231直线与平面垂直的判定PPT课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
2.3.1直线与平面垂直的判定ppt课件
判定定理用符号语言描述
l
m
m
n
n B
l
l
m
l n
α
线线垂直
m
B
n
线面垂直
探究2
如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则
直线l与平面α互相垂直吗? 如果平面α内两条直线平行
l
ab
α
例题讲解
例1.如图,已知α //b， α ⊥ a,求证：b⊥ a.
证明：设m，n为a内的两条相交直
线
因为α ⊥ a ，根据直线与平面
b 垂直的定义知α ⊥m， α ⊥n
a
又因为α //b,
n
m
所以b⊥m. b⊥n
因为m，n在a内且相交
所以b⊥ a.
例2 如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,AB＝BC,K是 AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．
V
证明：因为VA=VC,K为AC中点， A 所以VK ⊥AC.
因为AB=BC,K为AC中点，
线面垂直的定义 关键：线不在多 相交则行
线面垂直
思考
根据定义，就是要判定一条直线和一个 平面内的任何一条直线都垂直。
我们能不能通过与有限条直线垂 直来判定？
线条真多, 忙死我了！Fra bibliotek探究3
线不在多,相交则行
A
l
αB D C
A
E
m
α
O
n
αB
DC
如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，
则直线l与平面α互相垂直吗?
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定(典型课件)
2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直的判定定理 ppt课件
l
l m,l n
m
,
n
l
//
mA
mI n A
n
②该定理作用：“线线垂直线面垂直”
③应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线
垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.
例 如图，已知 a//b,a，求证：b.
证明：在平面 内作两条相交直线m，n．
因为直线 a，
又QB1D1I DD1=D1
A1
A 1C 1面 D B B 1D 1
A 1 C 1 B D 1 ， A 1 C 1 D B 1
D
C1 B1
C
另证： QDD1 面A1B1C1D1,DD1 面DBB1D1
面A1B1C1D1 面DBB1D1
A
B
又Q面A1B1C1D1I 面DBB1D1 B1D1，
且A1C1 面A1B1C1D1，A1C1 B1D1
C C1
B
α
B1
1.直线与平面垂直的定义
(1)如果一条直线 l和一个平面内的任意一条直线都垂直， 则称直线 l与平面互相垂直，记作 l . 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l的垂面.
它们惟一的公共点P叫做垂足.
画法：通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直.
注1： ①定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与 “无数条直线”不同.
A1C1 面DBB1D1
小结论： 正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面； 正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.
练 如图为直四棱柱A B C D A 'B 'C 'D '(侧棱与底面垂直
231直线平面垂直的判定及其性质解析课件
工具
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
1.用线面垂直的判定定理判断一条直线
与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条
直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一
个常用方法．
2．线线垂直与线面垂直的转化关系
线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直．
线面垂直的定义
工具
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需 要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即
可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关 紧要的．
工具
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
1．若斜线段 AB 是它在平面 α 内的射影长的 2 倍，
则 AB 与 α 所成的角为( )
(1)与 PC 垂直的直线有________； (2)与 AP 垂直的直线有________．
工具
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
ห้องสมุดไป่ตู้
栏目导引
解析： (1)因为 PC⊥平面 ABC，AB，AC，BC⊂平 面 ABC，
所以与 PC 垂直的直线有 AB，AC，BC. (2)∠BCA＝90°，即 BC⊥AC，又 BC⊥PC，AC∩PC ＝C，所以 BC⊥平面 PAC，又 AP⊂平面 PAC，所以 BC ⊥AP. 答案： (1)AB，BC，AC (2)BC
(1)证明：CD⊥AE. (2)证明：PD⊥平面 ABE.
工具
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
证明： (1)因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD.因为 AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以 CD ⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，所以 CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
人教版高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定》课件
A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
DC
C
思考：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相 交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能 得出直线与平面垂直的判定方法？
定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
l
m
o
E
A B DC
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，就称直 线l与平面α 互相垂直。
记作： l⊥α
l
平面的垂线
A
直线的垂面
垂足
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
问题探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来 判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
D1 A1
E
D
A
C1 B1
C B
思考:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜 线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂 线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关 系如何？反之成立吗？
P
PA PB OA OB
αA
OB
思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面 α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b， 那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？
l
b ab al
αa
思考:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 在实际应用或解题中，怎样去求这个角？
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
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布置作业—自主探究（约需2分钟）
2021/3/7
7
四、教学媒体设计
1．多媒体辅助教学
2．学生自备学具：三角形纸片 铁丝、三角板
3．设计科学合理的板书
2021/3/7
8
四、教学媒体设计
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
1.直线与平面 2.直线与平面 垂直的定义： 垂直的判定定
理：
练习1：
练习2：
A
B
D
2021/3/7
C
19
2.线面垂直判定定理的探究
（2）动手操作—确认定理
问题③折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻 折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？
问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直 关系，即AD⊥CD ，AD⊥BD 发生变化吗？
由此你能得到什么结论？
2021/3/7
动画演示
20
2.线面垂直判定定理的探究
练习3：
2021/3/7
9
五、教学过程设计
线面垂直定义的建构 线面垂直判定定理的探究
创设情境—感知概念 观察归纳—形成概念 辨析讨论—深化概念
线面垂直判定定理的应用
总结反思—提高认识
布置作业—自主探究
2021/3/7
10
1.线面垂直定义的建构
（1）创设情境—感知概念
思考：如何定义一条直线 与一个平面垂直？
（2）动手操作—确认ห้องสมุดไป่ตู้理
问题③折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折 才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？
2021/3/7
21
2.线面垂直判定定理的探究
（2）动手操作—确认定理
问题④由折痕AD⊥BC ，翻折之后垂直关系，
即AD⊥CD ，AD⊥BD 发生变化吗？由此你
2021/3/7 能得到什么结论？
22
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2021/3/7
1
《直线与平面垂直的判定》
一、背景分析 二、教学目标分析
三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计
六、教学评价设计
2021/3/7
2
一、背 景 分 析
1.学习任务分析 2.学生情况分析
学习线面垂直的定义、判定定理及其初步运用.
