【小初高学习】2011中考数学一轮复习(几何篇)10.三角形、梯形的中位线
数学中考复习课件：三角形和梯形中位线
的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C
移动而R不动时，那么下列结论成立的是
()
C
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
5.直角梯形的中位线为a，一腰长为b，这个腰与底边所
成的角是30°，则它的面积是( B )
A.ab
B. 1 ab
证明：(1)∵AB∥DC ∴S△ADC=S△MDC=S△BDC，
即S1=S2=S3
∴S1= (S2+S3)பைடு நூலகம்
图5-5-7(1)
(2)如图5-5-7(2)所示，若AB与CD不平行，是否有 S1=1/2(S2+S3)?请说明理由.
(2)有
(3)如图5-5-7(3)所示，若AB与CD相交于O点， 问S1与S2、S3有何相等关系?试证明你的结论.
1.梯形的高是6cm，面积是24cm2，那么这个梯形的中
位线长是( C ) A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm
2.梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等
分，则较短底边与较长底边的比为( A )
A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3
D.2∶5
3.如图，EF是梯形ABCD的中位线，则△DEF的面积等 于梯形ABCD面积的( B )
C.
1 4
ab
2
D. 1 ab
3
➢ 典型例题解析
【例1】 如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD垂直相交于O，MN是中位线，∠DBC=30°，求证： AC=MN.
➢ 典型例题解析
【例2】 (1)如图(1)所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， 点E为BC的中点，设△DEA面积为S1，梯形ABCD的面 积为S2，则S1与S2的关系是.
梯形、三角形中位线
梯形、三角形中位线一.梯形、三角形中位线在证明平行、线段相等及线段的倍、半问题中起了重要的作用，对此我们应给予足够的重视。
二.知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三.例题例1.如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。
求证：OE=BE。
分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知3AE=2AC，得AE=AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线。
证明：取AE中点F，连结DF，∵D是AB中点，∴DF是△ABE的中位线∴DF=BE且DF//BE（三角形中位线定理）∵3AE=2AC，∴AE=AC∴AF=FE=EC=AC在△CFD中，∵EF=EC且DF//BE即OE//DF，∴CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）∴OE是△CDF的中位线∴OE=DF∴OE=BE。
说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理。
遇中点，作中位线是常见的辅助线。
例2如图，在梯形ABCD中AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别与BD、AC 相交于M、N。
且AD=20cm，BC=36cm。
求MN的长。
分析：因为EF是中位线，所以EF//AD//BC，EF=(AD+BC)如果能求出EM和NF的长，就可以求出MN的长。
三角形梯形中位线
重点讲解(三角形梯形中位线)知识归纳知识结构重难点分析解题思想释疑解难学法建议知识归纳1．三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和．3．梯形的面积等于中位线与高的积．．返回知识结构本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．返回重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.返回解题思想1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆.2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.返回释疑解难1．三角形中位线定理的证明方法的关键三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有ADFC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE．②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE．③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE ．2．怎样认识梯形中位线梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．3．怎样理解中位线定理三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．5．怎样计算不规则的多边形面积对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．返回学法建议1．学习中要注意概念间的区别．（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念．2．在学习中要注意定理间的联系．（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理；（2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验．。
梯形的中位线定理
梯形的中位线定理在我们的数学世界中，梯形是一种常见的几何图形。
而梯形的中位线定理，则是解决与梯形相关问题的重要工具。
首先，咱们来明确一下啥是梯形的中位线。
梯形的中位线，就是连接梯形两腰中点的线段。
想象一下，一个梯形稳稳地摆在那儿，上底和下底平行着，然后我们找到两腰的中点，把这两个中点连起来，这就是中位线啦。
那么梯形的中位线定理到底说的是啥呢？简单来说，梯形的中位线平行于两底，并且长度等于两底和的一半。
这就像是给梯形穿上了一件量身定制的“规则外套”，只要知道了梯形的上底和下底的长度，就能轻松算出中位线的长度；反之，如果知道了中位线的长度，也能推测出上底和下底长度的关系。
为了更深入地理解这个定理，咱们来做几道实际的题目感受感受。
比如说，有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，那中位线的长度是多少呢？根据定理，中位线长度等于（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5 厘米。
是不是挺简单的？再来看一个稍微复杂点的例子。
已知一个梯形的中位线长 8 厘米，其中上底比下底短 2 厘米，那上底和下底分别是多长呢？咱们设上底为 x 厘米，下底就是 x ＋ 2 厘米。
根据定理，8 ＝（x ＋ x ＋ 2）÷ 2，解这个方程，就能算出 x ＝ 7，所以上底是 7 厘米，下底就是 9 厘米。
