专题一整体思想
整体思想
中考数学专题复习-----整体思想 （北师大版）整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。
一、整体思想在数与式中的应用 例1、计算111111111111111123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析：若按运算顺序进行计算，计算量比较大，观察各个括号里的算式，看一下它们之间的联系，想办法用“整体替换”。
解：设1111111,234234a b +++=++=，则1a b -=。
将它们代入原式，得原式=()111111555555a b a b ab a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
点拨：该题中，若把每一个括号里的算式看做一个多项式，按照多项式乘法法则先算乘法，再算减法，这样有很多项可以互相抵消。
因此，用“整体替换”可以简化中间互为相反数的项，能使运算简便。
例2、当1x =时，代数式31px qx ++的值是2001，则当1x =-时，代数式31px qx ++的值是（ ）.A.1999-B.2000-C.2001-D.1999分析：由题设有12001p q ++=。
欲求当1x =-时，代数式31px qx ++的值，似乎需要分别求出p和q 的值，其实这不必要也不可能。
我们可视p q +为一整体，得2000p q +=，当1x =-时，代数式()3111120001999px qx p q p q ++=--+=-+=-=-。
解：A 。
点拨：本题运用的还是整体代入的方法。
例3、若13x x+=，则221_____.x x+=分析：本题若按常规，先求出x 的值，再代入计算则十分冗繁，若将1x x+看成一个整体，两边平方得：219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217.x x +=解：7。
初中数学思想方法篇——整体思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之整体思想一、注解：郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。
这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。
而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。
整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。
整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。
二、实例运用：1. 在数与式中的运用【例1】计算：11111111111111 1123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例2】当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：A -1999B -2000C -2001D 1999【例3】若13xx+=则221xx+=。
2. 在方程（组）中的运用【例1】已知二元一次方程组为2728x yx y+=⎧⎨+=⎩则x-y= ，x+y= .【例2】已知方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则a+b= .【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现购甲乙丙各1件，需要多少元？3. 在几何计算中的运用【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要米。
【例4】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。
三、随堂练习1、若分式x yx y+-中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A 不变B 是原来的3倍C 是原来的三分之一D 是原来的六分之一2、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是。
数学解题思想——整体思想
数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。
例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根，求代数式22211a a a a--+的值。
分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=，则21-a a -=，2=1a a +，再整体带入即可。
二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。
例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。
解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++,两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-；故2320141+2+2+2...2++=201521-。
请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++；（2）231+5+5+5...5n ++（其中n 为正整数）。
分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++,再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++,再与已知等式相减，得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，从而解决问题。
例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。
初中整体思想教案
初中整体思想教案年级：八年级学科：道德与法治课时：2课时教学目标：1. 让学生了解初中生面临的成长挑战，认识到整体思想的重要性。
