高中导数的概念与计算练习题带答案
高考数学必考点专项第7练 导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算一、单选题1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆B. 96t t+∆+∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆2. 设()f x 是可导函数，且000()(2)lim2x f x f x x x∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )A. 12B. 1-C. 0D. 2-3. 设，，，…，，则( )A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为( )A.21e - B.4eC.21e + D.41e + 5. 下列求导运算正确的是( )A. 2313(ln )x x x x+'=+B. 2()2x x x e xe '=C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-D. 211(ln )22ln 2log x x +'=+6. 设函数的导函数为，则图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )A. [,)4π+∞B. 5[,)412ππC. [,)42ππD. [,)43ππ8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3211()233g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )A. 0B. 1C. 2D. 49. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<二、多选题10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确的有( )()g xA. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________.13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2f π=__________.14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________15. 已知函数，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数k 的取值范围为__________.16. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 四、解答题()()f x f x ='()f x ()f x18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若()1f x ，求a 的取值范围.答案和解析1.【答案】A解：平均速度为22(3)3(33)633t v t t ++-+==++-，故选.A2.【答案】B解：由题得：0000020()(2)(2)()lim2lim 22x x f x f x x f x x f x x x∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B3.【答案】D解：根据题意，，，，，，则有，，…，所以，则.故选.D4.【答案】A解：()2ln xf x e x x x '=--， 故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--， 即(1)2y e x =-+，令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：21x e =--， 故围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--， 故选：.A5.【答案】C解：2313(ln )x x x x+'=-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；211(ln )2ln 2log x x +'=，D 错误． 故选：.C6.【答案】D解：因为4()cos f x x x =--，所以3()sin 4f x x x '=-，所以3()sin 4g x x x =-， 所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称， 而函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D7.【答案】C解：()ln xf x x b=+，11()f x x b∴'=+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444b a f a a b a b a b a b ∴'=+=++=+++=， 当且仅当2a b ==取等号成立，∴曲线()ln xf x x b=+在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42ππ 故选.C8.【答案】D解：3211()233g x x x x =-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-， 令()0g x ''=，得1x =， 又3211(1)1121133g =⨯-+⨯-=， 所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=， 所以(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，故选：.D9.【答案】D解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知000x x e b e x a-=-，整理得：00000x x xe b x e ae --+=有两解，令()x x x g x e b xe ae =--+，()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a即，解得b a e >，又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D10.【答案】AC解：A 中，若函数()f x 是奇函数， 则，则()f x '是偶函数，故A 正确；B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；C 中，若函数()f x 是周期函数， 则，则()f x '也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但是周期函数，故D 错误；故选.AC11.【答案】2210x y π+-+=解：已知2sin cos y x x =+，2cos sin y x x ∴'=-，，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=12.【答案】4解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000).x x > ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4.= 故答案为：4.13.【答案】0解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3f x f x x x x π'=''+'()(cos cos 22sin sin 2)3f x x x x π='-，所以227()()(coscos2sin sin )()33333343f f f πππππππ'='-=-'， 所以()03f π'=，所以()0f x =，所以()02f π=，故答案为0.14.【答案】4π 解：()sin ()cos f x x f x x =∴'=，令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，，解得4x π=，所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为.4π 故答案为：.4π 15.【答案】解：函数，方程()f x kx =恰有两个实数解，∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ， 切线斜率为01k x =， 所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e=， 结合图象可知，实数k 的取值范围为，故答案为16.【答案】解：由题意，，则， 所以点和点，12,x x AM BN k e k e =-=， 所以12121,0x x e ex x -⋅=-+=， 所以， 所以，(0,1)同理，所以故答案为：17.【答案】e2解：对于x y e =，设切点为(,)nn e ， 因为x y e '=，故切线斜率n k e =，故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)， 所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=， 因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e，代入ln y x m =+得11ln m e =+， 所以 2.m =故答案为：e ；2.18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；2(2)()369f x x x '=-++，可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+， 即为15270.x y ++=19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+， 所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-，即ln ln 1a x x +-，设()ln 1h x x x =+-，11()1x h x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a ，1a ，即a 的取值范围为[1,).+∞。
