二元一次方程组的解法3
《二元一次方程组的解法》PPT课件 (公开课获奖)2022年冀教版 (3)
角的大小是由它们的度数确定的,所以比较 两个角的大小，可以量出它们的度数来比较。
52°
1
66°
2
∠1＜∠2
度量法
手探索(1) 请同学们试一试:如何比较∠ABC与∠DEF的大小
C F
B
A
E
D
F
A
在∠FED的内部，
B
C
经E
D
过
AF
叠
合
B E
C D FA
∠ABC＜∠FED；
在∠FED的外部， ∠ABC＞∠FED；
x=3 ∴ y=-1 即xy=-3
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数 求：m+n的值
解：根据题意：得 3m+2n-16=0 3m-n-1=0 解得： m=2 n=5 即：m+n=7
谈一谈
•加减消元法解二元一次 方程的步骤?
加减消元法解二元一次方程的步骤?
将两个方程化为有一个未知数的系 数绝对值相等的两个方程。
3.方程组
3x-5y=6①
用加减法解方程组 2x-5y=7② 具体解法如下
（1） ①- ②得x=1 (2)把x=1代入①得y=-1.
A （3）∴ x=1 其中出现错误的一步是（
）
y=-1
A（1） B（2） C（3）
想一想
观察方程组： 9x+2y=15
3x+4y=10
能否对其中的一个方程 进行变形，把这个方程 组化为相同未知数的系 数相等或互为相反数的 形式而求解
请你说一说:
你的收获!你的困惑!
你的新想法和新发现.
通过本堂课的探索,你学会了什么?有何 收获?最想说的一句话是什么？ 1、比较角的大小的两种方法：
七年级二元一次方程组的解法消元法3、4
2x-5y=7
①
2x+3y=－1 ②
解：把 ②－①得: 8y＝－8 y＝－1 把y ＝－1代入①，得： 2x－5×（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
x＝ 1
y＝－1
运用新知 拓展创新
3x-2y= -1 6x+7y=9 ① ②
分析：1、要想用加减法解二元一次方程组 必须具备什么条件？ 2、此方程组能否直接用加减法消 元？
1.教材随堂练习
2.补充练习：用代入消元法解下列方程组
3 x 2 y 7 , x 2 y 4, 3x 4 y 19, ⑴ ⑶x3 ⑵ y 0. 2 x y 3; x 2 y 3; 2 x 5, x 2,
① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10 5x ＝10 x=2
联系上面的解法，想一想怎样解方程组 4x+5y=3 ①
2x+5y=－1 ②
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
① ②
感悟规律 揭示本质
加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？ 一元 基本思路: 加减消元: 二元 主要步骤：
变形
加减 求解 写解 同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
反馈矫正 激励评价
1、用加减法解下列方程组 5x+2y=25 3x+4y=15
①
② ① ②
还记得下面这一问题吗? 昨天,我们8个 人去红山公园玩, 买门票花了34元.
8.2(3)二元一次方程组解法总结
3X-4Y=10 ① 5X+6Y=42 ② 分析：必须设法使同一未知数的系数的绝对值相等。
（1）若消Y，两个方 程未知数Y系数的绝对 值分别为4，6。只要 使它们变成12（4，6 的最小公倍数），只 要 （2）若消X，只要使 两个方程未知数X系 数变成15（3，5的最 小公倍数），只要 ①×5，②×3得： 15X-20Y=50 15X+18Y=126
∴
x=2 y = -4
答：x 的值是2，y 的值是 -4.
x=2
8.思 考 练 习 题
x = -1， x = 2， 若 和 是方程 mx + ny = 10 的两个解， y = 2， y = -2， 求 m 、n 的值.
