第3章课件(综合指标)

(二） X、 M 0 Me 三者的关系 1.当总体分布呈对称状态时，三者合而为一,
即X M e M 0
如图： f
X Me M0
2. 当总体分布呈非对称状态时
(1). 如果分布右偏，则 X M e M 0 如图：f
M0
Me X
X
(2). 如果分布左偏，则 X M e M 0
即：
XM
e
min 或
XM
e
f min
③ 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现 象，可以用中位数求其一般水平。
七、各种平均数之间的相互关系
（一）X、 X h、 X G 三者的关系
表示为： X h X G X
例
变量值 4， 8， 10， 12 X 8 .5 X h 7.16 X G 7.87
计算
根据下限公式： M0 XL 1 1 2 d 50 19 (50 19 ) (50 36 ) 2 1 2 d 10 76 .89 (千克) 10 76 .89 (千克)
上例工人日产量众数 70 根据上限公式： M 0 XU
甲 乙 丙 丁 合计
m 1,100 平均完成计划程度 110% 1 1,000 Xm
△ 调和平均数的特点
如果数列中有一标志值等于零，则无法计算 X h ；
它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响；
但较之算术平均数，X h受极端值的影响要小， X h 适用范围较小。
四、几何平均数(又称“对数平均数”)
X 1f1 X 2f 2 L X nf n X f
f
式中： f 为各变量值的次数或权数 将公式两边取对数，则为： f lg X 1 f 2 lg X 2 L f n lg X n lg X G 1 f1 f 2 L f n X G arc(lg X G )
第三章
综合指标
综合指标从它的作用和方法特点的角度可概括
为三类：
绝对指标 相对指标 平均指标
第一节 总量指标(绝对指标)
一、总量指标的概念和作用
1.概念:(略) 2.作用 :(略)
二、 总量指标的分类
按其反映的内容不同可分为：
-
总体单位总量 —— 说明总体的单位数数量。
标志总量—— 说明总体中某个标志值总和的量。
1.简单几何平均数
X G n X1 X 2 L X n n X 式中： X n lg X n 变量值 变量值个数 连乘符号
计算时要进行对数变换，即： lg X G ， X G arc(lg X G )
2.加权几何平均数
XG
f 1 f 2 L f n
数值平均数
Me
二、算术平均数
1.算术平均数的基本公式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数

