《电磁学》第8章 第8.3 能流密度矢量(3学时)
电磁场的能流密度
2
B
1 2
0
0
r
E t
根据d<<R的条件，电容器边缘效应可以忽略。
侧面电场强度为E，由
B
1 2
0
0
r
E t
得电容器侧
面处的磁感应强度为
B
1 2
0 0R
E t
S
EH
1
0
EB
1 2
0
RE
E t
通过侧面流入电容器的能量为
S d
S 2Rd
0R 2 Ed
E t
12
结果的讨论
t 时刻电容器极板间的电场强度为E，电容器内
电场能量为
We
1 2
0
E
2
1 2
0
E
2
R
2
d
充电时电场强度在增大，电场能量在增加，而能
量增加率
dWe dt
t
(
1 2
0
E
2
R2d
)
0R
2
Ed
E t
与先前结果一致。说明电容器极板间能量的增加
是由于能量从电容器外部空间通过其侧面流入所致。
V
V
j0
EdV
j0
j0 EdV ( j02 j0 K)dV
S
V
V
j0 (E K )
E j0 K
( j02 j0 K )dV j02Sl j0 KSl
电磁学笔记(全)
电磁学笔记（全）第一章 静电场库仑定律物理定律建立的一般过程观察现象； 提出问题； 猜测答案； 设计实验测量；归纳寻找关系、发现规律；形成定理、定律（常常需要引进新的物理量或模型，找出新的内容，正确表述）； 考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等 。
库仑定律的表述： (p5)在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力大小和q1 与q2的乘积成正比，和它们之间的距离r 平方成反比；作用力的方向沿着他们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
电场强度电荷q 所受的力的大小为：场强 E = F/q场强叠加原理：点电荷组：连续带电体：的电量大小、正负有关激发的电场有关q Q r Qq F 与与2041πε=∑=iiE ∧⎰⎰⎰==r rdq d d 2041,πε受的力的方向一致方向：与单位正电荷所小场中受到的电场力的大大小：单位正电荷在电E高斯定理任意曲面：高斯定理：环路定理电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关 静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零两点之间电势差可表为两点电势值之差静电场中的导体导体：导体中存在着大量的自由电子 电子数密度很大，约为1022个/cm3d EdS d S E ⋅==θcos Φ的通量通过d ∑⎰⎰=⋅=Φ内S iSE qS d E 01ε⎰⎰⋅=ΦSE Sd E 020204141επεπεqdS r qdS r qEdS S d E SS SS E ====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Φ)()(Q U P U l d E l d E l d E U QPQ PPQ -=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞静电平衡条件电容和电容器第二章 恒磁场奥斯特实验奥斯特实验表明：长直载流导线与之平行放置的磁针受力偏转——电流的磁效应 磁针是在水平面内偏转的——横向力突破了非接触物体之间只存在有心力的观念——拓宽了作用力的类型毕奥—萨筏尔定律B-S 定律：电流元对磁极的作用力的表达式：由实验证实电流元对磁极的作用力是横向力整个电流对磁极的作用是这些电流元对磁极横向力的叠加由对称性，上述折线实验结果中，折线的一支对磁极的作用力的贡献是H 折的一半'0E E E +=内 0导体储能能力与q、U无关关与导体的形状、介质有⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫=Uq C ⎰⎰∑∑==iS e ii n i i i e dSU U Q W σ2121构成的平面B 成反比与r 成正比与B 2r l d d Idl r l d I d ,sin )(413110⊥⨯=，、θπμ2tanαr I k H =折k k 21=磁感应强度B ：电场E 定量描述电场分布 磁场B 定量描述磁场分布 引入试探电流元安培环路定理表述：磁感应强度沿任何闭合环路L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的0倍磁高斯定理 磁矢势,)ˆ(12212122112r r l d l d I I kF d ∧⨯⨯=⎰∧⨯⨯=112212122102)ˆ(4L r r l d l d I I F d πμ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯=⎰∧112212110222)ˆ(4L r r l d I l d I F d πμ22l d I 11l d I ⎰∑=⋅L L I l d B 内0μ∑-=内L I II 212rIB I I R r πμ2,,0==>∑内∑==<20222,,R Ir B r R I I R r πμππ内磁场的“高斯定理” 磁矢势 ：磁通量任意磁场，磁通量定义为 ：磁感应线的特点：环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远：磁高斯定理 ：通过磁场中任一闭合曲面S 的总磁通量恒等于零 证明：单个电流元Idl 的磁感应线：以dl 方向为轴线的一系列同心圆，圆周上B 处处相等；考察任一磁感应管(正截面为)，取任意闭合曲面S ，磁感应管穿入S 一次，穿出一次。