线与线垂直
线与面垂直
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6
三 、 课 堂
线面垂直定义的建构
（约需10分钟）
线面垂直判定定理的 探究
创设情境—感知概念 观察归纳—形成概念 辨析讨论—深化概念
分析实例—猜想定理 动手操作—确认定理
结
（约需20分钟） 质疑反思—深化定理
线面垂直判定定理的
构 初步应用
尝试练习—巩固定理
设 （约需8分钟）
计 总结反思—提高认识（约需5分钟）
如果直线a与平面α内的任意一条直线都
垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，
记作：a⊥α.直线a 叫做平面α的垂线，平
面α叫做直线a的垂面．直线与平面垂直时，
它们惟一的公共点P 叫做垂足.
a
am是 m平内 面任一条 直 a线 α
P.
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14
1.线面垂直定义的建构
（3）辨析讨论—深化概念
2.线面垂直判定定理的探究
（2）动手操作—确认定理
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则该直线与此平面垂直。
l
lm m ,l,n n,mnPlm P n
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23
2.线面垂直判定定理的探究
（3）质疑反思—深化定理
问题⑤如果一条直线与平面内的两条 平行直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直吗？ b
5
二、教学目标分析
1. 《课程标准》 2.本节课目标
（1）借助对图片、实例的观察，抽象概括出 线面垂直的定义，并能正确理解定义.
（2）通过直观感知，操作确认，归纳出线面 垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些 空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的 空间观念.
（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验 探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.
抽象概括能力、空间想象力有待提高.
教学难点：操作确认并概括出直线与平 面垂直的定义和判定定理.
2021/3/7
4
二、教学目标分析
1.《课程标准》 2.本节课目标
（1）通过直观感知、操作确认，归纳
出直线与平面垂直的判定定理. （2）能运用直线与平面垂直的判定定
理证明一些空间位置关系的简单命题.
2021/3/7
面与面垂直
数学思想方法: 转化、归纳、类比、猜想等,
发展学生的合情推理能力和空间想象力 ，培养
学生的质疑思辨、创新的精神.
教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直 的定义和判定定理.
2021/3/7
3
一、背 景 分 析
1.学习任务分析 2.学生情况分析
思维活跃，参与意识、自主探究能力有所 提高，具备学习本节课所需的知识，可采 用“类比”方法学习.
判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,b α，b 则a⊥b。
a
α
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五、教学过程设计
线面垂直定义的建构 线面垂直判定定理的探究 线面垂直判定定理的应用
总结反思—提高认识 布置作业—自主探究
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分析实例—猜想定理 动手操作—确认定理 质疑反思—深化定理
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2.线面垂直判定定理的探究
（1）分析实例—猜想定理
问题①在长方体ABCD－ A1
A1B1C1D1中，棱BB1与底 B1
面
ABCD 垂直。观察BB1与 AB、BC 的位置关系,由此 A
你认为保证BB1⊥底面
B
ABCD的条件是什么？
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D1 C1
DD C
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2.线面垂直判定定理的探究
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11
1.线面垂直定义的建构
（2）观察归纳—形成概念
A
B α
讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内 直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？
动画演示
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1.线面垂直定义的建构
（2）观察归纳—形成概念
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1.线面垂直定义的建构
（2）观察归纳—形成概念
直线与平面垂直的定义
a α
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3.线面垂直判定定理的应用
A
a
ab
C
BD
（1）
C
A
B
（2）
m n
（3）
练习(1)如图(1)有一根旗杆AB 高8m，它的顶端A 挂有两
（1）分析实例—猜想定理
猜想问：题一②条如直何线将与一一张个长平方面形内贺的卡两直条立相于交 桌直面线？都由垂此直，，你则能该猜直想线出与判此断平一面条垂直直线。与 一个平面垂直的方法吗？
2021/3/7
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2.线面垂直判定定理的探究
（2）动手操作—确认定理
实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得 到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.