高中数学逆变换与逆矩阵逆矩阵的概念课件苏教版

则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
11＝－223
2 1－
3.
2
6．若矩阵 A＝01 10，B＝01 －1 变换下的曲线方程．
12，求曲线 x2＋y2＝1 在矩阵(AB)
解：(AB)－1＝B－1A－1＝10
－2 1 1 0
01＝10
－21.
设 P(x，y)是圆 x2＋y2＝1 上任意一点，P 点在(AB)－1 对应
变换下变成 Q(x′，y′)
2.4 逆变 换与 逆矩 阵
2.4.1 逆矩 阵的 概念
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.4
逆变换与逆矩阵
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A、B，若有_A_B__＝__B_A_＝ ___E_，则称A是可逆 的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则_A__B_也可逆，且_(_A_B_)_－_1_＝__B_ _－_1A__－_1_. (2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵， 则_B__＝__C_.
db，则－01
0 a 2 c
db＝
1 0
10，即－2ac －2db＝01
0 1
故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而 A 的逆矩阵为 A－1
－1 0
＝
0
1， 2
－1
所以 A－1B＝
0
0 1 2
1 0
62＝－01
－32 .
2．已知矩阵 M＝21 －－31所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
[精解详析]
(1)矩阵 A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点
的纵坐标保持不变，横坐标沿 x 轴方向拉伸为原来 2 倍的伸缩变
换，因此它存在逆变换 TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，
横坐标沿 x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为 A－1＝
1 2
0.
0 1
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内 的点绕原点顺时针旋转 90°.它存在逆变换 TB－1：将平面内的点 绕原点逆时针旋转 90°，所对应的变换矩阵为 B－1＝01 －10.
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
解：由 M＝21 －－31，得 2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故 M －1＝－ －11 32.
从而由21
－3 －1
xy＝153得
xy＝－－11
3 2
153＝－ －11× ×1133＋ ＋32× ×55＝－32，
故xy＝＝－2，3， 即 A(2，－3)为所求．
[例 2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵． (1)A＝02 10；(2)B＝－01 10. [思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需 找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．
3
2
，求
A－1.
1
2 2
解：设 M＝10
1 －11，N＝2
3
－
3
2
，则
1
A＝MN.
2 2
∵1×1－0×(－1)＝1≠0，
∴M－1＝10
1 3
11，同理
N－1＝
2
－
3 2
2 .
1 2
由逆矩阵的性质，得
A－1＝(MN)－1＝N－1M－1
1 3
＝
2
－
3 2
2
1 2
1 0
1 1＋ 3
公式法求解． [精解详析]
法一：待定系数法：设A－1＝zx
wy ，
则32
2 x 1 z
wy ＝10
01.
即3x2＋ x＋2zz 23yy＋ ＋w2w＝01 10，
故32xx＋ ＋2z＝z＝01，，
3y＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw＝0， 2y＋w＝1，
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，
从而A的逆矩阵为A－1＝－21 －32.
0 1. 5
而矩阵 B 对应的变换为切变变换，
其逆矩阵 B－1＝10 －31， ∴(AB)－1＝B－1A－1
＝10
1
－3 1
2 0
015＝120
－35
1
.
5
(1)要避免犯如下错误(AB)－1＝A－1B－1. (2)此题也可以先求出 AB 再求其逆．
5．已知 A＝01
－1 1
1 2 3
－
所以 A－1＝0
1. 5
逆矩阵的概念与性质的应用
[例 3] 若矩阵 A＝20 05，B＝10 31，求矩阵 AB 的逆矩阵． [思路点拨] 根据公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出 B－1、A－1， 再利用矩阵乘法求解．
[精解详析] 因为矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
1 所以 A－1＝2
0
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观 察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一 一映射．
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变 换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆 变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
3．已知矩阵 A＝－ －1223
3．逆矩阵的求法
(1)公式法：对于二阶矩阵A＝ac
ad－d bc －ad－b bc
－c
a
可逆，且A－1＝__a_d_－__b_c____a_d_－__b_c__ .
db，若ad－bc≠0，则A必
(2)待定系数法．
(3)逆变换法．
逆矩阵的求法
[例1]
求矩阵A＝23 12的逆矩阵．
[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用
法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，
∴A－1＝－21 －32.
用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵 A－1，再由AA－1＝E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的 概念求出A－1.
1．(江苏高考)已知矩阵A＝－10 02，B＝01 62，求矩阵A－1B.
解：设矩阵 A 的逆矩阵为ca
3
2
，求 A－1.
－12
解：矩阵 A 对应的变换是旋转变换 R240°，它的逆变换
是 R－240°
∴A－1＝csions－－224400°°
－sin－240° cos－240°
＝－12
－
3 2
.
3 2
－12
1 4．已知矩阵 A＝2
0，求 A－1.
0 5
解：因矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
2 0