x =-1，
5.思
考
题
-a – 2b = 1
a = -2b - 1 ③ 由②得： 把③代入①得：
②
把b = -4/7 代入③，得： a = -2b - 1 = -2×（-4/7）-1 a = 1/7 ∴ a = 1/7
-2 + 2（-2b – 1）= 3b -2 – 4b – 2 = 3b -4b – 3b = + 2 + 2 -7b = 4 b = -4/7
把m = 3/7 代入③，得： n = 1 –2m
3 1 1 2 7 7
1 n 7 3 m 7
2x + ay = 3b 2、已知 y = 2， 是关于 x、y 的方程组 ax - by = 1 的解， 求 a 、 b 的值. 2x + ay = 3b 解： 把 x = -1，y = 2 代入方程组 ax - by = 1 得： -2 + 2a = 3b ①
把③代入①得： 3（2 + y）- 2y = 6
二元一次方程组解法
二元一次方程组解法【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．要点三、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．例1、解方程组（两种方法灵活运用）：237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【变式】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.例2如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．例3.已知2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b +的值．例4小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．巩固练习1、已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A.﹣1B.2C.3D.42、如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k=（）A. B. C.3 D.－33.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.4119x yx y⎧+=+=⎪⎨⎪⎩B.57x yy z+=+=⎧⎨⎩C.1326xx y=-=⎧⎨⎩D.2130x ax y+=-=⎧⎨⎩4．由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－75．己知x,y满足方程组612328x yx y+=⎧⎨-=⎩，则x+y的值为（）A．5 B．7 C．9 D．36．方程x﹣y＝﹣2与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为24xy=⎧⎨=⎩，那么这个方程可以是（）A．3x﹣4y＝16 B．2（x+y）＝6x C．14x+y＝0 D．4x﹣y＝07. 已知2x n−3−13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则n m＝________．7.已知关于x 、y 的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数； ③当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4﹣a 的解； ④x ，y 的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（ ） A ．①③B ．②③C ．③④D ．②③④8.现有n （n ＞3）张卡片，在卡片上分别写上﹣2、0、1中的任意一个数，记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，若将卡片上的数求和，得x 1+x 2+x 3+…+x n ＝16；若将卡片上的数先平方再求和，得x 12+x 22+x 32+…+x n 2＝28，则写有数字“1的卡片的张数为（ ） A ．35B ．28C ．33D ．209.对于二元一次方程组我们把x ，y 的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数进行变换的过程．如解二元一次方程组时，我们用加减消元法消去x ，得到的矩阵为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题10.方程mx －2y=x+5是二元一次方程时，则m________． 11.若关于x ，y 的方程组的解满足4x +3y ＝14，则n 的值为 ．12.若二元一次方程组和的解相同，则xy ＝ ．13.用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝－1，①4x ＋2y ＝1，①由①×2－①得 .14.a －b=2，a －c=3，则（b －c ）3－3（b －c ）+94=________． 15.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________名，士兵有________名．实际问题与二元一次方程组要点一、常见的一些等量关系（一） 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 5行程问题速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 6存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×121. 7数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 8方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；【典型例题】类型一、和差倍分问题例1.为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？类型二、配套问题例2.某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【变式】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？类型三、工程问题例3.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）例4.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？【变式】为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？类型五、行程问题例5.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．类型六、存贷款问题例6.