逆矩阵
§3 逆矩阵
三、解矩阵方程
解矩阵方程 (1) AX = C , ( 2) XA = B , ( 3) AXB = C , 其中 A、B 均为可逆矩阵 .
矩阵方程
AX = B XA = B
AXB = C
解
X = A−1 B
X = BA−1
X = A−1 C B −1
3 2 1 − 5 例5 解矩阵方程 (1) ; X = 1 4 −1 4
−1 −1 −1
1 − 1 1 1 2 − 3 (2 ) X 1 1 0 = 2 0 4 2 1 1 0 − 1 5
1 −1 1 1 1 0 =1≠ 0 2 1 1
给方程两端右乘矩阵
1 − 1 1 1 1 0 , 2 1 1
解
d − b A = ad − bc ≠ 0, A = − c a .
*
1 d − b ∴A = . ad − bc − c a
−1
二阶矩阵的逆可以直接“看出来”
1 2 3 例3 (1) 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解 A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3
−1 T
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1 −1
另外, 当 A ≠ 0时
定义
A =E
0
A
−k
= ( A ) , k为整数
−1 k
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
(A )
λ µ
= Aλµ .
二、逆矩阵的求法
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全
矩阵的逆是一个重要的数学概念，它在很多领域中都得到了广泛的应用，如线性代数、微积分、概率论等。
求解矩阵的逆可以用于解线性方程组、计算行列式、计算特征值和特征向量等。
本文将介绍几种常见的矩阵求逆方法，包括伴随矩阵法、高斯消元法、LU分解法和特征值分解法。
1.伴随矩阵法：
伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、首先，计算出矩阵的伴
随矩阵，然后将其除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
2.高斯消元法：
高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，也可以用来求解矩阵
的逆。
通过将待求逆矩阵与单位矩阵连接起来，然后进行初等行变换，直
至左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求逆矩阵。
3.LU分解法：
LU分解法将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后
通过求解两个三角矩阵的逆矩阵，进而求得原矩阵的逆。
LU分解法是一
种常用的数值计算方法，应用广泛。
4.特征值分解法：
特征值分解法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求解矩阵的逆的
方法。
首先，根据特征值定理求解矩阵的特征值和特征向量，然后利用这
些特征值和特征向量构建一个对角矩阵，最后通过对角矩阵求逆得到原矩
阵的逆。
除了上述方法外，还有其他一些方法可以用来求解矩阵的逆，如迭代法、SVD分解法等。
这些方法在不同的应用场景下有不同的优势。
总之，求解矩阵的逆是一个重要的数学问题，在实际应用中有着广泛的应用。
以上介绍的几种方法是常用的求解逆矩阵的方法，读者可以根据自己的需求选择合适的方法进行求解。
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆是一个在线性代数中非常重要的概念。
逆矩阵是一个方阵(A)的伴随矩阵(ad(A))除以该方阵的行列式(det(A))的结果，即逆矩阵(A-1) = ad(A) / det(A)。
要找到一个矩阵的逆矩阵，首先需要确保矩阵是可逆的。
矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0。
只有当行列式不等于零时，才能找到逆矩阵。
如果行列式等于零，该矩阵就被称为奇异矩阵，它没有逆矩阵。
接下来，我将详细介绍两种常见的方法来计算矩阵的逆。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接计算矩阵的逆矩阵的方法。
首先，我们计算出原始矩阵的伴随矩阵，然后再除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
步骤如下：1. 计算原始矩阵的伴随矩阵(ad(A))。
伴随矩阵的每个元素(ad(A)ij)等于原始矩阵(A)的代数余子式(Aij)的代数余子式(Aij)。
其中，代数余子式(Aij)是矩阵中去掉第i行和第j列的部分矩阵的行列式(det(Aij))乘以(-1)^(i+j)。
2. 计算原始矩阵的行列式(det(A))。
3. 计算逆矩阵(A-1)。
逆矩阵的每个元素(A-1)ij等于伴随矩阵(ad(A))的每个元素(ad(A)ij)除以原始矩阵的行列式(det(A))。
伴随矩阵法的优点是直接，可以一步得到逆矩阵。
然而，该方法在求解大型矩阵时计算量较大。
方法二：初等行变换法初等行变换法是通过一系列的初等行变换来得到一个单位矩阵，然后通过对单位矩阵进行相同的初等行变换得到逆矩阵。
步骤如下：1. 将原始矩阵(A)写在左侧，单位矩阵(I)写在右侧，构成一个增广矩阵[A I]。
2. 通过一系列的行变换，将左侧矩阵变成单位矩阵。
在每一步行变换时，同样地对右侧的单位矩阵做相同的变换。
3. 当左侧的矩阵完全变成单位矩阵时，右侧的矩阵就是原始矩阵的逆矩阵。
初等行变换法的优点是对于大型矩阵来说，计算量较小。
然而，该方法需要一定的手工计算和整数运算，可能会产生较大的误差。
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
2012-6-16
证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
2012-6-16
定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
2012-6-16
A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
2012-6-16
8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
2012-6-16
四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
逆矩阵的知识点总结
逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。
只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。
1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。
其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。
这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。
如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。
二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。