2. 培养学生积极面对生活困境，保持乐观心态的能力。
3. 引导学生树立正确的价值观，关注自身全面发展。
教学内容：1. 初中生面临的成长挑战2. 整体思想的概念与意义3. 培养整体思想的途径与方法4. 树立正确的价值观，关注自身全面发展教学过程：第一课时：一、导入新课1. 教师简要介绍初中生面临的成长挑战，如学业压力、人际关系、身体变化等。
2. 提问：面对这些挑战，我们应该如何调整自己的心态？二、自主学习1. 学生阅读教材，了解整体思想的概念与意义。
2. 教师提问：什么是整体思想？为什么说整体思想对我们的生活和学习很重要？三、课堂讨论1. 教师组织学生分组讨论，分享各自对整体思想的理解和体会。
2. 各组派代表进行汇报，总结整体思想的重要性。
四、案例分析1. 教师展示相关案例，如初中生如何通过整体思想应对生活困境。
2. 学生分组讨论，分析案例中整体思想的体现及其作用。
五、小组活动1. 教师布置课后作业，要求学生结合自身经历，撰写一篇关于整体思想的心得体会。
2. 学生完成作业，准备第二课时的分享。
第二课时：一、成果分享1. 学生分组汇报，分享各自撰写的心得体会。
2. 教师点评，总结学生整体思想的收获。
二、课堂讨论1. 教师提问：如何在生活中运用整体思想？2. 学生分组讨论，分享各自运用整体思想的实例。
三、教师讲解1. 教师讲解如何树立正确的价值观，关注自身全面发展。
2. 学生提问，教师解答。
四、小组活动1. 教师布置课后作业，要求学生结合所学内容，制定一个个人发展规划。
2. 学生完成作业，教师进行点评和指导。
教学评价：1. 学生课堂参与度，包括发言、讨论、分享等。
2. 学生课后作业完成情况，如心得体会、个人发展规划等。
3. 学生对整体思想的认知程度及其在生活中的运用能力。
整体思想的知识点总结
整体思想的知识点总结整体思想是指一种综合、系统的思维方式，将事物的各个方面统一起来，把握其发展的整体规律。
它贯穿于不同学科的研究中，对于我们认识世界、解决问题具有重要意义。
下面将从整体思想的概念、特点、应用以及发展趋势等方面进行总结。
一、整体思想的概念整体思想可以追溯到古代哲学思想，如我国的“天人合一”思想、古希腊的“形而上学”思想等，它们都强调事物之间的内在联系和综合性。
整体思想认为一切事物都是相互联系、相互作用的，不能单独看待。
在现代，整体思想逐渐成为一种重要的科学思维方式，深受各个学科的关注。
二、整体思想的特点1. 综合性：整体思想要求将事物的各个方面、各个环节统一起来，形成一个系统的整体。
它不以局部、部分为研究对象，而是关注事物的全貌。
2. 统一性：整体思想强调事物之间的内在联系和相互作用，通过理解这种联系来认识事物的本质。
它关注事物之间的整体关系，而非孤立的描述。
3. 动态性：整体思想认为事物发展变化的过程是连续的、不断的，存在内在的规律性。
它强调把握事物发展的全过程，而非简单地看待静止的状态。
4. 相对性：整体思想把握事物的相对性和相对发展规律，不排斥局部性和特殊性。
它认为在统一整体中，事物的差异是相对的，应当予以尊重。
三、整体思想的应用1. 跨学科研究：整体思想可以帮助不同学科之间建立联系、共同研究问题。
它能够超越学科边界，形成多学科交叉的研究领域，从而促进学科发展的融合和创新。
2. 组织管理：整体思想可以帮助组织管理者把握全局，有效协调各个部门之间的工作。
它能够促进组织的协同运行，提高管理效率和效果。
3. 生态保护：整体思想可以引导我们关注生态系统的整体平衡和可持续发展。
它鼓励人们从生态的角度思考问题，采取综合性的措施保护环境，实现人与自然的和谐共生。
四、整体思想的发展趋势1. 全球化视野：整体思想的应用范围将越来越广泛，跨越国家和地区的界限，形成全球化的视野。
人们将更加重视全球性问题，进行全球范围内的整体思考和解决。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
------------引自百度百科一、整体设元例1：）（原式）（，即两式相减得：）（那么）（解：设的值。
求解41-231-21-2S -2.222...22221,2...22212...22212019201920192019201832201832201832=∴==+++++=+++++=+++++S S S S 这是一道等比数列求和的题，虽然是高中知识，但是初中，甚至很多小学生都碰到过这样的题目。
我们来做一个详细讲解：（1）常见的整体设元法（2）把（1）式左右两边同时乘以2，对比一下两个式子，（1）式除了第一项、（2）式除了最后一项，其余的部分是完全一样的（3）两式相减，就把所有相同的部分减掉了（4）得出结果这道题运用了两次整体思想，第一次是整体设元，第二次是整体相减。
例2：就有了两个方向：我们利用整体设元法时它拆开重组，为了配合乘法分配律把两次，两次，出现四次，仔细观察发现，断重复出现，它的特点是里面的数不见到的一类题，这是小学和初中都经常312114131213121)3121()4131211()413121()31211(++++++⨯+++-++⨯++41).()b ()1(b 1,413121,3121a )1(=-=--+=+-+=⨯+-⨯+=++=+=ab aba ab b ab a ab a b a b ）（原式设拆第一个括号41)(414141)41()41()41()41(a ,312131211)2(=-=--+=+-+=⨯+-+⨯=+=++=b a b ab a ab b ab a ab b a b b a 原式，设拆第二个括号二、整体处理例3：甲乙两人从相距5千米的两地同时出发,相向而行,甲的速度为6千米/小时,乙的速度为4千米/小时,一只小狗与甲同时出发向乙奔去,遇到乙后又立即调头向甲跑去,遇到甲后又立即向乙跑去....直到甲乙二人相遇为止,若小狗的速度是13千米/小时,在这一奔跑过程中,小狗的总行程是多少千米?这是一道经典的奥数题，如果按照常规思路，要么分段计算小狗的路程，要么分段计算小狗的时间，似乎都没办法进行画图分析，但如果我们能把小狗的整个运动过程看作一个整体，思路一下子就出来了。
七年级数学上册：整体思想在整式运算中的应用
则这个三角形的周长为
A+2A-1+ 2 (2A-1)=A+2A-1+ 4 A- 2 = 13 A- 5 ,
3
3 33 3
将 A=3a+2b 代入 13 A- 5 , 33
即 13 A- 5 = 13 (3a+2b)- 5 =13a+ 26 b- 5 ,即这个三角形的周长为 13a+ 26 b- 5 .