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为多少？例7.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？类型八、方案选择问题例8.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)(1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；(2)求本次奖金发放的具体方案．二元一次方程组巩固练习1. 若x |2m−6|+(m −2)y ＝8是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值是（ ） A.1B.3.5C.2D.3.5或2.52. 方程x −3y ＝1，xy ＝2，x −1y =1，x −2y +3z ＝0，x 2+y ＝3中是二元一次方程的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个3. 下列各等式中，是二元一次方程的是( ) A.2x −1y =0B.3x +y =0C.x 2−x +1=0D.xy +1=04. 若方程3x |m|−2＝3y n+1+4是二元一次方程，则m ，n 的值分别为（ ） A.2，−1B.−3，0C.3，0D.±3，05. 已知关于x ，y 的二元一次方程组{x +3y =4−ax −y =3a，给出下列结论中正确的是（ ）①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，a ＝−2；②当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4+2a 的解；③无论a 取什么实数，x +2y 的值始终不变；④若用x 表示y ，则y =−x2+32； A.①②B.②③C.②③④D.①③④6. 关于x 、y 的二元一次方程组{3x −2y =5−4m2x −4y =2m +3 的解满足x +2y ＝11−3m ，则m 的值是（ ）A.3B.−3C.−1D.17. 把方程2x −y ＝3改写成用含x 的式子表示y 的形式正确的是（ ） A.2x ＝y +3B.x =y+32C.y ＝2x −3D.y ＝3−2x8. 坐标平面上，若点(3, b)在方程式3y =2x −9的图形上，则b 值为何( ) A.−1B.2C.3D.99. 若方程x 2+bx +c =0(b ，c 是常数)的解是x 1=1，x 2=−3，则方程(2x +3)2+b(2x +3)+c =0的解是( )A.x 1=−1,x 2=−3B.x 1=1,x 2=−3C.x 1=−1,x 2=3D.x 1=1,x 2=310. 二元一次方程2x +3y =15的正整数解的个数是（ ） A..1个B.2个C.3个D.4个11. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是( )A.{x =0,y =2 B.{x +y =0,z +y =2 C.{x +y =0,1x+y =2D.{x +y =0,xy =2 12. 若方程组{ax +by =32ax +by =4与方程组{2x +y =3x −y =0有相同的解，则a 、b 的值分别为（ ）A.1，2B.1，0C.13，−23D.−13，2313. 已知方程x −2=2x +1的解与方程k(x −2)=x+12的解相同，则k 的值是（ ）A.15 B.−15C.2D.−214. 若2x−13=5与kx −1=15的解相同，则k 的值为( )A.8B.2C.−2D.615. 已知2x n−3−13y 2m+1＝0是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝________． 16. 若方程x |a|−1+(a −2)y ＝3是二元一次方程，则a 的值为________．17. 方程(k 2−1)x 2+(k +1)x +2ky ＝k +3，当k ＝________时，它为二元一次方程． 18. 4x a+2b−5−2y 3a−b−3=8是二元一次方程，那么a =________，b =________．19. 某花店有甲乙两款花，其中每束甲花7元，每束乙花15元，若他一共用了115元，那么他能买________束花．20. 已知6x −2y ＝3，用含y 的代数式表示x ，则________． 21. 已知关于x 、y 的二元一次方程组{3x +5y =63x +ky =10给出下列结论：①当k =5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x +15y =16的解，则k =10； ③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解（x 、y 均为整数）， 其中正确的是________（填序号）．24. 已知：{x =m +2y =5−m 2． (1)用x 的代数式表示y ；(2)如果x 、y 为自然数，那么x 、y 的值分别为多少？(3)如果x 、y 为整数，求(−2)x ⋅4y 的值．25. 下列方程：①2x +5y =7；②x =2y +1；③x 2+y =1；④2(x +y)−(x −y)=8；⑤x 2−x −1=0；⑥x−y 3=x+y 2−1；（1）请找出上面方程中，属于二元一次方程的是：________（只需填写序号）；（2）请选择一个二元一次方程，求出它的正整数解；（3）任意选择两个二元一次方程组成二元一次方程组，并求出这个方程组的解．26. 已知方程(m −3)x n−1+y m2−8=0是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．27. 已知关于x ，y 的方程(k 2−1)x 2+(k +1)x +(k −7)y =k +2．（1）当k 取什么值时，该方程为一元一次方程？（2）当k 取什么值时，该方程为二元一次方程？28. 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A ，B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量45人，B 型客车每辆载客量30人．若租用4辆A 型客车和3辆B 型客车共需费用10700元；若租用3辆A 型客车和4辆B 型客车共需费用10300元．(1)求租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是多少元；(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？29. 在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A 、B 两组卡片，每组各3张，A 组卡片上分别写有0，2，3；B 组卡片上分别写有−5，−1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A 组中随机抽取一张记为x ，乙从B 组中随机抽取一张记为y ．