矩阵乘积的逆(高等代数课件)
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一、引例
引例 1 矩阵与复数
引例 2 坐标旋转变换 复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a+bi
可表示为 (a , b) ，因此，从结构上看复数是矩阵的 引例 3 线性变换的逆变换 特殊情形 . 在第二节我们也看到，矩阵与复数相 在平面直角坐标系 xOy 中，将两个坐标轴同 仿，有加法、减法、乘法三种运算 . 我们知道，复 时绕原点旋转 角 ( 逆时针为正，顺时针为负 )， 设给定一个线性变换 数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否 就得到一个新的直角坐标系 (见图 3) ． 平面上 4 a– x , y1 a11 x1 a12 x2 1n n 也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义， Ｐ 任何一点 a21 x1 a22 x2 a2 n xn , y2 在两个坐标系中的坐标分别记为
d A.
立即可得,
a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2
a1n A11 A21 a2 n A12 A22 ann A1n A2 n
An1 An 2 Ann
§4.4
d 0 0 d 0 0 矩阵的逆
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
1 A . 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
1 A ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且
A
1
1
A.
1
③ 单位矩阵 E 可逆，且 E E .
称为A的伴随矩阵.
Leabharlann Baidu
An1 An 2 Ann
性质： AA* A* A A E
§4.4 矩阵的逆
证：由行列式按一行（列）展开公式
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 a1l A1 j a2 l A2 j akn Ain d , k i 0, k i anl Anj d , l j 0, l j
2)
A a1a2
an ,
∴ 当 ai 0 ( i 1,2, 且由于
, n) 时，A可逆.
a1 a2
1 a 1 1 a2 an
1 an
1 1
E 1
1 a1 1 1 a 2 A
再由
A11 2, A21 6, A31 4, A12 3, A22 6, A32 5, A13 2, A23 2, A33 2.
* 2 6 4 A 1 有 A 1 3 6 5 . A 2 2 2 2
§4.4 矩阵的逆
§4.4 矩阵的逆
2. 逆矩阵的唯一性
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明
有 于是
设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义
AB = BA = E，AC = CA = E，
B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
所以逆矩阵唯一.
证毕
§4.4 矩阵的逆
三、矩阵可逆的条件
即有， A1 B, B1 A.
§4.4 矩阵的逆
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.
1 2 3 1) A 2 2 1 3 4 3
a1 a2 2) A an
§4.4 矩阵的逆
解：1） ∴ A可逆.
1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随
矩阵的概念.
§4.4 矩阵的逆
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法
1、伴随矩阵 定义 设 Aij 是矩阵 A (aij )nn 中元素 aij 的代数
余子式，矩阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 1n 2 n
0 0 dE . d
同理, A* A dE .
2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0, （即A
非退化的），且
* A 1 A . A
证：若 A 0, 由 AA* A* A A E A* A* A E 得 A A A * A 1 . 所以，A可逆，且 A A 反过来，若A可逆，则有 AA1 E , 两边取行列式，得 A A1 E 1. A 0.
1
A
1
k
.
注： 当 A 0 时，定义
A E, A
0 k
(A )
1 k
则有
A A A
,
A
A , , Z
§4.4 矩阵的逆
2 A 3 A 10 E 0, 例2 设方阵 A 满足
. 1 an
§4.4 矩阵的逆
三、逆矩阵的运算规律
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1
A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
A B 1 B 1 A 1
§4.4 矩阵的逆
3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E ,
1 1 A B , B A. 则A、B皆为可逆矩阵，且
证： 从而
AB E
A 0, B 0.
AB A B E 1
由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由
A1 ( AB) A1 E ,
( AB)B1 EB1 ,
推广
A1 A2 Am A A A .
1
1 m
1 2
1 1
§4.4 矩阵的逆
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
1
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A (6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
k
A . A
引例 1 矩阵与复数
引例 2 坐标旋转变换 复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a+bi
可表示为 (a , b) ，因此，从结构上看复数是矩阵的 引例 3 线性变换的逆变换 特殊情形 . 在第二节我们也看到，矩阵与复数相 在平面直角坐标系 xOy 中，将两个坐标轴同 仿，有加法、减法、乘法三种运算 . 我们知道，复 时绕原点旋转 角 ( 逆时针为正，顺时针为负 )， 设给定一个线性变换 数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否 就得到一个新的直角坐标系 (见图 3) ． 平面上 4 a– x , y1 a11 x1 a12 x2 1n n 也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义， Ｐ 任何一点 a21 x1 a22 x2 a2 n xn , y2 在两个坐标系中的坐标分别记为
d A.
立即可得,
a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2
a1n A11 A21 a2 n A12 A22 ann A1n A2 n
An1 An 2 Ann
§4.4
d 0 0 d 0 0 矩阵的逆
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
1 A . 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
1 A ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且
A
1
1
A.
1
③ 单位矩阵 E 可逆，且 E E .
称为A的伴随矩阵.
Leabharlann Baidu
An1 An 2 Ann
性质： AA* A* A A E
§4.4 矩阵的逆
证：由行列式按一行（列）展开公式
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 a1l A1 j a2 l A2 j akn Ain d , k i 0, k i anl Anj d , l j 0, l j
2)
A a1a2
an ,
∴ 当 ai 0 ( i 1,2, 且由于
, n) 时，A可逆.
a1 a2
1 a 1 1 a2 an
1 an
1 1
E 1
1 a1 1 1 a 2 A
再由
A11 2, A21 6, A31 4, A12 3, A22 6, A32 5, A13 2, A23 2, A33 2.
* 2 6 4 A 1 有 A 1 3 6 5 . A 2 2 2 2
§4.4 矩阵的逆
§4.4 矩阵的逆
2. 逆矩阵的唯一性
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明
有 于是
设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义
AB = BA = E，AC = CA = E，
B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
所以逆矩阵唯一.
证毕
§4.4 矩阵的逆
三、矩阵可逆的条件
即有， A1 B, B1 A.
§4.4 矩阵的逆
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.
1 2 3 1) A 2 2 1 3 4 3
a1 a2 2) A an
§4.4 矩阵的逆
解：1） ∴ A可逆.
1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随
矩阵的概念.
§4.4 矩阵的逆
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法
1、伴随矩阵 定义 设 Aij 是矩阵 A (aij )nn 中元素 aij 的代数
余子式，矩阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 1n 2 n
0 0 dE . d
同理, A* A dE .
2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0, （即A
非退化的），且
* A 1 A . A
证：若 A 0, 由 AA* A* A A E A* A* A E 得 A A A * A 1 . 所以，A可逆，且 A A 反过来，若A可逆，则有 AA1 E , 两边取行列式，得 A A1 E 1. A 0.
1
A
1
k
.
注： 当 A 0 时，定义
A E, A
0 k
(A )
1 k
则有
A A A
,
A
A , , Z
§4.4 矩阵的逆
2 A 3 A 10 E 0, 例2 设方阵 A 满足
. 1 an
§4.4 矩阵的逆
三、逆矩阵的运算规律
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1
A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
A B 1 B 1 A 1
§4.4 矩阵的逆
3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E ,
1 1 A B , B A. 则A、B皆为可逆矩阵，且
证： 从而
AB E
A 0, B 0.
AB A B E 1
由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由
A1 ( AB) A1 E ,
( AB)B1 EB1 ,
推广
A1 A2 Am A A A .
1
1 m
1 2
1 1
§4.4 矩阵的逆
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
1
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A (6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
k
A . A