矩阵的逆的典型例题
上三角矩阵 逆 例题
上三角矩阵逆例题上三角矩阵逆矩阵的计算是线性代数中一个重要的知识点。
在矩阵理论中，上三角矩阵是一种特殊的矩阵形式，其主对角线以下的元素全为零。
计算上三角矩阵的逆矩阵相对来说比较简单，因为上三角矩阵的逆矩阵也是一个上三角矩阵。
下面我们通过一个具体的例题来演示上三角矩阵的逆矩阵计算过程。
假设我们有一个3阶上三角矩阵A如下所示：\[A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}\]我们的目标是计算矩阵A的逆矩阵。
根据逆矩阵的定义，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
对于上三角矩阵A，其逆矩阵也是一个上三角矩阵。
我们可以通过矩阵的初等变换来求解矩阵的逆矩阵。
逆矩阵的计算方法可以通过矩阵的初等行变换，将矩阵A转化为单位矩阵，同时对单位矩阵做相同的变换，最终得到矩阵A的逆矩阵。
接下来，我们将矩阵A与单位矩阵组合成一个增广矩阵，如下所示：\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 5 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 6 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]然后，通过初等行变换的方法，将矩阵A转化为单位矩阵，同时对单位矩阵做相同的变换。
具体的变换步骤如下：1. 用矩阵A的第一行乘以1/1=1，得到\[R_1=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & | & 1& 0 & 0\end{bmatrix}\]2. 用矩阵A的第一行乘以1/4=1/4，得到\[R_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 5/4 & |& 0 & 1/4 & 0\end{bmatrix}\]3. 用矩阵A的第一行乘以1/6=1/6，得到\[R_3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | &0 & 0 & 1/6\end{bmatrix}\]通过上述的初等行变换，我们成功将矩阵A转化为单位矩阵，同时得到矩阵A 的逆矩阵为：\[A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/6\end{bmatrix}\]因此，矩阵A的逆矩阵为上述矩阵。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
可逆矩阵判定典型例题 矩阵可逆
可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆典型示例（2）方阵可逆性的确定例1设a是n阶方阵,试证下列各式：（1）如果| a≠ 0，则AT-1=a-1t；（2）如果a和B都是n阶可逆矩阵，那么ab*=b*a*；（3）at*=a*t；（4）若|a|≠0,则a*-1=a-1*；（5）-a*=-1n-1a*；（6）若|a|≠0,则al-1=a-1l（L是一个自然数）；（7）ka*=kn-1a*.证（1）因为|a|≠0,故a是可逆矩阵,且aa-1=e两边同时取转置可得aa-1t=a-1AT=et=e故由可逆矩阵的定义可知A-1t是at的逆矩阵a-1t=at-1（2）利用平方矩阵与其对应的伴随矩阵之间的关系ab*ab=|ab|e另一方面b*a*ab=b*a*ab=b*|a|ib=|a | b*b=|a | b | e=|ab | e比较式（2-7）、（2-8）可知ab*ab=b*a*ab又因为a、b均可逆,所以ab也可逆,对上式两端右乘ab-1可获得的ab*=b*a*（3）让n阶方阵a为aa12a？十一1n?a=?a21a22a2n?aa？n1n2ann于是可得a的伴随矩阵a*通过aa1121an1？a*=？a12a22an2？aa1n2nann注意到?a的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出a的伴随矩阵为a11a12at=?A.1na21a22a2na12a22an2an1an2?ann*比较a与a可知t*a11a21在*=？a?n1*tt*a1na2n？安a=a*-1 | a≠ 0aa（4）因为a是可逆的，a的逆矩阵是，它可以从a=|a | E中得知 -1-1*-1-1|a|≠0aa=|a|e可得a由于,可逆且一a-1*=a|a|另一方面,由a*=|a | a-1a*a-1*=|a|a-1*由矩阵可逆的定义知,a可逆,并且*-1-1*一a=e|a|（5）对于（3）给出的矩阵a,有 -a12？-a11-a22？-a21-a=?-a-an2n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n?- a2n？-ann-哎呀的代数余子式为-a11-1i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=-1艾吉，j=1,2,n-1n-1a11-1n-1a21-1n-1an1n-1n-1n-1-1a22-1an2-1a12n-1*-a*==-1an-1n-1n-1-1a-1a-1a1n2nnn（6）因为|a|≠0,故a可逆,并且l-1-1-1-1-1-1la=aaa=aaa=al个l个（7）对于（3）给出的矩阵a,有ka11ka1nka11kakaka?21222n?ka=卡坎恩？n1kaijkn-1aij与（5）相似的代数余因子是**t例2假设a是n阶非零矩阵，a的伴随矩阵a满足a=a，根据矩阵a与其对应的伴随矩阵之间的关系，证明a是可逆矩阵，有*t相反，假设a是不可逆的，则| a |=0。