（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是−1，它们恰好是ax −y ＝5的解，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax −y ＝5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）30. 已知{x =4y =−2与{x =1y =1都是方程mx +ny =6的解． (1)求m 和n 的值；(2)用含有x的代数式表示y；(3)若y是不小于−2的数，求x的取值范围．31. 已知甲种物品毎个重4kg，乙种物品毎个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x＝12，则y＝________．（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有________个．32. 已知关于x，y的二元一次方程组{x−y=m+3x+y=3m−5.(1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）；(2)若这个方程组的解x，y满足2x−y>1成立，求m的取值范围．。
二元一次方程的解法步骤
二元一次方程的解法步骤在代数学中，二元一次方程是由两个未知数和次数为一的项组成的方程。
解决二元一次方程需要掌握一定的解法步骤，下面将介绍一种常见的解法。
一、整理方程首先，我们需要整理方程，使其符合标准的形式。
标准形式的二元一次方程为：ax + by = c，其中a、b、c分别为已知系数，x和y为未知数。
以一个具体的方程为例：2x + 3y = 8，首先我们可以将方程重写为3y = -2x + 8，这样方程就符合了标准形式。
二、选择合适的解法确定方程已经整理成标准形式后，我们需要根据具体的情况选择合适的解法。
常见的解法包括代入法、消元法和图解法。
1. 代入法代入法是最常用的解法之一。
我们将已知的一个方程解出其中一个未知数，然后将其代入另一个方程中，解得另一个未知数。
例如，我们有以下方程组：2x + 3y = 8x - y = 4首先，我们可以将第二个方程解出x：x = y + 4。
然后，我们将x的解代入第一个方程，得到2(y + 4) + 3y = 8。
化简方程，得到2y + 8 + 3y = 8，合并同类项得到5y + 8 = 8。
再次化简方程，得到5y = 0，解得y = 0。
最后，我们将y的解代入x = y + 4，得到x = 4。
所以，方程组的解为x = 4，y = 0。
2. 消元法消元法是另一种常见的解法。
我们通过将一个方程乘以适当的倍数，使得两个方程的某个未知数的系数相等或者相差为零，然后进行消元。
例如，我们有以下方程组：2x + 3y = 83x - 2y = 7我们可以通过将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，使得两个方程的x的系数相等。
得到：6x + 9y = 246x - 4y = 14然后，我们将两个方程相减，消去x的项，得到：6y - (-4y) = 24 - 1410y = 10解得y = 1。
将y的解代入任一方程，例如第一个方程：2x + 3(1) = 8，解得x = 2。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法
知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,
y
1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,
y
6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组
x
2
y
x
3
y
6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.
y
2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y
24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y
6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．
二元一次方程的三种解法例题
案例名称二元一次方程组的解法教学目标1.知识与技能：理解二元一次方程的基本概念，掌握二元一次方程的特点，识别二元一次方程组2.过程与方法：掌握解二元一次方程组的多种方法，学会利用二元一次方程的知识去解决实际生活之中的相关问题3.情感态度与价值观：养成多维思考和解决问题的习惯，形成多方面对事物进行考虑的观念教学重点能够针对现实问题列出方程组表达两种相关量的等量关系教学难点能够通过多种解题方式对二元一次方程组进行计算教学过程在学生学习二元一次方程之前，教师首先可以带领学生对一元一次方程进行复习，让学生在回顾以往知识的过程之中能够潜移默化地形成解未知数这一观念。
然后，我们再为学生提供几个二元一次方程，如3x+2y=5、4x-2y=1等等，要求学生在对二元一次方程的示例进行观察的过程之中对一元一次方程和二元一次方程之间的区别进行探究总结，从而在对二元一次方程进行学习的最初阶段形成最基本的认识，即二元一次方程具有无数个解、表达式中有两个未知数。
之后，我们再为学生提供几个简单的二元一次方程组，要求学生在小组中通过合作进行计算，以此让学生在探究之中掌握二元一次方程组的解题方法。
1.代入法在对学生进行代入法的教学中，教师可以为学生提供较为简单的方程组，促使学生在对方程组进行仔细观察的过程中通过探究解得正确答案。
比如我为学生提供的方程组为x+2y=7、x+y=4，我们可以引导学生通过对两个式子之中的x进行表达来获得答案，此时学生能够通过探究得出7-2y=4-y，并根据一元一次方程的解法得出y=3，代入x+y=4中可以得到x=1，从而得出答案。
在学生初步掌握了代入法解二元一次方程组的“精髓”时，教师需要为学生提供一些练习，让学生拥有实践运用的机会，以此来加深学生对于代入法的认识与掌握。
值得注意的是，学生此时对于二元一次方程组代入解法的认识基本上是“将其中一个未知数表示出来，再利用一元一次方程的解法进行计算”。
因此，教师在为学生提供方程组的过程中最好选择某一未知数的系数为1，这样能够有效促进学生的理解。
3.3.3二元一次方程组的解法——加减消元法
3x+2y=13
1、方程组
消去y后所得方程
3x-2y=5
是__6_x_=_1_8__; 消去x后所得方程是__4_y=_8___.
2、已知(2x+3y-4)²+∣x+2y-7∣=0.
2x 3y 4 0
由题意得方程组:
x
2y
7
0
。
3、用适当方法解下列方程组：
0.6x-0.5y=0.4 x+y=60
2、在消元的过程中如果口算能力稍差，用括号的 形式写出来.
①变形:使同一个未知数的系数相同或互为相反数； ②加减消元:通过加或减，让“二元”化成“一元”； ③求解:解一元一次方程，求出x的值； ④回代:求出y的值； ⑤写解:写出原方程组的解.
