第十四讲导数的概念及其运算

第三模块导数及其应用
第十四讲导数的概念及其运算
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1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim , x 0 x 0 x x
同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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1 3 4 【典例3】已知曲线y x . 3 3 1 求曲线在点P 2, 4 处的切线方程;
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
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[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
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[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出 y , x 然后分离出与Δx无关的量,再求解.
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类型二
利用求导公式求导数
解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征;
x x x 2 y 3 e 2 e;
lnx (3) y 2 ; x 1 3 4 y sin 2x.
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[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3•ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)•(3e)x-2xln2;
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1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A. 答案:A
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类型一
利用导数定义求导数
解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方 法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.
4 【典例1】用定义法求函数y 2 的导数. x
y0=f′(x0)(x-x0).
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3.几种常用函数的导数 (1)c′=0(c为常数); (2)(xn)′=nxn-1(n∈N); (3)(sinx)′=cosx; (4)(cosx)′=-sinx; (5)(ex)′=ex;
(6)(ax)′=axlna;
7 (lnx)
标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他 的公共点.
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错源一
因忽视解题顺序而致错
1 1 在x 4处的导数. 1 x 1 x
【典例1】求函数f x
1 2 [错解]因为f 4 1 , 所以f 4 0. 3 3
2 x0 x 0 1 4 x 0 1 x 0 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
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2 3 设切点为 x , y , 则切线的斜率 k x 0 0 0 4, x 0 2.
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2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平 均速度为( A.0.41B.3 C.4 D.4.1 )
s 3 2.12 (3 22 ) 解析 : 4.1. t 2.1 2
答案:D
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f (1 x) f (1) 3.设函数f(x)可导,则 lim x 0 x
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(lnx)( x 2 1) lnxo( x 2 1) 3 y ( x 2 1) 2 1 2 ( x 1) lnx 2 x x ( x 2 1) 2 x 2 1 2 x 2 lnx ; 2 2 x( x 1)
4 y 3 sin2x
4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
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[反思感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以 下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐
1 ; x 1 . xlna
8 (logax)
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4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) (3) (g(x) 0). 2 [ g ( x)] g ( x)
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4 4 4x(2 x x) [解]y 2 2 , 2 2 ( x x) x x ( x x) y 2 x x 4 2 , 2 x x ( x x)
y 2 x x 8 lim lim 4 2 3. 2 x 0 x x 0 x x x x
'
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注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如 [f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.
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5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对 应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).
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[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-x[x2+(b+2)x+b+c].
由f′(x)=0
即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
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[剖析]f(x)在点x0处的导数f′(x0),实际上是导函数f′(x)在x=x0 处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数f′(x0), 应先求f(x)的导函数f′(x),再将x=x0代入f′(x)求值,顺序不能 颠倒.
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(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整理得结果.
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2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数 真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理 式或整式求解更为方便.
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【典例2】求下列函数的导数 : 1 y x 2sinx;
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注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变 量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
y 若 lim 存在 x 0 x
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.
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2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-
决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手.
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类型三
导数的几何意义及应用
解题准备:求曲线切线方程的步骤是: ①求导数f′(x); ②求斜率k=f′(x0); ③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x) 在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
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(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
f ( x x) f ( x) lim . x 0 x
等于( ) A.f′(1) C.f′(1) 答案:A B.3f′(1) D.f′(3)
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4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,
1 x 1 x 2 [正解]因为f ( x) , 1 x 1 x 1 x 2 2 所以f x , f 4 . 2 (1 x) 9
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错源二
忽视复合函数的求导
【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数, 若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
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切线方程 1 3 4 2 y x0 x 0 x x0 , 3 3 2 3 4 2 即y x 0 x x0 . 3 3 2 点P 2, 4 在切线上, 4 2x 0 2 3 4 2 x0 , 即x 3 3x 0 0 4 0, 3 3 2 2 x3 x 4x 0 0 0 4 0,
2
2 sin2x 6sin 2xcos2x.
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[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进 行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正 确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判 断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和 掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准 确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解
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考点陪练
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1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足() A.Δx>0 C.Δx≠0 B.Δx<0 D.Δx=0
解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是 “附近”的意义. 答案:C
评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.
)
Baidu Nhomakorabea
f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.
答案:A
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5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程 为( )
A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,