2.4逆变换和逆矩阵
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2.4逆变换和逆矩阵
第一课时 逆变换与逆矩阵
[教学目标]
一、知识与技能:会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵,存在情况下,会求逆矩阵 二、过程与方法:讲练结合法
三、情感态度和价值观:体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x 1
T 变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x −−
→−2
T 变换⎥⎦⎤
⎢⎣⎡y x (1)这个对应终归是什么对应? ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x
(2)这个对应是否一定可以实现?在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中,哪些可以实现,那些不能?由此得到能实现此这种变换的条件是什么?(不一定能实现;恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现,投影不能实现;是一一对应的变换可以实现,不是一一对应的不能实现) (3)对应的矩阵如何表示?若T 1对应变换矩阵为A ,T 2对应的变换矩阵为B ,BA=E 二、问题的深入 1、相关定义
以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换,T 1、T 2称互逆的
相应的矩阵A 、B 满足:AB=BA=E ,称A 是可逆的,B 称A 的逆矩阵
例1、A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0112,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110,C=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵?
解答:B 不是,C 是
思考1:一个矩阵A 存在逆矩阵,逆矩阵唯一吗?
从直观角度上看,逆变换是唯一的,逆矩阵也应该唯一;可以进行验证:设A 的逆矩阵为B 1、B 2,则有:B 1=B 1E=B 1(AB 2)=(B 1A )B 2=EB 2=B 2
这样,一个矩阵A 存在逆矩阵,则其逆矩阵唯一,记为A -1
思考2:如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵,又如何求呢?
从几何角度是一个办法,但不是最家办法,因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先,零矩阵一定没有逆矩阵 设二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡d c b a 的逆矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2121
y y x x ,则
⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121
y y x x =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1001 即方程组⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+=+=+④
dy cx ③by ax ②
dy cx ①
by ax 100122221111 有解,①②组成的x 1,y 1的方程组要有解;③④组成的x 2、y 2的方程
组也要有解
现用消去法解①②方程组。①×d 得:adx 1+bdy 1=d ②×b 得:cbx 1+bdy 1=0 两式作差得到
(ad-bc)x 1=d,要有解,必须ad-bc ≠0,此时x 1=
bc ad d -,将之代入②得y 1=-bc
ad b
-
对于③④,实质是将①②中a 与c,b 与d 互换,从而x 2=bc ad a -,y 2=-bc
ad c
-
2、结论:一个二阶非零矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡d c b a
存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0(主对角线积与副对角线积的差不为0),此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 与原矩阵比较:分母都是ad-bc ,分子主对角线互换,副对角线变为其相反数 即:主角对角积相减,四元分母尽一般;分子主角两相换,副角分子数相反 这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法
例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵,存在条件下,求其逆矩阵 (1)⎥⎦⎤⎢
⎣⎡0110 (2)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0101 (3)⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3715 解:(1)存在逆矩阵,⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110-1=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110 (2)不存在逆矩阵
(3)存在逆矩阵,⎥
⎦⎤⎢⎣⎡3715-1=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--8587
818
3 思考3:A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,B=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-0110 求A -1、B -1、(AB)-1及B -1A -1
,由此看出什么规律,这个规律
是否对一般的情况仍然成立?
A -1
=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-1001,B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110,(AB)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110,B -1A -1=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--0110,(AB)-1=B -1A -1
对于一般的⎥⎦
⎤⎣⎦⎢⎣⎡−−−←−→−
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y x y x y x A A T T B
B
1
1//变换,对应矩阵也应有(AB)-1=B -1A -1 这个结论还可以用代数方法证明:(AB)(B -1A -1
)=A(BB -1
)A -1
=AEA -1
=AA -1
=E ,同理(B -1A -1
)(AB)=E
根据定义有(AB)-1=B -1A -1
例3、求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10
211
2001的逆矩阵 (⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
-210411) 例4、A 、B 、C 为二阶矩阵,AB=AC ,A 存在逆矩阵,则B 与C 是否相等,证明你的结论
解:AB=AC ⇒A -1AB=A -1
AC ⇒EB=EC ⇒B=C
这一结论可以回答:矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立
练习:A 、B 、C 为二阶矩阵,BA=CA ,A 存在逆矩阵,则B 与C 是否相等,证明你的结论(相等)
三、小结:1、一个二阶非零矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡d c b a
存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0(主对角线积与副对角线积的差不为0),此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a -1=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 2、(AB)-1
=B -1A
-1
3、A 存在逆矩阵时,AB=AC 或BA=CA ,则B=C 四、作业:教材P63---1,2,3,6 [补充习题] 1、讨论矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡d b 01存在逆矩阵的条件,当它可逆时求其逆矩阵 2、求⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡01101201的逆矩阵
[补充习题答案]
1、d=0时不存在逆矩阵;d ≠0时,存在逆矩阵⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡
-d d b 101