2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。
2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。
2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。
如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。
2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。
伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。
与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
2.3逆矩阵
，
求(E B)
1
1
B ( E A) ( E A) ( E A ) B ( E A )( E A ) ( E A ) E A
1
( E A) B E A
B AB E A
(E B)
1
E A 2
A B AB E O
A AXBB
1 X 0 0
2.3
X A CB
0 3 1 5 0
2 1 0
1 1 2 0 1 1
2 2 3 1 2 1 5 2 1 0
16 6 1 4 11 2 3 1
0 0 1 0 2 3 例2：设 A 0 4 5 0 0 6
0 0 ，且 B ( E A ) 1 ( E A ) 0 7 用定理1的推论
运用推论1的证明方法。
将A-1+B-1表示成三个可逆矩阵相乘，运用逆矩阵的运算性质，不需求行列式。
2.3
本节求逆矩阵的解题方法（技巧）：
1、A=AE 2、E=AA-1
1与2一般一起使用
3、AB=E(BA=E)推出A=B-1或B=A-1（推论1）
4、逆矩阵运算性Βιβλιοθήκη 32.3 ( E B )( E A ) 2 E
(E B)
2.3
(E A) 2
E
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4
自学P56例7与例8
例3：设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且 (A*)-1=(A-1)*。 用定理1的推论 例4：设A为 3 3 矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=2， 求|A*|。 例5、设矩阵A、B、A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆， 并求其逆矩阵。
逆矩阵的计算
逆矩阵的计算在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要且有用的概念。
对于一个给定的方阵A，如果其存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的计算可以通过多种方法实现，下面将介绍两种常见的计算逆矩阵的方法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种用于计算逆矩阵的方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 首先计算A的伴随矩阵Adj(A)。
- 伴随矩阵Adj(A)是由矩阵A的代数余子式按一定规律排列得到的矩阵。
其中，第i行第j列的元素是(-1)^(i+j)乘以矩阵A的代数余子式M(ij)。
- 矩阵A的代数余子式M(ij)是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i行和第j列后剩余元素的行列式值。
2. 计算矩阵A的行列式|A|。
- 矩阵A的行列式|A|可以通过对矩阵A的某一行（或某一列）进行按行或按列展开得到。
3. 判断矩阵A是否可逆。
- 如果矩阵A的行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
- 如果矩阵A可逆，则继续进行下一步；否则，矩阵A不存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
- 逆矩阵A^(-1)等于伴随矩阵Adj(A)除以矩阵A的行列式|A|。
方法二：初等变换法初等变换法是另一种计算逆矩阵的常见方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 将矩阵A与单位矩阵I拼接在一起，形成一个(2n)阶的矩阵[A|I]。
2. 利用初等变换将矩阵[A|I]化简为[I|B]的形式。
- 初等变换包括：- 互换两行或两列；- 用非零常数乘以某一行或某一列；- 用非零常数乘以某一行或某一列，并加到另一行或另一列上。
3. 如果矩阵A的左半部分变成了单位矩阵I，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
否则，矩阵A不存在逆矩阵。
需要注意的是，上述两种方法并不是适用于所有情况的。
在实际计算中，我们需要综合考虑矩阵的性质和规模，选择最适合的方法来计算逆矩阵。
逆矩阵的计算在线性代数和相关领域中具有广泛的应用。
高等数学逆矩阵
2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求 的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵 逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求 逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且 可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中 当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆 的逆(元 为a 的倒数 或称 的逆 元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中 单位阵 相当于数的乘法运算中 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵 称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵 称为可逆矩阵 称A-1为A逆阵 逆阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义 对于 阶方阵 如果存在一个 阶方阵 AB = BA = E 使得 则称矩阵A是可逆的 并称矩阵B为 的逆矩阵 的逆 是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的 并称矩阵 为A的逆矩阵 A的逆 矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 是否可逆? 例3: 下列矩阵 是否可逆 若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆 可逆. 所以 A可逆 由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33
线性代数-逆矩阵
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
2.3逆矩阵
线性代数
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§2.3 逆矩阵
Th2. 若矩阵A可逆,则| A | 0.