梯形的中位线定理在实际生活中也有不少用处呢。
比如，工人师傅要搭建一个梯形的架子，如果知道了中位线的长度和上底或者下底的长度，就能很方便地算出另外一边的长度，从而准确地进行施工。
那咱们来探究一下，为什么梯形的中位线会有这样的性质呢？这就需要用到一些几何知识来证明啦。
我们可以通过作辅助线的方法来证明。
比如说，我们可以把梯形的一腰延长，然后和另一腰构成一个三角形。
通过三角形中位线定理，就能巧妙地证明出梯形中位线的性质。
在学习梯形中位线定理的过程中，大家可千万不能死记硬背，要多做几道练习题，真正理解其中的原理。
只有这样，当遇到各种与梯形有关的问题时，咱们才能灵活运用这个定理，轻松解决难题。
三角形梯形中位线
三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。
（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。
2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。
注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。
2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。
3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。
ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。
2011年中考数学一轮复习：三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线知识考点：掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。
精典例题：【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD ＋BC＝DC。
求证：MD⊥MC。
分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。
【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。
分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。
答案：PM＝6探索与创新：【问题一】E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。
分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝，即EG＋FG＝EF，则G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。
（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。
评注：利用中位线构造出CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。
跟踪训练：一、填空题：1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是。
2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是。
3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为。
4、直角梯形的中位线长为，一腰长为，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为。
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，G是BC上任意一点，如果cm2，那么梯形ABCD的面积是。
6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF ＝。
【初中数学】初中数学知识点：梯形,梯形的中位线
【初中数学】初中数学知识点：梯形，梯形的中位线梯形的定义：一组相对边平行的四边形和另一组相对边不平行的四边形称为梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
梯形中线：连结梯形两腰的中点的线段。
梯形特性：①梯形的上下两底平行；② 梯形的中线（连接两腰部中点的线称为中线）平行于两个底部，等于上下底部之和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
梯形判断：一.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组平行且不相等的四边形为梯形。
梯形中位线定理：梯形中线平行于两个基底，等于两个基底之和的一半。
梯形中位线×高=（上底+下底）×高度=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中线长度=（上底+下底）梯形的周长和面积：梯形的周长公式为：上底+下底+腰+腰，用字母a+B+C+D表示。
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h 变形1：h=2s÷（a+b）；变形2:a=2S÷H-B；变形3：b=2s÷h-a。
计算梯形面积的另一个公式：中线×高度，用字母表示：l？H对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
梯形分类：等腰梯形：腰围相等的梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形的特性：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形。
等腰梯形的测定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一基底上有两个相等角度的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
九年级数学中考一轮复习 19三角形梯形的中位线
一.知识网络构建
4.梯形的中位线的性质 E 梯形的中位线平行于底 边且等于上下底的和的 B 一半. 符号语言： AD∥BC MN∥BC∥AD, AE=BE 1 MN= 2（AD+BC） DF=CF
二.基础 训练
1.顺次连结四边形四条边的中点, 什 所得的四边形是么特殊的四边形? 平行四边形.
第一轮复习之18
三角形、梯形 的中位线
建湖县宝塔初中
一.知识网络构建
定 义
1.连结三角形的两边中点的线段叫 做三角形的中位线. A
D E C
2.三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第 三边且等于第三边的一半. B 符号语言： AD=BD AE=EC
DE∥BC, 1 DE= 2 BC
定 义
3.连结梯形的两腰中点的线段叫做 梯形的中位线. A D
若顺次连结一个四边形各边中点,所得的四 边形是菱形,则这个四边形一定是 （ ） B
A.矩形 B.对角线相等的四边形 C.菱形 D.对角线互相垂直
E A H
D
G
.基础训练
2.如图,D、E为AB、AC的中点,将△ABC 沿 线 段 DE 折 叠 , 使 点 A 落 在 点 F 处 , 若 80° ∠B=50°,则∠BDF= .
G B F H C
5.如图,在△ABC中,AH⊥BC,垂足H,E、 F、D分别是AB、AC 、 BC的中点. 求证:四边形DEFH是等腰梯形.
