(导学)6点的运动学

点的运动学
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建立点的位置坐标的关键，是要选择合适的坐标系，并将点 置于一般位置时来列写。同时必须注意，不管使用哪种坐标，一 定要先确定坐标的原点及坐标正向，且必须在图中标出。 (2) 速度方程与加速度方程 点的速度是度量点的运动快慢的程度，合速度的方向就是 点的运动方向。 点的加速度是度量点的速度的变化快慢程度，合速度的方 向必定指向轨迹曲线的凹向。
或
a a 2 a 2 rw 2 x y ay tan tan 2 ax
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s
r
2.自然坐标法：
M O1

当点的运动轨迹已知时,用自然坐标表达更简 捷。
s r rwt
v ds rw s dt
位置坐标
得vMx为常数。
再求导得点M的加速度：
Mx 0 aMx v bv 2 2lvt v 2t 2 (l vt) 2 My aMy v l (2lvt v 2t 2 )3 / 2
即点M的加速度沿轴y向，为：
aM aMy bv 2 l 2lvt v 2t 2 (l vt) 2 (2lvt v 2t 2 ) 3 / 2
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3. 典型例题
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例1：杆AB长为l，其两端点A、B分别沿轴Ox、Oy运动。已知 点A以匀速v运动，方向如图示，若AM=b，设运动初始时杆位 于水平位置。试求杆上点M的速度与加速度。 y 解: 对于既要建立点的位置坐标，又要求解 B 速度、加速度的问题，应先建立点的位置坐 标，根据速度、加速度方程是位置坐标的一 M 阶、二阶导数关系，问题可全部求解。
分加速度
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例3：一动点位置函数为：x=50t，y=500-5t2，式中：x和y以m计， t以s计。试求（1）动点运动的轨迹；（2）动点沿运动轨迹的运 动规律；（3）当t=0时，动点的切向、法向加速度及轨迹的曲率 半径。 解: （1）在直角坐标的运动描述中，消去时间t得轨迹方程：
v l sin
l vt l
l vt 2lvt v 2t 2
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l b v x ( l b ) sin v M Mx l b cot vMy y cos M b v l
i , j , k 为x,y,z方 位的单位常矢量
r r [s(t )]
空间曲线
s (-) O
M (+) M
s st
r r t
运动轨迹 已知的空间 曲线 平面曲线
极坐标
r
O

A
(t )
er , eθ 为单位矢量
r rer
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合加速度。
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例2：点M沿固定的圆弧线运动。已知：圆的半径为r，=wt。 试求：（1）用各种坐标来描述点M的运动；（2）在各种坐标 中的速度分量；（3）在各种坐标中的加速度分量。
M
r

解: 不论点M在平面内的运动轨迹是否已知，都 可以用直角坐标方法。一般地坐标原点就选在 本机构的静点上。本机构在各种约束下只须一 个运动参变量就可描述，可见点M的x,y均应为 角坐标的函数。
a ar er aθ eθ
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2. 基本要求 1) 对给出的点的运动物体，能选择适当的坐标系，并予以 图示，建立出点的运动方程。 2) 根据点的运动描述、速度方程、加速度方程以及它们之 间的微积分关系，正确熟练地进行速度及加速度分析。
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点的位置坐标的几种表示方法
形式
矢量
r
z O
图例 M
运动描述
r r t
与矢量式关系
适用
空间曲线
M
z
直角坐标 x 弧坐标
（自然法）
O
y
x
y
x x(t ) y y t z z t
r xi yj zk
0
时间零点对应点O1。
O
500
x
s
s 5t 52 t 2 125 ln( t 52 t 2 ) 125 ln 5
t 52 t 2 s 5t 5 t 125 ln 5
2 2
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（3）当t=0时，动点的切向、法向加速度及轨迹的曲率半径
at dv d2 s 2 v s dt dt v2
M
v
极坐标
a aθ vθ r
M O
vr
an
at
et 为单位矢量
d dr v r vr dt dt v vr er vθ eθ
ds v s dt v vet
v r M
合速度
分加速度

0 at v v2 2 a r w n r
a r
M

合加速度： a an 方向:指向曲率中心（圆心）。
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r O
M
3.极坐标法：

