矩阵理论第一二章 典型例题

《矩阵理论》第一二章 典型例题

一、 判断题

1．A n 为阶实对称矩阵，n

R x 对中的列向量， ||x |A

x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )

2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22

2

1

||||n

m i i A λ==∑

.

( )

3. 如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H

AA AA --=, 则2||||A A n -

=. ( )

4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( )

5. 设m n

A R

⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222

1

||||n

i i A σ==∑. ( )

6. 设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||

E A A -->

-,

其中E 为n 阶单位矩阵. ( )

7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2

||||m A =

( )

8. 设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )

9.设n

n C

A ⨯∈可逆，n

n C

B ⨯∈，若对算子范数有1

||||||||1A

B -⋅<，则B A +可逆.

( )

10. 设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n

A C

⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A

∞

=. ( )

12. 如果12(,,,) T n

n x x x x C =∈，则1||||m in i i n

x x ≤≤=是向量范数. ( )

13. 设,n n A C ⨯∈则矩阵范数

m A

∞

与向量的1-范数相容. ( )

14、设n n

A C

⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩

阵. ( )

二、 设m n

A C

⨯∈，,||||ax ||ij i j

A a =

，证明:

(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.

三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且A x x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y

正交.

四、 (1) 设(1)n n

A C

n ⨯∈>为严格对角占优矩阵，1122

(,,,)nn D diag a a

a = ，其中

(1,2,,)ii a i n = 为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||⋅使得

1

()1r E D

A --<.

(2) 设n n

A C

⨯∈, ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩

阵范数||||A 使得||||().A r A ε≤+

五．设矩阵U 是酉矩阵, 12diag (,,,)n A a a a = , 证明: U A 的所有特征值λ满足不等式

{||}||{||}max min i i i

i

a a λ≤≤.

六. 设||||a ⋅是n n C ⨯上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1

||||a B -及

1

||||a C

-都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵n n

A C

⨯∈

||||||||b a A BAC =

定义了n n

C

⨯上的一个相容的矩阵范数.

七．设A 是可逆矩阵, λ是A 的一个特征值, 对于任意的算子范数||||⋅, 证明1

1||||||

A

λ-≥

.

八. 设A 是Hermite 矩阵()H

A

A =，且A

的特征值12n λλλ=== ，证明矩阵A 的

Rayleigh 商恒等于1λ.

九．已知n n C ⨯中的两种矩阵算子范数|| ||a 与|| ||b , 对于任意矩阵n n A C ⨯∈, 验证 ||||||||||||a b A A A =+是n n C ⨯中的相容矩阵范数.

十．设矩阵m n r A C ⨯∈的非零奇异值为12,,,r σσσ (0r >), 求证

1

2

21

||||().r

F i i A σ==∑

十一. 设矩阵n n A C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数, 令

()L x Ax =, 证明:

||||11

||||1

m ax ||()||||||||||m in ||()||v v v

x v

y L x A A

L y =-==⋅.

证明: 根据算子范数的定义, 有||||1

max ||()||||||x L x A ==,

1

1

1

||||1

||||1

||||||||111||||max

max

||||||||

||||

min ||||

min ||()||

min

||||

y A

x

x y y y y A x y A

Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠====

=

,

结论成立.

十二. 设矩阵n n A C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n n H C ⨯∈, 使得H A 为Hermite 矩阵.

十三. (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则

,||||m ax ||a ij i j

A n a =⋅

是矩阵范数.

(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y ,p q =+⊥⊥其中，求2

||||m A .