类型四:整体替换
【例5】 三角形第一边长为3a+2b,第二边长是第一边长的2倍少1,第三边长是第二边长 的 2 ,求这个三角形的周长.
3
点拨:由题意可设 A=3a+2b,则第二边长为 2A-1,第三边长为 2 (2A-1),所以周长为 A+2A-1+ 2 (2A-1).
解:设 A=3a+2b,源自333 33
3
33
33
【针对训练】 已知A=-3x3+2x2-1,B=x3-2x2-x+4,求2A-(A-B).
解:2A-(A-B) =2A-A+B=A+B =(-3x3+2x2-1)+(x3-2x2-x+4) =-3x3+2x2-1+x3-2x2-x+4 =-2x3-x+3.
类型五:整体思想之赋值
专题一 整体思想在整式运算中的应用
在进行整式的加减时,有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答,此时若经过适 当变形,利用“整体思想”,可使问题迎刃而解,轻松取胜.
类型一:整体代入
【例1】 如果a+b=5,那么(a+b)2-4(a+b)=
5.
点拨:已知式与要求式中都有a+b,只要把式中的a+b的值代入到要求的式子中即可.
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
整体思想的归纳总结
整体思想的归纳总结整体思想是指一个人、组织或者社会在一定时间内形成的关于世界和人类存在的理解和见解的综合体。
它是人们对事物进行观察、分析和反思的结果，是知识、经验、价值观和文化等多种因素的综合反映。
整体思想在个体和群体的行动决策、发展方向以及社会进步方面起着重要的作用。
本文将对整体思想的概念、形成因素和作用进行归纳总结。
首先，整体思想是一种关于人类和世界存在的综合性认识。
人们通过对自然、社会、人类行为等方面的观察和思考，形成了对事物本质和规律的认识。
整体思想包括对自然规律、社会规律、人类行为和道德伦理等方面的认知。
它帮助人们理解和解释世界的现象和事件，为人们的行动提供指导和决策依据。
其次，整体思想的形成是多种因素综合作用的结果。
整体思想的形成既受到知识和经验的影响，也受到价值观、信仰、文化和社会环境等因素的影响。
知识和经验提供了人们认识事物的基础和思维方式，价值观、信仰和文化则决定了人们对事物的判断和评价标准，社会环境则影响人们的思维方式和认知范式。
整体思想的形成是这些因素相互作用、相互依赖的结果。
再次，整体思想在个体和群体的行动决策中起着重要作用。
整体思想是人们思考和决策的基础，它指导着人们的行动和选择。
个体的整体思想决定了个体在面临选择和决策时的判断和行为，而群体的整体思想则决定了群体的行动和发展方向。
整体思想在个体和群体的行动决策中发挥着非常重要的作用，它有助于人们的行动更加有序和有效。
此外，整体思想对社会进步具有重要意义。
整体思想是社会和人类进步的动力和引领者。
通过对事物的综合认识和分析，人们能够发现问题和挑战，并提出解决方案和发展规划。
整体思想推动着社会的改革和变革，推动着人类的进步和发展。
它为社会提供了发展的方向和目标，帮助人们实现自身和社会的全面进步。
综上所述，整体思想是人们对世界和人类存在的理解和见解的综合体，它是多种因素综合作用的结果。
整体思想在个体和群体的行动决策中起着重要作用，同时也推动着社会的发展和进步。
中考数学专题一 整体思想复习题及答案
中考数学专题一整体思想复习题及答案1. 已知a-b=1，求2a-2b-3的值。
2. 分解因式(x-1)^2-2(x-1)+1。
3. 化简5(2x-3)+4(3-2x)。
4. 当x=-7时，计算(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值。
5. 若a=2，a+b=3，求a+ab的值。
6. 解方程组{x+2y=4k+1, 2x+y=k+2, 0<x+y<3}，求k的取值范围。
7. 若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2需10元；买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5需25元。
求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样的总价。
解：设铅笔单价为x，日记本单价为y，圆珠笔单价为z，列出方程组：4x+3y+2z=109x+7y+5z=25解：由于半圆A和半圆B与y轴相切于点O，所以O是坐标轴的中心点。
设半圆A的半径为r，半圆B的半径为s，则有r+s=2，r^2+s^2=(2r)^2。
解得r=2/3，s=4/3。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，代入三个点的坐标，得到三个方程：a+b+c=14a+2b+c=09a+3b+c=410. 已知A=2x+y，B=2x-y，求A^2-B^2的值。
11. 已知y+2x=1，求(y+1)^2-(y^2-4x)的值。
12. 已知xy=-3，求(-2xy-y)/(x-2y-y^2)的值。
13. 已知一元二次方程x^2+2x+k+1=0有两个实数解x1和x2。