8.3电磁场的能流密度解析
d P Q E j0dV wdV τ dt τ
7
三 电磁场的动量和光压
根据量子理论，电磁波具有波粒二象性，能量 由许多分立的、以光速运动的光子所携带。 光子能量E=h，h=6.62617610-34 Js普朗克常量。 相对论的质能关系，光子能量 E=mc2
u ห้องสมุดไป่ตู้1 /
1
H E
电磁波的能流密度(坡印廷)矢量 S E H
平面电磁波能流密度 1 平均值 S E0 H 0 2 振荡偶极子的平均 辐射功率 2 4 p0 4 p 12πu
E
S
H
2
二 电磁场的能量原理
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . • 体积V内电磁能为:
V
令S E H （Poynting 电磁能流密度矢量）
dW ( E H ) d Q P dt
dW ( E H ) d Q P dt
意义：由外界流入系统的电磁能，除了对系 统内的带电体作功外，还使系统的电磁能增加。 能量守恒表达式。设想将系统的边界扩展到 无限远处。电荷和电流分布在有限空间内，无限 远处的电磁场应等于零，所以右边第一项面积分 必定等于零，上式变为
2
13
结果的讨论
1 F p c ( g 入 g 反) ( S 入 S 反 ) c
9
S 入 和 S 反分别是入射电磁波和反射电磁波的
能流密度矢量的大小。对于全反射，S 入= S 反，
2 2 物体表面所受压强为 p S入 EH c c 平均压强指所受压强在 1 p E0 H0 c 一个周期内的平均值
光子 E h 质量 m 2 2 c c
电磁学全套ppt课件
由于磁场变化而产生的感应电动势。 其大小与磁通量变化的快慢有关，即 与磁通量对时间的导数成正比。
自感和互感现象在生活生产中应用
自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时，它所产生的磁通量也会发生变化，从而在线圈自身中 产生感应电动势。自感现象在电子线路中有着广泛的应用，如振荡电路、延时电路等。
静电现象在生活生产中应用
静电喷涂
利用静电吸附原理进行 喷涂，提高涂层质量和
效率
静电除尘
利用静电作用使尘埃带 电后被吸附到电极上，
达到除尘目的
静电复印
利用静电潜像形成可见 图像的过程，实现文件
快速复制
静电纺丝
利用静电场力作用使高 分子溶液或熔体拉伸成
纤维的过程
03
恒定电流与电路基础知识
电流产生条件及方向规定
电流产生条件
导体两端存在电压差，形成电场 ，使自由电子定向移动形成电流
。
电流方向规定
正电荷定向移动的方向为电流方向 ，负电荷定向移动方向与电流方向 相反。
电流强度定义
单位时间内通过导体横截面的电荷 量，用I表示，单位为安培（A）。
欧姆定律与非线性元件特性
01
02
03
欧姆定律内容
在同一电路中，通过导体 的电流跟导体两端的电压 成正比，跟导体的电阻成 反比。
联系专业电工进行处理。
THANKS
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特点介绍
正弦交流电具有周期性、连续性、可变性等 特点。其电压和电流的大小和方向都随时间 作周期性变化，且波形为正弦曲线。
三相交流电传输优势分析
传输效率高
三相交流电采用三根导线 同时传输电能，相比单相 交流电，其传输效率更高 ，线路损耗更小。
马文蔚《大学物理》第八章1
§8-1 恒定电流
2015-4-7 6
物理学
第五版
一、电流
电流密度
电流：通过截面S 的电荷随时间的 变化率
I dq / dt
S
+ + + + + +
dq envddtS
I envd S
I
vd :电子漂移速度的大小
第八章 电磁感应与电磁场
7
物理学
第五版
电流密度：细致描述导体内各点电流分 布的情况. 该点正电荷运动方向 方向： j
基尔霍夫第二 定律
17
第八章 电磁感应与电磁场
物理学
第五版
三、恒定电场与静电场
（三）恒定电场及其性质
与恒定电流场（稳定 J 场）相伴的电场
叫做恒定电场（又称稳恒电场）。 欧姆定律的微分形式
E
J E 1、恒定电场的高斯定理 S E dS 0
2、稳恒电场的环路定理
第八章 电磁感应与电磁场
14
物理学
第五版
三、恒定电场与静电场
（二）恒定电流场的特点
1、稳恒电流：
电流场中各点的电流密度矢量 J 都不随时间而
变的电流叫做恒定电流（或稳恒电流）。 2、稳恒条件： 要维持恒定电流，空间各处的电荷密度必须 不随时间而变。这个必要条件称为恒定条件 （也称稳恒条件）。 与电流场相伴的电场中，各处的电荷分布不随 时间而变化，即空间各点的电荷密度保持不变。
