第十四讲导数的概念及其运算
导数的概念及运算
使 b (3t 2 1)a 2t 3． 则方程 2t 3 3at 2 a b 0 有三个相异的实数根．
记 g (t ) 2t 3 3at 2 a b，则 g (t ) 6t 2 6at 6t (t a).
于是，若过点 a, b 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，
（3）.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函 数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
ux yx yu
考点2 导数的计算
【变式】求下列函数的导数： 例2.
x x （1） y x sin cos ； 2 2
（2） y x( x 1)( x 2) ；
f′ (x)＝cos x ； (3)f(x)＝sin x; 答： __________
(4)f(x)＝cos x; 答： __________ f′( x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax 答： __________ f′ (x)＝axln a；
f′(x)＝ex ； (6)f(x)＝ex 答： __________ 1 (x)＝xln a； (7)f(x)＝logax; 答： f′ __________ 1 f′(x)＝x ； (8)f(x)＝ln x; 答： __________ ′＝f′(x)± g′(x)； (9)y＝f(x)± g(x); 答： y ________________ y′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (10)y＝f(x)g(x); 答： ____________________________ ； f′xgx－fxg′x fx y′＝ 2 (11)y＝ 答： __________________. gx≠0； [ g x ] gx
导数的概念及导数的运算14
如皋市薛窑中学2014届高三理科数学一轮复习导数的概念及导数的运算【考点解读】导数的概念：A级导数的几何意义：B级导数的运算：B级简单的复合函数的导数：B级【复习目标】1? 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；12.理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c, y=x , y=x2, y=x3, y —, y= i x的导数；x3? 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。
活动一：基础知识1.平均变化率一般地，函数f(X)在区间［捲公2］上的平均变化率为 _________________________ 。
2 .函数f(x)在X X0处的导数设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，x o (a,b)，当X无限趋近于0时，比值一丫__________________________________x无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点x x o处可导，并称该常数A为函数f(x)点x x o处的________ ，记作________ 。
3?导数的几何意义导数f (x。
)的几何意义就是曲线y f (x)在点(x。
, f (x。
))处的_____________________________________ 。
4?导函数(导数)若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为 ____________________________ ，记作_____________ 。
5?基本初等函数的导数公式(1) C 0(C 为常数)；(2) (x n) (n Q ) ；( 3) (sin x)(4) (cos x) ；(5) (a x) (6) (e x)(7) (log a x) (8) (In x) _________________________ 6?两个函数的四则运算的导数若u(x)、v(x)的导数都存在，则(1) (u v) _______________ (2) (u?v)(J(4) (mu) m(u) (m 为常数)7?复合函数的导数设u g(x)在点x处可导，y f (u)在点u g(x)处可导，则复合函数f ［g(x):在点x处活动_:基础练习1、若f(x) xe x,则f/(1)2、曲线y xln x在点(e,e)处的切线与直线x ay 1垂直，则实数a的值为_____________________________ .3 1 2 23、某质点的位移函数是s(t) 2t gt (g 10m/s ),则当t 2s时，它的加速度是__________________________________24、已知函数y f (x)在点(2，f (2))处的切线方程为y 2x 1,则函数g(x) x2 f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为____________________________________________________________ .5、函数y xcosx sin x 的导数为______________________ .考点一利用导数的定义求函数的导数例1 . 一质点运动的方程为s= 8- 3t2.(1) 求质点在［1,1 + A t:这段时间内的平均速度；(2) 求质点在t = 1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)？2 (1) y x2 sin xx (2) y ex1(变式训练)求下列函数的导数e1x 21 1(1) y e ?lnx⑵ y x(x亍)x x (3) y In(2x 5)考点二导数的运算例2?求下列函数的导数考点三导数的几何意义例3、(1)曲线y x3 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____________________(2)设函数f(x) g(x) x2,曲线y g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y 2x 1 则曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为_________________________( 变式训练) (1) 曲线y x(3lnx 1) 在点(1,1)处的切线方程为1(2)直线y -x b 与曲线y21 3 4 (3 ) 已知曲线y —x33 3 1x Inx 相切，贝V b 的值为2(1)求曲线在点P (2, 4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2, 4)的切线方程;(4)已知曲线C f(x) = x3—ax+ a,若过曲线C外一点A(1,0)弓I曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为 ___________。
高考总复习精品课件14导数的概念及其运算(1)
3
y
(lnx)( x 2
1) (x2lnxo(x2 1)2 Nhomakorabea1)
1 (x2 1) lnx 2x x
(x2 1)2
x2
1 x(x2
2x2 lnx 1)2
;
4 y 3sin2x2 sin2x 6sin2 2xcos2x.
