52，V P ­ABCD ＝13S ABCD ·PA ＝13×52×1＝56.于是四棱锥P ­ABCD 的体积为56.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD 是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2015·浙江)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC.证明：设E为BC的中点，连接A1E，DE，AE，由题意得A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥AE.∵AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，∴四边形A1AED为平行四边形，∴A1D∥AE.又∵AE⊥平面A1BC，∴A1D⊥平面A1BC.类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．如图，在三棱锥V ­ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ；(2)当角θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．解：(1)证明：∵AC ＝BC ＝a ，∴△ACB 是等腰三角形．又D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB . 又VC ⊥底面ABC ，∴VC ⊥AB . 于是AB ⊥平面VCD .又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)在平面VCD 内过点C 作CH ⊥VD 于H ，则由(1)知CH ⊥平面VAB . 连接BH ，于是∠CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在Rt △CHD 中，易知CH ＝22a sin θ.设∠CBH ＝φ，在Rt △BHC 中，CH ＝a sin φ，∴22sin θ＝sin φ. ∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1，0<sin φ<22.又0<φ<π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.类型四 垂直综合问题如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B ­PA ­C 的余弦值．解：(1)证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点，∴AC ⊥OD .又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO .∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .而AC ⊂平面PAC ，∴平面POD ⊥平面PAC .(2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ，∴OH ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥OH .在平面PAO 中，过O 作OG ⊥PA 于G ，连接HG ，则有PA ⊥平面OGH ，从而PA ⊥HG ，∴∠OGH 是二面角B ­PA ­C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt△POD中，OH＝PO·ODPO2＋OD2＝2×222＋12＝105，在Rt△POA中，OG＝PO·OAPO2＋OA2＝2×12＋1＝63，在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG ＝10563＝155，所以cos∠OGH＝105.故二面角B­PA­C的余弦值为10 5.【点拨】本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等．第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角B­PA­C的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可．注意尽量将计算问题放在直角三角形内．(2015·陕西)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解：(1)在图1中，∵AB ＝BC ＝1，AD ＝2, E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，∴四边形ABCE为正方形，∴BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，∴CD ⊥平面A 1OC .(2)∵平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且由(1)知BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，∴∠A 1OC 为二面角A 1­BE ­C的平面角，∴∠A 1OC ＝π2.以O 为坐标原点，OB →，OC →，OA 1→所在方向分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，∵A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ； (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α； (2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ； 设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC.1．已知α，β为两个不同的平面，l为直线，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直．故选D.2．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )A.23B.33C.63D．1解：由题意知平面ABC⊥平面β，∴点D到BC的距离为点D到平面ABC的距离．由题设知BC＝3，CD＝2，∴点D到平面ABC的距离为23＝63.故选C.3．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面解：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．故选D.4．(2015·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解：依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC 不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，∴平面VBC⊥平面VAC，D正确．故选D.5．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B­AD­C，则BD与平面ABC所成角的正切值为( )A. 2B.22C．1 D.33解：在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE ，二面角B ­AD ­C 为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ，BD ⊥AC .又∵DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE .∴平面BDE ⊥平面ABC ，故∠DBE 是BD 与平面ABC 所成角，由翻折不变性可知DE ＝12AB ＝22BD ，在Rt △BDE 中，tan ∠DBE ＝DE BD ＝22(亦可由射影法cos ∠BED ＝S 射S 原＝S △ADC S △ABC ＝DE BE ＝33或坐标法求得)．故选B . 6．(2015·衡水模拟)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°解：对于A ，由于AA 1＝AB ＝AD ，∴点A 在平面A 1BD 上的射影必到点A 1，B ，D 的距离相等，即点H 是△A 1BD 的外心，而A 1B ＝A 1D ＝BD ，∴点H 是△A 1BD 的垂心，命题A 是真命题；对于B ，由于B 1D 1∥BD ，CD 1∥A 1B ，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH ⊥平面A 1BD ，从而AH ⊥平面CB 1D 1，命题B 是真命题；对于C ，由于AH ⊥平面A 1BD ，AC 1⊥平面A 1BD ，∴AH 的延长线经过C 1，命题C 是真命题；对于D ，由C 知直线AH 即是直线AC 1，又直线AA 1∥BB 1，∴直线AH 和BB 1所成的角为∠A 1AC 1，而tan ∠A 1AC 1＝2，命题D 是假命题．故选D .7．(2015·福建月考)点P 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是____________．解：由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD1C，直线BC1⊄平面AD1C，∴直线BC1∥平面AD1C.∵VA­D1PC＝VP­AD1C，且点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥A­D1PC的体积不变，①正确；连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.∵A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，∴DP不垂直BC1.③错误；∵直线AC⊥平面D1DBB1，DB1⊂平面D1DBB1，∴AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.∴DB1⊥平面ACD1.又∵DB1⊂平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．综上知，①②④正确．故填①②④.8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A­D1QC的体积不变；④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．解：三棱锥A1­ABC的四个面都是直角三角形，①错误；P在FG上运动时，PF⊥平面ABCD，∴PF⊥DE，又在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，∴AF⊥DE，∴DE⊥平面PAF，∴DE⊥PA，②正确；VA­D1QC＝VQ­AD1C，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴无论点Q在BC1上怎样运动，Q到平面AD1C的距离都相等，③正确；到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，而面A1BCD1∩面A1B1C1D1＝A1D1，∴点M的轨迹是线段A1D1，④正确．故填②③④.9．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G 分别是棱C1D1，DD1的中点．设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值．解：如图示，连接EE 1，EB .(1)证明：∵E 1G ＝2，FE 1＝FG ＝2，易得FE 21＋FG 2＝E 1G 2，∴FG ⊥FE 1.又∵EE 1⊥面CC 1D 1D ，∴EE 1⊥FG .又EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG ⊥平面FEE 1.(2)∵E 1G ∥AB ，∴∠EAB 即为异面直线E 1G 与EA 所成的角．∵BE ⊥AB ，AB ＝2，BE ＝2，∴AE ＝ 6.∴sin ∠EAB ＝BE AE ＝26＝33. 10．已知四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形．(1)若PD ＝AD ，求PC 与面ABCD 所成的角；(2)求证：平面PBC ⊥平面PCD .解：(1)∵PD ⊥平面ABCD ，∴DC 是直线PC 在平面ABCD 上的射影，∴∠PCD 是直线PC 和平面ABCD 所成的角．又∵PD ＝DA ，四边形ABCD 是正方形，∴PD ＝DC .∴∠PCD ＝45°，即直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD .又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD .11．(2015·湖南)如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC的体积．解：(1)证明：如图，∵三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴AE⊥BB1.又E是正三角形ABC 的边BC的中点，∴AE⊥BC.∴AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.∵△ABC是正三角形．∴CD⊥AB.又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴CD⊥AA1.∴CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．由题设，∠CA1D＝45°，∴A1D＝CD＝32AB＝ 3.在Rt△AA1D中，AA1＝A1D2－AD2＝3－1＝2，∴FC ＝12AA 1＝22. 故三棱锥F ­AEC 的体积V ＝13S △AEC ×FC ＝13×32×22＝612. (2015·安徽)如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin60°＝32. 由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高，又PA ＝1，∴三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA ，交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，又MN ∥PA ，∴MN ⊥AC .又BN ⊥AC ，BN ∩MN ＝N ，BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，∴AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，∴AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.。