苏教版 导数的概念及运算

导数的概念及运算

一、填空题

1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________.

解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e

2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()

2x ＋x 2e x . 答案 (2x ＋x 2)e x

3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________.

解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1

x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1

4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.

解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1

5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.

解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，23，故

围成的三角形的面积为12×1×23＝1

3.

答案 13

6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x

x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 24. 答案

1－ln 24

7.(2016·南师附中调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.

解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－1

3，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0

8.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2

＋b

x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且

该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______. 解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－7

2.由题

意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.

答案 －3 二、解答题

9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；

(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.

又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－1

4.

∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，

∴直线l 的方程为y ＋4＝－1

4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.

10.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；

(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.

解 (1)y ′＝2x ＋1，f ′(1)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )， 即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.

因为l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －22

9. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1

6，y ＝－52.

又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫－223，0，

S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪1＋223＝12512.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1

x (x ＞0)上点P 处的

切线垂直，则P 的坐标为________.

解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1

x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝ －1

m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的