[反思感悟] 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导 法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清,也是 导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运 算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求 导运算,才能充分调动思维的积极性,在解决新问题时才能举 一反三,触类旁通,得心应手.
技法二 先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. [解题切入点] 对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学 不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx 来表示的式子, 然后再按照商的求导法则来求导即可求解.
[解]因为y cotx cosx , sinx
即f′(x0)
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
lim f (x x) f (x) .
x0
x
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
技法一 活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)•„•(x-2006),则 f′(0)=________.
[解析]
f x f 0 f x
导数的概念和计算优秀课件
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4
（1）曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . 1 ( （2）过曲线y=cosx上的点 3 , 2 ) 且与过这点的切线垂直的 1 2 3 y ( x ) 切线方程为 . 2 3 3 （3）设l1为曲线y=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线 y=cosx在点 ( （4）一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度是 时间段（3,3+Δt）中，相应的平均是 加速度是 2 6+△t 6 0
物体运动的加速度a=s〞(t)
练习1：(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬时速 度（用定义法求） 解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
s v ( t 10 ) 10 lim lim t t 0 t 0
联立方程①，②，③解得a=3,b=-11,c=9
例题2.求过点（2，0）且与曲线y=
1 相切的直线方程。 x
解：设所求切线与曲线的切点为P（a，b） ∴
y xa
1 2 a
1 y b (xa ) 所求切线方程为 2 a ∵点（2，0）在切线上，代入整理，得a2b=2-a ------① 1 y 又∵P（a,b）在曲线 上，∴ab=1 ------------② x 联立①，②解得 a=1,b=1
2.可导与连续的关系
函数在某点处可导是函数在该点处连续的充分不必要条件。
3.函数可导与曲线的切线是否存在的问题
函数在某点处可导是函数在该点有切线的充分不必要条件。
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
导数的概念及导数的运算14
如皋市薛窑中学2014届高三理科数学一轮复习导数的概念及导数的运算【考点解读】导数的概念：A 级导数的几何意义：B 级导数的运算：B 级简单的复合函数的导数：B 级【复习目标】1•了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；2.理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数 y=c , y=x , y=x 2, y=x 3, y 丄，y=仮的导数; x3•了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。
活动一：基础知识1 •平均变化率一般地，函数f(x)在区间［x 1,X 2］上的平均变化率为2 .函数f(x)在X x 0处的导数设函数f(x)在区间(a,b )上有定义，x 0 (a,b)，当 x 无限趋近于0时，比值一卩 __________________X无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点X x 0处可导，并称该常数 A 为函数f(x)点X X 0处的 _______ ，记作3 •导数的几何意义 导数f(X 0)的几何意义就是曲线 y f (x)在点(X 0, f (X 0))处的4.导函数(导数)若f(x)对于区间(a,b )内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量 X 的变化而变化， 因而也是自变量 X 的函数，该函数称为 _____________________ ，记作 __________ 。
5 •基本初等函数的导数公式 6. 两个函数的四则运算的导数(mu ) m(u) (m 为常数) 7. 复合函数的导数设U g(x)在点X 处可导，y f (u)在点u g(x)处可导，则复合函数 f ［g(x)］在点X 处 可导，则 f [g(x)] f (u)?g (x)。
(7)C 0(C 为常数);(2) (x n ) (cos X)；(5)(a x ) (lOg a X) (8) (In X)(n Q )；(3)(sin x) (6) (e x ) 若 u(x)、 v(x)的导数都存在，则(1) (u v)(u?v)(3) Uv活动二：基础练习1、若 f(x) xe x ,贝yf /(1) ___________ .曲线y xln X 在点(e,e)处的切线与直线x ay 1垂直，则实数a 的值为 ________ 某质点的位移函数是 s(t) 2t 3 ［gt 2 (g 10m/s 2),则当t 2s 时，它的加速度是 2 已知函数y f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为y 2x 1,则函数 g(x) x 2 f(x)在点(2, g(2))处的切线方程为 __________________ . 函数y xcosx sin X 的导数为 _______________ . 2、 3、 4、 5、 考点一利用导数的定义求函数的导数 例1.一质点运动的方程为 s = 8-3t 2.⑴求质点在［1,1 + A t ］这段时间内的平均速度; (2)求质点在t = 1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解 )• 考点二导数的运算 例2.求下列函数的导数 (1) y x 2 sin X e x 1 ⑵y 厂 y In (2x 5) (变式训练)求下列函数的导数(1)y e x ?|nx 2(2) y x(x (3)y J 3 x11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是x2,曲线y g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y 2x 1f (1))处的切线的斜率为(变式训练) (1)曲线y x(3ln x 1)在点(1,1)处的切线方程为(2)直线y b与曲线y Inx相切，贝y b的值为(3 )已知曲线(1)求曲线在点1 3-x3P( 2，4o34)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程;考点三导数的几何意义例3、(1)曲线y x3(2)设函数f(x) g(x) f(x)在点(1, 则曲线y(4)已知曲线C: f(x)= X3—ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为(5)已知曲线y= 3x —X3及点P(2,2)，则过点P的切线条数为。
导数概念与运算
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数PPT课件
7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
高三数学导数的概念与运算
，只见那上面悬浮飘动着壮观的九块大巨石，这九块大巨石一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍巍巨树顶部十分奇异的计量仪器
牛毛形天光计量仪正射出九
束紫罗兰色的奇光，把九块大巨石装点的异常神奇华丽……而这次创意表演的内容就是要把肥猫转化制做成老虎，并要求其中的十项主要指标至少要达到超级水准！随
着二声礼炮的轰响，无数漂亮的小精灵拖着二缕深黄色的彩烟直冲天空……蘑菇王子站起身高声喝道：“本人蘑菇王子！太阳系的地球村！这次要让你们知道什么是森
(sin x)' cos x ； (cos x)' sin x ；
