2.3.1《直线与平面垂直的判定》2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
2.3.1直线与平面垂直的判定(典型课件)
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
高一数学必修2课件：2.3.1 直线与平面垂直的判定
课堂练习
2、下列命题中
①如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面,那么另一条也垂直于这个平面
②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平 面,那么它也垂直于另一个平面
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线,那么这条直线垂直于这个平面
④过一点作一平面的垂线有且只有一条
高一年级数学必修2
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究
1、观察下列图片，寻找出其中线面垂直
的位置关系。
第二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
旗杆与底面垂直
第三页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我 们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
O 1
B
第十八页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例3、如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VC, AB=BC,求证:VB⊥AC
V
A
D
C
B
第十九页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例4、如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 (侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱)中,
底面四边形ABCD满足什么条件
垂直？
第九页，究
容易发现：当且仅当折痕AD为BC边上
的高时，AD与桌面所在平面α垂直
第十页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究
第十一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识探究 3、线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
⑤过一点作一直线的垂面有且只有一个
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定
V
K
C F B
的条件下，有人说“ ⊥ ， ⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴ VB⊥平面 ⊥ ， ⊥平面ABC”，对吗？ ，对吗？
线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直的定义 关键： 关键：线不在多 相交则行 线面垂直
探究1 探究1： 内的一条直线垂直， 如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直?
a
b
α
探究2 探究2： 内的两条直线垂直， 两条直线垂直 如果直线 l 与平面α内的两条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交 如果两条直线相交
练习： 练习：
如图,在三棱锥 如图 在三棱锥V-ABC中 , 在三棱锥 中 VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中 A ＝ ＝ 是 的中 求证： ⊥平面VKB． 点。求证：AC⊥平面 ．
V
K
C B
变式： 变式：
分别是AB、 ⑴若E、F分别是 、BC 的 、 分别是 中点，试判断EF与平面 与平面VKB 中点，试判断 与平面 的位置关系． 的位置关系．
如图， 求证： b 例2. 如图，已知 a // b, a ⊥ α ，求证： ⊥ α ．
证明： 证明：设m为 α 内的任一 直线 ．
a
n
b
因为 a ⊥α ，根据直线与 平面垂直的定义知
α
m
a ⊥ m．
又因为 b // a ， 所以 b ⊥ m ． 因为m为 α 内的任一直线 ， 所以 b ⊥ α ．
例题1 如图，在正方体ABCD例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ABCD
D1 A1 B1 C1
直线与平面垂直的判定PPT课件
（1）判定定理
学习目标
1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； 3、应用直线与平面垂直的判定定理解决问题。
• 重点：线面垂直的判定定理内容及其应用。 • 难点：线面垂直的判定定理内容及论证过程 。
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2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC ∵AC、BD 正方形ABCD的为对角线
D’
∴AC⊥BD
A’
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥平面D’DB
∴BD平面D’DB,
D
∴AC⊥BD’
A′C⊥B′D′？
A′
D′
B′ C′
A
D
B C
知识盘点
1、线面垂直的定义： 2、线面垂直的判定定理： 3、数学思想方法：转化的思想。
课后作业
• P67—练习1 • P74—习题B组2，4
课后作业
1、如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O的直径，
C是圆周上一点,且PA⊥AC, PA⊥AB, P
求证：（1）PA⊥BC （2）BC⊥平面PAC
• 空间中直线与平面的位置关系：
直线在平面外 a⊂/ α
文字 语言
图形
语言
符号 语言 交点 情况
直线在平面α内
a α
a⊂α 有无数个交点
直线与平面α平行 直线与平面α相交
a α
a
A α
a∥α
a∩α=A
无交点
有且只有一个交点
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
数学必修② · 人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1 自主预习学案2 互动探究学案3 课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任任任任任任”任任任任任“任任任任”任任任任任任“任任任任任”任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，__________⇒l ⊥α 作用判断直线与平面垂直相交 a ∩b ＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直任任任任任任任任任任任任任任任任任任任“任任任任任任任任任任”．任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________． 垂直 交点 垂足 斜足 锐角 90° 0° [0°，90°][解析] ∵直线l ⊥任任α任∴l 任α任任任任∵m ⊂α任∴l 任m 任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任l ⊥m .任l 任m 任任任任任任1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能导学号 09024468() A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直A2．直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是导学号 09024469( )A ．l 和平面α相互平行B ．l 和平面α相互垂直C ．l 在平面α内D ．不能确定[解析] 如下图所示，直线l 和平面α相互平行，或直线l 和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D ．D3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是导学号09024471()A．5B．25C．35D．4 5[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC. 又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD.∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝P A2＋AD2＝4 5.故选D．D互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：导学号 09024472(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC任BC⊂任任ABC任∴PA⊥BC.