2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1
人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题
人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
人教版数学高二选修2-1课后训练 2-2-1 椭圆及其标准方程
04课后课时精练一、选择题1.命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |+|PB |=2a (a >0且a 为常数);命题乙:P 点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 解析:∵乙⇒甲且甲D ⇒/乙, ∴甲是乙的必要不充分条件. 答案:B2.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F 在BC 上,则△ABC 的周长是( )A. 23B. 6C. 4 3D. 12解析:可知a =3,由椭圆的定义得|BF |+|BA |=|CF |+|CA |=2a =23,∴(|BF |+|CF |)+|BA |+|CA |=|BA |+|CA |+|BC |=43,即△ABC 的周长为43,故选C.答案:C3. 焦点在坐标轴上,且a 2=13,c 2=12的椭圆的标准方程为( )A. x 213+y 212=1B. x 213+y 225=1或x 225+y 213=1 C. x 213+y 2=1D. x 213+y 2=1或x 2+y213=1解析:显然,此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上,题中也没有条件能够得出相应的信息,所以本题中的标准方程应有两种情况,所以排除A 和C ,又由于a 2=13,c 2=12,∴b 2=1.答案:D4.点A (a,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是( ) A .-2<a < 2 B .a <-2或a > 2 C .-2<a <2D .-1<a <1解析:由已知可得a 24+12<1,∴a 2<2,即-2<a < 2. 答案:A5.设F 1、F 2是椭圆x 216+y 212=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且P 到F 1、F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .斜三角形D .直角三角形解析:由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a =8. 由题可得|PF 1|-|PF 2|=2,则|PF 1|=5,|PF 2|=3.又|F 1F 2|=2c =4, ∴△PF 1F 2为直角三角形. 答案:D6.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)解析:将方程x 2+ky 2=2变形为x 22+y 22k=1.∵焦点在y 轴上,∴2k >2且k >0,∴0<k <1.答案:D 二、填空题7.椭圆x 212+y 23=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的________倍.解析:由已知椭圆的方程得a =23,b =3,c =3,F 1(-3,0),F 2(3,0).由于焦点F 1和F 2关于y 轴对称, ∴PF 2必垂直于x 轴.∴P (3,32)或P (3,-32),|PF 2|=32, |PF 1|=2a -|PF 2|=732. ∴|PF 1|=7|PF 2|.答案:78.已知F 1、F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |+|F 2B |=12,则|AB |=________.解析:|AB |=|F 1A |+|F 1B |=(2a -|F 2A |)+(2a -|F 2B |)=4a -(|F 2A |+|F 2B |)=20-12=8.答案:89.M 是椭圆x 29+y 24=1上的任意一点,F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________.解析:|MF 1|+|MF 2|=2a .|MF 1|·|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=a 2=9. 答案:9 三、解答题10.已知圆A :x 2+(y +6)2=400,圆A 内一定点B (0,6),圆C 过B 点且与圆A 内切,求圆心C 的轨迹方程.解:设动圆C 的半径为r ,则|CB |=r . ∵圆C 与圆A 内切,∴|CA |=20-r . ∴|CA |+|CB |=20.又|AB |=12,∴|CA |+|CB |=20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆. ∵2a =20,2c =12,∴a =10,c =6,b 2=64. 又∵A 、B 在y 轴上,∴C 点的轨迹方程为y 2100+x 264=1. 11.求适合下列条件的椭圆的方程. (1)焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);(2)焦点在y 轴上,与y 轴的一个交点为P (0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解:(1)因为椭圆的焦点在x 轴上,所以可设它的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0). ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2+0b 2=1,0a 2+1b 2=1,∴⎩⎨⎧a 2=4,b 2=1,故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0).∵P (0,-10)在椭圆上,∴a =10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2, ∴-c -(-10)=2,故c =8,∴b 2=a 2-c 2=36,∴所求椭圆的标准方程是y 2100+x 236=1.12. 设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点. (1)若椭圆C 上的点A (1,32)到F 1,F 2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程.解:(1)椭圆C 的焦点在x 轴上,由椭圆上的点A 到F 1,F 2两点的距离之和是4,得2a =4,即a =2.又点A (1,32)在椭圆上,因此122+(32)2b 2=1,得b 2=3,则c 2=a 2-b 2=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).(2)设椭圆C 上的动点K (x 1,y 1),线段F 1K 的中点Q (x ,y ),则x =-1+x 12,y =y 12,即x 1=2x +1,y 1=2y .因为点K (x 1,y 1)在椭圆x 24+y 23=1上,所以(2x +1)24+(2y )23=1,即(x +12)2+4y 23=1,此即为所求的轨迹方程.。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册课后练习及章末检测 含解析
选择性必修第一册全册课后练习及章末测验第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1第1课时空间向量与平行关系........................................................................... - 34 -1.4.1第2课时空间向量与垂直关系........................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离夹角问题................................................................................... - 50 -第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 82 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 86 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 91 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 96 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................. - 101 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离..................................... - 106 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 112 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 116 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 121 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 127 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 143 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 143 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质......................................................................... - 148 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用......................................................... - 154 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 162 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 168 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 176 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 182 -第三章章末测验.......................................................................................................... - 189 -第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1.空间任意四个点A ,B ,C ,D ,则DA →+CD →-CB →等于( ) A .DB → B .AC → C .AB → D .BA → D [DA →+CD →-CB →=DA →+BD →=BA →.]2.设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO →+OB →=DO →+OC →,则四边形ABCD 是( )A .平行四边形B .空间四边形C .等腰梯形D .矩形A [∵AO →+OB →=DO →+OC →,∴AB →=DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|=|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形.]3.已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,下列条件中能确定点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )A .OM →=OA →+OB →+OC → B .OM →=2OA →-OB →-OC → C .OM →=OA →+12OB →+13OC →D .OM →=13OA →+13OB →+13OC → D [由OM →=13OA →+13OB →+13OC →,可得3OM →=OA →+OB →+OC →⇒OM →-OA →+OM →-OB →+OM →-OC →=0, 即AM →=-BM →-CM →.所以AM →与BM →,CM →在一个平面上,即点M 与点A ,B ,C 一定共面.] 4.若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →=mOA →+nOB →,其中m +n =1,则( )A .P ∈AB B .P ∉ABC .点P 可能在直线AB 上D .以上都不对A [因为m +n =1,所以m =1-n , 所以OP →=(1-n )OA →+nOB →, 即OP →-OA →=n (OB →-OA →), 即AP →=nAB →,所以AP →与AB →共线. 又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上, 即P ∈AB .]5.已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是A 1C 1的中点, 点F 是AE 的三等分点,且AF =12EF ,则AF →=( )A .AA 1→+12AB →+12AD → B .12AA 1→+12AB →+12AD →C .12AA 1→+16AB →+16AD → D .13AA 1→+16AB →+16AD →D [如图所示,AF →=13AE →,AE →=AA 1→+A 1E →,A 1E →=12A 1C 1→,A 1C 1→=A 1B 1→+A 1D 1→,A 1B 1→=AB →,A 1D 1→=AD →,所以AF →=13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→+12A 1C 1→=13AA 1→+16AB →+16AD →,故选D.]二、填空题6.已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由OM →=-2OA →+OB →+λOC →确定的点M 与A ,B ,C 共面,则λ=________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知:-2+1+λ=1,即λ=2.]7.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,用a ,b ,c 表示D 1M →,则D 1M →=________.12a -12b +c [D 1M →=D 1D →+DM → =A 1A →+12(DA →+DC →) =c +12(-A 1D 1→+A 1B 1→) =12a -12b +c .]8.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,则EF →和AD →+BC →的关系是________.(填“平行”,“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点,则EF →=EG →+GF →=12BC →+12AD →=12(AD →+BC →) 所以2EF →=AD →+BC →, 从而EF →∥(AD →+BC →).] 三、解答题9.如图,在空间四边形ABCD 中,G 为△BCD 的重心,E ,F 分别为边CD 和AD 的中点,试化简AG →+13BE →-12AC →,并在图中标出化简结果的向量.[解] ∵G 是△BCD 的重心,BE 是CD 边上的中线,∴GE →=13BE →.又12AC →=12(DC →-DA →)=12DC →-12DA →=DE →-DF →=FE →, ∴AG →+13BE →-12AC →=AG →+GE →-FE →=AF →(如图所示).10.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC =2∶1,求证:A 1N →与A 1B →,A 1M →共面.[证明] ∵A 1B →=AB →-AA 1→, A 1M →=A 1D 1→+D 1M →=AD →-12AA 1→, AN →=23AC →=23(AB →+AD →), ∴A 1N →=AN →-AA 1→ =23(AB →+AD →)-AA 1→=23(AB →-AA 1→)+23(AD →-12AA 1→) =23A 1B →+23A 1M →, ∴A 1N →与A 1B →,A 1M →共面.11.(多选题)若A ,B ,C ,D 为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( ) A .AB →+2BC →+2CD →+DC → B .2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →C.AB →+CA →+BD →D.AB →-CB →+CD →-AD →BD [A 中,AB →+2BC →+2CD →+DC →=AB →+2BD →+DC →=AB →+BD →+BD →+DC →=AD →+BC →;B 中,2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →=2AC →+3CA →+AC →=0;C 中,AB →+CA →+BD →=AD →+CA →;D 中,AB →-CB →+CD →-AD →=AB →+BC →+CD →+DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路,结果必为0.]12.(多选题)有下列命题,其中真命题的有( ) A .若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线 B .若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线C .若e 1,e 2为不共线的非零向量,a =4e 1-25e 2,b =-e 1+110e 2,则a ∥b D .若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0BCD [根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故A 错;因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以B 正确;由于a =4e 1-25e 2=-4-e 1+110e 2=-4b ,所以a ∥b ,故C 正确;易知D 也正确.]13.(一题两空)已知A ,B ,C 三点共线,则对空间任一点O ,若OA →=2OB →+μOC →,则μ=________;存在三个不为0的实数λ,m ,n ,使λOA →+mOB →+nOC →=0,那么λ+m +n 的值为________.-1 0 [由A 、B 、C 三点共线,∴2+μ=1,∴μ=-1,又由λOA →+mOB →+nOC →=0得OA →=-m λOB →-n λOC →由A ,B ,C 三点共线知-m λ-nλ=1,则λ+m +n =0.]14.设e 1,e 2是平面上不共线的向量,已知AB →=2e 1+k e 2,CB →=e 1+3e 2,CD →=2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则实数k 为________.-8 [因为BD →=CD →-CB →=e 1-4e 2,AB →=2e 1+k e 2,又A ,B ,D 三点共线,由共线向量定理得12=-4k ,所以k =-8.]15.如图所示,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是ABCD 所在平面外的一点,连接P A ,PB ,PC ,PD .设点E ,F ,G ,H 分别为△P AB ,△PBC ,△PCD ,△PDA 的重心.(1)试用向量方法证明E ,F ,G ,H 四点共面;(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系,并用向量方法证明你的判断. [证明] (1)分别连接PE ,PF ,PG ,PH 并延长,交对边于点M ,N ,Q ,R ,连接MN ,NQ ,QR ,RM ,∵E ,F ,G ,H 分别是所在三角形的重心,∴M ,N ,Q ,R 是所在边的中点,且PE →=23PM →,PF →=23PN →,PG →=23PQ →,PH →=23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形,∴MQ →=MN →+MR →=(PN →-PM →)+(PR →-PM →)=32(PF →-PE →)+32(PH →-PE →)=32(EF →+EH →).又MQ →=PQ →-PM →=32PG →-32PE →=32EG →.∴EG →=EF →+EH →,由共面向量定理知,E ,F ,G ,H 四点共面.(2)平行.证明如下:由(1)得MQ →=32EG →,∴MQ →∥EG →, ∴EG →∥平面ABCD .又MN →=PN →-PM →=32PF →-32PE → =32EF →,∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF =E ,∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1.已知a ⊥b ,|a |=2,|b |=3,且(3a +2b )⊥(λa -b ),则λ等于( ) A .32 B .-32 C .±32 D .1A [∵a ⊥b ,∴a ·b =0,∵3a +2b ⊥λa -b ,∴(3a +2b )·(λa -b )=0, 即3λa 2+(2λ-3)a ·b -2b 2=0,∴12λ-18=0,解得λ=32.]2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE →·AF →的值为( )A .a 2B .12a 2C .14a 2D .34a 2C [AE →·AF →=12(AB →+AC →)·12AD →=14(AB →·AD →+AC →·AD →)=14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12+a ×a ×12=14a 2.]3.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A .AD 1→·B 1C →B .BD 1→·AC →C .AB →·AD 1→ D .BD 1→·BC →D [对于选项A ,当四边形ADD 1A 1为正方形时,可得AD 1⊥A 1D ,而A 1D ∥B 1C ,可得AD 1⊥B 1C ,此时有AD 1→·B 1C →=0;对于选项B ,当四边形ABCD 为正方形时,AC ⊥BD ,易得AC ⊥平面BB 1D 1D ,故有AC ⊥BD 1,此时有BD 1→·AC →=0;对于选项C ,由长方体的性质,可得AB ⊥平面ADD 1A 1,可得AB ⊥AD 1,此时必有AB →·AD 1→=0;对于选项D ,由长方体的性质,可得BC ⊥平面CDD 1C 1,可得BC ⊥CD 1,△BCD 1为直角三角形,∠BCD 1为直角,故BC 与BD 1不可能垂直,即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A .60°B .150°C .90°D .120°D [BA 1→=BA →+AA 1→,|BA 1→|=2a ,AC →=A B →+AD →,|AC →|=2a .∴BA 1→·AC →=BA →·AB →+BA →·AD →+AA 1→·AB →+AA 1→·AD →=-a 2. ∴cos 〈BA 1→,AC →〉=-a 22a ·2a =-12.∴〈BA 1→,AC →〉=120°.]5.如图所示,在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,AB =1,AD =2,AA ′=3,∠BAD =90°,∠BAA ′=∠DAA ′=60°,则AC ′的长为( )A .13B .23C .33D .43B [∵AC ′→=AB →+BC →+CC ′→,∴AC ′→2=(AB →+BC →+CC ′→)2=AB →2+BC →2+CC ′→2+2(AB →·BC →+AB →·CC ′→+BC →·CC ′→) =12+22+32+2(0+1×3cos 60°+2×3cos 60°) =14+2×92=23,∴|AC ′→|=23,即AC ′的长为23.] 二、填空题6.已知a ,b 是空间两个向量,若|a |=2,|b |=2,|a -b |=7,则cos 〈a ,b 〉=________.18[将|a -b |=7两边平方,得(a -b )2=7. 因为|a |=2,|b |=2,所以a ·b =12.又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉,故cos 〈a ,b 〉=18.]7.已知a ,b 是异面直线,A ,B ∈a ,C ,D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b ,且AB =2,CD =1,则a ,b 所成的角是________.60° [AB →=AC →+CD →+DB →,∴CD →·AB →=CD →·(AC →+CD →+DB →)=|CD →|2=1, ∴cos 〈CD →,AB →〉=CD →·AB →|CD →||AB →|=12,∴异面直线a ,b 所成角是60°.]8.已知|a |=2,|b |=1,〈a ,b 〉=60°,则使向量a +λb 与λa -2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.(-1-3,-1+3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,cos 〈a +λb ,λa -2b 〉≠-1. 即⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,(a +λb )·(λa -2b )≠-|a +λb ||λa -2b |,得λ2+2λ-2<0.∴-1-3<λ<-1+ 3.] 三、解答题9.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,侧棱P A 的长为2,且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°,M 是PC 的中点,设AB →=a ,AD →=b ,AP →=c .(1)试用a ,b ,c 表示出向量BM →; (2)求BM 的长.