(ln x)' 1 x
；(log a
x)'
1 x
log a
e；
(e x )' e x ； (a x )' a x ln a 。
5．导数的四则运算法则：
[u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
[u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x)
的导函数，
记作
f
/ (x)
＝
y/
＝
lim y x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
2．求导数的方法：
（1）求函数的增量⊿y；
y
（2）求平均变化率 x ；
（3）求极限 lim y 。
x0 x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处 的切线的斜率，即斜率为 f / (x0 ) 。过点P的切
14.1导数的概念与运算 高三备课组
知识提要： 1．导数的概念：
导数的概念及运算 经典课件(最新)
lim
h0
f（x0＋h）－h f（x0－h）＝(
)
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
(2)用定义法求函数 f(x)＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数．
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【解析】 (1)f′(x0)＝－3，
则 lim h 0
f（x0＋h）－f（x0－h） h
＝
f（x0＋h）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－h）
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导数的概念及运算 课件
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【最新考纲】
1．导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导 数． (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求 简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
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(3)导数定义
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)等价于
lim
x0
f（x）x－－fx（0 x0）＝f′(x0)．
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[强化训练 1.1] (1)(2019 年福建闽侯二中期中)已知函数 f(x)＝2ln3x＋8x＋1，则
lim
x0
f（1－2ΔxΔ）x －f（1）的值为(
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(4)y′＝（lnx）′（x2（＋x12＋）1－）ln2x（x2＋1）′
＝1x（x（2＋x21＋）1－）22xlnx＝x2（x（1－x22＋ln1x））2＋1. (5)令 u＝2x－5，y＝lnu，
则 y′＝(lnu)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5，即 y′＝2x－2 5. 【反思·升华】 求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的 步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化 简或变形，从而使求导运算更简单．
(完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。
若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。
注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。
如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。
函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。
如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。
2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
2023年新高考数学大一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版)
专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题 【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（ ）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（ ） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （ ）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（ ） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（ ） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（ ） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（ ） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（ ） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数 （1）42356y x x x --=+； （2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-； （4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+， 直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。
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4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
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[反思感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以 下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐
第三模块导数及其应用
第十四讲导数的概念及其运算
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回归课本
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1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim , x 0 x 0 x x
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切线方程 1 3 4 2 y x0 x 0 x x0 , 3 3 2 3 4 2 即y x 0 x x0 . 3 3 2 点P 2, 4 在切线上, 4 2x 0 2 3 4 2 x0 , 即x 3 3x 0 0 4 0, 3 3 2 2 x3 x 4x 0 0 0 4 0,
2
2 sin2x 6sin 2xcos2x.
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[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进 行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正 确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判 断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和 掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准 确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解
(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整理得结果.