(1)求k的取值范围；(2)如果x1+x2-x1x2<-1，且k为整数，求k的值。
解：(1)由于x1和x2都是实数，所以判别式Δ=4-4(k+1)>=0，即k<=-1。
又由于x1和x2都是实数，所以方程的两个根的和x1+x2=-2，所以k的取值范围为k<=-3。
(2)由于x1和x2都是实数，所以判别式Δ=4-4(k+1)>=0，即k-3。
所以k的取值为-2。
1. 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了代数的数学思想。
数学思想方法(一) (整体思想、转化思想、分类讨论思想)(无答案)
数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。
数学思想方法一整体思想解析自己整理
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c a b b c a c ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+ 分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xyx =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元． 依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以第9题YXO 1-1第10题654321IHGFED CBA目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，第11题OP FEDCBA123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCDS S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
数学中的整体思想
整体证明
利用整体思想对猜想进行证明，揭 示数学命题之间的内在联系和规律。
整体探究
通过探究数学命题的整体结构和性 质，发现新的数学规律和性质。
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整体构造法的应用场景
01
解决代数方程
在代数方程中，整体构造法可以用于解决一些复杂的方程组或高次方程。
通过将问题看作一个整体，可以发现方程之间的内在联系，从而简化解
题过程。
02
几何问题
在几何问题中，整体构造法可以用于解决一些复杂的图形问题，如面积、
体积和角度等问题。通过将图形看作一个整体，可以更直观地理解图形
03
整体构造法
整体构造法的定义
整体构造法是一种数学解题方法，它强调从整体的角度去 观察和思考问题，将问题看作一个整体，而不是将其拆分 成多个部分。通过整体构造法，可以更全面地理解问题， 发现问题的本质和内在规律。
整体构造法的核心思想是“以全局带动局部”，即通过研究 整体性质来推导和解决局部问题。这种方法在数学中广泛应 用于解决代数、几何和概率统计等领域的问题。
解析几何
在解析几何中，整体观察法可用于研究几何图形之间的关系和性质。例如，在研究平面几 何图形的面积和周长时，可以通过整体观察法发现它们之间的联系和规律，从而简化计算 过程。
函数分析
在函数分析中，整体观察法可用于研究函数的性质和变化规律。通过整体观察函数的图像 和性质，可以更好地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决与函数相关的问题。
02
在数学中，整体观察法通常用于 研究数学对象之间的关系、结构 和性质，以便更好地理解数学概 念、定理和解题方法。
整体观察法的应用场景
解决代数问题
整体观察法在代数问题中应用广泛，例如解方程组、因式分解、不等式证明等。通过从整 体上观察代数式或方程组，可以发现它们之间的内在联系和规律，从而简化解题过程。
初中数学整体思想问题教案
初中数学整体思想问题教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握整体思想的概念和意义。
2. 培养学生运用整体思想解决数学问题的能力。
3. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学内容：1. 整体思想的概念和意义。
2. 整体思想在初中数学中的应用。
3. 运用整体思想解决实际问题的方法。
三、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入整体思想的概念，让学生感受到整体思想在解决数学问题中的重要性。
2. 讲解：讲解整体思想的概念和意义，通过具体的例子让学生理解整体思想的应用。
3. 练习：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
4. 应用：让学生运用整体思想解决一个实际问题，培养学生的实际应用能力。
