初中数学竞赛专题培训(15)：相似三角线(1)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第15讲 相似三角形
的有关定理及方法．当然 们又必须同时注意它们之间的区别 这
要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似 角形问题的研究 们拟分两讲来讲述．本讲着 探讨相 似 角形 比例线段的有关计算 证明问题 一讲深入研究相似 角形 的进一 应用．
例 1 如图 2-64 所示 知 AB∥诸F∥C请 若 AB=6 厘米 C请=9 厘米．求 诸F．
所以 △O诸请≌△OBH(AAS)． 从而
请诸=BH=AI
例 5(梅内劳斯定理) 一条直线 角形 ABC 的 边 BC CA AB(或其 延长线)分别交于 请 诸 F(如图 2-68 所示)．求
分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述 线段 集中 到同一直 线 进行求证．
证 过 B 引 BG∥诸F 交 AC 于 G．由平行线截线段 比例性质知
因为
请诸=P诸 P请=AI FB
AF=AI FI
BI=IF FB．
由
知 的分子为
请诸 AF BI=2×(AI IF FB)=2AB．
从而
即
面计算 d．
因为 请诸=FG=HI=d AB=510 BC=450 CA=425 代入 得
解得 d 306． 练 十五
1．如图 2-70 所示．梯形 ABC请 中 A请∥BC B请 AC 交于 O 点 过 O 的直线分别交 AB C请 于 诸 F 且 诸F∥BC．A请=12 厘米 BC=20 厘米．求 诸F．
分析 例 2 类似 求证中 线段的位置过于 分散 因 应利 用平行四边形的性质 通过添加辅助线使各线段 集中 到一个 角形中 来求证．
证 延长 CB 诸G 其延长线交于 H 如虚线所示 构造平行四边形 AIHB．在△诸IH 中 由于 请F∥IH 所以
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
数学相似三角形(竞赛题专页)
几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO DB EC Q P NM · O Q PBDEC N M · A OD BFAECP P ADCB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。
求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。
EDCBA2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。
3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求证：MQ∥NP。
4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。
求证：KP⊥AB。
5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。
九年级数学竞赛培优专题及答案16相似三角形的性质.docx
专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于△ ABC, AD±BC,设BC=a , AD = h,试用如力的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图，已知中，过点B的直线顺次与AC, AD及CD的延长线相交于E, F, G, 若BE = 5, EF = 2,则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.EC【例 2】如图，已知ZXABC 中，DE//GF//BC,且 AD:DF:FB = 1:2:3, A.l:9:36 B.l:4:9 C.l:8:27 D. 1:8:36解题思路:AADE, AAFG 都与/XABC 相似，用/XABC 面积的代数式分别表示△#>£、四边形DFGE 、 四边形FBCG 的面积.【例3】如图，在/XABC 的内部选取一点P,过F 点作三条分别与AABC 的三边平行的直线，这样所得 的三个三角形A ，S 打的面积分别为4, 9和49,求△A3C 的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑 应用相似三角形的性质.如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到:① AFDP S 」IPES /X PHG S /XABC ；HG IE DF 1-------- 1 ------- BCAC ABDE FG HI 1-------- 1 ------- BC AC ABS 4ABC上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心 独运，请读者给出证明.【例4】如图，/XABC 中，。
初中数学总复习专题15 从全等到相似
专题15 从全等到相似阅读与思考相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题. 通过寻找（或构造）相似三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一.全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差. 证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡.熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.例题与求解【例1】如图，□ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对. （武汉市竞赛试题）解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性.PQSRECDBA【例2】 如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3. 如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解题思路：通过代数化，将P 点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论.要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论.PCB A【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交A C 于E ，交CF 于F . 求证：2BP PE PF =⋅. （吉林省中考试题）解题思路：由于BP ，PE ，PF 在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化. 