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
大学线性代数：矩阵的逆
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例 设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可 令 矩 阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则 有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠
第三章 矩阵的逆例题
1 1 2 2 3 0 1 1 0 0 0 c3 + c1(1) 0
1 0 5 0 0 1
0 1 0 0 1 2 0 1 0 5 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 c3 + c2(2) c3(1/2) 0
3 2 2 1 0 0 3 r2 ( 2) 1 0 1 0 2 3 ， X A B 2 3 . r3 ( 1) 1 3 0 0 1 1 3
1 0 1 求 A1. A 2 1 0 3 2 5 1 1 0 1 0 2 1 0 5 A 3 2 5 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 1 1
在 (A1E)B = 6E 两边左乘 (A1E) 1, 得
0 6 0 0 1 0 B = 6(A1E) 1 6 0 1 3 0 0 2 0 . 0 0 1 6 0 0 1
例 设A, B, ABE 可逆, 证明: (1) AB1 可逆, (2) (AB1)1 A1 可逆. 证明: (1) AB1 = (AB E)B1 因为AB E及B1可逆, 故AB1 可逆. (2) (AB1)1 A1 = (AB1)1 (AB1)1(AB1)A1 = (AB1)1 [E (AB1)A1] = (AB1)1 [E AA1 +B1A1] = (AB1)1 B1A1 为可逆矩阵之积, 故可逆.
第三章 矩阵的逆 例题
思考: 若 A 可逆, A*是否一定可逆?
矩阵的逆的典型例题
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
逆矩阵例题
逆矩阵例题摘要：一、逆矩阵的定义和性质1.逆矩阵的概念2.逆矩阵的性质3.可逆矩阵与逆矩阵的关系二、逆矩阵的求解方法1.通过行列式求逆矩阵2.通过伴随矩阵求逆矩阵3.通过高斯消元法求逆矩阵三、逆矩阵在线性方程组中的应用1.逆矩阵与线性方程组的解2.逆矩阵在齐次线性方程组中的应用3.逆矩阵在非齐次线性方程组中的应用四、逆矩阵在矩阵运算中的应用1.逆矩阵与矩阵的乘积2.逆矩阵与矩阵的幂3.逆矩阵与矩阵的行列式正文：逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有很多重要的性质和应用。
本文将首先介绍逆矩阵的定义和性质，然后讨论逆矩阵的求解方法，接着分析逆矩阵在线性方程组中的应用，最后探讨逆矩阵在矩阵运算中的应用。
一、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是一个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵，即A * A = I。
其中，A 是n 阶方阵，A是A 的逆矩阵。
逆矩阵具有以下性质：1.逆矩阵是唯一的：对于一个可逆矩阵，其逆矩阵是唯一的。
2.逆矩阵是矩阵的逆元素：对于任意矩阵A，有A * A * A = A。
3.逆矩阵与转置矩阵的关系：A 的逆矩阵等于A 的转置矩阵的逆矩阵，即A = A。
二、逆矩阵的求解方法1.通过行列式求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过计算行列式|A|来求解逆矩阵。
具体方法是，将逆矩阵表示为A = 1/|A| * A，其中A是A 的伴随矩阵。
2.通过伴随矩阵求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
具体方法是，将逆矩阵表示为A = 1/|A| * A，其中A是A 的伴随矩阵。
3.通过高斯消元法求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过高斯消元法将矩阵A 化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵的性质求解逆矩阵。