[解] (1)∵M 是PC 的中点,∴BM →=12(BC →+BP →)=12[AD →+(AP →-AB →)] =12[b +(c -a )]=-12a +12b +12c .(2)由于AB =AD =1,P A =2,∴|a |=|b |=1,|c |=2,由于AB ⊥AD ,∠P AB =∠P AD =60°,∴a·b =0,a·c =b·c =2·1·cos 60°=1, 由于BM →=12(-a +b +c ),|BM →|2=14(-a +b +c )2=14[a 2+b 2+c 2+2(-a·b -a·c +b·c )]=14[12+12+22+2(0-1+1)]=32.∴|BM →|=62,∴BM 的长为62.10.如图,已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,AC =BC =AA ′,∠ACB =90°,D ,E 分别为AB ,BB ′的中点.(1)求证:CE ⊥A ′D ;(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. [解] (1)证明:设CA →=a ,CB →=b ,CC ′→=c , 根据题意得|a |=|b |=|c |,且a·b =b·c =c·a =0. ∴CE →=b +12c ,A ′D →=-c +12b -12a .∴CE →·A ′D →=⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-c +12b -12a =-12c 2+12b 2=0, ∴CE →⊥A ′D →,即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→=-a +c ,∴|AC ′→|=2|a |,|CE →|=52|a |, ∵AC ′→·CE →=(-a +c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12c =12c 2=12|a |2, ∴cos 〈AC ′→,CE →〉=12|a |22×52|a |2=1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11.(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列命题正确的有( ) A .(AA 1→+AD →+AB →)2=3AB →2 B .A 1C →·(A 1B 1→-A 1A →)=0 C .AD 1→与A 1B →的夹角为60° D .正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图,(AA 1→+AD →+AB →)2=(AA 1→+A 1D 1→+D 1C 1→)2=AC 1→2=3AB →2;A 1C →·(A 1B 1→-A 1A →)=A 1C →·AB 1→=0;AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角,而D 1C →与D 1A →的夹角为60°,故AD 1→与A 1B →的夹角为120°;正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心, 则AC 1→与CE →( )A .重合B .平行但不重合C .垂直D .无法确定C [AC 1→=AB →+AD →+AA 1→,CE →=CC 1→+C 1E →=AA 1→-12(AB →+AD →),于是AC 1→·CE →=(AB →+AD →+AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1-12(AB →+AD →)=AB →·AA 1→-12AB →2-12AB →·AD →+AD →·AA 1→-12AD →·AB →-12AD →2+AA 1→2-12AA 1→·AB →-12AA 1→·AD →=0-12-0+0-0-12+1-0-0=0,故AC 1→⊥CE →.]13.(一题两空)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AD =AA 1=1,AB =2,P 是C 1D 1的中点,则B 1C →·A 1P →=________,B 1C →与A 1P →所成角的大小为________.1 60° [法一:连接A 1D ,则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角.连接PD ,在△P A 1D 中,易得P A 1=DA 1=PD =2,即△P A 1D 为等边三角形,从而∠P A 1D =60°,即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →=2×2×cos 60°=1.法二:根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →=(A 1A →+AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →+12AB →=AD →2=1. 由题意可得P A 1=B 1C =2,则2×2×cos 〈B 1C →,A 1P →〉=1,从而〈B 1C →,A 1P →〉=60°.]14.已知在正四面体D -ABC 中,所有棱长都为1,△ABC 的重心为G ,则DG 的长为________.63 [如图,连接AG 并延长交BC 于点M ,连接DM ,∵G 是△ABC 的重心,∴AG =23AM ,∴AG →=23AM →,DG →=DA →+AG →=DA →+23AM →=DA →+23(DM →-DA →)=DA →+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →+DC →)-DA →=13(DA →+DB →+DC →),而(DA →+DB →+DC →)2=DA →2+DB →2+DC →2+2DA →·DB →+2DB →·DC →+2DC →·DA →=1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,∴|DG →|=63.]15.如图,正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,VC 的中点为M .(1)求证:AO ,BO ,CO 两两垂直;(2)求〈DM →,AO →〉.[解] (1)证明:设VA →=a ,VB →=b ,VC →=c ,正四面体的棱长为1, 则VD →=13(a +b +c ),AO →=16(b +c -5a ), BO →=16(a +c -5b ),CO →=16(a +b -5c ),所以AO →·BO →=136(b +c -5a )·(a +c -5b )=136(18a ·b -9|a |2)=136(18×1×1×cos 60°-9)=0,所以AO →⊥BO →,即AO ⊥BO .同理,AO ⊥CO ,BO ⊥CO . 所以AO ,BO ,CO 两两垂直.(2)DM →=DV →+VM →=-13(a +b +c )+12c =16(-2a -2b +c ),所以|DM →|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(-2a -2b +c )2=12. 又|AO →|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b +c -5a )2=22,DM →·AO →=16(-2a -2b +c )·16(b +c -5a )=14, 所以cos 〈DM →,AO →〉=1412×22=22. 又〈DM →,AO →〉∈[0,π], 所以〈DM →,AO →〉=π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1.若向量{a ,b ,c }是空间的一个基底,则一定可以与向量p =2a +b ,q =2a-b 构成空间的另一个基底的向量是( )A .aB .bC .cD .a +bC [由p =2a +b ,q =2a -b 得a =14p +14q ,所以a 、p 、q 共面,故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除A ;因为b =12p -12q ,所以b 、p 、q 共面,故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除B ;因为a +b =34p -14q ,所以a +b 、p 、q 共面,故a +b 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除D.]2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是上底面对角线AC 与BD 的交点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,则B 1M →可表示为( )A .12a +12b +cB .12a -12b +cC .-12a -12b +cD .-12a +12b +cD [由于B 1M →=B 1B →+BM →=B 1B →+12(BA →+BC →) =-12a +12b +c ,故选D.]3.若向量MA →,MB →,MC →的起点M 与终点A ,B ,C 互不重合,且点M ,A ,B ,C 中无三点共线,满足下列关系(O 是空间任一点),则能使向量MA →,MB →,MC →成为空间一个基底的关系是( )A .OM →=13OA →+13OB →+13OC → B .MA →≠MB →+MC → C .OM →=OA →+OB →+OC →D .MA →=2MB →-MC →C [若MA →,MB →,MC →为空间一组基向量,则M ,A ,B ,C 四点不共面.选项A 中,因为13+13+13=1,所以点M ,A ,B ,C 共面;选项B 中,MA →≠MB →+MC →,但可能存在实数λ,μ使得MA →=λMB →+μMC →,所以点M ,A ,B ,C 可能共面;选项D 中,四点M ,A ,B ,C 显然共面.故选C.]4.空间四边形OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,点M 在OA 上,且OM →=2MA →,N 为BC 中点,则MN →为( )A .12a -23b +12cB .-23a +12b +12cC .12a +12b -23cD .23a +23b -12cB [MN →=MA →+AB →+BN →=13OA →+OB →-OA →+12(OC →-OB →)=-23OA →+12OB →+12OC →=-23a +12b +12c .]5.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量AB →,AD →,AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|=1,|AD →|=2,|AA 1→|=3,则|AC 1→|等于( )A .5B .6C .4D .8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有,AC 1→=AB →+AD →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→所以有|AC 1→|=|AB →+AD →+AA 1→|,于是有|AC 1→|2=|AB →+AD →+AA 1→|2=|AB →|2+|AD →|2+|AA 1→|2+2|AB →|·|AD →|·cos 60°+2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°+2|AD →||AA 1→|·cos 60°=25,所以|AC 1→|=5.]二、填空题6.在四面体OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE →=________.(用a ,b ,c 表示)12a +14b +14c [因为在四面体OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,所以OE →=12(OA →+OD →)=12OA →+12OD →=12a +12×12(OB →+OC →)=12a +14(b +c )=12a +14b +14c .]7.已知{a ,b ,c }是空间的一个单位正交基底,{a +b ,a -b ,c }是空间的另一个基底,若向量m 在基底{a ,b ,c }下表示为m =3a +5b +9c ,则m 在基底{a +b ,a -b,3c }下可表示为________.4(a +b )-(a -b )+3(3c ) [由题意知,m =3a +5b +9c ,设m =x (a +b )+y (a -b )+z (3c )则有⎩⎨⎧ x +y =3x -y =53z =9,解得⎩⎨⎧x =4y =-1z =3.则m 在基底{a +b ,a -b,3c }可表示为m =4(a +b )-(a -b )+3(3c ).] 8.在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O ,G 为BD 上一点,BG =2GD ,P A →=a ,PB →=b ,PC →=c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG →=________.23a -13b +23c [因为BG =2GD ,所以BG →=23BD →. 又BD →=BA →+BC →=P A →-PB →+PC →-PB →=a +c -2b , 所以PG →=PB →+BG →=b +23(a +c -2b ) =23a -13b +23c .] 三、解答题9.如图所示,正方体OABC -O ′A ′B ′C ′,且OA →=a ,OC →=b ,OO ′→=c .(1)用a ,b ,c 表示向量OB ′→,AC ′→;(2)设G ,H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心,用a ,b ,c 表示GH →.[解] (1)OB ′→=OB →+BB ′→=OA →+OC →+OO ′→=a +b +c . AC ′→=AC →+CC ′→=AB →+AO →+AA ′→=OC →+OO ′→-OA →=b +c -a . (2)法一:连接OG ,OH (图略), 则GH →=GO →+OH →=-OG →+OH → =-12(OB ′→+OC →)+12(OB ′→+OO ′→) =-12(a +b +c +b )+12(a +b +c +c ) =12(c -b ).法二:连接O ′C (图略),则GH →=12CO ′→=12(OO ′→-OC →) =12(c -b ).10.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA →=-13AC →,ND →=13A 1D →,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,试用a ,b ,c 表示MN →.[解] 连接AN ,则MN →=MA →+AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC →=AB →+AD →=a +b , MA →=-13AC →=-13(a +b ), 又A 1D →=AD →-AA 1→=b -c ,故AN →=AD →+DN →=AD →-ND →=AD →-13A 1D →=b -13(b -c ), 所以MN →=MA →+AN → =-13(a +b )+b -13(b -c ) =13(-a +b +c ).11.(多选题)已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则下列向量组中,不能构成一个基底的一组向量是( )A .2a ,a -b ,a +2bB .2b ,b -a ,b +2aC .a,2b ,b -cD .c ,a +c ,a -cABD [对于A ,因为2a =43(a -b )+23(a +2b ),得2a 、a -b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于B ,因为2b =43(b -a )+23(b +2a ),得2b 、b -a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于C ,因为找不到实数λ、μ,使a =λ·2b +μ(b -c )成立,故a 、2b 、b -c 三个向量不共面,它们能构成一个基底;对于D ,因为c =12(a +c )-12(a -c ),得c 、a +c 、a -c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,故选ABD.]12.(多选题)给出下列命题,正确命题的有( )A .若{a ,b ,c }可以作为空间的一个基底,d 与c 共线,d ≠0,则{a ,b ,d }也可以作为空间的一个基底B .已知向量a ∥b ,则a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C .A ,B ,M ,N 是空间四点,若BA →,BM →,BN →不能构成空间的一个基底,则A ,B ,M ,N 四点共面D .已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,若m =a +c ,则{a ,b ,m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底.显然B 正确.C 中由BA →,BM →,BN →不能构成空间的一个基底,知BA →,BM →,BN →共面.又BA →,BM →,BN →过相同点B ,知A ,B ,M ,N 四点共面.所以C 正确.下面证明AD 正确:A 假设d 与a ,b 共面,则存在实数λ,μ,使得d =λa +μb ,∵d 与c 共线,c ≠0,∴存在实数k ,使得d =k c .∵d ≠0,∴k ≠0,从而c =λk a +μk b ,∴c 与a ,b 共面,与条件矛盾,∴d 与a ,b 不共面.同理可证D 也是正确的.于是ABCD 四个命题都正确,故选ABCD.]13.(一题两空)已知空间的一个基底{a ,b ,c },m =a -b +c ,n =x a +y b +c ,若m 与n 共线,则x =________,y =________.1 -1 [因为m 与n 共线, 所以存在实数λ,使m =λn ,即a -b +c =λx a +λy b +λc ,于是有⎩⎨⎧1=λx ,-1=λy ,1=λ,解得⎩⎨⎧x =1,y =-1.]14.(一题多空)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+y e 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0=________,y 0=________,|b |=________.1 2 22 [由题意可令b =x 0e 1+y 0e 2+e 3,其中|e 3|=1,e 3⊥e i ,i =1,2.由b ·e 1=2得x 0+y 02=2,由b ·e 2=52得x 02+y 0=52,解得x 0=1,y 0=2,∴|b |=(e 1+2e 2+e 3)2=2 2.]15.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,E ,F 分别是AD 1,BD 的中点.(1)用向量a ,b ,c 表示D 1B →,EF →;(2)若D 1F →=x a +y b +z c ,求实数x ,y ,z 的值. [解] (1)如图,D 1B →=D 1D →+DB →=-AA 1→+AB →-AD →=a -b -c ,EF →=EA →+AF →=12D 1A →+12AC →=-12(AA 1→+AD →)+12(AB →+AD →)=12(a -c ). (2)D 1F →=12(D 1D →+D 1B →)=12(-AA 1→+AB →-AD 1→) =12(-AA 1→+AB →-AD →-DD 1→) =12(a -c -b -c )=12a -12b -c , ∴x =12,y =-12,z =-1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1.空间两点A ,B 的坐标分别为(x ,-y ,z ),(-x ,-y ,-z ),则A ,B 两点的位置关系是( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于z 轴对称D .关于原点对称B [纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故两点关于y 轴对称.] 2.已知A (1,2,-1),B (5,6,7),则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A .(0,1,1) B .(0,1,-3)C .(-1,0,3)D .(-1,0,-5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ,y ,z ),则AM →=(x -1,-2,z +1),AB →=(4,4,8),又AM →与AB →共线,∴AM →=λAB →,即⎩⎨⎧x -1=4λ,-2=4λ,z +1=8λ,解得x =-1,z =-5,∴点M (-1,0,-5).故选D.]3.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |=( ) A .534 B .532 C .532D .132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,32,3 ,|CM |=4+⎝ ⎛⎭⎪⎫32-12+9=532.] 4.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,B 1E =14A 1B 1,则BE →等于( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14,-1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,0,1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-14,1D .⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,-1C [{DA →,DC →,DD 1→}为单位正交向量,BE →=BB 1→+B 1E →=-14DC →+DD 1→,∴BE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-14,1.] 5.设{i ,j ,k }是单位正交基底,已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(8,6,4),其中a =i +j ,b =j +k ,c =k +i ,则向量p 在基底{i ,j ,k }下的坐标是( )A .(12,14,10)B .(10,12,14)C .(14,12,10)D .(4,3,2)A [依题意,知p =8a +6b +4c =8(i +j )+6(j +k )+4(k +i )=12i +14j +10k ,故向量p 在基底{i ,j ,k }下的坐标是(12,14,10).]二、填空题6.在空间直角坐标系中,已知点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线PQ ,则垂足Q 的坐标为________.(0,2,3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ,则Q 点横坐标为0,其余不变,故Q (0,2,3).]7.设{e 1,e 2,e 3}是空间向量的一个单位正交基底,a =4e 1-8e 2+3e 3,b =-2e 1-3e 2+7e 3,则a ,b 的坐标分别为________.(4,-8,3),(-2,-3,7) [由题意可知a =(4,-8,3),b =(-2,-3,7).] 8.如图所示,以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB 1→的坐标为(4,3,2),则AC 1→的坐标为________.(-4,3,2) [由DB 1→=DA →+DC →+DD 1→,且DB 1→=(4,3,2),∴|DA →|=4,|DC →|=3,|DD 1→|=2,又AC 1→=-DA →+DC →+DD 1→,∴AC 1→=(-4,3,2).]三、解答题9.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.[解] 如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,可得BO ⊥AC ,OO 1⊥AC ,分别以OB ,OC ,OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵三棱柱各棱长均为1,∴OA =OC =O 1C 1=O 1A 1=12,OB =32.∵A ,B ,C 均在坐标轴上,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内, ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,1,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ,且BB 1=1,∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,1,即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,1,B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,1,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,1. 10.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G 分别为棱DD 1,D 1C 1,BC 的中点,以{AB →,AD →,AA 1→}为正交基底,求下列向量的坐标:(1)AE →,AF →,AG →; (2)EF →,EG →,DG →.[解] 在正交基底{AB →,AD →,AA 1→}下,(1)AF →=12AB →+AD →+AA 1→, AE →=AD →+12AA 1→, AG →=AB →+12AD →,∴AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1,12,AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,1,AG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,0. (2)EF →=AF →-AE →=12AB →+12AA 1→,∴EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,12;EG →=AG →-AE →=AB →-12AD →-12AA 1→,∴EG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12,-12;DG →=AG →-AD →=AB→-12AD →,∴DG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12,0.11.