证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：① 找相似：三点定形法；② 作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；③ 变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换.FP E CDBA【例4】已知△ABC 中，BC AC >，CH 是AB 边上的高，且满足22AC AHBC BH =. 试探讨∠A 与∠B 的关系，并加以证明. （武汉市竞赛试题）解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系. 解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件.CDBA如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：① 一线段是两个三角形的公共边；② 另两条线段在同一直线上.构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题. 你能提出新的问题吗？并加以证明.【例5】如图1，P 为△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC . 在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点.（1）如图2，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABC A ∠>∠，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点； （2）在△ABC 中，A B C ∠<∠<∠.① 如图3，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；② 若△ABC 的内心（∠A ，∠B ，∠C 角平分线的交点）P 是该三角形的自相似点，求该三角形三 个内角的度数. （南京市中考试题）解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相似点”的概念，是解题的关键.ABCABCPECDBA图1 图2 图3【例6】如图，在矩形ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm. 点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动. 如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示移动时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？（河北省中考试题）解题思路：对于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应注意分类讨论.QCBA能力训练A 级1. 如图，已知12∠=∠，B D ∠=∠，5AB DE ==，4BC =，那么AD = .21FB CAEDC ECD BA（第1题） （第2题） （第3题）2. 如图，在△ABC 中，9AB =，6AC =，点M 在AB 上且3AM =，点N 在AC 上. 如果连接MN ，使得△AMN 与原三角形相似，则AN = .3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，13AD BC =，43CD BC =，E ，F 为两腰上的中点. 下面的四个结论：①2CE BE =；②△ADE ∽△EDC ；③ADE CEF S S =△△；④AE DFAB DC=. 其中结论正确的有 .（填序号即可） （宜昌市中考试题）4. 在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且AE BF DG BE FC GC ==(0)AHk k HD==>. 阅读下段材料，然后回答后面问题.（黄冈市中考试题）A.3个B.2个C.1个D.0个（山西省中考试题）（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）6. 如图，□ABCD 中，E 是BC 上一点，:2:3BE EC =，AE 交BD 于点F ，则:BF FD 等于（ ）A.2:5B.3:5C.2:3D.5:7（重庆市中考试题）C7. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，即为点B ′，折痕为EF . 已知3AB AC ==，4BC =，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度为（ ）A.2B.127 C.2或127D.不确定 （山东省中考试题）8. 如图，在△ABC 中，8AB =，7BC =，6CA =，延长BC 至P ，使得△PAB ∽△PCA ，则PC 等于（ ）A.7B.8C.9D.10B 级1. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB CD <，一直线交BA 延长线于E ，交DC 延长线于J ，交AD 于F ，BD 于G ，AC 于H ，BC 于I . 已知EF FG GH HI IJ ====，则DCAB=A.3:2B.4:3C.5:4D.6:5（重庆市竞赛试题）B DCAABCDE（第4题） （第5题）5. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ） A.AD BC AB BD ⋅=⋅ B.2AB AD AC =⋅ C.ABD ACB ∠=∠ D.AB BC AC BD ⋅=⋅（全国初中数学联赛试题）6. 已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为14，那么两底的比为（ ） A.12 B.14 C.18D.116 （江苏省竞赛试题）7. 如图，O 是四边形ABCD 对角线的交点，已知180BAD BCA ∠+∠=︒，5AB =，4AC =，3AD =，76BO OD =，求BC . （“祖冲之杯”邀请赛试题） O BACDFABCDE（第7题） （第8题）8. 如图，△ABC 中，角::4:2:1A B C =，AD ，BE 分别平分∠BAC ，∠ABC. 求证：2AB AD BE =⋅. （沈阳市竞赛试题）9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别用a ，b ，c 表示.图 2图 1CBAa bccbaABC（1）如图1，在△ABC 中，2A B ∠=∠，且60A ∠=︒，求证：2()a b b c =+；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”. 