1、当相同字母的未知数的系数相同时； 2、当相同字母的未知数的系数互为相反数时； 3、当相同字母的未知数的系数不相等时.
能消去未知数y吗？怎样 ②-①得：分析
消y呢？依据是什么？
2x + y = 40
左－左= 右－右
-） x + y = 22
x +0 = 18
x y 22 ①
解方程组
2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
40
②
解：②-①得: x=18
将x=18代入①得: 18+y=22
解得: y=4
∴原方程组的解是
x y
18 4
3x 7y 9 ①
解得: x=3
将x=3代入②得: 15-6y=4
解得:
y
11 6
x 2
∴原方程组的解是
y
11 6
3x 4y 16 ①
5x
二元一次方程组的解法 (3)
3.3二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程组教学目标【知识与技能】理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.【过程与方法】经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.【情感、态度与价值观】学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.教学重难点【重点】理解二元一次方程组的解的意义.【难点】求二元一次方程的正整数解.教学过程一、创设情境,引入新课古老的“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”教师描述:这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.教师展示幻灯片:方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.)方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.)方法3:算术解法.兔数(94÷2)-35=12鸡数35-12=23方法4:一元一次方程的解法.解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程:2x+4(35-x)=94解得:x=23则鸡有23只,兔有12只.请同学们自己思考.教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么?二、尝试活动,探索新知1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.教师提问:上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得:x+y=35①2x+4y=94②针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:(1)你能给这两个方程起个名字吗?(2)为什么叫二元一次方程呢?(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?教师结合学生的回答,板书定义1:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.教师追问:在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?学生思考,教师板书定义2:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.教师启发:(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?(3)它与一元一次方程的解有什么区别?教师板书定义3:使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为教师提问:那么什么是二元一次方程组的解呢?学生讨论达成共识:二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解.教师板书定义4:二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.注意:二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.请同学们议一议:将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.三、例题讲解【例】下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是()A. B.C. D.解法分析:将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.变式练习:上题中的选项是二元一次方程组的解的是()解法分析:在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.教师总结:本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.四、巩固练习1.根据下列语句,列出二元一次方程:(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11;(2)甲数和乙数的2倍的差为17.2.方程x+2y=7在自然数范围内的解()A.有无数组B.有两组C.有三组D.有四组3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么()A.m≠0B.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数【答案】 1.(1)0.5x+3y=11(2)x-2y=17 2.D 3.A五、课堂小结本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)第2课时用代入消元法解二元一次方程组教学目标【知识与技能】1.用代入法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.【过程与方法】通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.【情感、态度与价值观】1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.教学重难点【重点】用代入消元法解二元一次方程组.【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程一、创设情境,引入新课教师出示下列问题:问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?二、尝试活动,探索新知教师引导:什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)学生列式计算后回答:满足方程①的解有:……满足方程②的解有:……这两个方程的公共解是教师追问:这个问题能用一元一次方程来解决吗?学生思考并列出式子:设胜x场,负(22-x)场,解方程:2x+(22-x)=40③学生观察并思考:上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?结合学生的回答,教师做出讲解:由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.解得x=18.问题解完了吗?怎样求y?将x=18代入方程y=22-x,得y=4.能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便?这样,二元一次方程组的解就是教师归纳并板书:这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法.三、例题讲解【例1】用代入法解方程组:本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.【答案】把①代入②,得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①,得x=2.所以解后反思,教师引导学生思考下列问题:(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么?(2)为什么能代入?