高中数学 第三章3.1 导数的概念及其运算(共75张PPT)

题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
3
【例 1】利用导数的定义求函数 f(x)＝x
思维启迪
解析
探究提高
在 x＝x0 处的导数，并求曲线 f(x) ＝x 在 x＝x0 处的切线与曲线 f(x) ＝x3 的交点．
3
求函数 f(x)的导数步骤： (1)求函数值的增量 Δf＝f(x2) －f(x1)； Δf (2)计算平均变化率 Δx fx2－fx1 ＝ ； x2－x1 Δf (3)计算导数 f′(x)＝lim . →0 Δx Δx
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 求下列各函数的 解 导数： 1 1 (1)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x cos 2x (2)y＝ ； sin x＋cos x x 2x (3)y＝－sin 1－2cos 4； 2 (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
1 1 2 (1)∵y＝ ＋ ＝ ， 1－ x 1＋ x 1－x 2 －21－x′ 2 ∴y′＝1－x′＝ ＝ . 1－x2 1－x2 cos 2x (2)∵y＝ ＝cos x－sin x， sin x＋cos x
数学
R A（文）
§3.1 导数的概念及其运算
第三章 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率为
难点正本 疑点清源
1.深刻理解“函数在一点处的导 数”、 “导函数”、“导数”的区别与 联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
导数的运算
求下列函数的导数：
思维启迪 解析 探究提高
(1)y＝ex· x； ln 1 1 2 (2)y＝xx ＋x＋x3； x x (3)y＝x－sin cos ； 2 2 1 (4)y＝( x＋1) －1. x
(1)求导之前，应利用代数、三角恒 等式等变形对函数进行化简，然后 求导，这样可以减少运算量，提高 运算速度，减少差错； (2)有的函数虽然表面形式为函数 的商的形式，但在求导前利用代数 或三角恒等变形将函数先化简，然 后进行求导，有时可以避免使用商 的求导法则，减少运算量；
思想方法
基础知识
题型分类
的切线”的区别与联系
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点， 切线 斜率为 k＝f′(x0)的切线，是 唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0) 的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以 不是切点， 而且这样的直线可 能有多条．
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
导数的运算
求下列函数的导数：
思维启迪 解析 探究提高
(1)y＝ex· x； ln 1 1 2 (2)y＝xx ＋x＋x3； x x (3)y＝x－sin cos ； 2 2 1 (4)y＝( x＋1) －1. x
3
即
y＝x3， 2 3 y＝3x0x－2x0，由 3 y＝3x2x－2x0， 0
得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得 x＝x0，x＝－2x0.
若 x0≠0，则交点坐标为(x0，x3)，(－2x0，－8x3)；若 x0＝0，则交点坐 0 0 标为(0,0)．
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难点正本 疑点清源 2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线”与“过点P(x0，
； y0) ； (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)
处的切线是指 P 为切点， 切线 斜率为 k＝f′(x0)的切线，是 唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0) 的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以 不是切点， 而且这样的直线可 能有多条．
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变式训练 1 利用导数的定义，求： 1 (1)f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x 1 －1 1＋Δx f1＋Δx－f1 Δy 解 (1)∵Δx＝ ＝ Δx Δx
1－ 1＋Δx 1－1＋Δx ＝ ＝ Δx 1＋Δx Δx 1＋Δx1＋ 1＋Δx －Δx －1 ＝ ＝ ， Δx 1＋Δx＋1＋Δx 1＋Δx＋1＋Δx
fx0＋Δx－fx0 Δy lim lim Δx Δx→0 Δx Δx→0 率 ＝
为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记 作 f′(x0)或 y′| x x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 Δy lim Δx Δx→0 lim ＝ Δx→0 Δx
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思想方法
1 f′(x)＝ xln a
1 f′(x)＝ x
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要点梳理
5.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) (2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
fx (3) ′＝ gx
的切线”的区别与联系
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点， 切线 斜率为 k＝f′(x0)的切线，是 唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0) 的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以 不是切点， 而且这样的直线可 能有多条．
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解析
探究提高
在 x＝x0 处的导数，并求曲线 f(x) ＝x3 在 x＝x0 处的切线与曲线 f(x) ＝x3 的交点．
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题型一 利用定义求函数的导数
3
【例 1】利用导数的定义求函数 f(x)＝x
思维启迪
解析
探究提高
在 x＝x0 处的导数，并求曲线 f(x) ＝x3 在 x＝x0 处的切线与曲线 f(x) ＝x3 的交点．
.
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要点梳理
(2)几何意义 意义是在曲线 y＝f(x)上点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ．相应地，切线方程 为
难点正本 疑点清源 2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线”与“过点P(x0，
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何 y0)
Δy ∴f′(1)＝lim ＝lim →0 Δx Δx Δx→0
基础知识 题型分类
分
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变式训练 1 利用导数的定义，求： 1 (2)f(x)＝ 的导数． x＋2
Δy fx＋Δx－fx 解 (2)∵Δx＝ Δx 1 1 － x＋2＋Δx x＋2 ＝ Δx x＋2－x＋2＋Δx ＝ Δxx＋2x＋2＋Δx －1 ＝ ， x＋2x＋2＋Δx －1 Δy 1 ∴f′(x)＝lim Δx＝lim ＝－ 2. x＋2 Δx→0 Δx→0 x＋2x＋2＋Δx
的切线”的区别与联系
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
基础知识
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基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
3
2
解析
-2
(1,0) y＝2x＋1
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
3
【例 1】利用导数的定义求函数 f(x)＝x
求函数的导数，首先要搞 清函数的结构；若式子能 化简，可先化简再求导．
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题型二
【例 2】
导数的运算
求下列函数的导数：
思维启迪 解析 探究提高
(1)y＝ex·x x； ln 1 1 解 (1)y′＝(e · x)′＝exln x＋ex·＝ex(ln x＋x)． ln x 1 1 2 x ＋ ＋ 3； (2)y＝x x1 x 2 3 2 (2)∵y＝x ＋1＋ x，∴y′＝3x － 3. x x2 x (3)y＝x－sin cos ； x x 1 2 2 (3)先使用三角公式进行化简，得 y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2 1 (4)y＝(1 x＋1) －11. 1 x x－ sin x′＝x′－ (sin x)′＝1－ cos x. ∴y′＝ 2 2 2 1 1 1 1 2 + (4)先化简，y＝ x· － x＋ －1＝ x x 2 ， x x
∴y′＝－sin x－cos x. x 1 x (3)∵y＝－sin 2－cos 2＝2sin x，
思想方法 练出高分
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
．
3.函数 f(x)的导函数
fx＋Δx－fx lim Δx Δx→0 称函数 f′(x)＝ 为
f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′.
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要点梳理
4.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c (c 为常数) f(x)＝xn (n↔Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax (a>0) f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0， 且 a≠1) f(x)＝ln x 导函数
难点正本 疑点清源 2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线”与“过点P(x0， y0)
0 f′(x)＝____