三、逆矩阵在线性方程组中的应用1.逆矩阵与线性方程组的解：如果线性方程组的系数矩阵是可逆的，那么可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，得到线性方程组的解。
2.逆矩阵在齐次线性方程组中的应用：如果齐次线性方程组的系数矩阵是可逆的，那么可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，得到齐次线性方程组的通解。
求矩阵的广义逆例题简单
求矩阵的广义逆例题简单
假设我们有一个2x2的矩阵A：
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
我们可以计算出这个矩阵的行列式：
\[
\det(A) = |A| = 1(1) - 1(1) = 0
\]
因为行列式为0，所以矩阵A不可逆。
我们称这样的矩阵为奇异矩阵。
那么，矩阵A的广义逆是什么呢？广义逆是一个与方阵的逆相对应的概念，可以应用于任何一个矩阵。
在这个例子中，矩阵A的广义逆可以通过计算伪逆来获得：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
\]
其中，\(\text{adj}(A)\)表示矩阵A的伴随矩阵。
对于我们的例子，\(\text{adj}(A)\)可以计算如下：
\[
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
然后，我们可以计算广义逆：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{0} \cdot \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \text{undefined}
\]
由于行列式为0，我们的广义逆的计算结果是未定义的。
这也是为什么奇异矩阵没有逆矩阵或者广义逆的原因。
下三角矩阵求逆矩阵的例子
下三角矩阵求逆矩阵的例子
1、上三角矩阵的逆矩阵
将上三角矩阵划分成块矩阵，如上图所示，则其逆矩阵结果如下回图。
答
2、下三角矩阵的逆矩阵
将下三角矩阵划分成块矩阵，如上图所示，则其逆矩阵结果如下图。
3、只有主对角线不为零的矩阵
主对角元素取倒数，原位置不变。
4、只有副对角线不为零的矩阵
副对角元素取倒数，位置颠倒。
示例如下：
扩展资料
矩阵求逆的求法
(1)初等变换法，通过初等变换将A矩阵变换成单位矩阵，则对应的单位矩阵变换成B矩阵，B矩阵即为A矩阵的逆矩阵，(A I)->(I B)；
(2)伴随阵法，公式为：；
(3)利用定义求逆矩阵
设A、B都是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵。
(4)恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用
与矩阵的理论推导上，就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵例题
逆矩阵例题摘要：一、逆矩阵的定义与性质1.逆矩阵的定义2.逆矩阵的性质二、求逆矩阵的方法1.通过行列式求逆矩阵2.通过伴随矩阵求逆矩阵三、逆矩阵在线性方程组中的应用1.逆矩阵与线性方程组的解2.逆矩阵在齐次线性方程组中的应用3.逆矩阵在非齐次线性方程组中的应用四、逆矩阵在矩阵运算中的应用1.逆矩阵与矩阵的乘积2.逆矩阵与矩阵的幂正文：逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有很多重要的性质，并在解决线性方程组等问题中起到关键作用。
本文将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及求解方法，并探讨逆矩阵在线性方程组和矩阵运算中的应用。
一、逆矩阵的定义与性质逆矩阵，顾名思义，就是一个矩阵的“逆”，即满足矩阵乘积等于单位矩阵的矩阵。
设A 是一个n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B，使得AB = BA = I（I 为单位矩阵），则称B 是A 的逆矩阵，记作A^-1。
显然，逆矩阵具有以下性质：1.逆矩阵是唯一的：对于一个非零矩阵，其逆矩阵是唯一的。
2.逆矩阵与原矩阵互为逆矩阵：若A 有逆矩阵B，则B 也是A 的逆矩阵。
3.逆矩阵的行列式：若A 的行列式不为零，则A 有逆矩阵，且|A^-1| = 1/|A|。
二、求逆矩阵的方法1.通过行列式求逆矩阵如果一个n 阶方阵A 的行列式不为零，那么可以通过行列式求逆矩阵。
具体方法如下：设A = | a a a ...an || a a a ...an || a a a ...an |...| an an an ...ann |则A 的逆矩阵为：A^-1 = 1/|A| * | an an-1 an-2 ...a2 a1 || a1 an-1 an-2 ...a2 an || a2 an-2 an-3 ...a3 a1 |...| a(n-1) a(n-2) a(n-3) ...a1 a(n-1) |2.通过伴随矩阵求逆矩阵如果一个n 阶方阵A 的行列式为零，但A 仍然有逆矩阵，那么可以通过伴随矩阵求逆矩阵。
逆矩阵重点和习题
注：若YA=B
，则Y=BA－1.