5. 总结：总结整体思想在初中数学中的应用，强调整体思想在解决问题中的重要性。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解整体思想的概念和意义，让学生理解整体思想的基本原理。
2. 案例分析法：通过具体的例子，让学生理解整体思想的应用。
3. 练习法：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
4. 应用法：让学生运用整体思想解决一个实际问题，培养学生的实际应用能力。
五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，了解学生对整体思想的掌握情况。
2. 练习题的正确率：通过练习题的正确率，了解学生对整体思想的掌握情况。
3. 实际问题的解决能力：观察学生在解决实际问题时的表现，了解学生对整体思想的实际应用能力。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示整体思想的概念和例子。
2. 练习题：用于让学生运用整体思想解决问题。
3. 实际问题：用于让学生运用整体思想解决。
七、教学步骤：1. 导入：通过一个实际问题引入整体思想的概念，让学生感受到整体思想在解决数学问题中的重要性。
2. 讲解：讲解整体思想的概念和意义，通过具体的例子让学生理解整体思想的应用。
3. 练习：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
专题一 整体思想
二、解题策略和解法精讲
• 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚 到薄的升华，在复习中一定要注重培养在 解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到 的数学思想方法有：整体思想、转化思想、 函数与方程思想、数形结合思想、分类讨 论思想等．在中考复习备考阶段，教师应 指导学生系统总结这些数学思想与方法， 掌握了它的实质，就可以把所学的知识融 会贯通，解题时可以举一反三。
解析：设铅笔每支x元， 日记本y元，圆珠笔z元， 有： 4 x 3 y 2 z 10 ①
9 x 7 y 5 z 25 ② ，
②－①得：5x＋4y＋3z＝15 ③－①得：x＋y＋z＝5. ③，
例5．(2011年江苏)已知实数a、b满足ab＝1，a ＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值． 解：原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.
例9．阅读材料，解答问题． 为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视 为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋ 4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x ＝± ；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝± . ∴ x 1＝ ，x4＝－5 . 5 ，x2＝－ 2 ，x3＝ 2 5 解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法 达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想； 2 (2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0. 解：(2)设x2＝y，则原方程化为：y2－y－6＝0. 解得：y1＝3，y2＝－2. 当y＝3时，x2＝3，解得x＝± 3； 当y＝－2时，x2＝－2，无解． ∴x1＝ 3，x2＝－ 3 .
整体思想方法就是把某些式子或图形看成一个整体，把握 已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解 决问题的方法．它是数学思想方法中最重要的思维方法之一，
第四部分 专题一 整体思想
中，令
第一个方程组
容易得到第二个方程组的解
11 x＝ 2 ， 为 y＝－1. 2 11 x＝ 2 ， 答案： y＝－1 2
规律方法：通过整体加减即避免了求复杂的未知数的值， 又简化了方程组(不等式组)，解答直接简便．
在函数中的应用
例 4：已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数．
几何与图形中的整体思想 例 5：如图 Z1－1，⊙A，⊙B，⊙C 两两
不相交，半径都是 0.5 cm，则图中阴影部分的
) 面积是( π A.12 cm2
π B.8 cm2 π C.4 cm2
图 Z1－1 π D.6 cm2
解析：由于不能求出各个扇形的面积，因此，要将三个阴 影部分看作一个整体考虑，注意到三角形内角和为 180°，所以
－15＝－k－kn＋m， (2)解：由题意，可得方程组 1＝7k－kn＋m， k＝2， kn＋m＝13.
解得
故所求的函数解析式为 y＝2x－13.