2.简单算术平均数及计算 3.加权算术平均数及计算 4.算术平均数的数学性质
三、调和平均数(又称“倒数平均数”) 调和平均数是各个变量值倒数 的算术平均数的倒数。
其计算方法如下：
1 (1).先计算各个变量值的倒数，即 X
计算公式为：
比例相对数 总体中某部分数值 总体中另一部分数值
(四) 比较相对指标(类比相对指标)
计算公式为：
比较相对数 某条件下的某类指标数值 另一条件下的同类指标数值 100%
(五) 强度相对指标
计算公式为：
强度相对数 某一总量指标数值 另一性质不同但有一定联系的总量指标数值
1.强度相对数的数值表示有两种方法：
第二节 相对指标
一、相对指标的概念 是两个有联系的绝对指标之比。 例 1979—2000年我国国内生产总值平均 每年增长9.5%
相对指标的数值有两种表现形式： 有名数
- 人口密度：人/平方公里 - 平均每人分摊的粮食产量：千克/人
无名数，分以下几种:
-
系数或倍数：是将比的基数抽象化为1； 成数：是将比的基数抽象化为10； 百分数：是将比的基数抽象化为100； 千分数：是将比的基数抽象化为1000。
上限公式(较大制累计时用)
f
Me XU 2
S m 1 fm
式中： XL、XU fm S m 1 Sm 1 f d 表示中位数所在组的下限、上限
中位数所在组的次数 中位数所在组以下的累计次数 中位数所在组以上的累计次数 总次数 中位数所在组的组距
3.中位数的特点
① 中位数也是一种位置平均数，它也不受极端值 及开口组的影响，具有稳健性。 ② 各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个 最小值。
三、正确运用相对指标的原则(略)
第三节 平均指标
一、平均指标的意义和作用
1.概念 平均指标是指在同质总体内将各单位某 一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具 体条件下的一般水平。 2.特点 - 数量抽象性 - 集中趋势代表性
3.作用(略) 4.种类 算术平均数 X 调和平均数 X h 几何平均数 X G 众数 Mo 位置平均数 中位数
f lg X f
五、众数
M0
1.概念：在总体中出现次数最多的那个标志值就是众数。
由定义可看出众数存在的条件：
① 只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才 存在众数。
M0
M0
M0
② 在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时， 计算众数是没有意义的。 下三图无众数：
2.众数的计算方法 ① 根据单项数列确定众数；
上例中，假如有六个工人生产某产品件数，按序排列如下： 20，23，26，29，30，32 n 1 6 1 中位数位置 3.5 2 2 这表明中位数是第三、至第四人的平均数： 26 29 Me 27.5(件) 2
② 由单项数列确定中位数
例
某企业按日产零件分组如下：
按日产零件分组 （件） 26 31 32 34 工人数 （人） 3 10 14 27 较小制累计 3 13 27 54 较大制累计 80 77 67 53
布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则 无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数 的位置也不好确定。
六、中位数 Me
1.概念： 将总体中各单位标志值按大小顺序排列， 居于中间位置的那个标志值就是中位数。
2.中位数的计算方法
① 由未分组资料确定中位数 n1 中位数的位置 2
( n为总体单位数)
例
某种商品的价格情况
价格 (元)
2.00 2.40 3.00 4.00 合计
销售数量 (千克)
20 60 140 80 300
众数M0=3.00(元)
② 根据组距数列确定众数
⑴ 由最多次数来确定众数所在组；
⑵ 利用比例插值法推算众数的近似值。
计算众数的近似值：
下限公式： 上限公式： 公式中： X L、 X U 1 2 d 表示众数组的下限、上限； 表示众数组次数( f 2 )与下一组次数之差( f1 )； 表示众数组次数( f 2 )与上一组次数之差( f 3 )； 众数组的组距。 1 f 2 f1 2 f2 f3 M0 X L M0 XU 1 1 2 2 1 2 d d
如图： f
X
Me
M0
X
所以
如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布右偏(或上偏) 如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布左偏(或下偏) 如果 (X-M 0 ) 0 ， 则说明分布对称
根据卡尔 皮尔逊经验公式，还可以推算出： M0 3Me 2 X Me X 1 ( M0 2 X ) 3
⑴ n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值就是中位数。
例
有五个工人生产某产品件数，按序排列如下： 20，23，26，29，30 n 1 5 1 3 2 2 即，第3位工人日产26件产品为中位数：M e 26(件) 中位数位置
⑵ n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术平均数为中位数。
上例工人日产量众数 80
(50 36 ) (50 19 ) (50 36 )
△ 众数的特点 众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中
最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响， 从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极 端值和开口组数列的影响。
众数是一个不容易确定的平均指标，当分
36
41 合计
18
8 80
72
80 -
26
8 -
f 中位数位置 2 即M e 34(件)

80 40 2
③ 由组距数列确定中位数
按日产量分组 (千克) 50 – 60 工人数 (人) 10 较小制累计 10 较大制累计 164
60 – 70
70 – 80 80 – 90 90–100 100-110 110以上
按其反映的时间状况不同可分为：
时期指标 —— 反映现象在某一时期发展过程的总
数量。(可连续计数，与时间长短有关，是累计 结果)
时点指标 —— 反映现象在某一时刻的状况。
(间断计数，与时间间隔无关，不能累计)
三、 总量指标的计算
计算原则：
1.现象的同类性。 2.明确的统计含义。 3.计量单位必须一致。
甲 乙
丙
合计
1.40
-
35 000
95 000
25 000
75 000
总平均价格 X h
m 95,000 1.27(元) 1 75 , 000 Xm
2.由相对数计算平均数时调和平均数法的应用：
例
某公司有四个工厂，已知其计划完成程度(%)及实际产值资料如下：
工厂 计划完成程度(%) X 90 100 110 120 实际产值(万元) m=Xf 90 200 330 480 1,100 实际产值÷计划完成程度(%) m (即计划产值) f (万元) X 100 200 300 400 1,000