第八章 电磁感应与电磁场
13
物理学
第五版
三、恒定电场与静电场
（一）恒定电流场与恒定电场
不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变 的电场称为恒定电场(稳恒电场)。 稳恒电场包括了静电场，但并不只限于静 电场。 1、载流子与电流 2、电流强度和电流密度矢量 3、电流密度矢量的通量
电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) =B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A ∙C ) – C ∙(A ∙B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元x y z =++l e e e d x y z 矢量面元=++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元d V = dxdydz单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元dV = ρd ρd ϕd z 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ+e ϕ r sin θd ϕ 矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ 体积元dv = r 2sin θd r d θd ϕ 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕ sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕ sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ 三、矢量场的散度和旋度1.通量与散度=⋅⎰A SSd Φ0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γmaxnrot =lim∆→⋅∆⎰A l A e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A zϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρsin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SVd dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u ll 0cos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P u u u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y z u u u u u n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x y z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z zu u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程： 0d ⋅=⎰SE S qε d 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε=-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程： d ⋅=⎰D S S qd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ=-∇⋅P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ 传导电流：=J E σ与运流电流：ρ=J v 恒定电场方程： d 0⋅=⎰J S Sd 0l ⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lIμ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ=∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l l Id 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰SE l B S lddt ∂∇⨯=-∂B E t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S lSt ∂∇⨯=+∂DH J t位移电流：d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B Sl S lS S V S l t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t&t t ρρm e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B t t ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D SE S E l E lS Sd d q C U d d ε 3. 