2.4.2逆矩阵与逆变换

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《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量【考情分析】考试要求 1. 二阶逆矩阵，B 级要求；2. 二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；3. 二阶矩阵的简单应用，B 级要求．理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，会利用矩阵求解方程组．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，会求二阶矩阵的特征值与特征向量，利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题．理解矩阵的简单应用．【知识清单】 1. 逆变换与逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 2．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量. (3)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征方程． (4)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．【课前预习】1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解析：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 2. （选修4-2P 65习题2.4第7题）已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值．解析：由题意，知AA －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3.（选修4-2P 54例4改编）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解析：因为 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，所以 (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 012－10. 4. (选修4-2P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2 －6 的特征值．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.，求矩阵A .解析：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 【典型例题】目标1 求逆矩阵与逆变换例1求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．解析：（法一）设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. （法二）注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. 【借题发挥】变式1 (2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －122，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1540 －1. 解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1110220122a c b d c d ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 变式2 已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1，试求出(AB )－1. 解析：反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. 【规律方法】求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 【同步拓展】(2017·常州期末)已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．解析：解法一∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ，∴X=A ﹣1B==．解法二：∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ， ∴=，∴，解得，∴X=．目标2 特征值与特征向量的计算与应用例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解析：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0，x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【借题发挥】变式1 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 变式2 （2015·江苏高考）已知R y x ∈,，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0．从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【规律方法】1．求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．2．根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．【同步拓展】已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 目标3 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)例3 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解析： (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【规律方法】已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为：(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.【同步拓展】已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.【归纳分析】1.不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2.逆矩阵的性质：(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .3.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．4. 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 【课后作业】 1．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵B A 1-. 解析：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1, 故a =-1,b =0,c =0,d =21∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12. 所以B A1-=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3 . 2. 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 41－1的特征值及对应的特征向量．解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－4－1λ＋1＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)，令f(λ)＝0，得到M 的特征值λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤41；当λ2＝－2时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3. 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解析：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M－1N 变换下的函数解析式．解析：由M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，得M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x .5. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－2，c －3d ＝6，a ＋b ＝2，c ＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝3，d ＝－1，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 13 －1. 6. 已知α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2b ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，且a ＋b ＋m ＝3，求a ，b ，m 的值．解析：因为α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋5m ＝－3，－2＋5b ＝15，由a ＋b ＋m ＝3，解得a ＝16，b ＝175，m ＝－1730.7. (2016·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1的一个特征值为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1.解析：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－11. 8. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解析：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知 M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1，又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y ·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e 1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.9. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量．解析：(1)因为2×4－1×3＝5≠0，所以M 存在逆矩阵M －1，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 45 －15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.10.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解析：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.11. 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解析：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 【提优训练】1．利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8. 解析：设M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53.。

18学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1. 2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30][例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001. 即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－1 2 2 －3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2 －3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21－3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21－3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32. 从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32 ⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240° sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.[例3] 若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 15. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15. (1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B－1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，则A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.6．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1. [例4] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.若矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2z y －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1. 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8.8．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90° －sin －90° sin －90° cos －90° ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10. 法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－10.[对应学生用书P32]1．求下列矩阵的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－21 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值．解：根据题意，得AA －1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵． 4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－3212. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234. (1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12.(2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．已知曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1300 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得 x ′ 29＋ y ′ 24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

高中数学：矩阵与变换课件1(新人教A选修4-2)

19
旋转矩阵
20
21
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
1.矩阵乘法的法则是: 1.矩阵乘法的法则是: 矩阵乘法的法则是
a11 a12 b11 b12 a11 × b11 + a12 × b21 a11 × b12 + a12 × b22 a a b b = a × b + a × b a × b + a × b 21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
x = r cosα r P(x, y) y = r sinα θ r
P′(x′, y′)
α
x′ = r cos(α +θ) = r cosα cosθ − r sinα sinθ = x cosθ − y sinθ y′ = r sin(α +θ) = r sinα cosθ + r cosα sinθ = y cosθ + xsinθ cosθ − sinθ x x cosθ − y sinθ x′ sinθ cosθ y = xsinθ + y cosθ = y′
3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩, 3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩, 伸压变换矩阵是指将图形作沿或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵. 或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵. 伸压变换不是简单地把平面上的点(向量) “向下向下” 伸压变换不是简单地把平面上的点(向量) “向下” 而是向x轴或y轴方向压缩. 压,而是向x轴或y轴方向压缩.
主要数学思想
（1）数学化思想； 1 数学化思想；数学建模；（2）数学建模；数形结合的思想；算法思想。（3）数形结合的思想；（4）算法思想。