例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中：
4 2 3 B 1 1 0
1 2 3
分析： ∵ AB=2A+B
∴ AB－2A=B ∴ A(B－2E)=B
容易错为 A(B－2)=B
若|B－2E|≠0
，则A=B (B－2E)－1
A=B (B－2E)－1
4 2 3 2 2 31
|
a21
an1
a12 a22
an2
a1n A11 a2n A12
ann A1n
A21 A22
A2n
An1 An2 Ann
|A|
|
1 A
|
0
0
0
|A|
0
一行元素与对应代数余子式乘
之和0Biblioteka 011E
|A|
1
一行元素与另一行元素对应代数余子
1.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E，则称A为可逆矩阵 （简称可逆），并称B为A的逆矩阵。
否则称A是不可逆的。
例：对于
A 11
2 3
,
B
， 31
2 1
AB=E
=BA.
故A是可逆的
，并且B为A的逆矩阵。
A的逆矩阵记为：A－1
，即： A A－1= A－1 A=E
2.问题：
A*
4.定理：方阵A可逆
| A| 0
推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即A、B皆可逆, 且A、B互为逆
矩阵。
（课本54页推论1）
证明： 因为AB=E ，所以|A||B|=1
，|A|0, |B|0,
矩阵的逆
0 1 3
0
1
0
0
1
0
1/ 2
3/ 2
1
0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3 0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3
1 / 6 13 / 6 4 / 3
故
A
1 =
1/
2
3/ 2
1
.
1 / 6 1 / 6 1 / 3
矩阵的逆
设A是数域上的一个N阶矩阵，若在相同数域上存在另一个N阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
矩阵的逆
定义法
矩阵的逆
公式法
矩阵的逆
初等行变换法
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过 初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵 P1, P2 , PS 使
矩阵的逆
矩阵的分块 求其逆
逆的性质
1 2 5
2 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1 解 [A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 0
1 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 0
1 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 0
0
1 1 0 0 1 / 6 13 / 6 4 / 3
（1） p1 p2 ps A=I，用A 1 右乘上式两端，得： （2） p1 p2 ps I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A 1 .
2 3 1 例1 求矩阵A的逆矩阵.已知A= 0 1 3 .
矩阵的逆的典型例题
ML32006 题目：设A 、B 、+A B 都可逆，证明--+A B 11可逆，且()()-----+=A B A A +B B =B A +B A ()11111涉及的知识点涉及的知识点知识点一：知识点一：矩阵的逆矩阵的逆 知识点二：知识点二： 矩阵的运算矩阵的运算解题方法解题方法需要配音：需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题. 内容：如能证明第一个等式成立111---+B A ()1-=+B B A ()A即1111----+=+A B B A B A ()(),因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证111---éùëû++=A B A A B B E ()(). 下面给出四种证法. 1. 定义法. 2. 用定义直接验证，运算过程不同. 3. 定义法，运算过程不同。
定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形. 解题过程解题过程（详细过程）（详细过程）第一种证法第一种证法 第一步：第一步： ----------------éù++ëû=+++=+++=+++=++=()()()()()()()()()()111111111111111111A B A A B B A A A B B B A A B B E A B B B A A B BB B A B B B A A B BB B A A B B E 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第二种证法第二种证法 第一步：第一步：----------éù++ëû=++=++=++=()()()()()()()()1111111111A B A A B B E B A A B BB B B A A B BB A B A B B E需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第三种证法第三种证法 第一步：第一步：-------------------éù++ëû=+++=++=++éù=++ëû=++=A B A A B B A A A B B B A A B BE B A A B B E B A A B B E B A B A B E B A E B A E()()()()()()()()()()()()()111111111111111111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第四种证法第四种证法 第一步：将11--+A B 恒等变形，得到恒等变形，得到----+=+A B A A B B ()1111或 ----+=+A B B A B A ()1111对上两式分别求逆，即对上两式分别求逆，即 --------+=++=+()()()()A B B A B AA B A A B B11111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无学生常犯的错误 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：内容：错误地推出---+=+A B A B ()111. 