静电场的能量N 个导体：112==∑ne i i i W q φ连续分布：12=⎰e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式：=J E σ焦耳定律的微分形式：=⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J S E S SSU R G I d d σ（L R =σS）4.静电比拟法：C ——G ，ε——σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D SE S E l E lS Sd d q C U d d ε2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G U σ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s ()=∇-∇=标量位：20m φ∇=211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ0=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
(整理)电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
8.3电磁场的能流密度
1 E0 H0 平均压强为 p 2c
10
例1 平行板电容器，圆金属板半径为R，两板间 距d (<<R )。电容器正在被缓慢充电，t 时刻极板 间的电场强度为E，求此时流入电容器的能流。 解 电容器正在充电，极板间场强随时间增大， 极板间电场的能量也随时间增加 ﹣ E B● ● ● × × × B ﹢ i 11 i
l
S I 0 2 R I 0 Q P
dW ( E H )dV j0 EdV dt V V dW ( E H )dV Q P dt V
( E H )dV ( E H ) d
dW ( E H )dV j0 EdV dt V V
j0
j
V
0
EdV ( j0 j0 K )dV
2 V
S
j0 ( E K ) E j0 K
小流管
( j0 2 j0 K )dV j0 2 S l j0 K S l ( j0 S ) 2 j0 S ( K l )
光子 E h 质量 m 2 2 c c
光子 E h 动量 p mc c c
动量密度为单位体积的动量 g w S 2 动量密度矢量方向与波传播方
向和能流密度矢量S方向一致
1 g= 2 S c
c
c
电磁波具有动量，能产生压力作用。光也这
样，列别捷夫在1901年进行光压实验证实。 电磁波t 内动量改变量G =(
物体的动量改变量为 G =(
g反 g入 )ct , g入 g反 ) ct ,
《电磁学》第8章 第8.1 麦克斯韦电磁理论(1学时)
这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，但是，它 与“电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的电场产生的。 如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得
D H dl dS t ( L) (S )
它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能激发涡旋磁 场。这正是产生电磁波的必要条件之一。
(S )
D dS
(V )
e0
dV
式中V是高斯面S所包围的体积。 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积分化为体积分：
DdV
(V ) (V )
e0
dV
上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有
D e0
这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理的微分形式
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论 8.1.1 麦克斯韦电磁理论产生的历史背景：
第 2页
⑴和当时的生产力发展和推动是分不开的。特别是到了十 九世纪后半叶，电磁学和其它学科一样，在当时生产力水平所 能提供的实验设备的保证下，得到了迅速的发展。经过大量科 学实践，总结出一系列重要规律（库仑定律、安培定律、毕-沙 定律、法拉第电磁感应定律等）。另一方面，电磁学的发展反 过来又对生产力的发展产生巨大的影响。 ⑵麦克斯韦总结了前人的成果，并在此基础上加以发展，提 出了“涡旋电场”和“位移电流”的假说，由此预言了电磁波的 存在。从库仑定律的发现（1785），到麦克斯韦方程组的发表 （1865），整整经历了八十年。麦克斯韦方程组的原来形式并不 完美，直到1890年经过赫兹修改才写出今天的完整方程式。