矩阵求逆的方法

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修0

λ－2 3λ＋ 5
∴
的最大值为 3.
2λ－ 2 5λ＋ 8
ab
ab
(1)矩阵 A＝
与它的行列式 det(A)＝
的意义是不同的．矩阵 A 不是一个数，
cd
cd
而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩
阵可以有相同的行列式的值．
ab
(2)
＝ad－ bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
3 －3
解： (1)因为 D＝－1
＝ 3× 4－(－ 3)×(－ 1)＝ 9≠ 0，此方程组存在唯一解． 4
1 －3
又 D x＝ 3
＝ 1× 4－ (－ 3)× 3＝ 13， 4
31
Dy＝
＝ 3× 3－ 1×(－ 1)＝ 10.
－1 3
D x 13
D y 10
所以
x＝ D ＝ 9
，y＝ D ＝
. 9
cd
ab
(1)首先计算 det(A)＝
＝ ad－ bc，当 det(A)≠ 0 时，逆矩阵存在．
cd
d
det A (2)利用 A－ 1＝
－c
det A
－b det A
a det A
，求出逆矩阵 A－ 1.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
－1 1
1a
a0
(1)
； (2)
； (3)
.
11
01
3x－ 2y mx
即为
＝
，
x－ 4y my
3x－ 2y＝ mx， ∴
x－ 4y＝ my，
3－ m x－ 2y＝0，即

2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

江苏省铜山县高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2

.4。

2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组错误!当ad －bc≠0时，方程组的解为错误!二、二阶行列式定义:det(A ）＝a b c d ＝ad －bc 因此方程组的解为错误! 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为错误! 例1 求下列行列式的值⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4—2×3=—2 ⑵21 43-=1×4—2×（—3）=10 ⑶21 - 40=-1×4—2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad —bc) 例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x —3 的最值。

解:∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f （x)=x 2+2x —3=(x+1）2-4∴当x=—1时f （x ）取得最小值 -4；当x=1时f （x ）取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用:一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为:⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）错误!(2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4-2

一次方程组→
用行列式解方程组
→
A－1
Hale Waihona Puke 法二：(用行列式法) 计算det（A） → A－1
利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算 det(A)时用.
利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例 1 中的方程组.
【精彩点拨】找到 A，X，B→对应矩阵方程 AX＝B→ A－1 → X＝A－1B→ 得解
(2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵ac db和变换后的象mn ，去求在这个变换的作用下的原象.
利用行列式解方程组
利用行列式解方程组x3＋x＋2y4＋y－1＝ 1＝0， 0.
【导学号：30650040】
将方程化成【精彩点拨】一般形式 → 求出D，Dx、Dy → 求解
利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到 A，X，B，找到其对应的矩阵方程 AX＝B，再求出 A－1 然后由 X＝A－1B，求出 x，y 即可.
从几何变换的角度研究方程组解的情况
已知二元一次方程组 AX＝B，A＝10 21，B＝32，X＝xy，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.
【精彩点拨】找到矩阵A对应的几何变换 → 判断几何变换的逆变换情况 → 方程组解的存在情况
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