相关例题一相关例题一题目一：设A ，B ，-AB E 为同阶非奇异矩阵，试证：为同阶非奇异矩阵，试证： （1）--A B 1为非奇异矩阵；为非奇异矩阵；（2）-----A B A ()111也是非奇异矩阵，并求其逆阵. 解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证. 解答：（1）因 ------=-=-=-A B AE B ABB B AB E B ()11111 故 0,---=-¹A B AB E B 11即--A B 1为非奇异矩阵. （2）因）因[]------------------------=----éù=---=-ëûéù=-=-ëû=-=-A B A A B A B A B A A B E A B A A B AB AB A B ABA A ABA E BA E A ()()()()()()(()()()()()()1111111111111111111111) 由已知条件，00¹-¹A BA E ,,得-A 10¹--¹BA E ()10故 0-----¹A B A )（111, 即 11---A B )（为非奇异矩阵，且为非奇异矩阵，且11111-------éùéù----êúêúëûëûA B A BA E A A BA E )))（＝（＝（11 相关例题二相关例题二 题目二：设A ，B ，+A B 均为正交矩阵，试证：均为正交矩阵，试证：111---+=+A B A B ()解题思路：利用正交阵的定义证. 解答：因为+,,A B A B 均为正交矩阵，所以均为正交矩阵，所以11-T -T ==A A B B , ，1-T+=+()()A B A B 成立. 从而从而 111-T T T --+=+=+=+A B A B A B A B ()()方法总结方法总结 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形. 。
高考中的矩阵中的逆矩阵问题讲义版
高考中的矩阵中的逆矩阵问题讲义版什么是矩阵的逆？
两个矩阵相乘得到单位矩阵时，才能称其中一个矩阵是另一个
矩阵的逆矩阵。
也就是说，如果矩阵A和B满足AB=BA=E，则矩
阵B即为矩阵A的逆矩阵。
矩阵的逆如何求？
对于2阶矩阵，可以通过求伴随矩阵再除以行列式得到逆矩阵。
对于高维矩阵，通常使用初等行变换法将矩阵通过一系列行变
换化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换操作，得到的结
果即为原矩阵的逆矩阵。
矩阵的逆有什么应用？
矩阵的逆常常可以用来解决矩阵方程组，其解可以表示为逆矩
阵与方程组常数项的乘积。
在机器研究、数据分析以及计算机图形学等领域也广泛使用到矩阵的逆。
高考中的矩阵逆问题
在高考中，通常会涉及到矩阵的逆问题，需要注意的是，对于非方阵，其没有逆矩阵。
同时，矩阵的逆矩阵可能存在但不唯一，也可能不存在。
因此，需要在高考中仔细分析题目中矩阵的性质，判断是否存在逆矩阵，并且考虑求逆矩阵的方法和步骤。
小结
矩阵逆是矩阵理论中的重要概念，对于高考数学中的矩阵应用也具有重要意义。
需要了解矩阵逆的定义、求法和应用，并结合实际问题进行练习和掌握。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题（实用版）目录1.伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式2.伴随矩阵求逆矩阵的例子3.伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法4.如何利用伴随矩阵求逆矩阵正文一、伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式伴随矩阵求逆矩阵是一种求矩阵逆矩阵的方法，它通过矩阵的伴随矩阵来求解。
设矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，矩阵 A 的逆矩阵为 A^-1，那么有以下公式：A^-1 = A* / |A|其中，|A|表示矩阵 A 的行列式。
二、伴随矩阵求逆矩阵的例子下面我们通过一个例子来说明如何利用伴随矩阵求逆矩阵。
例：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix}首先，我们求出该矩阵的伴随矩阵 A*：begin{bmatrix}1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后，我们计算矩阵 A 的行列式|A|：|A| = 1 * 8 - 2 * 7 + 3 * 6 = 2最后，利用公式 A^-1 = A* / |A|，求得矩阵 A 的逆矩阵：A^-1 = begin{bmatrix}1/2 & -1/2 & -1/2-1/2 & 1/2 & -1/21/2 & -1/2 & 1/2end{bmatrix}三、伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法当矩阵 A 是大于等于二阶矩阵时，可以采用以下特殊求法求解逆矩阵：1.主对角元素：将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。