本题第1问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图2，其中2A B ∠=∠，关系式2()a b b c =+是否仍然成立？并证明你的结论.10. 在△ABC 中，90A ∠=︒，点D 在线段BC 上，12EDB C ∠=∠，BE ⊥DE 于E ，DE 与AB 相交于点F .（1）当AB =AC 时（如图1），①EBF ∠= ；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； （2）当AB kAC =时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）. （大连市中考试题）ABEFDCF EDCBA图 2图 111. 如图，AB 是等腰直角三角形的斜边，若点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为点P .（1）当点P 是边AB 的中点时，求证：PA CM PB CN=； （2）当点P 不是边AB 的中点时，PA CM PB CN =是否仍然成立？请证明你的结论. （北京市宣武区中考试题）P N MCBA12. 如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点. P 为对角线AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于点M ，PE 交BC 于点N ，EF 交MN 于点K . 求证：K 是线段MN 的中点. （江西省竞赛试题）E A。
中学数学冲刺九年级初三之中考赢在起跑线相似三角形
相似三角形相似三角形一、知识要点1．相似三角形的概念：2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：（1）相似三角形的定义；（2）由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法（SSS，SAS，ASA，AAS），看是否也有简便的方法？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用4．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.（2）相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.二、总结归纳：1、相似三角形的判定：（1）相似三角形的定义；（2）平行得相似；（3）三边的比相等；（4）两边的比相等，夹角相等；（5）两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.2、全等与相似的类比：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：（1）线段成比例的定义（2）三角形相似的预备定理（3）利用相似三角形的性质（4）利用中间比等量代换（5）利用面积关系证明题常用方法归纳：（1）通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（2）若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.（3）若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.三、典型例题例1：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：（1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm； ∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.（2）AB=4cm，AC=6cm，AC=8cm； A′B′=12cm，B′C=18cm′，A′C′=21cm.例2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？例3：已知：如图，在Rt △ABC 中，C D ⊥AB 于点D . （1）求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；（2）求证：CD 2=A D·BD ；AC 2=A D·A B ；BC 2=A B·BD （此结论称之为射影定理） （3）若A D =8，BD =2，求 AC ，BC ，CD . （4）若CB =6,AD =9，求BD ，CD ，AC .例4：如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，P Q‖AB ，点P 在AC 上，（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上.（1）当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长. （2）当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长. （3）在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若存在请画出图形，若不存在说明理由。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形常见模型(总结)1
相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
2019-2020年初中数学竞赛专题培训第十五讲相似三角形一.docx
第+五讲相恢三角斷一）两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形.对应角相等、对应边成 比例的三角形，叫作相似三角形.相似比为1的两个相似三角形是全等三角形.因此，三角形全等 是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之 处.因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法.当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形屮的作用.关于相似三角形问题的研究， 我们拟分两讲来讲述. 本讲着重探讨相似三角形与比例线 段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用.例1如图2~64所示，已知AB 〃EF 〃CD,若AB 二6厘米，CD 二9厘米.求EF.分析 由于BC 是AABC 与ADBC 的公共边，且AB 〃EF 〃CD,利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF.解在AABC 中，因为EF 〃AB,所以EF _CF ~AB =CB 9同样，在△ DBC 中有①+②得18EF 諾厘米.设EF 二x 厘米，又已知AB 二6厘米，CD 二9厘米，代入③得CD BC说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题图所示.ABtf EF//CD,且CD 二 b, EF = c,则有丄^1=2. ”a b c请同学自己证明.例2如图2-65所示.ABtJ 的对角线交于0, 0E 交BC 于E,交AB 的延长线于F.若AB F ,BC 二 b, BF 二 c,求 BE.分析 本题所给出的已知长的线段 AB, BC, BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过0作0G 〃BC,交AB 于G,构造出△ FEBs^FOG,进而求解.解过0作0 G 〃BC,交AB 于G ・显然，0 G 是厶ABC 的中位线，所以OG ——BC — — R GB — 7? A® =7T -2 2 2 2在AFOG 中，由于GO 〃EB,所以例3如图2-66所示.在△ABC# ZBAC 二120° , AD 平护从乂汕于。
初中数学《相似三角形》教学设计及思维导图
初中数学《相似三角形》教学设计及思维导图教学目标知识与技能1. 理解相似三角形的定义和性质。
2. 学会运用相似三角形解决实际问题。
过程与方法1. 通过观察、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
2. 学会使用三角形相似判定定理和性质定理解决相关问题。
情感态度与价值观1. 培养学生的团队合作精神，提高学习数学的兴趣。
2. 培养学生解决实际问题的能力，感受数学与生活的联系。
教学内容1. 相似三角形的定义1. 引入相似三角形的概念，讲解相似三角形的定义。
2. 通过实例让学生理解相似三角形的含义，并学会判断两个三角形是否相似。
2. 相似三角形的性质1. 讲解相似三角形的性质，包括边长比、角度相等、对应边成比例等。
2. 通过练习题让学生熟练掌握相似三角形的性质，并学会运用性质解决实际问题。
3. 相似三角形的判定定理1. 讲解相似三角形的判定定理，包括AA、SSS、SAS、RHS 等。
2. 通过练习题让学生熟练掌握判定定理，并学会运用判定定理判断两个三角形是否相似。
4. 相似三角形的应用1. 通过实例让学生学会运用相似三角形解决实际问题，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
2. 引导学生将相似三角形应用于生活和学习中，提高学生解决实际问题的能力。
教学方法1. 思维导图法1. 引导学生通过思维导图法总结相似三角形的相关知识，形成知识体系。
2. 培养学生通过思维导图法进行自主学习和思考的能力。
2. 案例教学法1. 通过实际案例让学生理解相似三角形的应用，提高学生的学习兴趣和实际问题解决能力。
2. 引导学生运用相似三角形解决实际问题，培养学生的创新能力。
3. 小组合作学习法1. 将学生分成小组，进行合作学习，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
2. 通过小组讨论和分享，促进学生之间的互帮互助和共同进步。
教学评估1. 课堂练习1. 在课堂上进行相关的练习题，以检测学生对相似三角形知识的理解和掌握程度。
2. 通过练习题的完成情况，了解学生的学习效果，及时进行针对性的辅导和指导。
初中数学竞赛 知识点和真题 第15讲 相似三角形
A第15讲 相似三角形一个学生不熟悉某个具体几何事实，他的损失并不大；如果未能掌握几何证明，他就丧失了获得严格论证训练的良机.——G.波利亚知识方法扫描平面几何中，一类基本问题是证线段的比例式，等积式、平方式、线段乘积的和差、线段比的和差等等。
相似三角形的判定和性质在上述问题中起着重要的转化作用。
通过相似三角形研究比例线段是相似三角形中的主要内容，研究比例线段，除要解决一般时的比例式和等积式的证明以及几何计算题外，还可以通过比例线段证明线段和角相等以及证明平行和垂直等位置关系。
比例线段除由相似三角形得到外，还有平行线截割线段成比例定理、射影定理及角平分线性质定理等，常用到等量代换中间比转换等策略。
经典例题解析例1（2003年山东省“KLT 快灵通杯”初中数学竞赛试题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F 。
求证：（1）四边形CDEF 是正方形；（2）CD 2＝2AE·BF证明 （1）因∠ACB ＝90°，CD 是角平分线，故∠1=∠又DE ∥BC ，DF ∥AC ，于是∠DFC=∠ACB ＝90°，四边形CDEF 是矩形；又∠3=180º-90º-45º=45º=∠2，CF=DF ，所以四边形CDEF 是正方形。
（2）显然△AED ∽△DFB ，故A E E DD F F B， AE•FB=ED•DF=ED 2，而ED ，于是CD 2＝2 ED 2=2AE·BF 。
例2（1999年湖北省荆州市初中数学竞赛试题）如图所示，Rt△ABC 中有两种作内接正方形的方法．如图（1）作的内接正方形的面积为441。
如图（2）所的内接正方形的面积为440．求AC ＋CB 的值．解 如下图所示，令T 1、T 2、T′1、T′2、T 3表示图中直角三角形面积，S △ABC =S ．则1212441''440T T T T ==，S=T′1+T′2+T 3+440=123440(441)441T T T +++，于是3441S T =。
第四讲 培优竞赛相似三角形(一)
第四讲 相似三角形(一) 比例线段与相似三角形的判定知识点一:1.线段的比的定义：在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比.2.比例尺:在同一单位长度下，与的比值.3.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称.在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的. （1）若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则记作a cb d=或::a b c d =。
注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
（2）四条线段a 、b 、c 、d 的单位应一致（有时为了计算方便，a 、b 的单位一致，c 、d 的单位一致也可以）（3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
（4）拓展：比例式中，a cb d=或()a b c d =：：中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，如果b c =，即，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