点做平面曲线运动，也可以用极坐标求解。
A
r const wt
l cos wt y sin wt b
x y ( )2 ( )2 1 l b
b O
l
O1
x
（2）沿轨迹的运动描述，就是要转化为自然坐标的描述。若在 轨迹上建立自然坐标（如图示），则
lw sin wt x bw cos wt y
r
a
ay
ax
弧坐标
（自然法）
vx M
az v y
dx x dt dy vy y dt dz vz z dt vx
d vx d2 x x 2 v x dt dt d vy d2 y y 2 ay v y dt dt dv d2 z z 2 az z v z dt dt ax
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y r M
1.直角坐标法：
x
x r cos r cos wt y r sin r sin wt 2 2 2 x y r 轨迹方程：
rw sin wt vx x rw cos wt vy y

y ) v (x y an x y x
2 2
2 3/ 2
2(25 t 2 )3 / 2
at 0 当t=0时，an 10 m/ s 2 250 m
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例3：一动点M用直角坐标描述的方程为：x=lcoswt，y=bsinwt， 式中l、b、w为常量。试求：（1）动点M的轨迹方程；（2）沿 轨迹的运动描述；（3）切向加速度与法向加速度；（4）曲率 半径的表达式。 解: （1）在直角坐标的运动描述中，消去时间t得轨迹方程： y s x
O

位置坐标 注意对的
v vy 1 M vx r

复合求导！
或
ay
v v 2 v 2 rw x y vy cot tan 1 vx
M r
2 a
ax

x rw 2 sin wt x ax v 2 a v y r w cos wt y y
4. 补充习题 … … … … … … … … … … … … 22
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运动学
叙言:1.运动学的研究对象:1)质点；2)刚体 2. 运动的相对性:1) 相对静系；2)相对动系 1.内容提要
1) 基本概念 研究点的一般运动，就是要研究点的运动几何性质，要确 定点的几何性质，必须有一个参照物。点的运动几何性质只有 相对参照物（一般用坐标系表示）才有意义。这就是运动的相 对性。 2)主要公式 (1) 点的运动描述 本章点的运动方程是以一个固定物为参考系，来研究点的 几何位置随时间变化的规律。
50 x 10t y
y dv x x y at dt 2 y 2 x
2 y 2 10 25 t 2 v x
因为
m/s 2
0 x 10 y
at
y x x y 2 y 2 x
0 vr r rw v r
const意为常量！
v
r M
分速度

合速度： v v
a
r
M
合加速度： a a r 方向：沿r的负向。 通过上述求解，可知：对已知轨迹曲线的，往往用自然坐 标比较容易。

2 rw 2 r r a r r 0 a 2r
O

v
A x
本题点M的运动轨迹未知，故用直角坐标 来描述。设角，则有
xA l cos l vt sin v A l 及 vA x
xM (l b) cos yM b sin
得 cos
得
l b v x ( l b ) sin v M Mx l vt l cot 式中 b cot 2 2 vMy y cos M b l (l vt) v l
式中 cot
l vt l 2 (l vt) 2

l vt 2lvt v 2t 2
l b v x ( l b ) sin v Mx M l b cot b l vt M v vMy y 2 2 l l 2lvt v t
an
a a τ e t a n en
2

en 为单位矢量
2

A
er , eθ为单位矢量
dv d2 r d d ar r r 2 r dt dt dt dt d r d d2 aθ 2 r 2 dt dt dt
点的运动矢端曲线就是运动轨迹；其切线方位就是速度的方 位；速度的矢端曲线的切线就是加速度的方位，加速度指向轨 迹曲线的凹向。
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点的速度、加速度的几种表示方法
形式 矢量 O 直角坐标
vz
图例 M
v
速度方程
dr v r dt
加速度方程
2 d dv r a v r 2 dt dt

10t 25 t 2
2 2 10 a x y
an a a
2 2 t
y O1
y x y x 2 y 2 x 50 25 t 2
此圆仅表示点O1 v 的曲率半径，曲 an 线上个点具有不 同的曲率半径。
O x
(10t ) 2 2 10 2 25 t
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运动学
叙言
点的运动学 目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … 3 2. 基本要求 … … … … … … … … … … … … 7 3. 典型例题 … … … … … … … … … … … … 8
x 2 250000 500 y
500 O1
（2）沿轨迹的运动规律，就是要转ห้องสมุดไป่ตู้为自然坐标的描述。若在 轨迹上建立自然坐标（如图示），则 y
50 x 10t y
s 0
2 y 2 50 2 (10) 2 t 2 v x
t
ds dt
s d s 10 52 t 2 d t