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
8.1.2 位移电流
第10页
这就是说，对同一个闭合回路L， H dl 的值不 定，这表示非恒定情况下，电流的稳恒条件不满足， 我们在前面写出来的安培环路定理不再适用。 对于恒定电流的情况，通过以L为周界的任一曲面 上的电流强度是相等的，因为根据电流的稳恒条件， 对于由 S1 , S2 构成的闭合曲面
能流密度矢量表达式
能流密度矢量表达式
能流密度，是指在一定空间范围内，单位面积（如平方米）所能取得的或单位重量（如公斤）能源所能产生的某种能源的能量或功率。
能流密度是评价能源的主要指标之一。
如能流密度很小，即很难作为主要能源。
按21世纪初的技术水平，太阳能和风能的能流密度很小，每平方米约100瓦左右。
各种常规能源的能流密度都较大，如1公斤标准煤发热量为7000千卡（1卡=4.1868焦耳），1公斤石油发热量为10000千卡。
核能的能流密度最大，1公斤铀235裂变时可释放出164亿千卡的热量。
在电磁学中，能流密度指一定单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量。
资料拓展：
坡印亭矢量，亦称能流密度矢量，其方向为电磁能传递方向，大小为能流密度（单位面积的能量传输速率）。
坡印亭矢量的SI单位是瓦特每平方米（W/m^2）。
它是以其发现者约翰·亨利·坡印亭来命名的。
奥利弗·亥维赛和尼科莱·乌诺夫亦独立发现所谓的坡印亭矢量。
电磁波能流密度矢量
电磁波能流密度矢量
电磁波能流密度矢量，简称EMCD，是一种表示电动场和磁动场的特殊的矢量，常用于描述电磁场的形成过程，并可以识别、衡量电磁场的方向。
使用EMCD在传播和散射过程
中的影响，能够更好的理解描述电磁场的能量的传播和分布。
EMCD是一种空间矢量，它由两个部分组成：电动场矢量和磁动场矢量，它们分别反映了电磁场中电场能量和磁场能量的数量。
EMCD可以用来描述单个电磁波，而也可用来描述多个组成部分的场，如波束或波束电磁场。
由EMCD求得的幅度可以用来衡量电磁场信号
的强度，也可以用来衡量单个波束或信号源（如天线）对应的信号能量分布在随后的波束
中的份额。
EMCD矢量具有许多唯一的特性，它的幅度和方向可以识别并且可用来描述电磁场的大小、方向和局部强度分布。
它正常情况下能够描述波束从源头到接收方介质中的传播过程
的空间位置分布、频率和波形分布。
此外，EMCD矢量也可以用来描述多源信号间的相对能量分布，这可以帮助更好理解多源信号汇聚成一个电磁场所形成的场景。
而EMCD矢量还可以用来形成局部化的电磁场信号模型，该模型可以被用来定义系统
中任何一点处的电磁场的特征，如信号的大小、场的方向等。
EMCD矢量的局部化特性使它在电磁辐射模拟和与电磁信号有关的各种推理算法中特别有用，例如偏振分解算法和模拟
天线测量算法等。
而使用EMCD矢量去衡量和描述电磁场的分布也可以用来帮助模拟实际
电磁波在传播和散射过程中的影响，从而更好地理解和描述电磁场能量的传播和分布情况。
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
能流密度矢量
能流密度矢量能流密度矢量是描述电磁场中能量传输情况的物理量，也称为泊松矢量。
它可以用来计算电场和磁场中的能量传输速率和方向，是电磁学中非常重要的概念之一。
一、能流密度矢量的定义能流密度矢量表示单位时间内通过单位面积的能量传输。
在电场和磁场中，能够传输的能量由电磁波携带，因此，能流密度矢量与电磁波有着密切的关系。
在SI国际单位制中，能流密度单位为焦耳每秒每平方米（J/s/m²），用符号S表示。
在真空中，S等于光速c乘以介质中电场强度E和磁感应强度B的叉积：S = cE × B其中E和B分别表示电场强度和磁感应强度。
二、能流密度方向根据上式可知，S的方向垂直于E和B两个方向，并遵循右手定则：将右手握成拳，让四指沿着B的方向弯曲到E所在平面上，那么大拇指所指示出来的方向就是S所在的方向。
三、能流密度的物理意义能流密度矢量描述了电磁波在空间中的传播方向和速率，是电磁学中非常重要的概念之一。
它可以用来计算电磁波在介质中的传输速率和方向，也可以用来计算介质中吸收或反射电磁波时所产生的能量变化。
在光学领域，能流密度矢量被用来描述光线在空间中的传播情况。
通过对能流密度矢量的分析，可以得到光线在介质中传播时所遵循的规律和特性，从而更好地理解光学现象。
四、能流密度与辐射压力除了描述电磁场中能量传输情况外，能流密度还与辐射压力有着密切的关系。
辐射压力是指电磁波对物体表面施加的力，它与能流密度之间存在着简单的关系。
根据爱因斯坦质能关系E=mc²可知，在物体表面被吸收或反射的电磁波会产生动量变化，进而产生辐射压力。