(多选题)下列各命题正确的是( ) A .点(1,-2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B .点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,-3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1,3C .点(2,-1,3)到平面yOz 的距离为1D .设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,若m =3i -2j +4k ,则m =(3,-2,4).ABD [“关于谁对称谁不变”,∴A 正确,B 正确,C 中(2,-1,3)到面yOz 的距离为2,∴C 错误.根据空间向量的坐标定义,D 正确.]12.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为正方体内一动点(包括表面),若AP →=xAB →+yAD →+zAA 1→,且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A .1B .12C .13D .16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内;满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内,故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图),即三棱锥A -A 1C 1D 1,其体积是13×12×1×1×1=16.]13.三棱锥P -ABC 中,∠ABC 为直角,PB ⊥平面ABC ,AB =BC =PB =1,M 为PC 的中点,N 为AC 的中点,以{BA →,BC →,BP →}为基底,则MN →的坐标为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,-12 [MN →=BN →-BM → =12(BA →+BC →)-12(BP →+BC →) =12BA →-12BP →,故MN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,-12.]14.已知O 是坐标原点,点A (2,0,-2),B (3,1,2),C (2,-1,7). (1)若点P 满足OP →=OA →+OB →+OC →,则点P 的坐标为________; (2)若点P 满足AP →=2AB →-AC →,则点P 的坐标为________.(1)(7,0,7) (2)(4,3,-3) [(1)中OP →=OA →+OB →+OC →=(2i -2k )+(3i +j +2k )+(2i -j +7k )=7i +0j +7k ,∴P (7,0,7).(2)中,AP →=2AB →-AC →得OP →-OA →=2OB →-2OA →-OC →+OA →,∴OP →=2OB →-OC →=2(3i +j +2k )-(2i -j +7k ) =4i +3j -3k ,∴P (4,3,-3).]15.如图,在正四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,O 是AC 与BD 的交点,PO =1,M 是PC 的中点.设AB →=a ,AD →=b ,AP →=c .(1)用向量a ,b ,c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中,求BM →的坐标.[解] (1)∵BM →=BC →+CM →,BC →=AD →,CM →=12CP →,CP →=AP →-AC →,AC →=AB →+AD →, ∴BM →=AD →+12(AP →-AC →)=AD →+12AP →-12(AB →+AD →)=-12AB →+12AD →+12AP →=-12a +12b +12c .(2)a =AB →=(1,0,0),b =AD →=(0,1,0).∵A (0,0,0),O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,∴c =AP →=OP →-OA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,∴BM →=-12a +12b +12c =-12(1,0,0)+12(0,1,0)+12⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,34,12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1.已知三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (a,3,b +2)在同一条直线上,那么( ) A .a =3,b =-3 B .a =6,b =-1 C .a =3,b =2D .a =-2,b =1C [根据题意AB →=(1,-1,3),AC →=(a -1,-2,b +4), ∵AB →与AC →共线,∴AC →=λAB →, ∴(a -1,-2,b +4)=(λ,-λ,3λ),∴⎩⎨⎧a -1=λ,-2=-λ,b +4=3λ,解得⎩⎨⎧a =3,b =2,λ=2.故选C.]2.已知a =(2,3,-4),b =(-4,-3,-2),b =12x -2a ,则x 等于( ) A .(0,3,-6) B .(0,6,-20) C .(0,6,-6)D .(6,6,-6)B [由题a =(2,3,-4),b =(-4,-3,-2),设x =(w ,y ,z )则由b =12x -2a ,可得(-4,-3,-2)=12(w ,y ,z )-2(2,3,-4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ,12y ,12z -(4,6,-8)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12w -4,12y -6,12z +8,解得w =0,y =6,z =-20,即x =(0,6,-20).]3.已知向量a =(1,0,-1),则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A .(-1,1,0) B .(1,-1,0) C .(0,-1,1)D .(-1,0,1)B [不妨设向量为b =(x ,y ,z ),A .若b =(-1,1,0),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-12×2=-12≠12,不满足条件. B .若b =(1,-1,0),则cos θ=a ·b|a |·|b |=12×2=12,满足条件. C .若b =(0,-1,1),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-12×2=-12≠12,不满足条件. D .若b =(-1,0,1),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-22×2=-1≠12,不满足条件.故选B.]4.已知向量a =(-2,x,2),b =(2,1,2),c =(4,-2,1),若a ⊥(b -c ),则x 的值为( )A .-2B .2C .3D .-3A [∵b -c =(-2,3,1),a ·(b -c )=4+3x +2=0,∴x =-2.]5.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,λ),若AB →⊥AC →,则λ等于( )A .28B .-28C .14D .-14D [AB →=(-2,-6,-2),AC →=(-1,6,λ-3),∵AB →⊥AC →,∴AB →·AC →=-2×(-1)-6×6-2(λ-3)=0,解得λ=-14.] 二、填空题6.已知a =(1,1,0),b =(0,1,1),c =(1,0,1),p =a -b ,q =a +2b -c ,则p ·q =________.-1 [∵p =a -b =(1,0,-1),q =a +2b -c =(0,3,1), ∴p ·q =1×0+0×3+(-1)×1=-1.]7.已知空间三点A (1,1,1),B (-1,0,4),C (2,-2,3),则AB →与CA →的夹角θ的大小是________.120° [AB →=(-2,-1,3),CA →=(-1,3,-2),cos 〈AB →,CA →〉=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14·14=-12,∴θ=〈AB →,CA →〉=120°.]8.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点,如果B 1E ⊥平面ABF ,则CE 与DF 的和的值为________.1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(图略),设CE =x ,DF =y ,则易知E (x,1,1),B 1(1,1,0),∴B 1E →=(x -1,0,1),又F (0,0,1-y ),B (1,1,1),∴FB →=(1,1,y ),由于AB ⊥B 1E ,若B 1E ⊥平面ABF ,只需FB →·B 1E →=(1,1,y )·(x -1,0,1)=0⇒x +y =1.] 三、解答题9.已知空间中三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值;(2)若k a +b 与k a -2b 互相垂直,求实数k 的值.[解] (1)∵a =(1,1,0),b =(-1,0,2),∴a·b =(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又|a |=12+12+02=2,|b |=(-1)2+02+22=5,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-110=-1010,即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为-1010. (2)法一:∵k a +b =(k -1,k,2),k a -2b =(k +2,k ,-4),且k a +b 与k a -2b 互相垂直,∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)(k +2)+k 2-8=0,∴k =2或k =-52, ∴当k a +b 与k a -2b 互相垂直时,实数k 的值为2或-52.法二:由(1)知|a |=2,|b |=5,a·b =-1,∴(k a +b )·(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2=2k 2+k -10=0,得k =2或k =-52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,底面边长AB =2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是边AC ,A 1C 1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值. [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),B 1(3,0,h ),C 1(0,1,h ), 则AB 1→=(3,1,h ),BC 1→=(-3,1,h ), 因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1→·BC 1→=-3+1+h 2=0, 所以h = 2.(2)由(1)可知AB 1→=(3,1,2),BC →=(-3,1,0), 所以AB 1→·BC →=-3+1=-2.因为|AB 1→|=6,|BC →|=2,所以cos 〈AB 1→,BC →〉=-226=-66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11.(多选题)若向量a =(1,2,0),b =(-2,0,1),则下列结论正确的是( ) A .cos 〈a ,b 〉=-25 B .a ⊥b C .a ∥bD .|a |=|b |AD [∵向量a =(1,2,0),b =(-2,0,1), ∴|a |=5,|b |=5,a ·b =1×(-2)+2×0+0×1=-2,cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=-25=-25.由上知A 正确,B 不正确,D 正确.C 显然也不正确.]12.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A .110B .25C .D .22C [建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ,设BC =2,则B (0,2,0),A (2,0,0),M (1,1,2),N (1,0,2),所以BM →=(1,-1,2),AN →=(-1,0,2),故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ=BM →·AN →|BM →|·|AN →|=36×5=3010.] 13.已知a =(x,2,-4),b =(-1,y,3),c =(1,-2,z ),且a ,b ,c 两两垂直,则(x ,y ,z )=________.(-64,-26,-17) [∵a ,b ,c 两两垂直. ∴a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,∴⎩⎨⎧-x +2y -12=0x -4-4z =0-1-2y +3z =0,解得:x =-64,y =-26,z =-17. 故(x ,y ,z )=(-64,-26,-17).]14.(一题两空)已知A (1,2,0),B (0,1,-1),P 是x 轴上的动点,当|P A →|=|PB →|时,点P 的坐标为________;当AP →·BP →=0取最小值时,点P 的坐标为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0 [因为P 在x 轴上,设P (x,0,0),由|P A →|=|PB →|,则( x -1)2+4+0=x 2+1+1解得x =32.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0,又AP →=(x -1,-2,0),BP →=(x ,-1,1).。
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题 新人教A版选修21
2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1.【题文】已知椭圆221102x y m m +=--,焦点在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( ) A .4 B .5 C .7 D .82.【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为 ( )A .2B .3C .5D .73.【题文】设()14,0F -,()24,0F 为定点,动点M 满足128MF MF +=,则动点M 的轨迹是 ( )A .椭圆B .直线C .圆D .线段4.【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长l 是 ( )A ..6 C ..125.【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,O 是坐标原点,则ON 的长为 ( )A .2B .4C .8D .326.【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=,点P 在椭圆C 上,且OP PA ⊥,其中O 为坐标原点,则点P 的坐标为( )A .2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B .2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C .2,33⎛-± ⎝⎭D .233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7.【题文】若△ABC 顶点B ,C 的坐标分别为()4,0-,()4,0,AC ,AB 边上的中线长之和为30,则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8.【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左,右焦点,点P 在C 上,123PF PF =,则12cos F PF ∠等于 ( ) A .34 B .13- C .35- D .45二、填空题9.【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10.【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆,则k 的取值范围为 .11.【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ,P 为椭圆上的动点,M 是圆 (221x y +-=上的动点,则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12.【题文】已知椭圆的中心在原点,两焦点1F ,2F 在x 轴上,且过点()4,3A -.若12F A F A ⊥,求椭圆的标准方程.13.【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在x 轴上,且经过点()2,0和点()0,1;(2)焦点在y 轴上,与y 轴的一个交点为()0,10P -,P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14.【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆C :22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点,线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点,求动点M 的轨迹方程.2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上,所以2100m m ->->,即610m <<,又 ()()22102m m ---=,所以8m =,故选D. 考点:椭圆的标准方程. 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ,由题意得4a =.根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=,故选B .考点:椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=,128F F =,故动点M 的轨迹是线段12F F .考点:椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图,设椭圆的另外一个焦点为F ,由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==.考点:椭圆的定义及其应用. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=,∴9a =,根据椭圆的定义得2=18216MF -=, 而ON 是△12MF F 的中位线,∴216822MF ON ===,故选C . 考点:椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ,由OP PA ⊥,得OP PA ⊥,所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=,与椭圆方程2214x y +=联立,解得23x =(2x =舍去),此时3y =±,即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭,故选A.考点:椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ,∵23BG BD =,23CG CE =, ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=(定值). 因此,重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆,220a =,4c =,∴10a =,b =,可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时,A 、B 、C 三点共线,不能构成△ABC ,∴G 的纵坐标不能是0,可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠,故选B. 考点:椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知,12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==,211,3PF PF ∴==,(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯,故选B .考点:椭圆的定义,余弦定理. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=,右焦点为()3,0,将2x =代入椭圆方程得2214y =,所以两点间距离为2.5d ==. 考点:椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点:椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ,半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==,所以5a =,左焦点为()14,0F -,右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=,()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点:椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>,焦点()1,0F c -,()2,0F c .∵12F A F A ⊥,∴120F A F A ⋅=,而()14,3FA c =-+, ()24,3F A c =--, ∴()()24430c c -+--+=,∴225c =,即5c =.∴()15,0F -,()25,0F .∵122a AF AF =+==∴a=,∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点:椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上,所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1,∴224,1a b ==,故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>,∵()0,10P -在椭圆上,∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2, ∴()102c ---=,故8c =,∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点:椭圆的定义,椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点,∴MB MA =,又∵2MB MC +=, ∴2MA MC AC +=>,点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆, 此时122,2a c ==,∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点:椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。
人教A版高中数学选修2-1习题课件:2.2.1 椭圆及其标准方程
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1.利用待定系数法确定椭圆的标准方程
剖析:求椭圆的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方
程的形式,如果不能确定焦点的位置,可用两种方法来解决问题.
(1)如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的
椭圆一定是标准形式,就可以利用待定系数法.首先建立方程,然后
-4-
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【做一做1】 到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点 P的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上都不对
解析:∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|, ∴轨迹是一条线段.
答案:B
-5-
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=
1(������
>
������ > 0).
(2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴
上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求
解.
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2.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 剖析:(1)定义法 用定义法求轨迹方程的思路是:观察、分析已知条件,看所求动 点的轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数 法求解即可. (2)相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成 的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的 条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.