高中导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算421 若函数 f(x) ax bx c ，满足 f '⑴ 2，贝y f'( 1)()A .1 B . 2C . 2D . 02•已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( )A . (0,0)B . (1,1)C . (0,1)D . (1,0)3.已知f(x)xln x ，若 f '(x o )2，则 x o ()2In 2 D . In2A . eB . eC .24.曲线y er 在点 A(0,1)处的切线斜率为()A . 1B . 2C . e 1D .-e5.设 f o (x)sin x , f'x)f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x),…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X )等于()A . sin xB . si nxC . cosxD . cosx 6.已知函数f (x)的勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)()A . eB . 1C . 1D . e7.曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为_______________________ &过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _______________ ，切线的斜率为 9•求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式:(3) f (x) x [ax 2 ln(1 x)2(5) yxe 1 cosx(1) f (x) ax 12ln xx(2) f(x)xe 21 ax(4) y xcosx sin x(6) y10. 已知函数 f(x) In(x 1) x .(I)求f (x)的单调区间；11. 设函数f(x) ax -，曲线y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为x(I)求f (x)的解析式；(n)证明：曲线 y f (x)上任一点处的切线与直线x 0和直线 面积为定值，并求此定值.12. 设函数 f(x) x 2 e x xe x .(I)求f (x)的单调区间；(n)若当x [ 2,2]时，不等式f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围.(n)求证：当 x1时，1In(x 1) x .x 17x 4y 12 0 .y x 所围成的三角形无忧教育假期培训导数作业1答案 导数概念与计算• •• X0= 1，将其代入f (x )中可得 P (1,0).3.已知 f (x) xlnx ,若 f '(x 。
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线f(x)＝·e x－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．【答案】y＝ex－【解析】因为f′(x)＝·e x－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝e x－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.2. [2014·辽宁模拟]曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1【答案】D【解析】由题意得y＝1＋，所以y′＝，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.3.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B5.设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.【答案】(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解析】(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：，在此不等式中依次取，得：，，，，，…………………………，将以上不等式相加得：，即.【考点】导数及其应用.6.已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)详见解析(3)【解析】(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.试题解析：(1)由已知， 1分，所以斜率， 2分又切点，所以切线方程为)，即故曲线在处切线的切线方程为。
高考数学导数的概念与运算选择题
高考数学导数的概念与运算选择题1. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率2. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列关于导数的定义，错误的是（）A. 函数f(x)在某一点x0处的导数定义为f(x0+h)-f(x0)/h，当h趋近于0时B. 导数表示函数在某一点的瞬时变化率C. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率D. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率4. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值25. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-16. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率7. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值28. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-19. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率10. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值211. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-112. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率13. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值214. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-115. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率16. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值217. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-118. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率19. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值220. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-121. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率22. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1D. 最大值3，最小值223. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-124. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率25. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值126. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-127. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率28. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值229. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-130. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率31. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值232. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-133. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率34. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值235. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-136. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率37. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值238. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-139. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率40. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值241. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-142. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率43. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值244. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1D. y=-2x-145. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率46. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值247. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+148. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率49. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值250. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-1。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
第01讲 导数的概念及运算(原卷版)
第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
高中导数试题题型及答案
高中导数试题题型及答案1. 计算函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)在点\( x = 1 \)处的导数。