这个压力与单位时间内通过单位面积的能量传输有关，即与能流密度成正比。
因此，能流密度矢量不仅可以用来描述电磁场中的能量传输情况，还可以用来计算电磁波对物体表面施加的辐射压力。
五、总结能流密度矢量是描述电磁场中能量传输情况的重要物理量，它可以用来计算电场和磁场中的能量传输速率和方向。
在光学领域，它被用来描述光线在空间中的传播情况。
电磁学中几个基本矢量的性质
电磁学中几个基本矢量的性质杨东杰2900103013摘要本文在学习完电磁学的基本矢量知识的基础上，统一地推导研究电磁学中各个矢量的性质，即散度、旋度及其边界条件。
关键字散度旋度边界条件引言在学习了第二章关于电磁场的一些基本规律之后，我们知道了很多电磁场的基本理论知识，但是书本上都是分别逐一地对各个矢量的性质，如散度、旋度及边界条件进行推论，所以本文意在对各个矢量的性质作一个统一的推导总结，从而加深对知识的理解。
正文一，电场强度的散度、旋度及边界条件。
1，散度。
用电荷按体密度分布库伦定律：利用可将写为对上式两边取散度，得利用关系式，上式变为在利用函数的挑选性，有则由式(2)得因已假设电荷分布在区域V内，故可由上式得的E散度2，旋度。
在静电场中，由式1，微分算符是对场点坐标求导，与源点坐标无关，故可将算符从积分中移出，即对上式两边取旋度，即上式右边括号内是一个连续标量函数，而任何一个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0，则得在时变电磁场中，变化的磁场会产生电场。
在一回路中，由法拉第电磁感应定律，得利用斯托克斯定理，上式可表示为上式对任意回路所谓面积S都成立，故必有3，边界条件。
在参数分别为的两种媒质的分界面上，设分界面法向单位矢量为，是沿分界面的切向单位矢量。
则在垂直于分界面的矩形闭合路径abcda上，由麦克斯韦第二方程，当时有故得或也可写为表明电场强度的切向分量是连续的。
二，电位移矢量的散度、旋度及边界条件。
1，散度。
在电介质中，在外场作用下电介质发生极化，产生极化电荷。
电介质中的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生电场的叠加，即。
将真空中成立的式3推广至电介质中，得即极化电荷也是产生电场的通量源。
由式(后面会推导)代入上式得而由于，我们得到2，旋度。
由于本构关系，我们可以由的旋度直接得到：在静电场中，而在时变电磁场中，3，边界条件。
如同以上边界条件的界定下，在分界面上取一个扁圆柱形闭合面，当其高度时，圆柱侧面对积分的贡献可忽略，且此时分界面上存在的自由电荷面密度为，则得即故或当两种媒质都不是理想导体的边界条件时，有，则三，磁感应强度的散度、旋度及边界条件。
能流密度的定义
能流密度的定义能流密度在电磁学中的定义为单位时间内通过单位面积的能量流量。
它是一个矢量，其大小表示单位面积上通过的能量流量，方向表示能量传输的方向。
在电磁学中，能流密度的大小通常用瓦特/平方米（W/m²）来表示。
为了更好地理解能流密度的概念，我们可以以电磁波传播为例。
电磁波是由电场和磁场相互作用产生的能量传输。
当电磁波传播时，能量以一定的速率通过空间传输。
能流密度告诉我们在某一点上，单位面积上通过的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度用来描述流体的能量传输。
当流体通过一个截面的时候，能量也会通过这个截面传输。
能流密度告诉我们单位时间内通过单位面积的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度的大小通常用焦耳/秒/平方米（J/s/m²）来表示。
能流密度的概念在物理学中有广泛的应用。
在电磁学中，能流密度不仅可以用来描述电磁波的能量传输，还可以用来描述电流在导体中的能量传输。
在流体力学中，能流密度可以用来描述流体的能量传输，例如水流的能量传输。
能流密度的计算通常涉及到矢量运算和积分运算。
在电磁学中，能流密度的计算可以通过电磁场的分布和电磁场的能量密度来进行。
在流体力学中，能流密度的计算可以通过流体的速度场和流体的能量密度来进行。
能流密度是一个重要的物理概念，用来描述单位时间内通过单位面积的能量流量。
它在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
能流密度的计算涉及到矢量运算和积分运算，需要根据具体情况进行计算。
通过对能流密度的研究和应用，我们可以更好地理解能量的传输和转化，为相关领域的研究和应用提供支持。
北大电磁学第八章 磁能
这个电流将在电阻R上产生焦耳热： 2t
dQ RI dt RI e
2 2 0
dt
整个暂态过程，R上产生的焦耳热为：
Q
dQ
RI e
0
2 0
2t
dt
1 2
LI 0
2
Q与线圈的自感和电流有关。
当电源刚接入电路时，电路的回路方程为：
IR L
dI
即
dt d 1 2 2 I I R ( LI ) dt 2
上式表明，单位时间内电源电动势供给电路的能量分 为两部分，一部分是消耗在电阻R上的焦耳热，一部分 是克服线圈上的自感电动势所做的功，当电流稳定后， I0 做功大小为： 1 1 2 2 W m d ( LI ) LI 0 0 2 2 它大小正好等于切断电源后电阻上放出的焦耳热，这 说明自感有储存能量的功能。