∵∠ABC任90°任∴AB⊥BC.任AB∩PA任A任∴BC⊥任任PAB.(2)∵BC⊥任任PAB任AE⊂任任PAB任∴BC⊥AE.∵PB⊥AE任BC∩PB任B任∴AE⊥任任PBC.(3)∵AE⊥任任PBC任PC⊂任任PBC任∴AE⊥PC.∵AF⊥PC任AE∩AF任A任∴PC⊥任任AEF.『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.导学号 09024473(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，导学号 09024474(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B 1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．导学号 09024475(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析] (1)取BC 任任任E 任任任A 1E 任DE 任AE 任任任任任A 1E ⊥任任ABC 任任任A 1E ⊥AE 任任任AB 任AC 任任任AE ⊥BC 任任AE ⊥任任A 1BC 任任D 任E 任任任B 1C 1任BC 任任任任任DE ∥B 1B 任DE 任B 1B 任任任DE ∥A 1A 任 任任任任任A 1AED 任任任任任任任任A 1D ∥AE 任任任任AE ⊥任任A 1BC 任任任A 1D ⊥任任A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由∠A1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D 是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.导学号 09024476[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]错解中AA1任BB1任任任ABB1A1任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任[正解]∵AA1⊥任任ABC任CD⊂任任ABC任∴CD⊥AA1.任AC任BC任D任AB任任任任∴CD⊥AB.∵AB⊂任任ABB1A1任AA1⊂任任ABB1A1任AB∩AA1任A任∴CD⊥任任ABB1A 1 .[警示]任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 2C 1＝90°，D 为BB 1的中点．求证：AD ⊥平面A 1DC 1. 导学号09024477[错解] 在三棱柱中，∵AA 1⊥平面ABC ，∠B 1A 1C 1＝90°，∴AD ⊥A 1C 1；又从图可知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，∴AD ⊥平面A 1DC 1.[辨析]前半部分任任任任任任任任任任任任任AD⊥A1C1任任任任任任任任任任任任任任AD⊥任任BCC1B1任任任任任任任任任任任任任[分析]任任任C1A1⊥任任ABB1A1任任AD⊥C1A1任任任任任ABB1A1任任任任任任任任AD⊥A1D.[证明]∵AA1⊥任任ABC任任任A1B1C1∥任任ABC任∴AA1⊥任任A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.任∠B1A1C1任90°任∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.导学号 09024478(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC任A1B1C1任任BB1⊥任任ABC任∴BB1⊥AD任∵AB任AC任D任BC任任任任∴AD⊥BC.任BC∩BB1任B任∴AD⊥任任BCC1B 1 .(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .导学号 09024479[证明] ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，边BC 上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？为什么？导学号 09024480[思路分析] 关键是将PQ ⊥QD 转化为DQ ⊥AQ ，再使DQ ⊥AP 即可，但AD ＝BC ＝a 是变化的，故需对a 进行讨论．[解析]∵PA⊥平面ABCD任∴PA⊥QD.任任BC任任任任任Q任任任QD⊥AQ任任任QD⊥任任PAQ任任任QD⊥PQ.任任任ABCD任任任AD任a<2任任任任BC任任AD任任任任任任任任任任任任任Q任任AQ⊥DQ.∴任a≥2任任任任任任Q任任任PQ⊥QD.[点评]任任任任任任任任任任任任任任AD任任任任任任BC任任任任任任任任Q任任任任任[解析] 三角形的两边任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号 09024481①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( )A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为导学号 09024482()A．223B．23C．24D．13[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.D3．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有____.导学号 09024483[解析]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC.∴△P AB、△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.导学号 09024484[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH 12CD ，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形， ∴AH ∥EF .∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又∵AH⊂平面P AD，∴CD⊥AH.又∵P A＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.课时作业学案。
直线与平面垂直的判定-PPT课件
作业
P41 习题1-6 A组 第7题
正确的是（ B）
A.(1)(3)(4)
BHale Waihona Puke (1)(4)C.(1)D.都正确
3.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上
的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果
这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和
地面垂直，为什么？
A
C
BD
课堂小结
判定定理的 简单应用 线面垂直的 判定定理 线面垂直的 定义
直线与平面的 一条边垂直
l
P
如果一条直线垂直于一个平面内
的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
A
不一定
C C
B B
那我们如何判定直线与平面垂直呢？
动手实践
α
设想把书中的一页取掉，那么这种性质改变吗？ 换个角度再想，要想这种性质不变，至少保留 多少页才合适？
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
√ 直，则直线与此平面垂直
定理应用
例1、如图所示，在RtAB中C， B，点90Ｐ0 为 所在A平B面C外一点， 平面 P．A 问 四面A体BC 共有几个PA直B角C 三角形？
注意：
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化， 当线垂直面时，线就会垂直平面内的所有线； 当一条直线垂直于一个平面内的相交直线时， 这条直线就垂直于这个平面．
该直线与此平面垂直．
线不在多，
重在相交
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
思想： 直线与平面垂直
2.3.2--平面与平面垂直的判定定理(经典)-ppt
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
练习
第11页，共42页。
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证: BDCD,BAC 600
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
2 等腰三角形底边上的高 3 勾股定理
2 线面垂直 线线垂直.
要证明l垂直于内的直线b，
往往反过来证明b垂直于过l的某个平面.
(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.
