第2章 点、直线、平面之间的位置关系 作业15

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课时作业(十五)
1.空间四边形的四条边相等,那么它的对角线()
A.相交且垂直B.不相交也不垂直
C.相交不垂直D.不相交但垂直
-=答案=- D
解析如图空间四边形ABCD,E为对角线BD的中点,因为四条边相等,则有CE,AE均垂直于BD,则BD与面AEC垂直,则BD⊥AC.
2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n与直线m垂直的平面()
A.有且只有一个B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
-=答案=- B
3.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下列四个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确的命题是()
A.①③B.②④
C.①④D.②③
-=答案=- C
4.如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角,记作θ,那么sinθ的值为()
A.
2
2 B.
3
3
C.
5
5D.1
-=答案=- B
解析截面A1BD符合题意.
5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD
所成的角是()
A.30°B.45°C.60°D.90°-=答案=- A
解析∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角,tan∠PCA=PA
AC=
1
3

3
3.∴∠PCA=30°.
6.P是△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,则PA,PB,PC与α所成的角() A.都相等B.都不相等
C.有且只有两个相等D.大小不确定
-=答案=- A
解析设P在平面ABC内的射影为O,
∵PA=PB=PC,∴△PAO≌△PBO≌△PCO.
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO.
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
A.
6
3 B.
26
5
C.15
5 D.
10
5
-=答案=- D
8.如图,四面体A-BCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=
2
2AC,
∠BDC=90°.
求证:BD⊥平面ACD.
证明 取CD 中点为G ,连接EG ,FG . 设AC =BD =2,则EG =FG =1. ∵EF =2,∴EG ⊥FG.
∵F ,G 分别为CD ,CB 的中点, ∴FG ∥BD ,∴BD ⊥EG. ∵BD ⊥CD ,EG ∩CD =G , ∴BD ⊥面ACD.
9.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为a 的正方形,侧棱PD =a ,PA =PC =2a ,求证:PD ⊥平面ABCD.
证明 ∵PD 2+DC 2=PC 2, ∴∠PDC =90°,即PD ⊥DC. 同理,PD ⊥DA.
又∵DC ∩DA =D ,∴PD ⊥面ABCD.
10.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,PA ⊥平面ABCD ,PA =3,AD =2,AB =23,BC =6.
求证:BD ⊥平面PAC.
证明 ∵PA ⊥面ABCD ,BD ⊂面ABCD , ∴PA ⊥BD.
在Rt △ABD 中,∵AD =2,AB =23, ∴tan ∠ABD =AD AB =3
3,∴∠ABD =30°.
在Rt △ABC 中,∵AB =23,BC =6,
∴tan∠BAC=BC
AB=3,∴∠BAC=60°.
在△ABE中,∵∠BAE=60°,∠ABE=30°,
∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A
=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解析(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.
由题意得A1E⊥平面ABC,
所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,
所以AE⊥BC.
又BC∩A1E=E,故AE⊥平面A1BC.
连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以AA1DE为平行四边形.
于是A1D∥AE.
因为AE⊥平面A1BC,
所以A1D⊥平面A1BC.
(2)作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.
因为A1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以BC⊥A1E.
又因为BC⊥AE,A1E∩AE=E,
所以BC⊥平面AA1DE.
又因为A1F⊂平面AA1DE,
所以BC⊥A1F,
又因为A1F⊥DE,BC∩DE=E,
所以A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.
由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB= 2.
由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=14.
由DE=BB1=4,DA1=EA=2,∠DA1E=90°,
得A 1F =
72
. 所以sin ∠A 1BF =
A 1F A 1
B =7
8
. 12.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.
(1)证明:AB ⊥A 1C ;
(2)若AB =CB =2,A 1C =6,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积. 解析 (1)证明:取AB 的中点O ,连接OC ,OA 1,A 1B. 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB.
由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB.
又因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C. 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C.
(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以OC =OA 1= 3. 又A 1C =6,则A 1C 2=OC 2+OA 12,故OA 1⊥OC.
又因为OA 1⊥AB ,OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高. 又△ABC 的面积S △ABC =3,故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V =S △ABC ×OA 1=3.
在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,求BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角.
解析 取AC 中点D ,连接BD ,C 1D. ∵正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,∴AA 1⊥面ABC , 又∵BD ⊂面ABC ,∴AA 1⊥BD. ∵BA =BC ,AD =CD ,∴BD ⊥AC. 又∵AC ∩AA 1=A ,∴BD ⊥面ACC 1A 1. ∴C 1D 为BC 1在平面ACC 1A 1内的射影. ∴∠BC 1D 为BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角. ∵CC 1=2,CD =12,∴C 1D =32,BD =32
.
在Rt △BC 1D 中,tan ∠BC 1D =BD C 1D =3
3
,∴∠BC 1D =30°.。

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