第八章 磁能
§8.1 载流线圈的磁能 §8.2 载流线圈在外磁场中的磁能 §8.3 磁场的能量和磁能密度
§8.1 载流线圈的磁能
§8.1.1 单个载流线圈的磁能 §8.1.2 N个载流线圈的磁能
§8.1.1 单个载流线圈的磁能
讨论RL电路的暂态过程，当按键突然把电键 合到b后，回路中电流没有立即降到零，仍维 t 持
Wm 1 2
i , k 1
i , k 1 i k
M
N
ik
IiIk
M
N
ik
IiIk
根据互感系数的定义，第k个线圈中电流 的磁场通过第i个线圈的磁通量为：
ki M ik I k M ki I k
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
由于电磁波具有动量，因此在被物质表面反射或吸收时， 必定产生压强，称为辐射压强。 光是一种电磁波，它所产生的辐射压强称为光压。光压一 般情况下非常小的。 彗星尾巴背着太阳就是太阳的光压造成的。
Δt时间内，入射波和反射波作用于物体上的动量为：
S入 1 c t S入 t 2 c c S反 1 p反 g 反 V g 反 ct 2 ct S反 t c c 则金属物体受到的作用力为： p p入 +p反 1 F ( S入 S反 ) t t c p入 g 入 V g 入 ct
(2) 由于 ，因此，振子的固有频率越高，能量的辐射越 /v 多；在一般的交流电路中，由于频率很低，电磁波的能量 辐射可以忽略不计。
1 S (3) 从上式还可以看出 r2
，这说明通过任何一个以振子 为中心的球面的能量都是相等的。
2 S sin 因此偶极振子辐射电磁能量并不是各向 (4) 由于 同性的，沿着赤道面S最大，r靠近极轴，S越小，到了极轴， 没有能量沿着该方向发出。
由矢量高斯定理可知：
( E H )dV E H d
(V ) ()
则(2)式可变为：
W w dV E H d j02dV K j0dV t t (V ) () (V ) (V )
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
ˆ ( I 0 l ) 2 4 sin 2 sin 2 (t r ) 0 r ˆ S (r , t ) E (r , t ) H (r , t ) S 4 0 r v 0
可以看到:
(1) 能量沿着r方向传播，其流动方向即为电磁波的传播方向。
S EH
(4)
S 称作电磁能流密度矢量或坡印廷矢量(Poynting vector) 。它的
方向代表电磁能传递的方向；它的大小表示单位时间内流过与之垂 直的单位面积的电磁能量。 由此，我们得到代表着能量守恒关系的坡印廷定理：
W S d Q A t ()
(4)
到此，(3)式可写为：
W E H d Q A t ()
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量 8.3.1
W E H d Q A t ()
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电磁场的能量原理和能流密度矢量
引入一个新的矢量
S ，其定义如下：
(3)
因此，左边这一项的意义是体积V内单位时间增加的电磁能。
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
为了弄清楚式子(3)中右端第二、第三项的物理意义，我门不妨先考虑一小的 电流管的情况，在V内取一小电流管，其截面积为△∑，长为△l，则：
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
电磁场的能量定域于场中的，其能量密度等于电场的 能量密度与磁场的能量密度之和，即：
1 1 w DE BH 2 2
由麦克斯韦方程组知
B E t
D H j0 t
(小流管)
j0 dV j0 l ( jo) (
2 2 2
l
2 ) I0 R Q
因此，这一项的意义是体积V内单位时间内的焦耳损耗。
( 小流管 )
K j0dV jo K l jo K l I 0 A
因此这一项的意义应该是体积V内单位时间电源所做的功。
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量 8.3.1
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电磁场的能量原理和能流密度矢量
对于平面电磁波的讨论可知， S E H 是沿着电磁波传播方 向，即能量总是向前传播的。电磁波中E和H都随时间迅速变化。在实 际中重要的是它在一个周期内的平均值，即平均能流密度： 对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易得出：
• 虽然电磁场和实物各自具有一些不同的属性。但随着科学的发展 ，场和实物之间的差异并没有想象中的大。比如光也具有微粒性 ，波粒二象性；微观电子具有波动性。而且在一定条件下可以相 互转化。（一对正、负电子结合后可以转化为伽马射线）