二、平面与平面垂直
(1)定义：两平面所成二面角为直二面角
(2)判定定理： 平面过平面的垂线l
(3)性质定理： 两平面垂直，则平面内垂直于公共棱的直线是
i)求证面PAC 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.
P
注意：Rt APC Rt ABC
证明:取AC的中点E，连接PE，往证PE 面ABC.
PA PB,点E为AC的中点，PE AC. 接下来往证PE BC,可转化为异面直线所成角问题.A
E
C
取AB的中点F，连接EF，PF，则EF//BC.
P
PO OA，PO OB，PO OC
PA=PB=PC，PO=PO=PO
Rt POA Rt POB Rt POC
OA=OB=OC，即O为 ABC的外心.
A
C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. B 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
第20页，共42页。
A
G E
C
EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.
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直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
l
b
la
a
A
a b A
lb
a b
a
线线垂直
线面垂直
8
典例展示
例1.如图，已知 a // b, a ,求证: b .
证明：在平面 内作两条相交直线m，n．
a a m, a n.
4
直线和平面垂直的定义
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥.
它们唯一的公共点即交点P叫做垂足．
l
P 直线l叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线l的垂面． 画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成 与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
√
)
(3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这条直线垂直于 梯形所在的平面.(
×
)
√
)
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与 这条直线垂直的直线。( )
×
11
练习3.如图，直四棱柱 ABCD A ' B ' C ' D '（侧棱与底面 垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么 BD AC ？ 条件时， A’ AA 平面A B C D AA BD
V
又OV⊂平面VOB,OB⊂平面VOB
且OV ∩OB=O
A
O
B
C
∴AC⊥平面VOB
又VB⊂平面VOB ∴AC⊥VB，即VB⊥AC
13
平面的斜线和平面所成的角
P O P′
1.定义：平面的一条斜线
和它在平面上的射影所成
的锐角，叫做这条直线和
这个平面所成的角。
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是0的角。 2.范围：直线和平面所成角的范围是[0，90]。
14
例 3.如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．
D1
C1 B1 O
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O．
A1
D A
设正方体的棱长为 a，
因为 A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
∴PO⊥AC
又∵PB=PD,点O是BD的中点 ∴PO⊥BD
B A O C D
又∵AC∩BD=O ∴PO⊥平面ABCD
线线垂直
线面垂直
10
练习2.判断下列命题是否正确？ (1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线 垂直于三角形所在的平面.(
(2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条 直线垂直于平行四边形所在的平面.(
D’ C’
D
只需BD AC
B’ A B
则BD 平面AACC
C 结论：当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， BD AC
BD AC
12
练习4.在三棱锥 V-ABC中，VA=VC，BA=BC .求证：VB⊥AC. 证明：取AC中点O，连接VO和BO ∵VA=VC，BA=BC ∴VO⊥AC,BO⊥AC, 即AC⊥OV,AC⊥OB
平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线 3 平行.
北京天安门广 场上的旗杆与
地面什么位置
关系？
国庆天安门广场升旗仪式
/edu/ppt/ppt_playVideo.action?m ediaVo.resId=55d29ad5af508f0099b1c6e0
任意a ，都有 l a l 数学语言：
基本性质：l ，a ， l a
5
练习1. 判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例） 1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所 有的直线都垂直. （ ）
√
2.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与 平面垂直. （ )
2
课前复习
直线与平面平行的判定定理
• 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
平面与平面平行的判定定理
• 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平 面平行．
直线与平面平行的性质定理
• 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线和交线平行.
×
3.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它 b 与平面垂直.（ )
×
a
α
6
直线与平面垂直的判定
一条直线最少与一个平面的几条直线垂直，可以判断直线与平面垂直呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
C
A
D
B B
D
D
C C
C
B B
D
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 过 ABC 的顶点 A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）
a
b
又 a // b
b m, b n.
所以
b .
m
n
推论：两条平行线中的一条垂直一个平面，则另
一条也垂直于这个平面。
9
例2.如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角 线AC与BD的交点，且PA=PC ，PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
P
证明：∵PA=PC,点O是AC的中点
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2.3 直线、平面垂直的判定 及其性质
2.3.1-2.3.2 直线与平面垂直、平 面与平面垂直的判定
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本课件在复习直线与平面的平行的判定和平面与平面平行 的判定的基础上，以天安门升旗仪式的动画演示引入直线与 平面的垂直的位置关系。以学生探究为主，通过引导学生自 己动手进行纸张的折叠实验，得到直线与平面垂直的定义， 进而探究出直线与平面垂直的判定定理。运用动画展示二面 角的定义和两个平面垂直的判定，让学生自己探索出线面垂 直的判定定理和两个平面垂直的判定定理。 通过例1、例2巩固掌握直线与平面垂直的判定定理，并得 出线面垂直的另一判定定理；通过例3掌握直线与平面所成的 角的定义及求解方法。通过例4巩固掌握二面角的定义和求解 方法。由例5掌握平面与平面垂直的判定定理，运用两个平面 垂直的判定定理证明两平面之间的垂直的位置关系，让学生 初步体会空间几何体中线线垂直、线面垂直和面面垂直之间 的转化。