答案：首先求导数\( f'(x) \)，得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
然后将\( x = 1 \)代入，得到\( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 \)。
2. 已知函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求其在\( x =\frac{\pi}{4} \)处的导数。
答案：求导数\( g'(x) \)，得到\( g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \)。
然后将\( x = \frac{\pi}{4} \)代入，得到\( g'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)。
3. 判断函数\( h(x) = x^2e^x \)在\( x = 0 \)处的单调性。
答案：求导数\( h'(x) \)，得到\( h'(x) = 2xe^x + x^2e^x \)。
然后将\( x = 0 \)代入，得到\( h'(0) = 2(0)e^0 + 0^2e^0 = 0 \)。
由于导数为0，无法判断单调性，需要进一步分析。
4. 给定函数\( k(x) = \ln(x) \)，求其在区间\( (1, 2) \)上的单调区间。
答案：求导数\( k'(x) \)，得到\( k'(x) = \frac{1}{x} \)。
由于\( k'(x) > 0 \)对于所有\( x > 0 \)成立，因此函数\( k(x) \)在区间\( (1, 2) \)上单调递增。
第1课时导数的概念及运算习题和答案详解
1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x .2．(2019·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．(2019·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线y ＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∴f′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)，∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理，得(a －1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f′(1)＝－1，故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019 答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f′(x)＝1x ＋1，故f′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x ＋x 答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx 是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x 是偶函数，图像关于y 轴对称；D 项中，f ′(x)＝e x ＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 由f′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f′(x)的图像大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f′(0)＝1，故选C. 10．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析 因为f′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.11．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B. 12．(2019·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( )A ．ln2B ．2ln2C ．2 D. 2答案 A解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x ＋ae －x ＝e －x ＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x ，所以f′(x)＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f′(0)＝________． 答案 －120解析 f′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.16．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 y ＝－2x －1解析 由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f′(x 0)＝g′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 18．(2019·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。
导数练习题及答案
导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。
在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。
本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。
一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。
这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。
这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。
二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
导数的概念试题含答案
导数的概念一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．2C D3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）C D4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（），C D．37．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）或或D．或7310．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）．分米/分钟13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）15．设f（x）是可导函数，且=（）．16．若f′（x0）=2，则等于（）．二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=_________．18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=_________．20．如果函数f（x）=cosx，那么=_________．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）_________f（1）（填“＞”“＜”或“=”）2013年10月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．的一条切线的斜率为﹣，解得2C D3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）C Dy=﹣即切线斜率为﹣4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．x，即曲线在点处的切线方程是坐标轴的交点是（，﹣，围成的三角形面积为，故选5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）C D．，=37．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（））=8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）或或D．或7x或仅有一解，由时，切线方程为310．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞，都有＞+x11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）表示（表示（12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）．分米/分钟t=时的导数值，就是注入水的高度在h9.3t=π•=27t，=t==313．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）15．设f（x）是可导函数，且=（）．=2=16．若f′（x0）=2，则等于（）．=二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．+118．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为1．等于）的值代入到）的值．）（（sin+cos（=））cos+sin=﹣+19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=﹣．20．如果函数f（x）=cosx，那么=．，再求出求解即可．=sin=，故答案为：21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）＞f（1）（填“＞”“＜”或“=”）。
《导数》高考试题及答案
《导数》高考试题及答案导数是高中数学的一个重要概念，也是高考数学考试中经常涉及的知识点之一。
本文将为你详细介绍导数的相关内容，并提供一些高考试题及其答案。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点上的变化率，或者说是函数曲线在该点的切线斜率。
如果函数f(x)在点x=a处导数存在，则记为f'(a)或dy/dx|（x=a）或df/dx|（x=a）。
导数的几何意义是函数曲线在该点的切线的斜率，也可以理解为函数的瞬时变化率。
二、导数的计算方法1. 通过定义法计算导数：根据导数的定义，可以通过求极限的方式计算导数。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以表示为以下极限表达式：f'(a)=lim（h→0）(f(a+h)-f(a))/h2. 导数的运算法则：- 常数规则：对于常数c，导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