(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?(5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)【例2】(例1的变式)解方程组:分析:(1)从方程的结构来看:例2与例1有什么不同?例1是用x=y+3直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.(2)如何变形?把一个方程变形为用含x的式子表示y(或含y的式子表示x).(3)选用哪个方程变形较简便呢?通过观察,发现方程①中y的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.【答案】由①得y=x-3,③把③代入②,得(问:能否代入①中?)3x-8(x-3)=14,所以-x=-10,解得x=10.(问:本题解完了吗?把x=10代入哪个方程求y较简单?)把x=10代入③,得y=×10-3,所以y=2.所以四、巩固练习1.二元一次方程组的解是()A. B.C. D.2.解方程组【答案】 1.A 2.原方程组的解为五、课堂小结你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.第3课时用加减消元法解二元一次方程组教学目标【知识与技能】1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.【过程与方法】1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.【情感、态度与价值观】1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.教学重难点【重点】如何用加减法解二元一次方程组.【难点】如何运用加减法进行消元.教学过程一、创设情境,引入新课教师提出问题:王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.教师总结最简便的方法:抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.二、例题讲解【例1】解方程组:分析在这个方程组中,直接将两个方程相加或相减,都不能消去未知数x或y,怎么办?我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形,使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数,再来求解.解法一(消去x),将①×2,得8x+2y=28.③②-③,得y=2.把y=2代入①,得4x+2=14.x=3.所以解法二(消去y)请同学们自己完成.【例2】解方程组:分析比较方程组中的两个方程,y的系数的绝对值比较小,将①×3,②×2,就可使y的系数绝对值相等,再用加减法即可消去y.【答案】①×3,得12x+6y=-15.③②×2,得10x-6y=-18.④③+④,得22x=-33,x=-.把x=-代入①,得-6+2y=-5,y=.所以师生共析:1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑.三、巩固练习1.用加减法解下列方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.(1)消元方法:.(2)消元方法:.2.用加减消元法解下列方程组:(1)(2)【答案】 1.(1)①×2-②消去y(2)①×2+②×3消去n2.(1)(2)四、课堂小结本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?由于大部分学生的基础偏差，在教学中应遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信。
二元一次方程组的解有三种不同情况唯一解,无解,无穷多解,
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的 坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为 任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－ y 5=0）。 3x+2y－1=0 证明：联立方程 2x－3y－5=0 x
练一练
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1] （C）（0，1） （D）（1，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
①两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A1x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y(1, - 1) M
即 M（1，- 1）
二元一次方程组的解法
解法有如下：
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.
例: 1)x-y=3 2)3x-8y=4 3)x=y+3 代入得3×（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4 这个二元一次方程组的解x=4 y=1
以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
例题：(1)3x+2y=7 (2)5x-2y=1
解：消元得：8x=8 x=1 3x+2y=7 3*1+2y=7 2y=4 y=2 x=1 y=2
你看下，明白没？没得话，我再解释！
这里说实在的最主要的还是方法，方法掌握了，类似的问题都能解决了！
希望我的回答对你有帮助，祝你好运！像这样的问题自己多尝试下，下次才会的！
祝你学业进步！。
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
二元一次方程组的解法3种
二元一次方程组的解法3种
1、利用消元法求解：⑴首先将两个方程式化简形式，使两个未知数
仅有一个；⑵然后利用等价变换，使其消去一个未知数；⑶最后求解出另
一个未知数的值，从而求出二元一次方程组的解。
2、用图形法求解：⑴首先根据两个方程式，绘制出两条直线；⑵分
别求出两条直线的斜率、截距；⑶通过直线的斜率、截距，判断两直线是
否相交；⑷若直线相交，则求出两直线的交点，即为二元一次方程组的解。
3、用代数法求解：⑴将方程化为一元二次方程；⑵解出该一元二次
方程的两个根，即为二元一次方程组的解；⑶将两个根代入原方程，验证
求得的解是否正确。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
二元一次方程组的解法——加减消元法.3加减消元法(2)
(1)
2s+3t=2 2s-6t=-1
(2) 5m-2n=-7 -3m+2n=9
小结: 若某未知数的系数的绝对值相等, 则直接加减消元.
例２：解方程组
3x-2y=9 2x-y=7
（１） （２）
小结:某未知数系数的绝对值成倍, 先乘“小”化“大”,再加减消元.
例3：解方程组
3x－2y=11 2x＋3y=16
两个方程只要两边
分别相减
25x+6y=10 就可以消去未知数
x
,得 13y=-6
.
二.选择题
用加减法解方程组
3x-5y=6①
具体解法如下
4x-5y=5②
（1） ①- ②得x=1 (2)把x=1代入①得y=-1.
x=1
（3）∴
其中最早出现错误的一步是（A）
y=-1
A（1） B（2） C（3）
练习：解方程组
x=2 y=1
通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去其
中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元
一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）。
一.填空题 1.已知方程组
x+3y=17
两个方程只要两边 2x-3y=6
分别相加 就可以消去未知数 y ,得 3x=23 .
25x-7y=16
2.已知方程组
小结:同一未知数的系数的绝对值都不成倍, 先把某未知数的系数的绝对值化成它的 最小公倍数, 再加减消元.
小结：加减消元法解方程组的基本思路
系数
成倍数关系
转 化
绝对值相等
转 化
不成倍数关系
加减消元
下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便?