导数的概念与计算练习题带答案
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。
导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)
导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数的概念及计算、定积分检测题
导数的概念及计算、定积分检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析：选D ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛0 1 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B. [－1,0] C. [0,1]D. ⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1，由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2， 令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－12.故选A.6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 021(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选D ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…， ∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 021＝505×4＋1，∴f 2 021(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x .7．已知函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选C 由f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，得f ′(x )＝x sin x ＋12x 2cos x ＋cos x －x sin x＝12x 2cos x ＋cos x . 由此可知，f ′(x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1，故选C.8．[数学抽象、逻辑推理]若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.二、填空题（每小题5分，共25分）9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________． 解析：S ＝⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋∫π20cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x |π20＝12＋1＝32. 答案：3210．(2020·重庆质检)若曲线y ＝ln (x ＋a)的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋e b ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln (x ＋a)，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b>0，∴a>2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)11.若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay(a>0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P(x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e .答案：2e12.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f (x )x，则g ′(4)＝________.解析：g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2.由已知图象可知，直线l 经过点P (0,3)和Q (4,5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4,5)在曲线y ＝f (x )上，所以f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′(4)－f (4)42＝4×12－542＝－316.答案：－31613．设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、综合题（3个题，共35分）14．（11分）已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.15.（12分）设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2. ∴当x <0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x >0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．16．（12分）已知函数f (x )＝ax ＋bx (x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．16.解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －bx 2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝34，3×2－4f (2)＋4＝0.即⎩⎨⎧a －b 4＝34，5－2⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20， 曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20(x －x 0)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0. 即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，2x 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0,2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0,0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．。
导数练习题(含答案)
导数练习题(含答案)导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A 193B 103C 163D 1332 已知直线1y kx =+与曲线3y xax b =++切于点（1，3），则b 的值为A 3B -3C 5D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()xa - B 223()xa + C 223()xa - D 222()xa +4 曲线313y xx=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 23 5 已知二次函数2y axbx c=++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是A 211()1x x x '+=+ B 21(log )ln 2x x '= C 3(3)3log xxe'=⋅ D2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为A 6πB 34πC 4πD 3π9 曲线3231y xx =-+在点(1,1)-处的切线方程为A 34y x =-B 32y x =-+C 43y x =-+ D45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为A 36t ∆+B 36t -∆+C 36t ∆-D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A 5B 25 5 D 0 13 过曲线32y xx =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为A (0,1)(1,0)-或B (1,4)(1,0)--或C (1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y xx =-+上移动，设点P 处切线的倾斜A BC D角为α，则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________ 16函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数 （1）1sin 1cos x y x-=+ (2)5sin x x xy ++=(3)11x xy x x=-+ (4)tan y x x=⋅20 已知曲线21:Cy x =与22:(2)Cy x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
第1课时导数的概念及运算习题和答案详解
1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x .2．(2019·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．(2019·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线y ＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∴f′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)，∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理，得(a －1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f′(1)＝－1，故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019 答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f′(x)＝1x ＋1，故f′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x ＋x 答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx 是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x 是偶函数，图像关于y 轴对称；D 项中，f ′(x)＝e x ＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 由f′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f′(x)的图像大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f′(0)＝1，故选C. 10．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析 因为f′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.11．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B. 12．(2019·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( )A ．ln2B ．2ln2C ．2 D. 2答案 A解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x ＋ae －x ＝e －x ＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x ，所以f′(x)＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f′(0)＝________． 答案 －120解析 f′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.16．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 y ＝－2x －1解析 由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f′(x 0)＝g′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 18．(2019·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。
【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)
【新高考数学】导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一 导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f 。
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导数的概念与计算练习题带答案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ） A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0选B ．2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)解：由题意知，函数f （x ）＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′（x 0）＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f （x ）中可得P （1,0）． 选D ．3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2解：f （x ）的定义域为（0，＋∞），f ′（x ）＝ln x ＋1，由f ′（x 0）＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 选B ．4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e解：∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 选A ．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ） A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，…∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x .选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．解：y ′＝e x ，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =- ∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -= ∵y ＝x e 1－cos x ，∴y ′＝e 1－cos x ＋x e 1－cos x （sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x .（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：x （－1,0） 0（0，＋∞） f ′（x ）＋ 0 －f （x ）因此f （x （2）证明 由（1） 知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增． 因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln（x ＋1）≤x .11．设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x.（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x 2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0），即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0）． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）． 所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6. 12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围． 解 （1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞），f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），(0,ln 2)(,0)-∞(ln 2,)+∞（2）由（1）可知因为，(0)1f =(2)4241f e e e =+-=-<所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．。