高中数学2.1.1椭圆及其标准方程(2)(含解析)新人教A版选修11
高中数学2.1.1椭圆及其标准方程(2)(含解析)新人教A 版选修11知识点一 椭圆定义的综合应用1.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A .2B .4C .8 D.32答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为E , 则|MF |+|ME |=10,∴|ME |=8,又ON 为△MEF 的中位线, ∴|ON |=12|ME |=4.2.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|=________,∠F 1PF 2的大小为________.答案 2 120°解析 ∵a 2=9,b 2=2,∴c =a 2-b 2=9-2=7, ∴|F 1F 2|=27.又|PF 1|=4, |PF 1|+|PF 2|=2a =6, ∴|PF 2|=2.由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2=22+42-2722×2×4=-12,∴∠F 1PF 2=120°.知识点二 椭圆标准方程的应用 3.若方程x 2m +9+y 225-m=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( )A .-9<m <8B .8<m <25C .16<m <25D .m >8答案 B解析 依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧25-m >0,m +9>0,m +9>25-m ,解得8<m <25.4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 ( )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)答案 D解析 方程x 2+ky 2=2可化为x 22+y 22k=1,若焦点在y 轴上,则必有2k>2,且k >0,即0<k <1.知识点三 相关点代入法求轨迹方程5.已知圆x 2+y 2=1,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′,则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A .4x 2+y 2=1 B .x =y2C.x 24+y 2=1D .x 2+y 24=1答案 A解析 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标为(x 0,y 0),则x =x 02,y =y 0.因为P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上,所以x 20+y 20=1.①将x 0=2x ,y 0=y 代入方程①,得4x 2+y 2=1,所以点M 的轨迹方程是4x 2+y 2=1.故选A.6.设F 1,F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F 1A →=5F 2B →,则点A 的坐标是________.答案 (0,1)或(0,-1)解析 由题意知F 1(-2,0),F 2(2,0).设点A 和点B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ),则F 1A →=(x A +2,y A ),F 2B →=(x B -2,y B ).由F 1A →=5F 2B →得x B =x A +625,y B =y A 5,代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x A +62523+⎝ ⎛⎭⎪⎫y A 52=1 ①.又x 2A3+y 2A =1 ②,由①②联立,解得x A =0,y A =±1.故点A 的坐标为(0,1)或(0,-1).一、选择题1.已知P 为椭圆C 上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,且|F 1F 2|=23,若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|,则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1 D.x 248+y 245=1或x 245+y 248=1 答案 C解析 由已知2c =|F 1F 2|=23,∴c = 3. 又2a =|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=43, ∴a =2 3.∴b 2=a 2-c 2=9.故椭圆C 的标准方程是x 212+y 29=1或x 29+y 212=1.2.“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 C解析 将方程mx 2+ny 2=1转化为x 21m+y 21n=1,根据椭圆的定义,要使焦点在y 轴上,则有1m >0,1n >0,且1n >1m,即m >n >0.反之,m >n >0时,方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆.故选C.3.若椭圆x 225+y 29=1的焦点为F 1,F 2,点P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=90°,则△PF 1F 2的面积为( )A .9B .12C .15D .18 答案 A解析 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则由∠F 1PF 2=90°且|F 1F 2|=8,知r 21+r 22=64.又r 1+r 2=10,可得r 1r 2=18,所以S △PF 1F 2=12r 1r 2=9.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-4,0)和C (4,0),顶点B 在椭圆x 225+y 29=1上,则sin A +sin Csin B=( ) A.54 B.52 C .5 D .无法确定 答案 A解析 由题意,知|AC |=8,|AB |+|BC |=10,所以sin A +sin C sin B =|BC |+|AB ||AC |=108=54.5.已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )提示:△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x A +x B +x C 3,y A +y B +y C 3A.x 236+y 227=1(y ≠0) B.4x 29+y 2=1(y ≠0) C.9x 24+3y 2=1(y ≠0) D .x 2+4y23=1(y ≠0)答案 C解析 由椭圆C :x 24+y 23=1可知焦点坐标为(-1,0),(1,0),设P (x ′,y ′),G (x ,y ),则有x =-1+1+x ′3=x ′3,y =0+0+y ′3=y ′3,所以x ′=3x ,y ′=3y ,又x ′24+y ′23=1,所以9x 24+9y 23=1,即9x 24+3y 2=1(y ≠0).二、填空题6.已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1的焦点在y 轴上,若焦距为4,则m 等于__________.答案 8解析 由题意得m -2>10-m >0,解得6<m <10,且a 2=m -2,b 2=10-m ,则c 2=a 2-b 2=2m -12=4,m =8.7.设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,方程x 2sin α+y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则α的取值范围为________.答案 0<α<π4解析 由题意知,cos α>sin α>0, ∴tan α<1,∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴0<α<π4.8.设P 为椭圆x 24+y 29=1上的任意一点,F 1,F 2为其上、下焦点,则|PF 1||PF 2|的最大值是__________.答案 9解析 由已知a =3,|PF 1|+|PF 2|=2a =6, ∴|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|+|PF 2|22=9.当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时,式中等号成立. 故|PF 1||PF 2|的最大值为9. 三、解答题9.点P (x ,y )到定点A (0,-1)的距离与到定直线y =-14 的距离之比为1414,求点P 的轨迹方程.解 根据题意得x 2+y +12|y +14|=1414.将上式两边平方,并化简,得14x 2+13y 2=14×13,即x 213+y 214=1为所求.10.已知椭圆的方程为x 24+y 23=1,椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2=90°(如图).求△PF 1F 2的面积.解 由已知得a =2,b =3, 所以c =a 2-b 2=4-3=1. 从而|F 1F 2|=2c =2. 在△PF 1F 2中, 由勾股定理可得 |PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2, 即|PF 2|2=|PF 1|2+4.又由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2×2=4, 所以|PF 2|=4-|PF 1|. 从而有(4-|PF 1|)2=|PF 1|2+4. 解得|PF 1|=32.所以△PF 1F 2的面积S =12·|PF 1|·|F 1F 2|=12×32×2=32,即△PF 1F 2的面积是32.。
高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.2.1-椭圆及其标准方程(含答案)
2.2.1 椭圆及其标准方程一、选择题1.设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是( )A .椭圆B .直线C .圆D .线段 [答案] D[解析] ∵|MF 1|+|MF 2|=6,|F 1F 2|=6,∴|MF 1|+|MF 2|=|F 1F 2|,∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2.椭圆x 2m +y 24=1的焦距是2,则m 的值是( ) A .5B .3或8C .3或5D .20 [答案] C[解析] 2c =2,c =1,故有m -4=1或4-m =1,∴m =5或m =3,故选C.3.椭圆ax 2+by 2+ab =0(a <b <0)的焦点坐标是( )A .(±a -b ,0)B .(±b -a ,0)C .(0,±a -b )D .(0,±b -a )[答案] D[解析] ax 2+by 2+ab =0可化为x 2-b +y 2-a =1, ∵a <b <0,∴-a >-b >0,∴焦点在y 轴上,c =-a +b =b -a ,∴焦点坐标为(0,±b -a ).4.(2014·长春市高二期末调研)中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281+y 245=1 B .x 281+y 29=1 C.x 281+y 272=1 D .x 281+y 236=1 [答案] C[解析] 由长轴长为18知a =9,∵两个焦点将长轴长三等分,∴2c =13(2a )=6,∴c =3,∴b 2=a 2-c 2=72,故选C.5.已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A .95B .3C .977D .94 [答案] D[解析] a 2=16,b 2=9⇒c 2=7⇒c =7.∵△PF 1F 2为直角三角形.且b =3>7=c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点,∴点P 的横坐标为±7,设P (±7,|y |),把x =±7代入椭圆方程,知716+y 29=1⇒y 2=8116⇒|y |=94. 6.(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15,0),直线y =x 与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( )A.x 216+y 2=1 B .x 2+y 216=1 C.x 220+y 25=1 D .x 25+y 220=1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2),排除A 、B 、D ,选C.二、填空题7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为________.[答案] x 24+y 23=1 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a +c =3,a -c =1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =1. 故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. 8.如图所示,F1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2=________________. [答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2=34c 2=3,∴c =2,∴a 2=b 2+4.∴点P 坐标为(1,3),把x =1,y =3代入椭圆方程x 2b 2+4+y 2b 2=1中得, 1b 2+4+3b 2=1,解得b 2=2 3. 三、解答题9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),a =3b ,求椭圆的标准方程.[解析] 当焦点在x 轴上时,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).由椭圆过点P (3,0),知9a 2+0b 2=1,又a =3b ,解得b 2=1,a 2=9,故椭圆的方程为x 29+y 2=1. 当焦点在y 轴上时,设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0). 由椭圆过点P (3,0),知0a 2+9b 2=1,又a =3b ,联立解得a 2=81,b 2=9,故椭圆的方程为y 281+x 29=1. 故椭圆的标准方程为y 281+x 29=1或x 29+y 2=1. 10.已知点A (-12,0),B 是圆F :(x -12) 2+y 2=4(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,求动点P 的轨迹方程.[解析] 如图所示,由题意知,|P A |=|PB |,|PF |+|BP |=2,∴|P A |+|PF |=2,且|P A |+|PF |>|AF |,∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆,∴a =1,c =12,b 2=34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2+y 234=1,即x 2+43y 2=1.一、选择题11.已知方程x 2|m |-1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A .m <2B .1<m <2C .m <-1或1<m <2D .m <-1或1<m <32[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |-1>0,2-m >0,2-m >|m |-1.即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1或m <-1,m <2,m <32.∴1<m <32或m <-1,故选D. [点评] 解答本题应注意,方程表示椭圆,分母应取正值,焦点在y 轴上,含y 2项的分母较大,二者缺一不可.12.若△ABC 的两个焦点坐标为A (-4,0)、B (4,0),△ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225+y 29=1 B .y 225+x 29=1(y ≠0) C.x 216+y 29=1(y ≠0) D .x 225+y 29=1(y ≠0) [答案] D[解析] ∵|AB |=8,△ABC 的周长为18,∴|AC |+|BC |=10>|AB |,故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ,又因为C 点的纵坐标不能为零,所以选D.13.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .射线D .直线 [答案] A[解析] ∵|PQ |=|PF 2|且|PF 1|+|PF 2|=2a ,∴|PQ |+|PF 1|=2a ,又∵F 1、P 、Q 三点共线,∴|PF 1|+|PQ |=|F 1Q |,∴|F 1Q |=2a .即Q 在以F 1为圆心,以2a 为半径的圆上.14.在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (0,-2)和C (0,2),顶点B 在椭圆y 212+x 28=1上,则sin A +sin C sin B的值是( ) A. 3B .2C .2 3D .4[解析] 由椭圆定义得|BA |+|BC |=43,又∵sin A +sin C sin B =|BC |+|BA ||AC |=434=3,故选A. 二、填空题15.已知椭圆的焦点是F 1(-1,0),F 2(1,0),P 是椭圆上的一点,若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,则该椭圆的方程是________.[答案] x 24+y 23=1 [解析] 由题意得2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,∴4c =2a ,∵c =1,∴a =2.∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆方程为x 24+y 23=1. 16.如图,把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P 1F |+|P 2F |+…+|P 7F |=________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′,由椭圆的对称性知,|P 1F |=|P 7F ′|,|P 2F |=|P 6F ′|,|P 3F |=|P 5F ′|,∴原式=(|P 7F |+|P 7F ′|)+(|P 6F |+|P 6F ′|)+(|P 5F |+|P 5F ′|)+12(|P 4F |+|P 4F ′|)=7a =35. [点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用,解决与焦点有关的问题时,要结合图形看能否运用定义.三、解答题17.(2013·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)a c =13 5,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c =2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a =32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a =4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 212=1. (2)由题意知,2a =26,即a =13,又a c =135,所以c =5, 所以b 2=a 2-c 2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2144=1. [点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时,要首先进行“定位”,即确定焦点的位置;其次是进行“定量”,即求a 、b 的大小,a 、b 、c 满足的关系有:①a 2=b 2+c 2;②a >b >0;③a >c >0.若不能确定焦点的位置,可进行分类讨论或设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0)的形式.18.已知F 1、F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F 1PF 2=π3,求△F 1PF 2的面积.[解析] 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n .根据椭圆定义有m +n =20,又c =100-64=6,∴在△F 1PF 2中,由余弦定理得m 2+n 2-2mn cos π3=122, ∴m 2+n 2-mn =144,∴(m +n )2-3mn =144,∴mn =2563, ∴S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 =12×2563×32=6433.。
【创新设计】高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课时作业付参考答案 新人教A版选修2-1
§2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.1.椭圆的概念:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫做椭圆的________.当|PF 1|+|PF 2|=|F 1F 2|时,轨迹是______________,当|PF 1|+|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹.2.椭圆的方程:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________,焦点坐标为________________,焦距为____________;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________.一、选择题1.设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是( ) A .椭圆 B .直线 C .圆 D .线段2.椭圆x 216+y27=1的左右焦点为F 1,F 2,一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为( )A .32B .16C .8D .43.椭圆2x 2+3y 2=1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫0,±66 B .(0,±1)C .(±1,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±66,0 4.方程x 2|a|-1+y2a +3=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( )A .(-3,-1)B .(-3,-2)C .(1,+∞)D .(-3,1)5.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52,-32,则该椭圆的方程是( )A .y 28+x 24=1B .y 210+x26=1 C .y 24+x 28=1 D .y 26+x210=1 6.设F 1、F 2是椭圆x 216+y212=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且P 到两个焦点的距离之差为2,则△PF 1F 2是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .斜三角形D .直角三角形二、填空题7.椭圆x 29+y22=1的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=________,∠F 1PF 2的大小为________.8.P 是椭圆x 24+y23=1上的点,F 1和F 2是该椭圆的焦点,则k =|PF 1|²|PF 2|的最大值是______,最小值是______.9.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地面n 千米,远地点距地面m 千米,地球半径为R ,那么这个椭圆的焦距为________千米. 三、解答题10.根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,52.11.已知点A(0,3)和圆O 1:x 2+(y +3)2=16,点M 在圆O 1上运动,点P 在半径O 1M 上,且|PM|=|PA|,求动点P 的轨迹方程.能力提升13.如图△ABC 中底边BC =12,其它两边AB 和AC 上中线的和为30,求此三角形重心G 的轨迹方程,并求顶点A 的轨迹方程.1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时轨迹才是椭圆,如果2a =|F 1F 2|,轨迹是线段F 1F 2,如果2a<|F 1F 2|,则不存在轨迹.2.椭圆的标准方程有两种表达式,但总有a>b>0,因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上.3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程,然后再计算;如果不能确定焦点的位置,有两种方法求解,一是分类讨论,二是设椭圆方程的一般形式,即mx 2+ny 2=1 (m ,n 为不相等的正数).§2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程知识梳理1.常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) F 1(-c ,0),F 2(c ,0) 2c y 2a 2+x 2b2=1 (a >b >0) 作业设计1.D [∵|MF 1|+|MF 2|=6=|F 1F 2|, ∴动点M 的轨迹是线段.] 2.B [由椭圆方程知2a =8,由椭圆的定义知|AF 1|+|AF 2|=2a =8,|BF 1|+|BF 2|=2a =8,所以△ABF 2的周长为16.] 3.D4.B [|a |-1>a +3>0.]5.D [椭圆的焦点在x 轴上,排除A 、B ,又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52,-32验证即可.]6.D [由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a =8.由题可得||PF 1|-|PF 2||=2,则|PF 1|=5或3,|PF 2|=3或5. 又|F 1F 2|=2c =4,∴△PF 1F 2为直角三角形.]7.2 120° 解析∵|PF 1|+|PF 2|=2a =6, ∴|PF 2|=6-|PF 1|=2. 在△F 1PF 2中, cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|=16+4-282³4³2=-12,∴∠F 1PF 2=120°. 8.4 3解析 设|PF 1|=x ,则k =x (2a -x ), 因a -c ≤|PF 1|≤a +c ,即1≤x ≤3.∴k =-x 2+2ax =-x 2+4x =-(x -2)2+4, ∴k max =4,k min =3. 9.m -n解析 设a ,c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距, 则⎩⎪⎨⎪⎧a +c =m +R a -c =n +R,则2c =m -n .10.解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上,∴设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0).∵2a =10,∴a =5,又∵c =4. ∴b 2=a 2-c 2=52-42=9.故所求椭圆的标准方程为x 225+y 29=1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上,∴设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1 (a >b >0).由椭圆的定义知,2a = ⎝ ⎛⎭⎪⎫-322+⎝ ⎛⎭⎪⎫52+22+⎝ ⎛⎭⎪⎫-322+⎝ ⎛⎭⎪⎫52-22=3102+102=210,∴a =10.又∵c =2,∴b 2=a 2-c 2=10-4=6. 故所求椭圆的标准方程为y 210+x 26=1.11.解 ∵|PM |=|PA |,|PM |+|PO 1|=4, ∴|PO 1|+|PA |=4,又∵|O 1A |=23<4, ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆, ∴c =3,a =2,b =1, ∴动点P 的轨迹方程为x 2+y 24=1.13.解 以BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系, 则B (6,0),C (-6,0),CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线, 则|BD |+|CE |=30. 由重心性质可知|GB |+|GC |=23(|BD |+|CE |)=20.∵B 、C 是两个定点,G 点到B 、C 距离和等于定值20,且20>12, ∴G 点的轨迹是椭圆,B 、C 是椭圆焦点. ∴2c =|BC |=12,c =6,2a =20,a =10, b 2=a 2-c 2=102-62=64, 故G 点的轨迹方程为x 2100+y 264=1, 去掉(10,0)、(-10,0)两点. 又设G (x ′,y ′),A (x ,y ),则有x ′2100+y ′264=1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x ′=x 3,y ′=y3.故A 点轨迹方程为 x3 2100+ y3264=1.即x 2900+y 2576=1,去掉(-30,0)、(30,0)两点.。