《电磁学》第八章
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本节作业：p. 583 8.3-3, 8.3-4
S E H wc
所以与真空中的平面电磁波相联系的单位面积的电磁波动量密度为：
g
w S 1 2 2 EH c c c
1 S E H c2 c2 即电磁波的动量密度大小正比于能量或能流密度，方向沿电磁波传播 方向，即能流密度方向。
矢量形式为：
g
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
根据狭义相对论，能量和动量是密切联系的，能量 和动量的定义式为：
E h mc
2
m0c 2 1 v / c
2 2
p mv
m0v 1 v 2 / c2
由此容易得到，相对论动量和能量之间的关系：
S 1 E0 H 0 2
式中 系：
E0 , H 0 是E和H的振幅，由于
E0
和
H 0 之间存在比例关
r 0 E0 r 0 H 0
故：
S E02或H02
这说明电磁波的能流密度正比于电场或者磁场振幅的平方。
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
例：偶极振子辐射波的能流密度 在偶极振子的辐射区里，S的表达式为：
2 4 E 2 p2c2 m0 c
光子的静止质量为m0=0，所以
E h p c c
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
1 2
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
电磁场的能量密度为： w ( E D H B) 真空中有，
1 B2 2 w ( 0 E ) 0 E 2 2 0
t
(2)
容易看出上式右端第一项刚好是电磁场能量密度对时间的变化 率的负值，即 w 。 我们再把有非静电力K下欧姆定律的微分形式 应用于右端第二项，可得：
j0 (E K )
E j0 (
j0
K ) j0
j02
K j0 j02 K j0
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
第Байду номын сангаас3页
8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
D 0 E
E D 1 ( D E) t t 2
再应用矢量分析中的恒等式：
H ( E) E ( H ) (E H )
式子(1)可以写成：
1 1 ( E H ) ( B H D E ) E j0 t 2 2
w 2 ( E H ) j 0 K j0 式子(2)可变形为： t
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
现在我们在空间任取一体积V，表面为∑，将上式两边对体积V积 分：
w 2 dV ( E H ) dV j dV K j0dV 0 t (V ) (V ) (V ) (V )
S入
F
S反
受到的压强为：
P F 1 ( S入 c
2 EH , 全反射 c S反 ) 1 EH , 全吸收 c
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
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8.3.3 电磁场是物质的一种形态
• 能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在方式，运动 和物质是不可分割的。电磁场具有能量和动量，证明它是与实物 一样的物质的一种存在形态。“场”和“实物”是物质存在的两 种不同的形态。 • 电磁场和实物有很多的相同点和不同点。 相同点：都有能量、动量和质量； 不同点：实物有静止质量光子没有静止质量；实物具有不可入 性，电磁波可以和实物占有同一空间，各自独立。
分别利用H和E点乘以上两式，并将所得两式相减，得：
B D H ( E ) E ( H ) H E j0 E t t
(1)
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
考虑到关系式： B 0 H
H B 1 ( BH) t t 2
《电磁学》第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8学时）
林志立
华侨大学信息科学与工程学院 电子科学与技术系 Email：zllin@
QQ群：200310752
《电磁学》第八章
内容概要
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第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8学时） • §8.1 麦克斯韦电磁理论（2学时） • §8.2 电磁波（3学时） • §8.3 电磁场的能流密度与动量（3学时） • §8.4 似稳电路和迅变电磁场（自学）