挑战课改的数学教案：剖析矩阵变换的精髓

挑战课改的数学教案：剖析矩阵变换的精髓教学目标：1. 理解矩阵的概念及其在数学中的应用。

2. 掌握矩阵的基本运算，包括加法、减法、数乘和矩阵乘法。

3. 理解矩阵变换的实质，并能够运用矩阵变换解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。

教学内容：第一章：矩阵的概念与基本运算1.1 矩阵的定义与表示1.2 矩阵的加法与减法1.3 矩阵的数乘1.4 矩阵的乘法第二章：矩阵变换的本质2.1 矩阵变换的定义2.2 矩阵变换的图像解释2.3 矩阵变换的性质2.4 逆矩阵与逆变换第三章：矩阵变换在几何中的应用3.1 二维空间中的矩阵变换3.2 三维空间中的矩阵变换3.3 投影矩阵与图像变换3.4 矩阵变换与线性方程组第四章：矩阵变换在计算机图形学中的应用4.1 计算机图形学中的矩阵变换4.2 二维图形变换：平移、缩放、旋转4.3 三维图形变换：投影、视图转换4.4 矩阵变换与计算机动画第五章：矩阵变换在实际问题中的应用5.1 线性方程组的矩阵表示5.2 高斯消元法与矩阵变换5.3 特征值与特征向量5.4 矩阵变换与优化问题教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，引导学生深入理解矩阵变换的概念和性质。

2. 通过具体的例题和实际应用问题，让学生掌握矩阵变换的方法和技巧。

3. 利用多媒体教学手段，如动画和图形展示，帮助学生直观地理解矩阵变换的效果。

4. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，培养他们的创新能力和解决问题的能力。

教学评估：1. 定期进行课堂测验和作业批改，了解学生对矩阵变换的理解和掌握程度。

2. 组织小组讨论和报告，评估学生在合作学习中的表现和思维能力。

3. 布置综合性的课后习题和项目任务，考察学生运用矩阵变换解决实际问题的能力。

4. 期末考试对学生进行全面评估，包括矩阵变换的基本概念、运算方法和应用领域。

第六章：矩阵变换在物理学中的应用6.1 经典力学中的矩阵变换6.2 电磁学中的矩阵变换6.3 相对论中的矩阵变换6.4 矩阵变换与量子力学第七章：矩阵变换在信号处理中的应用7.1 信号处理中的矩阵变换7.2 傅里叶变换与矩阵变换7.3 拉普拉斯变换与矩阵变换7.4 矩阵变换与数字信号处理第八章：矩阵变换在机器学习中的应用8.1 机器学习中的矩阵变换8.2 特征变换与降维8.3 线性回归与矩阵变换8.4 神经网络与矩阵变换第九章：矩阵变换在数据挖掘中的应用9.1 数据挖掘中的矩阵变换9.2 关联规则挖掘与矩阵变换9.3 聚类分析与矩阵变换9.4 矩阵变换与数据可视化第十章：矩阵变换在其它学科领域的应用10.1 生物学中的矩阵变换10.2 化学中的矩阵变换10.3 经济学中的矩阵变换10.4 矩阵变换与地球科学教学方法与评估：6. 采用案例分析和实验验证的方式，让学生了解矩阵变换在不同学科中的应用。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4_2

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4）－sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】法一待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。

第二章、逆矩阵和线性方程组的矩阵解法 ppt课件

线性代数
1
第二章矩阵
2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法
2
第二章矩阵
§2.3 可逆矩阵
数的乘法满足交换律 abba，且当 ab 1
时，有 ba1,ab1.
矩阵的乘法一般不满足交换律 ABBA
但当 A BB AE时，A 与 B 有什么关系
？例如：10
[A, b] =
a21 a22 … a2n …………
b2 …
为增广矩阵
am1 am2 … amn bm
13
第一章线性方程组与消元法
§1.2 Gauss消元法
Gauss消元法(Gauss’ method)
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3
2x1+2x2 6x3 = 2
r1
1
11 1 0
1 1
1
0
11 1 0
1
1
1 0
0 1
3
第二章矩阵
§2.3 可逆矩阵
§2.3 可逆矩阵 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.
2. 逆矩阵的唯一性若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C.
注: A的逆矩阵记为A1.
☺ 结合律的妙用之二
4
第二章矩阵
§2.3 可逆矩阵
注 ①对于方阵A, AB = E A可逆且A1 = B. BA = E A可逆且A1 = B.
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（）

