高中数学一轮复习导数的概念及运算

基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( × )
1
2
3
4
5
6
7
题组二 教材改编
2.[P85A组T5]若f(x)＝x· ex，则f′(1)＝ 2e .
解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2 3.[P18A 组 T6] 曲 线 y ＝ 1 － x＋2 为 . 2 解析 ∵y′＝ 2，∴y′|x＝－1＝2. x＋2
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f′xgx－fxg′x fx 2 [ g x ] (3) (g(x)≠0). ′＝ gx
5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′ ux′，即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积. ＝ yu′·
【知识拓展】 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数 还是周期函数. 2.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x). 3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小 |f′(x)| 反映了变化的快慢， |f′(x)| 越大，曲 线在这点处的切线越“陡”.
0 f′(x)＝___
αxα－1 f′(x)＝______ cos x f′(x)＝______
sin x f′(x)＝－ ______ ex f′(x)＝___ axln a f′(x)＝_______
1 x f′(x)＝_____
f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1)
1 f′(x)＝______ xln a
得2 019＋ln x0＝2 019，
则ln x0＝0，解得x0＝1.
解析 答案
2.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A.－1 B.－2 √
C.2
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，
D.0
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
解析
答案
3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ －4 . 解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
故
π f′4＝－cos
π π 4－sin 4＝－ 2.
1 2 3 4 5 6 7
解析
答案
7. 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋ x ＋ 1 的图象在点 (1 ， f(1)) 处的切线过点 (2,7) ，则 a
＝ 1 .
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，
2
时刻 t＝2 时的瞬时速度为 19 A. 4 17 B. 4 15 C. 4
√
13 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
答案
π 6.设函数 f(x)的导数为 f′(x)， 且 f(x)＝f′2sin
x＋cos
π x， 则 f′4＝
－ 2 .
解析
所以
因为
π f(x)＝f′2sin
x＋cos x，
π f′(x)＝f′ cos 2
x－sin x，
π π π π 所以 f′2＝f′2cos 2－sin 2， π 即 f′2＝－1，所以 f(x)＝－sin x＋cos
x，f′(x)＝－cos x－sin x.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又点(2,7)在切线上，可得a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
导数的计算
自主演练
1.f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于 A.e2 C.ln 2 B.1 √ D.e
1 解析 f′(x)＝2 018＋ln x＋x× ＝2 019＋ln x， x 故由f′(x0)＝2 019，
b) 内构成一个新函数，这个函数称为函数 y ＝ f(x) 在开区 (a ， b) 间内的导函 数.记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率k，即k＝ f′(x0) .
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) 导函数
第三章 导数及其应用
§3.1 导数的概念及运算
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
Baidu Nhomakorabea
基础知识
自主学习
知识梳理 1.导数与导函数的概念
fx0＋Δx－fx0 Δy (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim ＝Δ ， lim → x 0 → Δ x Δx 0 Δx x x0 ，即f′(x ) ｜ 我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y 0 fx0＋Δx－fx0 lim x→0 ＝ lim Δy ＝ Δ . Δ x Δx→0 Δx (2)如果函数y＝f(x) 在开区间 (a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，
x－ y＋ ＝程 0 在 点 ( － 1 ， － 1) 处2 的 切 线1 方
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题组三 易错自纠
4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，
那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
√
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
3 5.有一机器人的运动方程为 s＝t ＋ t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在