2.非主对角元素：原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。
求三阶行列式的逆矩阵例题
求三阶行列式的逆矩阵例题
为了求解三阶行列式的逆矩阵，我们首先需要构造一个三阶方阵。
让我们假设有以下的三阶方阵 A：
A = | a11 a12 a13 |。
| a21 a22 a23 |。
| a31 a32 a33 |。
其中，a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 是矩阵 A 的元素。
接下来，我们需要计算矩阵 A 的行列式的值。
行列式的计算公式如下：
det(A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) +
a13(a21a32 a22a31)。
如果行列式的值 det(A) 不等于零，那么矩阵 A 是可逆的，我
们可以继续计算矩阵的逆。
接下来，我们需要计算矩阵 A 的伴随矩阵 adj(A)。
伴随矩阵的计算公式如下：
adj(A) = | A11 A12 A13 |。
| A21 A22 A23 |。
| A31 A32 A33 |。
其中，Aij 是矩阵 A 的代数余子式，计算公式如下：
Aij = (-1)^(i+j) det(Mij)。
Mij 是矩阵 A 去除第 i 行和第 j 列后的子矩阵。
最后，我们可以计算矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1)。
逆矩阵的计算公式如下：
A^(-1) = (1/det(A)) adj(A)。
通过以上的步骤，我们可以得到三阶行列式的逆矩阵的例题的解答。
请提供具体的例题，我将根据提供的例题进行计算并给出结果。
逆矩阵一题多解法简述-精品文档资料
逆矩阵一题多解法简述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求，从而达到简便、易求的目的.下面针对同一例题给出求逆矩阵的若干方法.例1：设方阵A=1 2 32 2 13 4 3，求A.解:1.Hamilton―Caley定理：设A是数域P上的n阶矩阵，f（λ）=|A-λE|=λ+aλ+…+aλ+a为A的特征多项式，则f（A）=A+aA+…+aA+aE=0，若A可逆，则a=（-1）|A|≠0，即A=-（A+aA+…+aA+aE）.由f（λ）=|A-λE|=-λ+6λ+6λ+2，故f （A）=-A+6A+6A+2E，即A=（A-6A-6E）= 1 3 -2- -3 1 1 -1.2.（线性方程组法：若n阶矩阵A可逆，则AA=E，于是A的第i列是线性方程组AX=E的解，其中i=1，2，…，n，E是第i个分量是1的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b，b，…，b），然后把所求的解的公式中的b，b，…，b分别用E，E，…，E代替，便可以求得A的第1，2，…，n列.设X=（x x x），B=（b b b），则x+2x+3x=b2x+2x+x=b3x+4x+3x=b?圯x+2x+3x=b-2x-5x=b-2bx=b+b-b代入E，E，E，x=（1 3 -2）x=（- -3 ）x=（1 1 -1），即A=xxx .3.等价标准形法：构造矩阵D=A EE 0.（1）对D的前n行（A，E）进行初等的行变换;（2）对D的前n列AE进行初等列变换，则经过有限次上述变换后，A EE 0初等行及列变换E CB 0，由此得A=BC.构造矩阵A EE 0通过初等行及列变换得B=1 0 20 1 -0 0 1，C=-1 1 01 - 01 1 -1，则A=BC.本例还可使用伴随矩阵法，初等变换法同样可以得到相同的结论.从该例可以看出，对同一矩阵求逆矩阵方法多样，可以根据题目选择适当的方法求解.。
矩 阵 求 逆
1 1 1 0 1 0 0 1 3 1 1 0
2 2 1 0 0 1 0 2 5 2 0 1
例题
1 0 4 1 2 0 1 0 0 1 6 4
0
1
3 1
1
0
0
1
01
5
3
0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1
所以得
1 6 4
A1
1
5 3
0 2 1
解法二：Gauss Jordan原地求逆法
(3) if l k then akj alj ( j 1,2,...n);
1 (4) akk ck akk ; (5) akj ck akj ( j 1,2,...,n, j k); (6) aij aij aik akj (i, j 1,2,...,n, i k, j k); (7) aik ck aik (i 1,2,...,n,i k); 4. 对k n 1,...1, 做t Z (k)；
数值计算
矩阵求逆
设矩阵A非奇异，则A的逆矩阵A1存在，求
解A1问题等价于求系数矩阵均为A，右端项分别
e 为单位向量
j
(0,0,...,1,...,0)T 的n个方程组 j
Axj ej ( j 1,2,...,n)
的解。
矩阵求逆
由Gauss Jordan顺序消去法知，求解上式即为 （A | I）初等变换（I | X）
算法（原地求逆法）
1. 输入：aij (i, j 1,2,...n)； 2. z(i) i (i 1,2,...,n);
3. 对 k 1,2,...n)做
(1) 选主元：| aikk
|
max
k in
|
aik
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题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（详细过程）
第一种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
或
对上两式分别求逆，即
需要配音或重点提示的文字：无
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