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1.设F 1、F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是( D ) A .椭圆 B .直线 C .圆D .线段[解析] ∵|MF 1|+|MF 2|=6,|F 1F 2|=6, ∴|MF 1|+|MF 2|=|F 1F 2|, ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2.过点(-3,2)且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A .x 215+y 210=1B .x 2225+y 2100=1C .x 210+y 215=1D .x 2100+y 2225=1[解析] 将点(-3,2)代入验证,只有A 的方程满足,故选A .3.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A .x 24+y 22=1B .y 24+x 22=1C .y 216+x 24=1D .x 216+y 24=1[解析] 解法一:验证排除:将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ,故选D . 解法二:设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧16m =14n =1,∴⎩⎨⎧m =116n =14,故选D .4.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O为坐标原点,那么线段ON 的长是( B )A .2B .4C .8D .32[解析] 设椭圆左焦点F ,右焦点F 1,∵2a =10,|MF |=2,∴|MF 1|=8,∵N 为MF 中点,O 为FF 1中点,∴|ON |=12|MF 1|=4.5.(2019-2020学年房山区期末检测)“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A .m >n >0B .n >m >0C .mn >0D .mn <0[解析] 若方程表示椭圆,则m ,n ≠0,则方程等价为x 21m +y 21n =1,若方程表示焦点在y 轴上椭圆,则等价为1n >1m>0,解得:m >n >0,故选A .6.(2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限,若△MF 1F 2为等腰三角形,则△MF 1F 2的面积为( D )A .53B .103C .215D . 415[解析] 设M (m ,n ),m ,n >0,则m ∈(0,6),n ∈(0,25), 椭圆C :x 236+y 220=1的a =6,b =25,c =4.设F 1,F 2分别为椭圆C 的左右焦点,由于M 为C 上一点且在第一象限,可得|MF 1|>|MF 2|,|F 1F 2|=2c =8, 因为|MF 1|+|MF 2|=2a =12,所以|MF 1|>6,|MF 2|<6, △MF 1F 2为等腰三角形,只能|MF 2|=2c =8,则|MF 2|=4, 由勾股定理得|MF 2|2=(4-m )2+n 2=16, 又m 236+n 220=1,联立并消去n 得 m 2-18m +45=0,且m ∈(0,6),解得m =3,则n =15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15=415.故选D .二、填空题7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为__x 24+y 23=1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a +c =3a -c =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2c =1.故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. 8.(福州市2019-2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知,因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,即可知bc =1,因为a 2=b 2+c 2=b 2+1b2≥2,所以a ≥2,故长轴长的最小值为22,答案为2 2.三、解答题9.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)a :c =13:5,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c =2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a =32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a =4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12. 又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 212=1.(2)由题意知,2a =26,即a =13,又a c =135,所以c =5,所以b 2=a 2-c 2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2144=1.10.已知点A (-12,0),B 是圆F :(x -12) 2+y 2=4(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,求动点P 的轨迹方程.[解析] 如图所示,由题意知,|P A |=|PB |,|PF |+|BP |=2, ∴|P A |+|PF |=2,且|P A |+|PF |>|AF |, ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆, ∴a =1,c =12,b 2=34.∴动点P 的轨迹方程为x 2+y 234=1,即x 2+43y 2=1. B 级 素养提升一、选择题1.已知椭圆x 225+y 29=1,F 1、F 2分别在其左、右焦点,椭圆上一点M 到F 1的距离是2,N是MF 1的中点,则|ON |的长为( D )A .1B .2C .3D .4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|+|MF 1|=2a =10, 因为|MF 1|=2,所以|MF 2|=8. 因为N 是MF 1的中点,所以|ON |=|MF 2|2=4.故选D . 2.若△ABC 的两个焦点坐标为A (-4,0)、B (4,0),△ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( D )A .x 225+y 29=1B .y 225+x 29=1(y ≠0)C .x 216+y 29=1(y ≠0)D .x 225+y 29=1(y ≠0)[解析] ∵|AB |=8,△ABC 的周长为18,∴|AC |+|BC |=10>|AB |,故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ,又因为C 点的纵坐标不能为零,所以选D .3.(多选题)若方程x 2a 2+y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围可以是( AD )A .a >3B .a <-2C .-2<a <3D .-6<a <-2[解析] 由题意得a 2>a +6>0, 解得a >3或-6<a <-2,故选AD .4.(多选题)直线2x +by +3=0过椭圆10x 2+y 2=10的一个焦点,则b 的值可以为( AB ) A .-1 B .1 C .-12D .12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2+y 210=1,∴焦点坐标为(0,±3),当直线过焦点(0,3)时,b =-1;当直线过焦点(0,-3)时,b =1.故选AB .二、填空题5.下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(-1,0),F 2(1,0),则满足|PF 1|+|PF 2|=2的点P 的轨迹为椭圆;②到定点F 1(-3,0),F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆;③若点P 到定点F 1(-4,0),F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(-4,0),F 2(4,0)的距离之和,则点P 的轨迹为椭圆.[解析] ①2<2,故点P 的轨迹不存在;②到定点F 1(-3,0),F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴);③点M (5,3)到定点F 1(-4,0),F 2(4,0)的距离之和为410>8,故点P 的轨迹为椭圆.故填③.6.设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上任意一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM |+|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a =5,b =4,c =3. ∴F 1(-3,0),F 2(3,0),如图所示,由椭圆的定义可得,|PF 1|+|PF 2|=2a =10,∴|PM |+|PF 1|=|PM |+2a -|PF 2|=10+(|PM |-|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+32+42=15,∴|PM |+|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7.已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),a =3b ,求椭圆的标准方程.[解析] 当焦点在x 轴上时,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).由椭圆过点P (3,0),知9a 2+0b2=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知0a2+9b2=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+y2=1.8.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.[解析]如图所示,连接MA,由题知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上,所以|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,故a=52,b2=a2-c2=254-1=214.故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.。
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选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式,在网页中显示可能会出现位置错误的情况,下载后均可正常显示,请放心下载练习!第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1.空间任意四个点A ,B ,C ,D ,则DA →+CD →-CB →等于( ) A .DB → B .AC → C .AB → D .BA → D [DA →+CD →-CB →=DA →+BD →=BA →.]2.设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO →+OB →=DO →+OC →,则四边形ABCD 是( )A .平行四边形B .空间四边形C .等腰梯形D .矩形A [∵AO →+OB →=DO →+OC →,∴AB →=DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|=|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形.]3.已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,下列条件中能确定点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )A .OM →=OA →+OB →+OC → B .OM →=2OA →-OB →-OC → C .OM →=OA →+12OB →+13OC →D .OM →=13OA →+13OB →+13OC → D [由OM →=13OA →+13OB →+13OC →,可得3OM →=OA →+OB →+OC →⇒OM →-OA →+OM →-OB →+OM →-OC →=0, 即AM →=-BM →-CM →.所以AM →与BM →,CM →在一个平面上,即点M 与点A ,B ,C 一定共面.] 4.若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →=mOA →+nOB →,其中m +n =1,则( )A .P ∈AB B .P ∉ABC .点P 可能在直线AB 上D .以上都不对A [因为m +n =1,所以m =1-n , 所以OP →=(1-n )OA →+nOB →, 即OP →-OA →=n (OB →-OA →), 即AP →=nAB →,所以AP →与AB →共线. 又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上, 即P ∈AB .]5.已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是A 1C 1的中点, 点F 是AE 的三等分点,且AF =12EF ,则AF →=( )A .AA 1→+12AB →+12AD → B .12AA 1→+12AB →+12AD →C .12AA 1→+16AB →+16AD → D .13AA 1→+16AB →+16AD →D [如图所示,AF →=13AE →,AE →=AA 1→+A 1E →,A 1E →=12A 1C 1→,A 1C 1→=A 1B 1→+A 1D 1→,A 1B 1→=AB →,A 1D 1→=AD →,所以AF →=13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→+12A 1C 1→=13AA 1→+16AB →+16AD →,故选D.]二、填空题6.已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由OM →=-2OA →+OB →+λOC →确定的点M 与A ,B ,C 共面,则λ=________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知:-2+1+λ=1,即λ=2.]7.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,用a ,b ,c 表示D 1M →,则D 1M →=________.12a -12b +c [D 1M →=D 1D →+DM → =A 1A →+12(DA →+DC →) =c +12(-A 1D 1→+A 1B 1→) =12a -12b +c .]8.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,则EF →和AD →+BC →的关系是________.(填“平行”,“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点,则EF →=EG →+GF →=12BC →+12AD →=12(AD →+BC →) 所以2EF →=AD →+BC →, 从而EF →∥(AD →+BC →).] 三、解答题9.如图,在空间四边形ABCD 中,G 为△BCD 的重心,E ,F 分别为边CD 和AD 的中点,试化简AG →+13BE →-12AC →,并在图中标出化简结果的向量.[解] ∵G 是△BCD 的重心,BE 是CD 边上的中线,∴GE →=13BE →.又12AC →=12(DC →-DA →)=12DC →-12DA →=DE →-DF →=FE →, ∴AG →+13BE →-12AC →=AG →+GE →-FE →=AF →(如图所示).10.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC =2∶1,求证:A 1N →与A 1B →,A 1M →共面.[证明] ∵A 1B →=AB →-AA 1→, A 1M →=A 1D 1→+D 1M →=AD →-12AA 1→, AN →=23AC →=23(AB →+AD →), ∴A 1N →=AN →-AA 1→ =23(AB →+AD →)-AA 1→=23(AB →-AA 1→)+23(AD →-12AA 1→) =23A 1B →+23A 1M →, ∴A 1N →与A 1B →,A 1M →共面.11.(多选题)若A ,B ,C ,D 为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( ) A .AB →+2BC →+2CD →+DC → B .2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →C.AB →+CA →+BD →D.AB →-CB →+CD →-AD →BD [A 中,AB →+2BC →+2CD →+DC →=AB →+2BD →+DC →=AB →+BD →+BD →+DC →=AD →+BC →;B 中,2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →=2AC →+3CA →+AC →=0;C 中,AB →+CA →+BD →=AD →+CA →;D 中,AB →-CB →+CD →-AD →=AB →+BC →+CD →+DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路,结果必为0.]12.(多选题)有下列命题,其中真命题的有( ) A .若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线 B .若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线C .若e 1,e 2为不共线的非零向量,a =4e 1-25e 2,b =-e 1+110e 2,则a ∥b D .若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0BCD [根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故A 错;因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以B 正确;由于a =4e 1-25e 2=-4-e 1+110e 2=-4b ,所以a ∥b ,故C 正确;易知D 也正确.]13.(一题两空)已知A ,B ,C 三点共线,则对空间任一点O ,若OA →=2OB →+μOC →,则μ=________;存在三个不为0的实数λ,m ,n ,使λOA →+mOB →+nOC →=0,那么λ+m +n 的值为________.-1 0 [由A 、B 、C 三点共线,∴2+μ=1,∴μ=-1,又由λOA →+mOB →+nOC →=0得OA →=-m λOB →-n λOC →由A ,B ,C 三点共线知-m λ-nλ=1,则λ+m +n =0.]14.设e 1,e 2是平面上不共线的向量,已知AB →=2e 1+k e 2,CB →=e 1+3e 2,CD →=2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则实数k 为________.-8 [因为BD →=CD →-CB →=e 1-4e 2,AB →=2e 1+k e 2,又A ,B ,D 三点共线,由共线向量定理得12=-4k ,所以k =-8.]15.如图所示,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是ABCD 所在平面外的一点,连接P A ,PB ,PC ,PD .设点E ,F ,G ,H 分别为△P AB ,△PBC ,△PCD ,△PDA 的重心.(1)试用向量方法证明E ,F ,G ,H 四点共面;(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系,并用向量方法证明你的判断. [证明] (1)分别连接PE ,PF ,PG ,PH 并延长,交对边于点M ,N ,Q ,R ,连接MN ,NQ ,QR ,RM ,∵E ,F ,G ,H 分别是所在三角形的重心,∴M ,N ,Q ,R 是所在边的中点,且PE →=23PM →,PF →=23PN →,PG →=23PQ →,PH →=23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形,∴MQ →=MN →+MR →=(PN →-PM →)+(PR →-PM →)=32(PF →-PE →)+32(PH →-PE →)=32(EF →+EH →).又MQ →=PQ →-PM →=32PG →-32PE →=32EG →.∴EG →=EF →+EH →,由共面向量定理知,E ,F ,G ,H 四点共面.(2)平行.证明如下:由(1)得MQ →=32EG →,∴MQ →∥EG →, ∴EG →∥平面ABCD .又MN →=PN →-PM →=32PF →-32PE → =32EF →,∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF =E ,∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1.已知a ⊥b ,|a |=2,|b |=3,且(3a +2b )⊥(λa -b ),则λ等于( ) A .32 B .-32 C .±32 D .1A [∵a ⊥b ,∴a ·b =0,∵3a +2b ⊥λa -b ,∴(3a +2b )·(λa -b )=0, 即3λa 2+(2λ-3)a ·b -2b 2=0,∴12λ-18=0,解得λ=32.]2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE →·AF →的值为( )A .a 2B .12a 2C .14a 2D .34a 2C [AE →·AF →=12(AB →+AC →)·12AD →=14(AB →·AD →+AC →·AD →)=14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12+a ×a ×12=14a 2.]3.