（5）把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点.4.比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么. 请写出此基本性质的变形式： (2)合(分)比性质：若dcb a =，则.{能独立写出证明过程} （3）等比性质：若=k ac e mb d f n==== ，且，则 证明:例1、下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ） A 、3、6、7、9 B 、2、5、6、8、 C 、3、6、9、18 D 、1、2、3、4 变式:1、一个数与数2，3，8能成比例，那么这个数可能是.2、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：1例2、已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式:若bac a c b c b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，求k 的值.例3、三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC 中，已知：AB ＝AC ，且∠A＝36°．（1）在图1中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于D ，并连接BD （保留作图痕迹，不写作法）； （2）△BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k 的值 （4）.如图2，在△A 1B 1C 1中，已知1A 1B＝A 1C 1，∠1A ＝108°，且1A 1B＝AB ，请直接写出的值．知识点二:1、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)
中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。
九年级数学《相似三角形基本图形精讲》
判定方法
根据角平分线的性质和三 角形的相似性质，可以判 定两个三角形是否相似。
综合型相似图形
定义
当一个图形同时具有平行线和角 平分线的特征时，所形成的两个
三角形为相似三角形。
性质
两个相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
判定方法
根据图形的特征和三角形的相似性 质，可以判定两个三角形是否相似。
03 相似三角形的应用
相似多边形的面积之比等于其对应边长的平方之比。
相似多边形的性质和判定
性质
相似多边形的对应角相等，对应 边的比值相等，面积之比等于其 对应边长的平方之比。
判定
根据相似三角形的性质，可以通 过比较对应角和对应边的比值来 判定两个多边形是否相似。
相似多边形的应用
在几何学中，相似多边形可以 用来研究图形的形状和大小的 关系，以及解决一些实际问题。
角形相似。
相似三角形的性质
01
02
03
对应角相等
相似三角形的对应角相等， 这是相似三角形的基本性 质。
对应边成比例
相似三角形的对应边长成 比例，即它们的边长比是 一个常数。
外接圆半径相等
如果两个三角形相似，则 它们的外接圆半径相等。
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形的两个对应角 相等，则这两个三角形相似。
利用相似三角形解决实际问题
测量问题
利用相似三角形测量建筑物的高 度、河的宽度等实际物体的高度
和长度。
建筑学应用
在建筑设计时，利用相似三角形 计算角度、长度等参数，以确保
建筑物的稳定性和美观性。
物理学应用
在物理实验中，利用相似三角形 模拟真实场景，研究物理规律和
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）当三点设置法不能解决待证问题时，即线段比例公式中的四条线段在图中均在同一条直线上，不能形成三角形，或四条线段形成两个三角形，但两个三角形不相似时，就需要根据已知条件，找到与比例公式中的一条线段相等的线段来代替这条线段。
如果没有，可以考虑加一条简单的辅助线。
然后用三点成形法确定相似三角形。
只要代入得当，问题往往可以解决。
当然，也要注意最后把被替换的线段替换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：1、等比过渡法（等比代换法）当用三点设置法无法确定三角形，又没有等比线段代换时，可以考虑等比代换法，即可以考虑使用第三组线段的比比例桥，即通过对已知条件或图形的深入分析，在验证的结论中找到等于某一比值的比值并进行代换，再用三点设置法确定三角形。
初中数学相似三角形基础知识精讲(一)
四、直角三角形相似的判定： 在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
五、相似三角形中的基本图形：
【例题巧解点拨】
例 1．下列说法 “①凡正方形都相似；
②有一个角相等的两个等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为
1∶ 2；
⑤两个相似多边形的面积比为 4∶ 9，则周长的比为 16∶ 81. ”中 ,
1．5 米长的竹竿影长 0．9 米，但当他马
上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他
测得留在地面部分的影长是 2．4 米，留在墙上部分的影高是 1.5 米，则松树的高度为 ________ 米
4.如图，矩形 ABCD 中， CH ⊥BD ，垂足为 H，P 点是 AD 上的一个动点（ P 与 A 、D 不重合），
BAC 的平分线分别交 BC、 CD 于点
C
E F
A
D
B
例 4 已知 △ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形， 底边 BC，CE，EG?在同一直线上，
且 AB= 3 ， BC=1 ，连接 BF，分别交 AC ， DC，DE 于 P，Q，R．求证： △BFG ∽△ FEG，并
求出 BF 的长。
A
B
F
C
D
E
8.在 △ABC 中， AC=BC ，∠ ACB=90°，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着 直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点．求证： MC ： NC=AP ： PB．
9.四边形 ABCD 中， AC 为 AB 、 AD 的比例中项，且 AC 平分∠ DAB 。
人教版初中数学相似三角形培训课件
•
6.另外，木质材料受温度、湿度的影 响比较 大，榫 卯同质 同构的 链接方 式使得 连接的 两端共 同收缩 或舒张 ，整体 结构更 加牢固 。而铁 钉等金 属构件 与木质 材料在 同样的 热力感 应下， 因膨胀 系数的 不同， 从而在 连接处 引起松 动，影 响整体 的使用 寿命。
•