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2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数 真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理 式或整式求解更为方便.
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【典例2】求下列函数的导数 : 1 y x 2sinx;
2 x0 x 0 1 4 x 0 1 x 0 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
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2 3 设切点为 x , y , 则切线的斜率 k x 0 0 0 4, x 0 2.
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)
f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.
答案:A
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5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程 为( )
A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,
'
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注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如 [f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.
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5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对 应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).
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注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
y 若 lim 存在 x 0 x
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.
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2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-
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(lnx)( x 2 1) lnxo( x 2 1) 3 y ( x 2 1) 2 1 2 ( x 1) lnx 2 x x ( x 2 1) 2 x 2 1 2 x 2 lnx ; 2 2 x( x 1)
4 y 3 sin2x
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1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
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[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-x[x2+(b+2)x+b+c].
由f′(x)=0
即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手.
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类型三
导数的几何意义及应用
解题准备:求曲线切线方程的步骤是: ①求导数f′(x); ②求斜率k=f′(x0); ③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x) 在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,
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[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出 y , x 然后分离出与Δx无关的量,再求解.
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类型二
利用求导公式求导数
解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征;
同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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1 3 4 【典例3】已知曲线y x . 3 3 1 求曲线在点P 2, 4 处的切线方程;
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
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[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他 的公共点.
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错源一
因忽视解题顺序而致错
1 1 在x 4处的导数. 1 x 1 x
【典例1】求函数f x
1 2 [错解]因为f 4 1 , 所以f 4 0. 3 3
1 x 1 x 2 [正解]因为f ( x) , 1 x 1 x 1 x 2 2 所以f x , f 4 . 2 (1 x) 9
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错源二
忽视复合函数的求导
【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数, 若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
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(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
f ( x x) f ( x) lim . x 0 x
1 ; x 1 . xlna
8 (logax)
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4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) (3) (g(x) 0). 2 [ g ( x)] g ( x)
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考点陪练
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1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足() A.Δx>0 C.Δx≠0 B.Δx<0 D.Δx=0
解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是 “附近”的意义. 答案:C
评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.
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2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平 均速度为( A.0.41B.3 C.4 D.4.1 )
s 3 2.12 (3 22 ) 解析 : 4.1. t 2.1 2
答案:D
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f (1 x) f (1) 3.设函数f(x)可导,则 lim x 0 x
x x x 2 y 3 e 2 e;
lnx (3) y 2 ; x 1 3 4 y sin 2x.
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[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3•ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)•(3e)x-2xln2;