规律方法：此题在解方程组时，单独解出 k，m，n 是不可 能的，也涉及不必要的．故将 kn＋m 看成一个整体求解，从而 求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．
1 解析： 如果根据题意直接求出 x 再代入到 x ＋x2中求值将非
2
常麻烦，特别是 x 为一个无理数．考虑到条件和结论的形式非 常相似，可以考虑用完全平方公式进行变形化简，得： 1 12 1 x ＋x2＝(x＋x) －2，再把 x＋x＝3 整体代入．
2
答案：7
规律方法：此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问 题，首先要观察条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变 换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解．
数学思想篇：一、整体思想
第 1 页 共 2 页数学思想篇：一、整体思想【思想指导】整体思想，就是从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易．其主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．【范例讲析】一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于 （ ）A.6B.6-C.125 D.27- 例2．已知当1x =时代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++的值为3，则当1x =-时，代数式的值为 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 例3．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是例4． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为例5． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？三．函数与图象中的整体思想例6．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式.例7． 若关于x 的一元二次方程2(21)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．四．几何与图形中的整体思想例8．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= 例9．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．例10．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．第 2 页 共 2 页【优化训练】1．已知式子3y 2-2y+6的值为8，那么号23y 2-y+l 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．计算(250+0.9+0.8+0.7)2 -（250-0.9-0.8-0.7）2之值为( ) A. 11. 52 B.23. 04 C.1200 D.24003．已知411=+b a ，则 b ab a bab a 323434-+-++的值为 ( )A ．1019-B ．1019 c ．-1910 D ．19104．已知a 2-3a+1=0，则441a a+的值为 ( )A. 45B. 46C. 47D. 485．如图，在梯形ABCD 中，MN 是梯形的中位线，E 是AD 上一点，若S △EMN =4， 则S 梯形ABCD= ( )A ．8B ．12C ．16D ．206．已知a l ，a 2，…，a 2002均为正数，且满足M=（a l +a 2+…+a 2001）（a 2+a 3+---+a 2001-a 2002），N=（a l +a 2+- +a 200l -a 2002）（a 2 +a 3+…+a 2oo1），则M 与N 之间的关系是 ( )A ．M>NB ．M<NC ．M-ND ．无法确定．7．已知6111=+b a ，9111=+c a ，15111=+c b ，则bc ac ab abc++的值为 ( )A ．18031B ．31180 c ．9031 D ．31908．如图，在梯形ABCD 中,AD ∥BC,且AD ：BC=1：3，梯形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,S △AOD ：S △BOC ：S △AOB ( )A. 1:3:1B.1:9:1C.1:9:3D. 1:3:29．若31=+xx ，则2421x x x ++的值是 ( ) A ．81 B ．101 c ．21 D ．4110.甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有31的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 ( )A ．3B ． 31 c ．21D ．211．如果a+b=5，那么(a+b)2 -4（a+b ）=____．12．如果210x x +-=，则3223x x ++ =____．13.当x=-3时，式子ax 5 +bx 3 +cx-5的值是7，那么当x=3时，此式子的值是 ．14.方程组⎩⎨⎧=-+=-+65)(53)(2y y x y y x ，的解为 .15．已知a=83 x-20,b=83x-18,c=83x-16，则222a +b +c -ab-ac-bc= ．16．已知a-b=b-c=53，222a +b +c = 1，则ab+bc+ca 的值等于 ．17.已知Rt △ABC 的两边a ，b 满足等式（a 2十b 2）2-（a 2+b 2）=6，a+b=2，那么这个直角三角形的斜边c 的长和面积分别____．18．对于正数x ，规定，f(x)=xx+1，例如，f(3)=43313=+，f(31)=4131131=+,计算+++++++-+-+)3()2()1()1()21()31()21()11()1(f f f f f f n f n f n f )()1()2(n f n f n f +-+-+ =____．（n 为正整数）19.关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是__________．。
第二部分 专题一 整体思想(修改)
几何与图形中的整体思想 例 4：如图 Z1-1，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，半径都是
0.5 cm，则图中阴影部分的面积是(
)
图 Z1-1
π A.12 cm2 π B.8 cm2 π C.4 cm2 π D.6 cm2
的解
为
那 么 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
3x＋y－ax－y＝5， x＋y＋bx－y＝11
的解为______________．
函数中的整体思想
例 3：已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数． (1)求证：y 是 x 的一次函数；
(2)当 y＝－15 时，x＝－1；当 x＝7 时，y＝1.求这个函数
在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几
何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中 考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题， 这些问题尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特 的作用．
数与式的运算中的整体思想 例1：(2014年甘肃兰州)为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的
＋…＋32014的值是________．
方程(组)或不等式(组)中的整体思想
例 2：(2012 年江西南昌)已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则
m2＋n2＝(
A．10
) B．6 C．5 D．3
例 3： 已知关于 x， y
x＝5， y＝6，
3x－ay＝5， 的二元一次方程组 x＋by＝11
第二部分
中考专题突破
专题一 整体思想
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究 问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体
1数学思想篇--整体思想