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A .AD 1→·B 1C →B .BD 1→·AC →C .AB →·AD 1→ D .BD 1→·BC →D [对于选项A ,当四边形ADD 1A 1为正方形时,可得AD 1⊥A 1D ,而A 1D ∥B 1C ,可得AD 1⊥B 1C ,此时有AD 1→·B 1C →=0;对于选项B ,当四边形ABCD 为正方形时,AC ⊥BD ,易得AC ⊥平面BB 1D 1D ,故有AC ⊥BD 1,此时有BD 1→·AC →=0;对于选项C ,由长方体的性质,可得AB ⊥平面ADD 1A 1,可得AB ⊥AD 1,此时必有AB →·AD 1→=0;对于选项D ,由长方体的性质,可得BC ⊥平面CDD 1C 1,可得BC ⊥CD 1,△BCD 1为直角三角形,∠BCD 1为直角,故BC 与BD 1不可能垂直,即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A .60°B .150°C .90°D .120°D [BA 1→=BA →+AA 1→,|BA 1→|=2a ,AC →=A B →+AD →,|AC →|=2a .∴BA 1→·AC →=BA →·AB →+BA →·AD →+AA 1→·AB →+AA 1→·AD →=-a 2. ∴cos 〈BA 1→,AC →〉=-a 22a ·2a =-12.∴〈BA 1→,AC →〉=120°.]5.如图所示,在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,AB =1,AD =2,AA ′=3,∠BAD =90°,∠BAA ′=∠DAA ′=60°,则AC ′的长为( )A .13B .23C .33D .43B [∵AC ′→=AB →+BC →+CC ′→,∴AC ′→2=(AB →+BC →+CC ′→)2=AB →2+BC →2+CC ′→2+2(AB →·BC →+AB →·CC ′→+BC →·CC ′→) =12+22+32+2(0+1×3cos 60°+2×3cos 60°) =14+2×92=23,∴|AC ′→|=23,即AC ′的长为23.] 二、填空题6.已知a ,b 是空间两个向量,若|a |=2,|b |=2,|a -b |=7,则cos 〈a ,b 〉=________.18[将|a -b |=7两边平方,得(a -b )2=7. 因为|a |=2,|b |=2,所以a ·b =12.又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉,故cos 〈a ,b 〉=18.]7.已知a ,b 是异面直线,A ,B ∈a ,C ,D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b ,且AB =2,CD =1,则a ,b 所成的角是________.60° [AB →=AC →+CD →+DB →,∴CD →·AB →=CD →·(AC →+CD →+DB →)=|CD →|2=1, ∴cos 〈CD →,AB →〉=CD →·AB →|CD →||AB →|=12,∴异面直线a ,b 所成角是60°.]8.已知|a |=2,|b |=1,〈a ,b 〉=60°,则使向量a +λb 与λa -2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.(-1-3,-1+3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,cos 〈a +λb ,λa -2b 〉≠-1. 即⎩⎨⎧(a +λb )·(λa -2b )<0,(a +λb )·(λa -2b )≠-|a +λb ||λa -2b |,得λ2+2λ-2<0.∴-1-3<λ<-1+ 3.] 三、解答题9.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,侧棱P A 的长为2,且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°,M 是PC 的中点,设AB →=a ,AD →=b ,AP →=c .(1)试用a ,b ,c 表示出向量BM →; (2)求BM 的长.[解] (1)∵M 是PC 的中点,∴BM →=12(BC →+BP →)=12[AD →+(AP →-AB →)] =12[b +(c -a )]=-12a +12b +12c .(2)由于AB =AD =1,P A =2,∴|a |=|b |=1,|c |=2,由于AB ⊥AD ,∠P AB =∠P AD =60°,∴a·b =0,a·c =b·c =2·1·cos 60°=1, 由于BM →=12(-a +b +c ),|BM →|2=14(-a +b +c )2=14[a 2+b 2+c 2+2(-a·b -a·c +b·c )]=14[12+12+22+2(0-1+1)]=32.∴|BM →|=62,∴BM 的长为62.10.如图,已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,AC =BC =AA ′,∠ACB =90°,D ,E 分别为AB ,BB ′的中点.(1)求证:CE ⊥A ′D ;(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. [解] (1)证明:设CA →=a ,CB →=b ,CC ′→=c , 根据题意得|a |=|b |=|c |,且a·b =b·c =c·a =0. ∴CE →=b +12c ,A ′D →=-c +12b -12a .∴CE →·A ′D →=⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-c +12b -12a =-12c 2+12b 2=0, ∴CE →⊥A ′D →,即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→=-a +c ,∴|AC ′→|=2|a |,|CE →|=52|a |, ∵AC ′→·CE →=(-a +c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12c =12c 2=12|a |2, ∴cos 〈AC ′→,CE →〉=12|a |22×52|a |2=1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11.(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列命题正确的有( ) A .(AA 1→+AD →+AB →)2=3AB →2 B .A 1C →·(A 1B 1→-A 1A →)=0 C .AD 1→与A 1B →的夹角为60° D .正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图,(AA 1→+AD →+AB →)2=(AA 1→+A 1D 1→+D 1C 1→)2=AC 1→2=3AB →2;A 1C →·(A 1B 1→-A 1A →)=A 1C →·AB 1→=0;AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角,而D 1C →与D 1A →的夹角为60°,故AD 1→与A 1B →的夹角为120°;正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心, 则AC 1→与CE →( )A .重合B .平行但不重合C .垂直D .无法确定C [AC 1→=AB →+AD →+AA 1→,CE →=CC 1→+C 1E →=AA 1→-12(AB →+AD →),于是AC 1→·CE →=(AB →+AD →+AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1-12(AB →+AD →)=AB →·AA 1→-12AB →2-12AB →·AD →+AD →·AA 1→-12AD →·AB →-12AD →2+AA 1→2-12AA 1→·AB →-12AA 1→·AD →=0-12-0+0-0-12+1-0-0=0,故AC 1→⊥CE →.]13.(一题两空)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AD =AA 1=1,AB =2,P 是C 1D 1的中点,则B 1C →·A 1P →=________,B 1C →与A 1P →所成角的大小为________.1 60° [法一:连接A 1D ,则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角.连接PD ,在△P A 1D 中,易得P A 1=DA 1=PD =2,即△P A 1D 为等边三角形,从而∠P A 1D =60°,即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →=2×2×cos 60°=1.法二:根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →=(A 1A →+AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →+12AB →=AD →2=1. 由题意可得P A 1=B 1C =2,则2×2×cos 〈B 1C →,A 1P →〉=1,从而〈B 1C →,A 1P →〉=60°.]14.已知在正四面体D -ABC 中,所有棱长都为1,△ABC 的重心为G ,则DG 的长为________.63 [如图,连接AG 并延长交BC 于点M ,连接DM ,∵G 是△ABC 的重心,∴AG =23AM ,∴AG →=23AM →,DG →=DA →+AG →=DA →+23AM →=DA →+23(DM →-DA →)=DA →+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →+DC →)-DA →=13(DA →+DB →+DC →),而(DA →+DB →+DC →)2=DA →2+DB →2+DC →2+2DA →·DB →+2DB →·DC →+2DC →·DA →=1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,∴|DG →|=63.]15.如图,正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,VC 的中点为M .(1)求证:AO ,BO ,CO 两两垂直;(2)求〈DM →,AO →〉.[解] (1)证明:设VA →=a ,VB →=b ,VC →=c ,正四面体的棱长为1, 则VD →=13(a +b +c ),AO →=16(b +c -5a ), BO →=16(a +c -5b ),CO →=16(a +b -5c ),所以AO →·BO →=136(b +c -5a )·(a +c -5b )=136(18a ·b -9|a |2)=136(18×1×1×cos 60°-9)=0,所以AO →⊥BO →,即AO ⊥BO .同理,AO ⊥CO ,BO ⊥CO . 所以AO ,BO ,CO 两两垂直.(2)DM →=DV →+VM →=-13(a +b +c )+12c =16(-2a -2b +c ),所以|DM →|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(-2a -2b +c )2=12. 又|AO →|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b +c -5a )2=22,DM →·AO →=16(-2a -2b +c )·16(b +c -5a )=14, 所以cos 〈DM →,AO →〉=1412×22=22. 又〈DM →,AO →〉∈[0,π], 所以〈DM →,AO →〉=π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1.若向量{a ,b ,c }是空间的一个基底,则一定可以与向量p =2a +b ,q =2a-b 构成空间的另一个基底的向量是( )A .aB .bC .cD .a +bC [由p =2a +b ,q =2a -b 得a =14p +14q ,所以a 、p 、q 共面,故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除A ;因为b =12p -12q ,所以b 、p 、q 共面,故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除B ;因为a +b =34p -14q ,所以a +b 、p 、q 共面,故a +b 、p 、q 不能构成空间的一个基底,排除D.]2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是上底面对角线AC 与BD 的交点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,则B 1M →可表示为( )A .12a +12b +cB .12a -12b +cC .-12a -12b +cD .-12a +12b +cD [由于B 1M →=B 1B →+BM →=B 1B →+12(BA →+BC →) =-12a +12b +c ,故选D.]3.若向量MA →,MB →,MC →的起点M 与终点A ,B ,C 互不重合,且点M ,A ,B ,C 中无三点共线,满足下列关系(O 是空间任一点),则能使向量MA →,MB →,MC →成为空间一个基底的关系是( )A .OM →=13OA →+13OB →+13OC → B .MA →≠MB →+MC → C .OM →=OA →+OB →+OC →D .MA →=2MB →-MC →C [若MA →,MB →,MC →为空间一组基向量,则M ,A ,B ,C 四点不共面.选项A 中,因为13+13+13=1,所以点M ,A ,B ,C 共面;选项B 中,MA →≠MB →+MC →,但可能存在实数λ,μ使得MA →=λMB →+μMC →,所以点M ,A ,B ,C 可能共面;选项D 中,四点M ,A ,B ,C 显然共面.故选C.]4.空间四边形OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,点M 在OA 上,且OM →=2MA →,N 为BC 中点,则MN →为( )A .12a -23b +12cB .-23a +12b +12cC .12a +12b -23cD .23a +23b -12cB [MN →=MA →+AB →+BN →=13OA →+OB →-OA →+12(OC →-OB →)=-23OA →+12OB →+12OC →=-23a +12b +12c .]5.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量AB →,AD →,AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|=1,|AD →|=2,|AA 1→|=3,则|AC 1→|等于( )A .5B .6C .4D .8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有,AC 1→=AB →+AD →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→所以有|AC 1→|=|AB →+AD →+AA 1→|,于是有|AC 1→|2=|AB →+AD →+AA 1→|2=|AB →|2+|AD →|2+|AA 1→|2+2|AB →|·|AD →|·cos 60°+2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°+2|AD →||AA 1→|·cos 60°=25,所以|AC 1→|=5.]二、填空题6.在四面体OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE →=________.(用a ,b ,c 表示)12a +14b +14c [因为在四面体OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,所以OE →=12(OA →+OD →)=12OA →+12OD →=12a +12×12(OB →+OC →)=12a +14(b +c )=12a +14b +14c .]7.已知{a ,b ,c }是空间的一个单位正交基底,{a +b ,a -b ,c }是空间的另一个基底,若向量m 在基底{a ,b ,c }下表示为m =3a +5b +9c ,则m 在基底{a +b ,a -b,3c }下可表示为________.4(a +b )-(a -b )+3(3c ) [由题意知,m =3a +5b +9c ,设m =x (a +b )+y (a -b )+z (3c )则有⎩⎨⎧ x +y =3x -y =53z =9,解得⎩⎨⎧x =4y =-1z =3.则m 在基底{a +b ,a -b,3c }可表示为m =4(a +b )-(a -b )+3(3c ).] 8.在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O ,G 为BD 上一点,BG =2GD ,P A →=a ,PB →=b ,PC →=c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG →=________.23a -13b +23c [因为BG =2GD ,所以BG →=23BD →. 又BD →=BA →+BC →=P A →-PB →+PC →-PB →=a +c -2b , 所以PG →=PB →+BG →=b +23(a +c -2b ) =23a -13b +23c .] 三、解答题9.如图所示,正方体OABC -O ′A ′B ′C ′,且OA →=a ,OC →=b ,OO ′→=c .(1)用a ,b ,c 表示向量OB ′→,AC ′→;(2)设G ,H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心,用a ,b ,c 表示GH →.[解] (1)OB ′→=OB →+BB ′→=OA →+OC →+OO ′→=a +b +c . AC ′→=AC →+CC ′→=AB →+AO →+AA ′→=OC →+OO ′→-OA →=b +c -a . (2)法一:连接OG ,OH (图略), 则GH →=GO →+OH →=-OG →+OH → =-12(OB ′→+OC →)+12(OB ′→+OO ′→) =-12(a +b +c +b )+12(a +b +c +c ) =12(c -b ).法二:连接O ′C (图略),则GH →=12CO ′→=12(OO ′→-OC →) =12(c -b ).10.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA →=-13AC →,ND →=13A 1D →,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,试用a ,b ,c 表示MN →.[解] 连接AN ,则MN →=MA →+AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC →=AB →+AD →=a +b , MA →=-13AC →=-13(a +b ), 又A 1D →=AD →-AA 1→=b -c ,故AN →=AD →+DN →=AD →-ND →=AD →-13A 1D →=b -13(b -c ), 所以MN →=MA →+AN → =-13(a +b )+b -13(b -c ) =13(-a +b +c ).11.(多选题)已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则下列向量组中,不能构成一个基底的一组向量是( )A .2a ,a -b ,a +2bB .2b ,b -a ,b +2aC .a,2b ,b -cD .c ,a +c ,a -cABD [对于A ,因为2a =43(a -b )+23(a +2b ),得2a 、a -b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于B ,因为2b =43(b -a )+23(b +2a ),得2b 、b -a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于C ,因为找不到实数λ、μ,使a =λ·2b +μ(b -c )成立,故a 、2b 、b -c 三个向量不共面,它们能构成一个基底;对于D ,因为c =12(a +c )-12(a -c ),得c 、a +c 、a -c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,故选ABD.]12.(多选题)给出下列命题,正确命题的有( )A .若{a ,b ,c }可以作为空间的一个基底,d 与c 共线,d ≠0,则{a ,b ,d }也可以作为空间的一个基底B .已知向量a ∥b ,则a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C .A ,B ,M ,N 是空间四点,若BA →,BM →,BN →不能构成空间的一个基底,则A ,B ,M ,N 四点共面D .已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,若m =a +c ,则{a ,b ,m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底.显然B 正确.C 中由BA →,BM →,BN →不能构成空间的一个基底,知BA →,BM →,BN →共面.又BA →,BM →,BN →过相同点B ,知A ,B ,M ,N 四点共面.所以C 正确.下面证明AD 正确:A 假设d 与a ,b 共面,则存在实数λ,μ,使得d =λa +μb ,∵d 与c 共线,c ≠0,∴存在实数k ,使得d =k c .∵d ≠0,∴k ≠0,从而c =λk a +μk b ,∴c 与a ,b 共面,与条件矛盾,∴d 与a ,b 不共面.同理可证D 也是正确的.于是ABCD 四个命题都正确,故选ABCD.]13.(一题两空)已知空间的一个基底{a ,b ,c },m =a -b +c ,n =x a +y b +c ,若m 与n 共线,则x =________,y =________.1 -1 [因为m 与n 共线, 所以存在实数λ,使m =λn ,即a -b +c =λx a +λy b +λc ,于是有⎩⎨⎧1=λx ,-1=λy ,1=λ,解得⎩⎨⎧x =1,y =-1.]14.(一题多空)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+y e 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0=________,y 0=________,|b |=________.1 2 22 [由题意可令b =x 0e 1+y 0e 2+e 3,其中|e 3|=1,e 3⊥e i ,i =1,2.由b ·e 1=2得x 0+y 02=2,由b ·e 2=52得x 02+y 0=52,解得x 0=1,y 0=2,∴|b |=(e 1+2e 2+e 3)2=2 2.]15.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,E ,F 分别是AD 1,BD 的中点.(1)用向量a ,b ,c 表示D 1B →,EF →;(2)若D 1F →=x a +y b +z c ,求实数x ,y ,z 的值. [解] (1)如图,D 1B →=D 1D →+DB →=-AA 1→+AB →-AD →=a -b -c ,EF →=EA →+AF →=12D 1A →+12AC →=-12(AA 1→+AD →)+12(AB →+AD →)=12(a -c ). (2)D 1F →=12(D 1D →+D 1B →)=12(-AA 1→+AB →-AD 1→) =12(-AA 1→+AB →-AD →-DD 1→) =12(a -c -b -c )=12a -12b -c , ∴x =12,y =-12,z =-1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1.空间两点A ,B 的坐标分别为(x ,-y ,z ),(-x ,-y ,-z ),则A ,B 两点的位置关系是( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于z 轴对称D .关于原点对称B [纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故两点关于y 轴对称.] 2.已知A (1,2,-1),B (5,6,7),则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A .(0,1,1) B .(0,1,-3)C .(-1,0,3)D .(-1,0,-5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ,y ,z ),则AM →=(x -1,-2,z +1),AB →=(4,4,8),又AM →与AB →共线,∴AM →=λAB →,即⎩⎨⎧x -1=4λ,-2=4λ,z +1=8λ,解得x =-1,z =-5,∴点M (-1,0,-5).故选D.]3.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |=( ) A .534 B .532 C .532D .132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,32,3 ,|CM |=4+⎝ ⎛⎭⎪⎫32-12+9=532.] 4.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,B 1E =14A 1B 1,则BE →等于( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14,-1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,0,1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-14,1D .⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,-1C [{DA →,DC →,DD 1→}为单位正交向量,BE →=BB 1→+B 1E →=-14DC →+DD 1→,∴BE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-14,1.] 