- 变量乘法规则：对于函数y=x^n，其中n为常数，则f'(x)=nx^(n-1)。
- 加法、减法法则：对于函数f(x)和g(x)，则(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
- 乘法法则：对于函数f(x)和g(x)，则(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
- 商法则：对于函数f(x)和g(x)，则(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
3. 高阶导数：如果函数f(x)的导函数f'(x)也可导，那么它的导函数f''(x)称为原函数f(x)的二阶导数。
类似地，可以计算f(x)的更高阶导数。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，尤其在物理学和经济学等领域中扮演着重要角色。
以下是导数的一些主要应用：1. 极值问题：导数可以帮助确定函数的极值点。
导数的概念及运算练习含答案
第1讲导数的概念及运算一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝() A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A．1 B.32 C.52 D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
高中试卷-专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算(A卷基础篇)【解析版】(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算（A 卷基础篇）（人教A 版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）A ．甲厂B ．乙厂C ．两厂一样D ．不确定【答案】B 【解析】在0t 处，虽然有()()00W t W t =甲乙，但()()00ΔΔW t t W t t -<-甲乙，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．故选：B.2．（2020·全国高二课时练习）若()()000lim 1x f x m x f x xD ®+D -=D （m 为常数），则()0f x ¢等于（ ）A ．m -B ．1C ．mD ．1m【答案】D 【解析】由题意，根据导数的概念可得，()()()()()000000limlim1x x f x m x f x f x m x f x m mf x xm xD ®D ®+D -+D -=¢×==D D ，所以()01f x m¢=.故选：D .3．（2020·全国高二课时练习）某质点的运动规律为23s t =+，则在时间(3,3)t +D 内，质点的位移增量等于（ ）A ．26()t t D +D B ．96t t+D +D C ．23()t t D +D D ．9t+D 【答案】A 【解析】位移增量()222(3Δ)(3)(3Δ)3336Δ(Δ)s t s t t t =+-=++-+=+.故选：A.4．（2020·全国高二课时练习）已知()2xf x x e =+，则()0f ¢=（ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．1【答案】D 【解析】由题意，得()2xf x x e =+¢，则()01f ¢=，故选：D ．5．（2020·河南高三月考（理））设()()22lim 2x f x f x xD ®+D --D =-D ，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4p B ．3pC ．34p D ．23p 【答案】C 【解析】因为()()()022lim222x f x f x f xD ®+D --D ¢==-D ，所以()21f ¢=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34p .故选：C6．（2020·北京高二期末）已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim2x f x x f x xD ®+D -=D （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x D ®D ®+D -+D -¢===D D .故选：B .7．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））过原点作曲线ln y x =的切线，则切线的斜率为（ ）A ．e B ．1eC ．1D ．21e 【答案】B 【解析】设切点坐标为(,)m n ，由ln y x =，得'1y x =，所以切线的斜率为1m ，所以切线方程为1()y n x m m-=-，因为切线过原点，所以10(0)n m m-=-，得1n =，因为切点(,)m n 在曲线ln y x =上，所以ln n m =，解得m e =，所以切线的斜率为1e，故选：B8．（2018·广东高二期末（理））曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】2y x x =+的导数为21y x =+′，可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113´+=.故选：C.9．（2020·全国高二单元测试）下列导数运算正确的是（ ）A ．()122x x x -¢=×B ．(sin cos 1)cos2x x x +=¢C ．1(lg )x x¢=D ．()12x x --¢=【答案】B 【解析】对于A ，()22ln 2x x ¢=，A 错误；对于B ，22(sin cos 1)(sin )cos sin (cos )cos sin cos2x x x x x x x x x +=¢=¢+¢=-，B 正确；对于C ，1(lg )ln10x x ¢=，C 错误；对于D ，()12x x --¢=-，D 错误．故选：B ．10．（2020·北京海淀区·人大附中高二期末）曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．12D ．12-【答案】A 【解析】由421y x ax =++，得342y x ax ¢=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））曲线ln 2y x x x =+在点（1，2）处的切线方程为_________.【答案】3x-y-1=0【解析】()2f x xlnx x =+Q ，()3f x lnx ¢=+，()1f ¢3=，\切线的方程是23(1)y x -=-，即310x y --=，故答案为310x y --=．12．（2020·广东广州市·华南师大附中高三月考（文））曲线sin 2cos y x x =+在点(),2p -处的切线方程为_____.【答案】20x y p ++-=【解析】由sin 2cos y x x =+得cos 2sin y x x ¢=-，则曲线sin 2cos y x x =+在点(),2p -处的切线斜率为cos 2sin 1x k y pp p ===-=-¢，因此所求切线方程为()2y x p +=--，即20x y p ++-=.故答案为：20x y p ++-=.13．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）已知()2()21f x x xf =+¢，则()1f ¢等于__________.（用数字作答）【答案】-2【解析】()2()21f x x xf =+¢Q ，()()221f x x f ¢¢\=+，()()12121f f ¢¢\=´+，解得()12f ¢=-.故答案为：2-.14．（2020·全国高二单元测试）已知曲线y ＝x 2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．【答案】5 4.1 【解析】当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝2222(2)121(21)251y x x x +--++-===V V V V当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝22(20.1)1210.1y x +--+=V V ＝4.1.15．（2012·全国高二课时练习）函数32()2354f x x x x =+-+的导数()f x ¢=_______________________，(3)f ¢-___________.【答案】2665x x +- 31 【解析】函数()322354f x x x x =+-+的导数()2665f x x x ¢=+-()236(3)6(3)531f \-=´-+´--=¢16．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数()2xf x =，则()f x ¢=__________，设()()()1g x g f x x ¢=×-，则()1g ¢=_________．【答案】2ln 2x 12ln 21-【解析】()2x f x =Q ，求导得()2ln 2x f x ¢=，()12ln 2f ¢\=，()()()1g x g f x x ¢=×-Q ，求导得()()()11g x g f x ¢¢¢=×-，()()()()11112ln 211g g f g ¢¢¢¢\=×-=×-，解得()112ln 21g =¢-.故答案为：2ln 2x ；12ln 21-.17．（2020·浙江高三其他模拟）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y x b =+是函数()ln f x x =的切线，也是函数()x k g x e +=的切线，则实数b =____，k =_____．【答案】-1 -2 【解析】由题意可知1(ln )1x x¢==，故1x =，则函数()f x 的切点为(1,0)，代入y x b =+，得1b =-；又()1x k x ke e¢++==，故x k =-，则函数()g x 的切点为(,1)k k ---，代入()x k g x e +=，得2k =-．故答案为：－1；－2．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·日喀则市第三高级中学高二期末（文））（1）求导：33cos 243ln x y x x x =+-+（2）求函数ln y x x =在1x =处的导数.【答案】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x¢=-+-×+；（2）1；【解析】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x¢=-+-×+；（2）ln 1(1)1y x y ¢¢=+Þ=；19．（2020·北京市房山区房山中学高二期中）()32f x ax bx cx d =+++，且()03f =，()00f ¢=，()13f ¢=-，()20f ¢=；求a b c d ,,,的值．