线性代数4.逆矩阵、分块矩阵

0
0
B2
As 0 0
0 A1B1 0
0
0
A2 B2
Bs
0
0
0
0
.
As
Bs
A1 0
0
A2
0
0
0 k
0
A1k
0
0 A2k
As
0 0
0
0
（k为正整数）
Ask
26
性质3 若A1 , A2 , As 都可逆，
A1
则A
A2
也可逆，且有：
As
A11
A1
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1，
M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
7 4 9
则
A1
|
1 A* A|
A*
6 3
3
7
2 4
6
二、可逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
As1B11
A1t Bt1 Ast Bt1
A11B1r As1B1r
A1t Btr
Ast Btr
21
1 0 0 0 1 0 1 0
例
设A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,求
AB.
1
1
0
1
1
1
2
0
解
1 0 0 0 1 0 1 0
A1r

第三节逆矩阵

a11
N a21
an1
矩阵多项式 ( ) 书本第15页
设A是n阶方阵, f (x) an xn an1xn1 L a1x a0 是多项式，f ( A) an An an1An1 L a1A a0En
性质： f (A)g(A) g(A) f (A).
2.4 线性方程组的逆矩阵解法
第三节逆矩阵
一、背景
1、数在数的运算中，当数α≠０时，有
aa1 a1a 1,
则 a1 称1为的a倒数，（或称为 a的逆）；
a
2、矩阵在矩阵的运算中，单位阵Ｅ相当于数的
乘法运算中的１。那么，对于矩阵Ａ，如果存在另
一个矩阵 B, 使得 AB BA E,
则矩阵Ａ称为的可逆矩阵， B 称为A的逆阵.
c
2a
即
x
d 2b ad-bc
y
c 2a ad-bc
3、逆矩阵的运算规（设 A 均B 是阶律n可逆方阵）
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明若设 B和是C 可A逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E, 于是 B EB (CA)B C( AB) CE C 所以 A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1 .
例1
设
A
2 1
1
0
,求
A的逆.
解
设
a
B
c
b
d
AB BA E
B
0 1
1 2
则
2
1
1a
证明 AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,

2.4 逆矩阵

a b 调换主对角元 d A c d c
用 A 去除
1 d b , 1 d b 1 A c a A . ad bc c a A ad bc
求二阶矩阵逆矩阵可用两调一除的方法, 其做法是 : " "
证
1
由B , C可逆, 有 A B C 0, 得A可逆.
X 设 A W
BX DW E , BZ DY O , CW O , CY E .
因此 B 1 1 A O
X B 1 , Y C 1 , Z B 1 DC 1 , W O. B 1 DC 1 . 1 C
第四节
逆矩阵
在数的运算中，当数a 0时，有
aa1 a 1a 1,
（或称 a 的逆）；其中 a 1 1 为 a 的倒数， a 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1
那么，对于矩阵 A , 如果存在一个矩阵 B ，
使得 AB BA E , 则矩阵 B 称为 A 的逆矩阵或逆阵.
充分性：
a11 a 21 AA a n1
a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n
An1 A An 2 Ann
又由A2 A 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
1 A 2 E A 3 E E 4
A 2E
1
A 2E

线性代数课件—对称矩阵、分块矩阵、逆矩阵

的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)都是方阵, 称为对角分块矩阵.同结构的对角分块矩阵的和, 积, 仍是对角分块矩阵.
形如
或的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)是方阵, 分别称为上三角形分块矩阵或下三角形分块矩阵.同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和, 积,
仍是同结构的分块矩阵.
定理2.1
n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必
要条件是A非奇异, 而且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
证: 必要性设A可逆
AA-1=I|AA-1|=|I|
由有则所以
|A| |A-1|=1|A| 0, 即A为非奇异.
充分性
设A非奇异, 存在矩阵
有
同理可证
BA=I
由此可知A可逆, 且
那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.
如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.
0, 则称
定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|A为非奇异的.
BT=B.如果AB=BA, 则有 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.
对任意矩阵A,
ATA和AAT都是对称矩阵.
§2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中, 有时需要将一个矩阵分成若干个"子块"(子矩阵), 使原矩阵显得结构简单而清晰.例如:
然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得