A
三 典 型 例 题 解 析
.
B
E
F
D H
C
6.如图,CD、BG分别为∠ACB、∠ ABC 的 平 分 线 ， AD⊥CD 于 D ， AG⊥BG 于 G,AC=10,AB=12,BC=14. 求DG. A 三 典 型 G D 例 题 解 B E F C 析 .
初中中位线知识点总结
初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。
2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。
3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。
二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。
2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。
这是因为三角形的三边相等。
3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。
三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。
2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。
3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。
四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。
2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。
3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。
五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。
2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。
3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。
六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。
2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。
七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。
八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。
初中数学专题复习三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线一、等分线段定理1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段______，那么这组平行线在其它直线上截得的线段也_____.如图1，如果_______________并且___________,那么DE=DF.2.推论1 如果一条直线经过梯形的一条腰的___点，并且平行于底边, 那么这条直线必平分梯形的另一条___。
如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，并且___________,那么DF=FC.3．推论2 如果一条直线经过三角形的一条边的____点并且平行于另一边, 那么这条直线必平分三角形的__________.如图3,若AD=______并且_____________,则AE=EC.4.如图4，要证明AE=EB，DG=GB，必须先证明_____∥_____∥_____, 并且 _____=_____.5. 如图5，在ΔBHC中，要证明BG=GH，必须先证明____∥_____ , 并且 ____=______.在ΔDGA中，要证明DH=HG，必须先证明____∥_____ , 并且 ____=______.6.如图6，在ΔBFC中，要证明BG=GF，必须先证明_____∥_____,并且 _____=_____在ΔAGD中，要证明AF=FG，必须先证明_____∥_____,并且 _____=_____.7．如图，已知：ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形。
（2）BG=GH=HD。
8．如图，已知：AD 是ΔABC 的中线，E 是AD 的中点。
求证：FB=2AF 。
[提示作DG ∥CF ，交AB 于G]9.如图,AB ⊥BC,OH ⊥BC, DC ⊥BC,AO=OD,OE=OF. 求证:BE=CF.[提示：先证明AB ∥OH ∥DC ，BH=HC ，EH=HF]二、 三角形中位线定理1.连结三角形两边_____点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线梯形中位线课件
形BDF全等（SAS）。因此， BD=DF。
解答2
由于AD平行于BC，所以EF是梯 形ABCD的中位线。根据中位线
的性质，我们知道 EF=1/2(AD+BC)。
解答3
由于DE平行于BC且DE=1/2BC ，所以DE是三角形ABC的中位线 。根据中位线的性质，我们知道
梯形中位线的定理
定理
梯形中位线长度等于上底和下底之和的一半。
证明
根据梯形中位线的性质，利用三角形中位线定理进行证明。
梯形中位线的应用
计算面积
利用梯形中位线长度计算梯形的 面积。
求解问题
利用梯形中位线定理解决一些几何 问题，如求线段长度、证明角相等 等。
构造新图形
通过梯形中位线构造平行四边形或 其他图形，进一步研究图形的性质 。
未来可以尝试将三角形中位线和梯形中位线的研究拓展到其他几何图形中，例如平行四边 形、多边形等，探索是否存在类似的性质和定理。
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三角形中位线梯形中位线ppt课 件
目录
• 三角形中位线的基本性质 • 梯形中位线的基本性质 • 三角形中位线与梯形中位线的比较 • 三角形中位线与梯形中位线的习题与解答 • 总结与展望
01
三角形中位线的基本性质
定义与性质
01
02
03
三角形中位线定义
连接三角形两边中点的线 段。