【答案】1,3,0,3a b c d ==-==【解析】()32f x ax bx cx d =+++Q ,2()32f x ax bx c¢\=++由()03f =,可得3d =;由()00f ¢=,可得0c =;()13f ¢=-，()20f ¢=；可得3231240a b a b +=-ìí+=î,解得:13a b =ìí=-î,则32()33f x x x =-+,即1,3,0,3a b c d ==-==.20．（2020·全国高三专题练习（文））已知P （﹣1，1），Q （2，4）是曲线y=x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．【答案】4x ﹣4y ﹣1=0．【解析】设切点坐标为M （x 0，y 0），则切线斜率为2x 0，又直线PQ 的斜率为k PQ =4121-+=1，∵切线与直线PQ 平行，∴2x 0=1，∴x 0=12，∴切点为（12，14），切线斜率为1．∴切线方程为y ﹣14=x ﹣12即4x ﹣4y ﹣1=0．21．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（文））已知函数()(1)x f x x e ax =--的图像在0x =处的切线方程是0x y b ++=，求a ，b 的值；【答案】1,1a b ==【解析】由()(1)x f x x e ax =--，得'()(1)x x x f x e x e a xe a =+--=-，因为函数()(1)x f x x e ax =--的图像在0x =处的切线方程是0x y b ++=，所以'(0)1f =-，即1a -=-，得1a =，所以()(1)x f x x e x =--，则0(0)(01)01f e =--=-，所以切点坐标为(0,1)-，所以010b -+=，得1b =，综上1,1a b ==22．（2020·全国高二课时练习）求曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积.【答案】13【解析】依题意得22(2)2x x y e e --=´-=-¢，20022x y e -´=¢=-=-，故曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程是22y x -=-，即22y x =-+.直线22y x =-+与y x =的交点坐标是22,33A æöç÷èø，直线22y x =-+与x 轴的交点坐标是(1,0)B ，故直线0,y y x ==和22y x =-+所围成的三角形AOB 的面积等于1211233´´=.。
导数练习题及答案
导数练习题及答案为了帮助学习者更好地理解与掌握导数的概念与计算方法，以下是一些导数练习题及其详细答案解析。
通过解题的过程，读者可以加深对导数的理解，并熟练掌握导数的计算技巧。
题目一：计算函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数。
解答一：对 f(x) = x^3 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 3x^2计算 f'(2) 得到导数的值。
代入 x = 2：f'(2) = 3(2)^2 = 12因此，函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数为 12。
题目二：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数。
解答二：对 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 4x + 3计算 f'(-1) 得到导数的值。
代入 x = -1：f'(-1) = 4(-1) + 3 = -1因此，函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数为 -1。
题目三：计算函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数。
解答三：对 f(x) = e^x 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = e^x计算 f'(1) 得到导数的值。
代入 x = 1：f'(1) = e^1 = e因此，函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数为 e。
题目四：计算函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数。
解答四：对 f(x) = ln(x) 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 1/x计算 f'(3) 得到导数的值。
代入 x = 3：f'(3) = 1/3因此，函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数为 1/3。
通过以上导数练习题的解答，读者可以进一步掌握导数的概念与计算方法。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；#当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；!(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1./3.(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； …(4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ； (3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1);8．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6； (6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数．&(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x .(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1？＝S i n 2x 2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.·(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x .3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.:(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.—6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.!(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2.…(4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 【所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3.(3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x.11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
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导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0选B ．2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)解：由题意知，函数f （x ）＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′（x 0）＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f （x ）中可得P （1,0）． 选D ．3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln2解：f （x ）的定义域为（0，＋∞）， f ′（x ）＝ln x ＋1，由f ′（x 0）＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 选B ．4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e解：∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 选A ．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x . 选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 解：y ′＝e x ，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=-- （2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -=∵y ＝x e 1－cos x，∴y ′＝e 1－cos x＋x e 1－cos x（sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x.（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+． 解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：f ′（x ） ＋0 －f （x ）因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1） 知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增． 因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln （x ＋1）≤x .11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x .（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x 2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）．所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围． 解 （1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞）， f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），（2）由（1）可知因为，(0)1f =，(2)4241f e e e =+-=-< 所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．。