逆矩阵怎样求几何变换的观点-江苏滨海中学

苏教版选修4-2 高二数学
2.4.1逆矩阵的概念
江苏省滨海中学徐义
2018/10/6
2018年10月6日星期六
创设情境
建构概念
由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点（x ，y）变换到点（x′，y′）.反过来: 若知道变换后的结果（x′，y′）,能否“找到回家的路”, 再让它变回到原来的（x ，y）呢？如图示：
分析情境形成概念
（1）以x轴为反射轴的反射变换；
解：（1）对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即 B=A；
（2）绕原点逆时针旋转600的旋转变换；
解：（2）对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺 0 60 时针旋转的变换矩阵；
（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的2倍的伸压变换；
应用概念探究性质
思考：(1)如果 A 矩阵可逆，那么逆矩阵唯一吗？如何证明？
证明：若设 B 和 C是 A的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
B C A 1 .
x y 解：设矩阵A的逆矩阵为 ,则 z w
5 1 x 7 3 z
3 8 -1 所求的逆矩阵为：A = 7 8
3 1 7 5 x , y , z , w , 8 8 8 9
1 8 . 5 9
1 1 A (2)如果矩阵可逆，那么 ( A ) 结果是什么？
A
1 1
A
思考：(3)定义中只有 AB E 此时 BA 的结果是多少？
矩阵

矩阵逆、初等变换矩阵秩

a 0, a , 使aa a a 1.
矩阵 A, ? 矩阵 B, 使 AB BA E
1 1 1
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵. （1）逆阵惟一。设B,C都是A的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C （2）并非每个方阵都可逆。 a b 1 0 例如 A 就不可逆。 B c d , 0 0
是否可逆? 若可逆，求其逆阵. 解：
3
0
8

A 3 1 6 1 0 2 0 5
A
可逆，并且
A11
1 0
6 5
5, A12
3
6
2 5
3,
3 1 0 8 A13 2, A21 0, 2 0 0 5
A22 A31
3 0 8
例5
试证明可逆上三角形矩阵的逆矩阵仍是上三角形矩阵，并且
的主对角线上的元素是A的主对角线上的 1 元素的倒数 (i 1,2, , n)
A
1
aii
证：对A的阶数n作数学归纳法。
当n=2时，则
。
a11 A 0
a12 , (a11 a 22 0), a 22
证明A-E可逆，并求（A-E）-1. 证：由
A2 A 4 E 0 有( A E )( A 2 E ) 2 E 0,
( A E )( A 2 E ) 2 E
所以
A ( A E )( E ) E，故A-E可逆，且 ( A E ) 1 A E。 2 2
0 0 1
3 0 0
1 2 2 3 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组
一、消元法二求解元一次方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m
cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc
二、二阶行列式
定义：det(A) ＝a b
c d
＝ad －bc
因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b
n d a b c
d y ＝a
m c n a b c
d
记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d
，D y ＝
a
m c n ，所以，方程组的解为⎩
⎨⎧x ＝D x
D
y ＝D y D
例1 求下列行列式的值 ⑴
21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c 解：⑴
21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43
-=1×4-2×（-3）=10 ⑶
21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a d
c
=2（ad-bc ）例2 若x= θθsin con θ
θcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2
+2x-3 的最值。

解：∵x=
θθsin con θ
θcon sin =con 2θ-sin 2
θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2
+2x-3=(x+1)2
-4
∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4；当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7
y 3x 4
2y 3x
例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦
⎤
12-的逆矩阵应用：
一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩
⎨
⎧=+=-7y 3x 4
2y 3x 的解
解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡74
令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦
⎤12- 其行列式33
12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡3
1-91
⎥
⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡12
即方程组的解为：⎩
⎨⎧==1y 2
x
二、用几何变换的观点讨论方程的解
（1）⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3
y ＝2 （2）AX ＝B ，其中A ＝1
1⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。