7.家具的主体建构中所占比例较大。 建筑中 的木构 是梁柱 系统， 家具中 的木构 是框架 系统， 两个结 构系统 之间同 样都靠 榫卯来 连接， 构造原 理相同 。根据 建筑物 体积、 材质、 用途等 方面的 不同， 榫卯呈 现出不 同的连 接构建 方式。
一、新课引入
2、相似三角形有什么性质？ 解：相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例. (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和 对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.
二、学习目标
1 进一步巩固相似三角形的知识． 能够运用三角形相似的知识，解决不 能直接测量物体的长度和高度（如盲 区问题）等的一些实际问题．
长1.5m的标杆的影长为3
B．60m
C．20m
D. 10 3m
三、研读课文
练一练
知 识 点 一
2、如图所示，为了测量一棵树AB的高度， 测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测 量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条 直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m， EF＝1.8m，求树AB的高度．
解：由图易知△ABC∽ △ADE 又高之比等于相似比
BCAG即0.080.4 DE AF DE 200
解得：DE=40 答：敌方建筑物的高度为40m.
Thank you!
•
1.阅读说明文，首先要整体感知文章 的内容 ，把握 说明对 象，能 区分说 明对象 分为具 体事物 和抽象 事理两 类；其 次是分 析文章 内容， 把握说 明对象 的特征 。事物 性说明 文的特 征多为 外部特 征，事 理性说 明文的 特征多 为内在 特征。
[初中华杯赛相似三角形知识点]初中相似三角形知识点
![[初中华杯赛相似三角形知识点]初中相似三角形知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/827f39acf021dd36a32d7375a417866fb84ac03e.png)
[初中华杯赛相似三角形知识点]初中相似三角形知识点1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。
2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：(1)反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC;(2)对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC(3)传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定(1)三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似(2)直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
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初中数学竞赛专题培训第十五讲相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
解在△ABC中，因为EF∥AB，所以
同样，在△DBC中有
①＋②得
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如
本题
请同学自己证明．
例2如图2-65所示．
ABCD的对角线交于O，OE交BC
于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB 于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD
平分
分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠
EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，
所以△ADE是正三角形，所以
EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
从而
例4如图2-67所示．
ABCD中，AC与BD交于O点，E
为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
证延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
所以△OED≌△OBH(AAS)．
从而
DE=BH=AI，
例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)
．求
分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．
证过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．
例6 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
分析由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：
进而求d．
因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而
将②代入①左端得
因为
DE=PE＋PD=AI＋FB，④
AF=AI＋FI，⑤
BI=IF＋FB．⑥
由④，⑤，⑥知，③的分子为
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
从而
即
下面计算d．
因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
解得d＝306．
练习十五
1．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O 点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
2．已知P 为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线
于Q
3．如图 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN 与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)．求证：
5．如图 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：
不少于2．。