性质1
中位线平行于第三边，且 等于第三边的一半。
对三角形中位线与梯形中位线未来研究的展望
深入研究三角形中位线的性质和定理
未来可以进一步探索三角形中位线的性质和定理，例如是否存在其他与三角形中位线相关 的面积定理或几何定理。
三角形、梯形的中位线复习教案
三角形、梯形的中位线复习教案教学目标：1.理解并会灵活运用三角形、梯形的中位线性质.2.掌握三角形、梯形中位线性质的相互转化.3.理解顺次连接四边形各边的中点所得的图形与原来图形的联系.4.善于分析和转化在特殊化的过程中,图形的变化与相互间的联系.教学重点:1 会灵活运用三角形、梯形的中位线性质.2 顺次连接四边形各边的中点所得的图形与原来图形的联系.教学难点善于分析和转化在特殊化的过程中,图形的变化与相互间的联系.教学过程：一、知识点回顾1.三角形的中位线（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(强调三角形的中位线是线段,有三条.注意与三角形的中线的区别:三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段)（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.2.梯形的中位线（1）概念：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）性质：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.梯形的中位线性质是怎么得到的.MN是梯形的中位线，连接AN并延长AN与BC的延长线交于点F.将梯形的中位线转化为三角形的中位线.１、如图,在△ABC中,DE是中位线,如果DE=5,那么BC=10 .（直接考察三角形中位线的性质）２、如果三角形的周长为10cm,那么连结各边中点所得的三角形的周长为5cm .３、小明想要测量如图所示Ａ、Ｂ两点间的距离，但这两点被障碍物隔开不能直接测量，你Array能帮助他吗？（学生说出测量的方法，构造三角形，作出它的中位线；利用三角形中位线的性质.测量出MN的长度就知道A、B之间的距离.）若测得ＭＮ的长为１５cm，则Ａ、Ｂ之间的距离为30cm .（结合实际，考察知识点）4.如图，△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点O.AF 与DE 有怎样的关系？为什么？ （一要区分三角形的中位线和三角形的中线；二要分析题目，观察AF 与DE 是四边形ADFE 的两条对角线，要说明它们的关系，就要先说明四边形ADFE 是什么图形）5、已知梯形的下底长是5cm,它的中位线长是4cm,则它的上底长是 ( B )A.2.5cmB.3cmC.3.5cmD.4.5cm（考察梯形中位线的性质）6、如图,DE 是△ABC 的中位线,FG 是梯形BCED 的中位线, 若DE=4, 则FG 等于 （ A ）A. 6B.8C.10D.12（将三角形和梯形的中位线结合在一起考察）7、如果等腰梯形的周长为22cm,其腰长为5cm,那么中位线长为 6cm .8、已知a 、b 是梯形的两底的长，h 是梯形的高.①设梯形的中位线长为m ，根据梯形中位线性质，m=2b a ,此时，梯形的面积的计算公式还可以表示为 S=mh ；②一个等腰梯形的周长是80cm ，高是12cm ，并且腰长与中位线长相等，则这个梯形的面积为cm 242. 9、一个任意四边形ＡＢＣＤ，顺次连接四边形各边中点得到四边形ＥＦＧＨ， 则四边形ＥＦＧＨ是什么图形？ (如果将任意四边形替换成矩形或菱形，那么四边形EFGH 是什么图形？）强调格式！ 解：连接AC 在△ABC 中，因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点，即EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC ，EF=21AC 同理可得HG ∥AC ，HG=21AC 因为EF ∥AC ，HG ∥AC 所以HG ∥EF因为HG ∥EF ，HG=EF 所以四边形EFGH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）如果换成矩形或菱形，则根据它们特殊的性质对角线相等或互相垂直判定得到的四边形是菱形还是矩形.结论：任意一个四边形，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形.如果这个四边形对角线互相垂直，那么顺次连结四边形各边的中点可以得到一个矩形. 如果这个四边形对角线相等，那么顺次连结四边形各边的中点可以得到一个菱形.G F E D C B A Ａ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ ＢB A 10、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④正方形“各边中点所构成的四边形”中为菱形的是 （ D ）A ．①B ．②C ．①②③D ．①②④(根据前面的结论做对应的练习：如果知道顺次连接四边形各边中点所构成的四边形，要会判断原来的四边形是什么图形)11、如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 、H 分别是BC 、AD 、BD 、AC 的中点，猜想四边形EHFG 的形状并说明理由.（对于前面一个知识的运用，强调格式）12、已知：在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点．四边形EFDH 是等腰梯形吗？为什么？（要判断是等腰梯形，必须先说明它是一个梯形，再说明 两腰相等，而这题就难在证明EF=DH ，根据三角形 中位线的性质得到EF=21AB ，根据直角三角形斜边上 中线是斜边的一半得到DH=21AB ） 三 课堂小结你有哪些收获呢？与大家共分享！四 教学反思这堂课是一堂复习课，学生对已讲知识已有所熟悉，而这堂课的目的是要学生更加牢固掌握这些知识点，能够灵活运用并能有所拓展.从教学内容方面看,选题基本上能把所有知识点包含在里面,但在怎样得到梯形中位线的性质时没有从学生能够接受的方法去讲,而是完全按照书本上的方法,学生理解上感到吃力.在讲到顺次连接四边形各边中点所得到的图形与原来图形的联系时没有拓展开来，其他的知识基本上能够让学生理解并掌握.从学生方面看,学生掌握的很好,并且一些基础很薄弱的学生也能够有很大的收获是让老师感到非常欣慰.。