5.设{i ,j ,k }是单位正交基底,已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(8,6,4),其中a =i +j ,b =j +k ,c =k +i ,则向量p 在基底{i ,j ,k }下的坐标是( )A .(12,14,10)B .(10,12,14)C .(14,12,10)D .(4,3,2)A [依题意,知p =8a +6b +4c =8(i +j )+6(j +k )+4(k +i )=12i +14j +10k ,故向量p 在基底{i ,j ,k }下的坐标是(12,14,10).]二、填空题6.在空间直角坐标系中,已知点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线PQ ,则垂足Q 的坐标为________.(0,2,3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ,则Q 点横坐标为0,其余不变,故Q (0,2,3).]7.设{e 1,e 2,e 3}是空间向量的一个单位正交基底,a =4e 1-8e 2+3e 3,b =-2e 1-3e 2+7e 3,则a ,b 的坐标分别为________.(4,-8,3),(-2,-3,7) [由题意可知a =(4,-8,3),b =(-2,-3,7).] 8.如图所示,以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB 1→的坐标为(4,3,2),则AC 1→的坐标为________.(-4,3,2) [由DB 1→=DA →+DC →+DD 1→,且DB 1→=(4,3,2),∴|DA →|=4,|DC →|=3,|DD 1→|=2,又AC 1→=-DA →+DC →+DD 1→,∴AC 1→=(-4,3,2).]三、解答题9.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.[解] 如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,可得BO ⊥AC ,OO 1⊥AC ,分别以OB ,OC ,OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵三棱柱各棱长均为1,∴OA =OC =O 1C 1=O 1A 1=12,OB =32. ∵A ,B ,C 均在坐标轴上,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内, ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,1,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ,且BB 1=1,∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,1,即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,1,B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,1,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,1. 10.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G 分别为棱DD 1,D 1C 1,BC 的中点,以{AB →,AD →,AA 1→}为正交基底,求下列向量的坐标:(1)AE →,AF →,AG →; (2)EF →,EG →,DG →.[解] 在正交基底{AB →,AD →,AA 1→}下,(1)AF →=12AB →+AD →+AA 1→, AE →=AD →+12AA 1→,AG →=AB →+12AD →,∴AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1,12,AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,1,AG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,0.(2)EF →=AF →-AE →=12AB →+12AA 1→,∴EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,12;EG →=AG →-AE →=AB →-12AD →-12AA 1→,∴EG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12,-12;DG →=AG →-AD →=AB→-12AD →,∴DG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12,0.11.(多选题)下列各命题正确的是( ) A .点(1,-2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B .点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,-3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1,3C .点(2,-1,3)到平面yOz 的距离为1D .设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,若m =3i -2j +4k ,则m =(3,-2,4).ABD [“关于谁对称谁不变”,∴A 正确,B 正确,C 中(2,-1,3)到面yOz 的距离为2,∴C 错误.根据空间向量的坐标定义,D 正确.]12.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为正方体内一动点(包括表面),若AP →=xAB →+yAD →+zAA 1→,且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A .1B .12C .13D .16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内;满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内,故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图),即三棱锥A -A 1C 1D 1,其体积是13×12×1×1×1=16.]13.三棱锥P -ABC 中,∠ABC 为直角,PB ⊥平面ABC ,AB =BC =PB =1,M为PC 的中点,N 为AC 的中点,以{BA →,BC →,BP →}为基底,则MN →的坐标为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,-12 [MN →=BN →-BM → =12(BA →+BC →)-12(BP →+BC →) =12BA →-12BP →, 故MN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,-12.] 14.已知O 是坐标原点,点A (2,0,-2),B (3,1,2),C (2,-1,7). (1)若点P 满足OP →=OA →+OB →+OC →,则点P 的坐标为________; (2)若点P 满足AP →=2AB →-AC →,则点P 的坐标为________.(1)(7,0,7) (2)(4,3,-3) [(1)中OP →=OA →+OB →+OC →=(2i -2k )+(3i +j +2k )+(2i -j +7k )=7i +0j +7k ,∴P (7,0,7).(2)中,AP →=2AB →-AC →得OP →-OA →=2OB →-2OA →-OC →+OA →,∴OP →=2OB →-OC →=2(3i +j +2k )-(2i -j +7k ) =4i +3j -3k ,∴P (4,3,-3).]15.如图,在正四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,O 是AC 与BD 的交点,PO =1,M 是PC 的中点.设AB →=a ,AD →=b ,AP →=c .(1)用向量a ,b ,c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中,求BM →的坐标.[解] (1)∵BM →=BC →+CM →,BC →=AD →,CM →=12CP →,CP →=AP →-AC →,AC →=AB →+AD →,∴BM →=AD →+12(AP →-AC →)=AD →+12AP →-12(AB →+AD →)=-12AB →+12AD →+12AP →=-12a +12b +12c .(2)a =AB →=(1,0,0),b =AD →=(0,1,0).∵A (0,0,0),O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,∴c =AP →=OP →-OA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,∴BM →=-12a +12b +12c =-12(1,0,0)+12(0,1,0)+12⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,34,12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1.已知三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (a,3,b +2)在同一条直线上,那么( ) A .a =3,b =-3 B .a =6,b =-1 C .a =3,b =2D .a =-2,b =1C [根据题意AB →=(1,-1,3),AC →=(a -1,-2,b +4), ∵AB →与AC →共线,∴AC →=λAB →, ∴(a -1,-2,b +4)=(λ,-λ,3λ),∴⎩⎨⎧a -1=λ,-2=-λ,b +4=3λ,解得⎩⎨⎧a =3,b =2,λ=2.故选C.]2.已知a =(2,3,-4),b =(-4,-3,-2),b =12x -2a ,则x 等于( ) A .(0,3,-6) B .(0,6,-20) C .(0,6,-6)D .(6,6,-6)B [由题a =(2,3,-4),b =(-4,-3,-2),设x =(w ,y ,z )则由b =12x -2a ,可得(-4,-3,-2)=12(w ,y ,z )-2(2,3,-4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ,12y ,12z-(4,6,-8)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12w -4,12y -6,12z +8,解得w =0,y =6,z =-20,即x =(0,6,-20).]3.已知向量a =(1,0,-1),则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A .(-1,1,0) B .(1,-1,0) C .(0,-1,1)D .(-1,0,1)B [不妨设向量为b =(x ,y ,z ),A .若b =(-1,1,0),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-12×2=-12≠12,不满足条件. B .若b =(1,-1,0),则cos θ=a ·b |a |·|b |=12×2=12,满足条件. C .若b =(0,-1,1),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-12×2=-12≠12,不满足条件. D .若b =(-1,0,1),则cos θ=a ·b |a |·|b |=-22×2=-1≠12,不满足条件.故选B.]4.已知向量a =(-2,x,2),b =(2,1,2),c =(4,-2,1),若a ⊥(b -c ),则x 的值为( )A .-2B .2C .3D .-3A [∵b -c =(-2,3,1),a ·(b -c )=4+3x +2=0,∴x =-2.]5.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,λ),若AB →⊥AC →,则λ等于( )A .28B .-28C .14D .-14D [AB →=(-2,-6,-2),AC →=(-1,6,λ-3),∵AB →⊥AC →,∴AB →·AC →=-2×(-1)-6×6-2(λ-3)=0,解得λ=-14.] 二、填空题6.已知a =(1,1,0),b =(0,1,1),c =(1,0,1),p =a -b ,q =a +2b -c ,则p ·q =________.-1 [∵p =a -b =(1,0,-1),q =a +2b -c =(0,3,1), ∴p ·q =1×0+0×3+(-1)×1=-1.]7.已知空间三点A (1,1,1),B (-1,0,4),C (2,-2,3),则AB →与CA →的夹角θ的大小是________.120° [AB →=(-2,-1,3),CA →=(-1,3,-2),cos 〈AB →,CA →〉=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14·14=-12,∴θ=〈AB →,CA →〉=120°.]8.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点,如果B 1E ⊥平面ABF ,则CE 与DF 的和的值为________.1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(图略),设CE =x ,DF =y ,则易知E (x,1,1),B 1(1,1,0),∴B 1E →=(x -1,0,1),又F (0,0,1-y ),B (1,1,1),∴FB →=(1,1,y ),由于AB ⊥B 1E ,若B 1E ⊥平面ABF ,只需FB →·B 1E →=(1,1,y )·(x -1,0,1)=0⇒x +y =1.] 三、解答题9.已知空间中三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值;(2)若k a +b 与k a -2b 互相垂直,求实数k 的值.[解] (1)∵a =(1,1,0),b =(-1,0,2),∴a·b =(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又|a |=12+12+02=2,|b |=(-1)2+02+22=5,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-110=-1010,即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为-1010.(2)法一:∵k a +b =(k -1,k,2),k a -2b =(k +2,k ,-4),且k a +b 与k a -2b 互相垂直,∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)(k +2)+k 2-8=0,∴k =2或k =-52, ∴当k a +b 与k a -2b 互相垂直时,实数k 的值为2或-52. 法二:由(1)知|a |=2,|b |=5,a·b =-1,∴(k a +b )·(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2=2k 2+k -10=0,得k =2或k =-52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,底面边长AB =2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是边AC ,A 1C 1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值. [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),B 1(3,0,h ),C 1(0,1,h ), 则AB 1→=(3,1,h ),BC 1→=(-3,1,h ), 因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1→·BC 1→=-3+1+h 2=0, 所以h = 2.(2)由(1)可知AB 1→=(3,1,2),BC →=(-3,1,0), 所以AB 1→·BC →=-3+1=-2.因为|AB 1→|=6,|BC →|=2,所以cos 〈AB 1→,BC →〉=-226=-66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11.(多选题)若向量a =(1,2,0),b =(-2,0,1),则下列结论正确的是( )。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习新人教A版选修2_1
2.2.1 椭圆及其标准方程(建议用时:40分钟)一、选择题1.椭圆x 225+y 2169=1的焦点坐标为( )A .(5,0),(-5,0)B .(0,5),(0,-5)C .(0,12),(0,-12)D .(12,0),(-12,0)【答案】C [c 2=169-25=144.c =12,故选C.]2.已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,-4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,3,则此椭圆的标准方程是( ) A .x 2+y 225=1B.x 225+y 2=1或x 2+y 225=1 C.x 225+y 2=1 D .以上都不对【答案】A [设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ), 则⎩⎪⎨⎪⎧925m +16n =1,1625m +9n =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =125.∴椭圆的方程为x 2+y 225=1.]3.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△F 1PF 2的面积等于( )A .5B .4C .3D .1【答案】B [由椭圆方程,得a =3,b =2,c =5,∴|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴|PF 1|=4,|PF 2|=2,由22+42=(25)2,可知△F 1PF 2是直角三角形,故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×4×2=4,故选B.]4.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .线段D .直线【答案】B [|PF 1|+|PO |=12|MF 1|+12|MF 2|=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >|F 1O |,因此点P 的轨迹是椭圆.]5.如果方程x 2a 2+y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( )A .(3,+∞)B .(-∞,-2)C .(3,+∞)∪(-∞,-2)D .(3,+∞)∪(-6,-2)【答案】D [由于椭圆的焦点在x 轴上,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a +6,a +6>0,即⎩⎪⎨⎪⎧(a +2)(a -3)>0,a >-6.解得a >3或-6<a <-2,故选D.] 二、填空题6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________.【答案】x 24+y 23=1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a +c =3a -c =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2c =1,则b 2=a 2-c 2=3,故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.]7.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.【答案】3 [依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b =3.]8.已知P 是椭圆x 24+y 23=1上的一动点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹方程是________.【答案】(x +1)2+y 2=16 [如图,依题意,|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数且a >0).又|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PQ |=2a , 即|QF 1|=2a .由题意知,a =2,b =3,c =a 2-b 2=4-3=1. ∴|QF 1|=4,F 1(-1,0),∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,4为半径的圆, ∴动点Q 的轨迹方程是(x +1)2+y 2=16.] 三、解答题9.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点.设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3,32到两焦点F 1,F 2的距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标.【答案】∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4, ∴2a =4,a 2=4, ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3,32是椭圆上的一点, ∴(3)24+⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2=1,∴b 2=3,∴c 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).10.已知点A (0,3)和圆O 1:x 2+(y +3)2=16,点M 在圆O 1上运动,点P 在半径O 1M 上,且|PM |=|PA |,求动点P 的轨迹方程.【答案】因为|PM |=|PA |,|PM |+|PO 1|=4, 所以|PO 1|+|PA |=4, 又因为|O 1A |=23<4,所以点P 的轨迹是以A ,O 1为焦点的椭圆,所以c =3,a =2,b =1.所以动点P 的轨迹方程为x 2+y 24=1.1.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1→·MF 2→=0,则点M 到x轴的距离为( )A.233 B ..263C.33D. 3【答案】C [设M (x 0,y 0),由F 1(-3,0),F 2(3,0)得MF 1→=(-3-x 0,-y 0),MF 2→=(3-x 0,-y 0),由MF 1→·MF 2→=0得x 20+y 20=3, 又x 204+y 20=1,解得y 0=±33. 即点M 到x 轴的距离为33,故选C.] 2.如图223,∠OFB =π6,△ABF 的面积为2-3,则以OA 为长半轴,OB 为短半轴,F 为一个焦点的椭圆方程为__________.图223【答案】x 28+y 22=1 [设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意可知,|OF |=c ,|OB |=b ,∴|BF |=a .∵∠OFB =π6,∴b c =33,a =2b .∴S △ABF =12·|AF |·|BO |=12(a -c )·b =12(2b -3b )b =2-3,解得b 2=2,则a =2b =2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28+y 22=1.]3.若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点为(0,-4),则k 的值为________.【答案】k =132 [易知k >0,方程2kx 2+ky 2=1变形为y 21k +x 212k =1,所以1k -12k=16,解得k =132.]4.如图224所示,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2=________.图224【答案】2 3 [设正三角形POF 2的边长为c ,则34c 2=3, 解得c =2,从而|OF 2|=|PF 2|=2,连接PF 1(略),由|OF 1|=|OF 2|=|OP |知,PF 1⊥PF 2 则|PF 1|=|F 1F 2|2-|PF 2|2=42-22=2 3 所以2a =|PF 1|+|PF 2|=23+2,即a =3+1 所以b 2=a 2-c 2=(3+1)2-4=2 3.]5.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点(如图225所示),∠F 1F 2B =2π3,△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍.若|AB |=152,求椭圆C 的方程. 图225【答案】由题意可得S △F 1F 2A =2S △F 1F 2B ,∴|F 2A |=2|F 2B |, 由椭圆的定义得 |F 1B |+|F 2B | =|F 1A |+|F 2A |=2a , 设|F 2A |=2|F 2B |=2m , 在△F 1F 2B 中,由余弦定理得(2a -m )2=4c 2+m 2-2·2c ·m ·cos 2π3⇒m =2(a 2-c 2)2a +c.在△F 1F 2A 中,同理可得m =a 2-c 22a -c,所以2(a 2-c 2)2a +c =a 2-c 22a -c ,解得2a =3c ,可得m =5c 8,|AB |=3m =15c 8=152,c =4.由c a =23,得a =6,b 2=20, 所以椭圆C 的方程为x 236+y 220=1.。
高中数学(人教A版)选修2-1教师用书2.2 第1课时 椭圆及其标准方程 Word版含答案
第课时椭圆及其标准方程
[核心必知]
.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材~的内容,回答下列问题.