证 : A可逆 AA1 E
A A1 E 1 A 0
Th3. 若 | A | 0,则A可逆,且A1 1 A* | A|
其中A为A的伴随矩阵.
证： AA A A A E A A A A E AA
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§2.3 逆矩阵
作业
习题二（P44）
6(1)(4)、11、12（1,3）
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求逆矩阵.
证 : AA E 2E A A E E
2
A可逆 ,且 A1 1 A E .
2
A 2EA 3E 4E
A
2E
1 4
A
3
E
E
A 2E可逆, 且 A 2E 1 1 A 3E
4
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§2.3 逆矩阵
三. 逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
4 3 5 3
1 6 4
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§2.3 逆矩阵
例4. X
2 1
1
2 1 2
3 0 1
1 0
1 1
0 , 求X 0
X BA1
1 4 3
A1
1
5 3
1 6 4
X 1 0
1 1
00
1 1 1
4 5 6
3 0
矩阵逆的公式
矩阵逆的公式
（实用版）
目录
1.矩阵逆的定义
2.矩阵逆的公式
3.矩阵逆的性质
4.矩阵逆的求解方法
5.矩阵逆的应用
正文
矩阵逆是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的乘法密切相关。
矩阵逆是指对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 AB=BA=I，其中 I 是单位矩阵。
矩阵逆的公式可以表示为 A^-1，读作 A 的逆矩阵。
矩阵逆的公式可以通过高斯消元法求解。
高斯消元法的基本思想是将矩阵 A 转化为阶梯形矩阵，然后求解阶梯形矩阵的逆矩阵。
具体操作步骤如下：
1.将矩阵 A 进行高斯消元，得到阶梯形矩阵。
2.求解阶梯形矩阵的逆矩阵。
3.将逆矩阵还原成原来的矩阵形式，得到矩阵 A 的逆矩阵。
矩阵逆具有以下性质：
1.矩阵逆满足结合律，即 (AB)^-1 = B^-1A^-1。
2.矩阵逆满足分配律，即 (A+B)^-1 = A^-1 + B^-1。
3.矩阵逆与矩阵乘法的逆元素存在，即对于任意矩阵 A，存在矩阵 B 使得 AB=BA=I。
矩阵逆在实际应用中具有重要意义，例如在解线性方程组、求解矩阵特征值和特征向量等问题中都涉及到矩阵逆的计算。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
2.3 逆矩阵
所以
A( A E ) E ,
A1 A E
(2) A2 A E O A2 A 2E E
( A E )( A 2 E ) E
( A E )1 ( A 2E ) 2E A
28
A满足A A E O.证明A, A E可逆， 课堂 设方阵 练习 并求它们的逆矩阵 .
2 1 A 1 2
的逆矩阵.
2 1 A 30 1 2
A11 2, 1 A A A 1 2 12 22
A21 1, A22 2
1 1 2 1 A A . A 3 1 2
a1n A11 a 2 n A12 a nn A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A O A AE , O A
16
4 , A13
2 1 1 3
5,
20
1 2 3 A 2 1 2 1 3 3
同理可求得
3 3 1 4 0 4 A 5 1 3
A31 1, A32 4, A33 3.
A21 3, A22 0, A23 1,
类似根据按列展开定理,
A11 A 12 A1n
A21 An1 a11 a12 a A22 An 2 a 21 22 A2 n Ann a n1 a n 2
a1n a2 n ann
1
AX E
a11 a12 a 21 a22 a n1 a n 2
2.3逆矩阵
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
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