三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线【知识要点】1． 三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
注意：（1）不是连结两底中点 （2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
（ ） （ ） 【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。
求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。
例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。
求证：EF=EG 。
例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为 。
2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。
3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。
4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。
考前辅导：中考数学中位线知识点归纳总结
考前辅导：中考数学中位线知识点归纳总结
中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。
中位线定理
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
中位线定理推广
三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。
[考前辅导：中考数学中位线知识点归纳总结]。
三角形、梯形中位线知识的应用全面版
2、叙述一下梯形中位线定理. 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
A E B
D ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，
DF＝CF
F
∴EF∥BC，EF=
1 2
BC
C
例题1 例题2 例题3 例题4
Байду номын сангаас
游戏（GAME）
1、顺次连接四边形各边中点得到的是
平行四边 形
矩形 菱形
正方形
2、顺次连接矩形各边中点得到的是
2、顺次连接任意四边形各边中点必定得到 平行四边形 ；
顺次连接菱形各边中点得到的必定是
矩形 ；
顺次连接矩形各边中点得到的必定是
菱形
.
3、实际上，“中点四边形”一定是平行四边形，它是不 是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否 相等，与是否互相平分无关.
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
三角形、梯形的中位线(第二课时)
２、梯形的上底长为６cm，中位线 长为10cm，下底长为__1_4__cm 。
3、梯形的高为10cm，中位线长为
15cm，则梯形的面积为_1_5_0__cm2.
4、梯形的上下底长之比为2:3，中位
线长为5cm，则下底长为__６__cm.
例2 、已知:在梯形ABCD中,AD//BC, E、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ中点， ＥＦ与对角线ＢＤ、ＡＣ相交 于Ｇ、Ｈ。 试问：ＧＨ与ＡＤ、ＢＣ之 间有何关系？并说明理由。
2、梯形的中位线定义，性质，梯形中位线的判别 方法及梯形的另一面积公式;
3、利用化归思想将未知转化为己知; 4、学会添加辅助线,使梯形问题转化为三角形问题
或平行四边形问题。 5、梯形中位线的应用.
作业 1、在梯形ABCD中，DC//AB，
∠ABC的平分线与腰AD交于点M，且M又为AD中点 求证：DC＋AB＝BC
3、已知:在梯形ABCD中,AD//BC,G、H分别是ＢD、AＣ中点。 试说明:
解：联结AG并延长，交BC于M
∵AD//BC ∴∠ADG=∠MBG ∵DG=BG, ∠AGD=∠MGB ∴△AGD≌△MGB ∴AG=GM，AD=BM ∵ AH=CH ∴GH是△AMC的中位线
M
小结：
1、通过这节课的学习，你有哪些收获？请对自己 这节课的学习做一个评价？
梯形的中位线
三角形中位线：
1、什么是三角形的中位线？
联结三角形两边中点的线段 叫三角形的中位线。
2、三角形的中位线有何性质？ 三角形的中位线平行于第三 边， 并且等于第三边的一半。 ∵AD=DB ,AE=EC
一、梯形的中位线定义：
A D 联结梯形两腰中点的线段是梯形的
中位线
怎样用梯形中位线定理解题
怎样用梯形中位线定理解题
梯形中位线定理是一种用于解决三角形内部比例关系的定理。
它指出：如果在一个梯形中，两个对角线的中点联结而成的线段（即梯形中位线）穿过了梯形的四个角点，那么四个角点分别与梯形中位线的上端点和下端点构成的三角形的两个小三角形的比值关系是定值。
梯形中位线定理为平面几何学家们提供了一个重要的思想工具。
梯形中位线定理的证明
梯形中位线定理要求给定一个梯形ABCD，两个对角线的中点联结而成的线段BM交叉穿过它的四个角点，梯形中位线BM必然穿过梯形的四个角点，并将梯形分成两个小三角形，分别是ABC和BCD（见图1）。
证明过程非常简单，首先假设四个角点A，B，C，D，它们分别与梯形中位线BM的上端点和下端点构成的三角形的两个小三角形的比值关系是定值。
假设分别以A，B，C，D为顶点，小三角形ABC和BCD的面积为S1、S2，画出BA和CD两条对边，联结梯形中心M，用R表示M到相应的边的垂线，见图2。
接着，由Ptolemy’s Theorem可知，三角形ABC和BCD的面积的比值等于BC：CA：BA的比值的比值，即S1：S2＝BC：CA：BA，由此可知，在三角形ABC和BCD的面积比值关系是定值。
最后，由Thales’Theorem可知，R：MA＝MA：MB＝MB：MC＝MC：MD，从而证明了梯形中位线定理。
- 1 -。
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10.三角形、梯形的中位线
知识考点：
掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。
精典例题：
【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
求证：MD ⊥MC 。
分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB 的延长线交于E 点进行证明。
例1图
N
M D
C
B A
例2图 Q
P
M D C
B
A
问题图
G
F
E
D
C
B
A
【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
分析：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。
答案：PM ＝6 探索与创新：
【问题一】 E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝
)(2
1
CD AB +，问：ABCD 为什么四边形？请说明理由。
分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC ，取AC 的中点G ，连EG 、FG ，则EG ∥
21CD ，FG ∥21AB ，∴EG ＋FG ＝)(2
1
CD AB +，即EG ＋FG ＝EF ，则G 点在EF 上，EF ∥CD ，EF ∥AB ，故AB ∥CD 。
（1）若AD ∥BC ，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形。
评注：利用中位线构造出
21CD 、2
1
AB ，其关键是连AC ，并取其中点G 。
跟踪训练：
一、填空题：
1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。
2、一个等腰梯形的周长为100cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm ，那么这个梯形的面积是 。
3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。
4、直角梯形的中位线长为a ，一腰长为b ，且此腰与底所成的角为600
，则这个梯形的面积为 。
5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，G 是BC 上任意一点，如果
22=∆G EF S cm 2，那么梯形ABCD 的面积是 。
第5题图
G
F
E D
C B A
第6题图
N
M
F
E
D
C
B
A
第7题图
G Q P
F
E D
C
B
A
6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300
，∠C ＝600
，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。
7、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ 。
8、如图，直角梯形ABCD 的中位线EF ＝a ，垂直于底的腰AB ＝b ，则图中阴影部分的面积是 。
9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 是对角线，EF 为中位线，若ABD S ∆∶
BDC S ∆＝1∶2，则AEFD S 梯形∶EBCF S ∆＝ 。
二、选择题：
1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ）
A 、4 cm
B 、24cm
C 、8cm
D 、28cm 2、已知等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，它的中位线长为28cm ，周长为104cm ，AD 比AB 少6cm ，则AD ∶AB ∶BC ＝（ ）
A 、8∶12∶5
B 、2∶3∶5
C 、8∶12∶20
D 、9∶12∶19
3、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、
20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042
1
选择第3题图
C
B A
选择第4题图
T
H
G
D E
F B A
解答第1题图
4、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，又AB ＝DC ，下列结论：①EFGH 为矩形；②FH 平分EG 于T ；③EG ⊥FH ；④HF 平分∠EHG 。
其中正确的是（ ） 填空第8题图
A 、①和②
B 、②和③
C 、①②④
D 、②③④ 三、解答题：
1、如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8cm ，AC 与BD 交于O ，M 、N 分别为OA 、OD 的中点。
（1）求证：四边形BCNM 是等腰梯形； （2）求这个等腰梯形的中位线长。
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＞CD ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，求证：EF ＞
)(2
1
CD AB - 解答第2题图
F
E
D
C
B
A
解答第3题图
F
E
D C
B
A
3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝600
，AC 平分∠DAB ，E 、F 是对角线AC 、BD 的中点，且EF ＝a ，求梯形ABCD 的面积。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、13；
2、500cm 2
；3、1∶2；4、
ab 2
3
；5、28；6、4；7、1∶4；8、ab 21；
9、5∶7
二、选择题：CDCD 三、解答题：
1、（1）证MN ∥BC 且MN ≠BC ；（2）6cm 。
2、取BC 的中点构造三角形的中位线。
3、解：设上底为x ，下底为y ，高为h ，由题意知EF ＝
)(2
1
x y -，即a x y 2=-，a x y h 3)(2
3
=-=
，a a h x y 633232=⨯==+，所以： 梯形ABCD 的面积为：
233362
1
a a a =⨯⨯。