()阅读教材“探究”的内容,思考下列问题:
①移动笔尖,画出的轨迹是什么图形?
提示:椭圆.
②笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点和的距离之和是一个定值吗?
提示:是.其距离之和始终等于线段的长度.
()观察教材-图-.设(,),(-,),(,),且+=(>),则点的轨迹方程是什么?
提示:.
()观察教材“思考”.设(,),(,-),(,),且+=(>),则点的轨迹方程是什么?
提示:.
.归纳总结,核心必记
()椭圆的定义
平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
()椭圆的标准方程
[问题思考]
()定义中,将“大于”改为“等于”或“小于”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?
提示:当距离之和等于时,动点的轨迹就是线段
当距离之和小于时,动点的轨迹不存在.
()如图,你能从中找出表示,,的线段吗?
提示:=,=,=.
()确定椭圆的标准方程需要知道哪些量?
提示:,的值及焦点的位置.
[课前反思]
通过以上预习,必须掌握的几个知识点.
()椭圆的定义是:;
()椭圆的标准方程是:;
特点:;
()在椭圆的标准方程中,,,之间的关系是:
.
讲一讲
.已知椭圆+=(>>),,是它的焦点.过的直线与椭圆交于、两点,求△的周长.[尝试解答]∵+=,+=,
又∵△的周长=++=+++=,
∴△的周长为.。
高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版高二选修2-1数学试题
1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程优化练习新人教A版
2.2.1 椭圆及其标准方程 [课时作业][A 组 基础巩固]1.椭圆x 225+y 29=1上一点M 到焦点F 1的距离为2,则M 到另一个焦点F 2的距离为( ) A .3B .6C .8D .以上都不对 解析:由椭圆的定义知|MF 1|+|MF 2|=10,∴|MF 2|=10-2=8,故选C.答案:C 2.(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m >0)的左焦点为F 1(-4,0),则m =( ) A .2B .3C .4D .9解析:由左焦点为F 1(-4,0)知c =4,又a =5,∴25-m 2=16,解得m =3或-3,又m >0,故m =3.答案:B3.椭圆x 216+y 27=1的左、右焦点为F 1、F 2,一直线过F 1交椭圆于A ,B 两点,则△ABF 2的周长为( )A .32B .16C .8D .4 解析:∵|AF 1|+|AF 2|=8,|BF 1|+|BF 2|=8.又∵|AF 1|+|BF 1|=|AB |,∴△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+ (|BF 1|+|BF 2|)=16.故选B. 答案:B4.方程x 2sin 2+cos 2-y 2cos 2-sin 2=1所表示的曲线是( ) A .焦点在x 轴上的椭圆B .焦点在y 轴上的椭圆C .焦点在x 轴上的双曲线D .焦点在y 轴上的双曲线解析:∵π2<2<3π4,∴sin 2>0,cos 2<0且|sin 2|>|cos 2|,∴sin 2+cos 2>0,cos 2-sin 2<0且sin 2-cos 2>sin 2+cos 2,故表示焦点在y 轴上的椭圆. 答案:B5.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1→·MF 2→=0,则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3解析:由MF 1→·MF 2→=0,得MF 1⊥MF 2,可设|MF 1→|=m ,|MF 2→|=n ,在△F 1MF 2中,由m 2+n 2=4c 2得(m +n )2-2mn =4c 2,根据椭圆的定义有m +n =2a ,所以2mn =4a 2-4c 2,故mn =2b 2,即mn =2,∴S △F 1MF 2=12·mn =1,设点M 到x 轴的距离为h ,则12×|F 1F 2|×h =1,又|F 1F 2|=23,故h =33,故选C. 答案:C6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-23)且a =2b ,则椭圆的标准方程为________. 解析:由c =23,a =2b ,a 2=b 2+c 2,∴3b 2=12,b 2=4,a 2=16,∴标准方程为y 216+x 24=1. 答案:y 216+x 24=1 7.已知椭圆的两焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是________.解析:由题意知椭圆焦点在x 轴上,c =2,|F 1F 2|=4,由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项,∴|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=8,∴a =4,b 2=a 2-c 2=42-22=12,故椭圆的方程为x 216+y 212=1. 答案:x 216+y 212=1 8.若F 1,F 2是椭圆x 29+y 27=1的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠F 1AF 2=45°,则△AF 1F 2的面积为________.解析:如图所示,|F 1F 2|=22,|AF 1|+|AF 2|=6,由|AF 1|+|AF 2|=6,得|AF 1|2+|AF 2|2+2|AF 1||AF 2|=36.又在△AF 1F 2中,|AF 1|2+|AF 2|2-|F 1F 2|2=2|AF 1||AF 2|cos 45°,∴36-2|AF 1||AF 2|-8=2|AF 1||AF 2|,∴|AF 1||AF 2|=282+2=14(2-2). ∴S △AF 1F 2=12|AF 1||AF 2|sin 45° =12×14(2-2)×22=7(2-1). 答案:7(2-1)9.已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2是椭圆左、右焦点,若PF 1⊥PF 2,试求:(1)椭圆方程;(2)△PF 1F 2的面积.解析:(1)由PF 1⊥PF 2,可得|OP |=c ,得c =5.设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-25=1,代入P (3,4), 得9a 2+16a 2-25=1,解得a 2=45. ∴椭圆方程为x 245+y 220=1. (2)S △PF 1F 2=12|F 1F 2||y P |=5×4=20. 10.已知B ,C 是两个定点,|BC |=8,且△ABC 的周长等于18,求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解析:以过B ,C 两点的直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,如图所示.由|BC |=8,可知点B (-4,0),C (4,0),c =4.由|AB |+|AC |+|BC |=18,|BC |=8,得|AB |+|AC |=10.因此,点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a =10,但点A 不在x 轴上.由a =5,c =4,得b 2=a 2-c 2=25-16=9.所以点A 的轨迹方程为x 225+y 29=1(y ≠0). [B 组 能力提升]1.已知方程x 2|m |-1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A .m <2B .1<m <2C .m <-1或1<m <32D .m <-1或1<m <2 解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |-1>0,2-m >0,|m |-1<2-m ,解得m <-1或1<m <32.故选C. 答案:C2.椭圆x 212+y 23=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的( )A .7倍B .5倍C .4倍D .3倍 解析:不妨设F 1(-3,0),F 2(3,0),由条件知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,±32,即|PF 2|=32, 由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =43,则|PF 1|=732, 即|PF 1|=7|PF 2|,故选A.答案:A 3.已知曲线C :x 2k -5+y 23-k =-1,则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件.解析:将曲线C 的方程化为:x 25-k +y 2k -3=1,若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆, 则k -3>5-k >0,即4<k <5,故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.答案:必要不充分4.在平面直角坐标系中,A (4,0),B (-4,0),且sin A +sin B sin C =54,则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________.解析:在△ABC 中,由正弦定理|BC |=2R sin A ,|AC |=2R sin B ,|AB |=2R sin C ,∴|BC |+|AC ||AB |=54,又|AB |=8,∴|BC |+|AC |=10>8,由椭圆的定义2a =10,a =5,c =4, ∴b 2=a 2-c 2=9,又C 与AB 不共线,∴顶点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1(y ≠0). 答案:x 225+y 29=1(y ≠0) 5.△ABC 的三边a ,b ,c 成等差数列,且a >b >c ,A ,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B 的轨迹方程.解析:由已知得b =2,又a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b =4,即|AB |+|BC |=4,∴点B 到定点A ,C 的距离之和为定值4,由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分,其中a ′=2,c ′=1.∴b ′2=3.又a >b >c ,∴顶点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0). 6.动圆C 与定圆C 1:(x +3)2+y 2=32内切,与定圆C 2:(x -3)2+y 2=8外切,A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程;(2)若轨迹C 上的两点P ,Q 满足AP →=5AQ →,求|PQ |的值.解析:(1)如图,设动圆C 的半径为R ,则|CC 1|=42-R ,①|CC 2|=22+R ,②①+②得,|CC 1|+|CC 2|=62>6=|C 1C 2|,由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1,C 2为焦点,长轴长为62的椭圆,其轨迹方程为x 218+y 29=1. (2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则AP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1,y 1-92,AQ →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2-92.由AP →=5AQ →可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1,y 1-92=5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2-92,所以x 1=5x 2,y 1=5y 2-92×5+92=5y 2-18, ③ 由P ,Q 是椭圆C 上的两点,得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2218+y 229=1, ④25x 2218+y 2-29=1, ⑤ 由④、⑤得y 2=3,将y 2=3代入③,得y 1=-3, 将y 2=3代入④,得x 2=0,所以x 1=0, 所以P (0,-3),Q (0,3),|PQ |=6.。
数学2.2.1椭圆及其标准方程同步练习步步高(人教A版选修2-1)
§2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程一、选择题1.设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是( )A .椭圆B .直线C .圆D .线段2.设F 1,F 2是椭圆x 225+y 29=1的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的周长为 ( ) A .16 B .18 C .20 D .不确定3.已知椭圆的方程为x 28+y 2m 2=1,焦点在x 轴上,则其焦距为 ( ) A .28-m 2 B .222-|m |C .2m 2-8D .2|m |-2 24.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,方程x 2sin α+y 2cos α=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,π4 B.⎝⎛⎭⎫π4,π2 C.⎝⎛⎭⎫0,π4 D.⎣⎡⎭⎫π4,π2 5.椭圆的两焦点坐标分别为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点⎝⎛⎭⎫52,-32,则椭圆方程是( ) A.y 28+x 24=1 B.y 210+x 26=1 C.y 24+x 28=1 D.x 210+y 26=1 二、填空题6.方程x 22m -y 2m -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是________. 7.已知椭圆两焦点为F 1、F 2,a =32,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为______.8.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________________.9.一动圆与已知圆O 1:(x +3)2+y 2=1外切,与圆O 2:(x -3)2+y 2=81内切,则动圆圆心的轨迹方程为________________. 三、解答题10.椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1、F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,求点P 横坐标的取值范围.11.求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13,13,P 2⎝⎛⎭⎫0,-12的椭圆的标准方程. 12.已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP ′垂直于椭圆两焦点所在的直线,垂足为P ′,并且M 为线段PP ′的中点,求P 点的轨迹方程.四、探究与拓展13.在面积为1的△PMN 中,tan ∠PMN =12,tan ∠MNP =-2,建立适当的平面直角坐标系,求以M ,N 为焦点,且经过点P 的椭圆的方程.答案1.D 2.B 3.A 4.B 5.D6.0<m <13 7.6 8.x 25+y 24=1 9.x 225+y 216=1 10.-355<x <35511.5x 2+4y 2=1 12.x 2+y 2=3613.解 如图所示,以MN 所在的直线为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系. 设椭圆的方程为x2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0), M (-c,0),N (c,0),P (x 0,y 0).由tan ∠PMN =12,tan ∠PNx =tan(π-∠MNP )=2,得直线PM ,PN 的方程分别是y =12(x +c ),y =2(x -c ).联立解得⎩⎨⎧x 0=53c ,y 0=43c ,即点P ⎝⎛⎭⎫53c ,43c .又∵S △PMN =12|MN |·|y 0|=12×2c ×43c =43c 2,∴43c 2=1,即c =32,∴点M ⎝⎛⎭⎫-32,0,N ⎝⎛⎭⎫32,0,P ⎝⎛⎭⎫536,233.∴2a =|PM |+|PN | =⎝⎛⎭⎫536+322+⎝⎛⎭⎫2332+⎝⎛⎭⎫536-322+⎝⎛⎭⎫2332=15,即a =152.∴b 2=a 2-c 2=154-34=3.∴所求椭圆的方程为x 2154+y 23=1.高⌒考╗试∵题ω库。
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2.2.1 椭圆及其标准方程
课时演练²促提升
A组
1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.
答案:A
2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.
答案:C
3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.
又|PF1|-|PF2|=2,
∴|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=2c=2=4,
∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
∴△PF1F2为直角三角形.
答案:B
4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()
A.=1
B.=1
C.+y2=1
D.+x2=1
解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).
则2a==4,故a=2.
又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.
答案:B
5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.抛物线
解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).
∵|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.
答案:A
6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.
解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.
答案:-6<m<2
7.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.
解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,
∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.
答案:11或29
8.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.
解析:由已知,得2a=8,2c=2,
∴a=4,c=,
∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.
答案:+x2=1
9.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,
所以a2-a2=1,即a2=1.
所以a2=4.
因此b2=3.从而椭圆方程为=1.
(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2³2=4.
又|PF1|-|PF2|=1,
所以|PF1|=,|PF2|=.
又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得
cos ∠F1PF2=
=.
即∠F1PF2的余弦值等于.
10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.
解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.
因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,
所以|CA|+|CB|=20>12,
所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.
因为2a=20,2c=|AB|=12,
所以a=10,c=6,b2=64.
因为点A,B在y轴上,
所以点C的轨迹方程为=1.
B组
1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()
A.24
B.26
C.22
D.24
解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.
又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.
又因为|F1F2|=2c=2=10,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.
故△PF1F2的面积S=|PF1|²|PF2|=³8³6=24.
答案:A
2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()
A.0
B.2
C.3
D.4
解析:∵=0,
∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.
∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.
答案:B
3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.
解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,
∴c2=4,c=2.
设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,
∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.
∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),
即b4=12,∴b2=2.
答案:2
4.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.
解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,
则|MQ|=|MA|,
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,
∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.
易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,
∴b2=a2-c2=-1=,
故动点M的轨迹方程为=1.
5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.
解:(1)由题意知,2c=4,c=2,
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,
即2a=8,∴a=4.
∴b2=a2-c2=16-4=12.
∵椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆的方程为=1.
(2)设点P坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2||y0|=2,
∴|y0|=,y0=±.
代入椭圆方程=1,得x0=±2,
∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).
6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.
(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;
(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.
解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①
在△F1PF2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|²|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|²|PF2|=.
所以|PF1||PF2|²sin ∠F1PF2=.
(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,
得<0,
即(x+,y)²(x-,y)<0.
又y2=1-,所以x2<2,
解得-<x<.
所以点P横坐标的范围是。