数学思想-- 整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．典型例题一、在数与式的运算中的应用1. 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 2．先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 3．计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (111111111234)20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+?+ 二、在方程中的应用1.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．2.(08苏州)解方程：()2221160x x x x +++-=． 三、在几何计算中的应用【例5】如图⊙A ，⊙B ，⊙C两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是( )A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．4πcm 2D ．6πcm 2综合训练1．当代数式a +b 的值为3时，代数式2a +2b+1的值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为A ．7B ．10C ．11D ．12 ( )4．若方程组36133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－45．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为_________． 6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则1x x -=__________． 7．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2．10．如图，ABCD 是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．14．(07泰州)先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．15．解方程（1）(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0 （2）x 4－x 2－6=0 （3）228011x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x =．∴1x2x =3x =4x =．解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．参考答案1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+2+ 9．4910．2π 11．2π12．513．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦ ()()231322a a a a +==+a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－12．15．(1)换元 整体(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)∴当y=3时，x 2=3，∴x =x =。
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第四部分 中考专题突破
专题一 整体思想
1．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．－5
D ．5 2．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )
A ．(x －1)(x －2)
B ．x 2
C ．(x ＋1)2
D ．(x －2)2 3．(2012年山东济南)化简5(2x －3)＋4(3－2x )结果为( )
A ．2x －3
B ．2x ＋9
C ．8x －3
D ．18x －3
4．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________． 5．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a 2＋ab ＝______.
6．已知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4k ＋1，
2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________.
7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠
笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．
8．如图Z1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以点
O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ，则图中阴影部分的面积是________．
图Z1－2 图Z1－3
9．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________. 10．(2012年浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．
11．(2010年福建南安)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．
12.已知1
x－
1
y＝3，求代数式
2x－14xy－2y
x－2xy－y
的值．
13．(2011年四川南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k为整数，求k的值．
14．阅读下列材料，解答问题．
为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝
±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，x＝± 5.故x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.
参考答案
1．A 2.D 3.A 4.－6 5.6
6．－35<k <65 解析：将方程组的两式相加，得3(x ＋y )＝5k ＋3，所以x ＋y ＝53k ＋1.从而0<53k ＋
1<3，解得－35<k <6
5
.
7．5 解析：设铅笔每支x 元， 日记本每本y 元，圆珠笔每支z 元，有：
⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y ＋2z ＝10， ①
9x ＋7y ＋5z ＝25. ② ②－①，得5x ＋4y ＋3z ＝15， ③ ③－①，得x ＋y ＋z ＝5. 8.π2
9．360° 解析：因为∠1＋∠2＝∠DAB ，∠3＋∠4＝∠IBA ，∠5＋∠6＝∠GCB ，根据三角形外角和定理，得∠DAB ＋∠IBA ＋∠GCB ＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
10．解：原式＝(2x ＋y )2－(2x －y )2＝[](2x ＋y )－(2x －y )·
[](2x ＋y )＋(2x －y )＝8xy . 11．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.
12．解：原式＝2y －14－2x 1y －2－1x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －1y －14－⎝⎛⎭⎫1x －1y －2＝－6－14－3－2＝4.
13．解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0. ∴k 的取值范围是k ≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，
由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2， 又由(1)，可知：k ≤0， ∴－2＜k ≤0.
又∵k 为整数，∴k 的值为－1或0. 14．解：(1)换元 整体思想
(2)设x2＝y，
则原方程化为y2－y－6＝0.
解得y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．
∴x1＝3，x2＝－ 3.。