2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：21_§ 4_6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用 教师备用题库
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asinωxφ的图象及
考点一
考点二
考点三
考点四
y=Asin(ωx+φ)图象的变换(考点难度★★)
【例1】 (1)(2021课标Ⅰ高考)曲线C1:y=cos x,C2:y=sin
2π
那么下面结论正确的选项是
(
)
2 +
,
3
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得
个单位长度
,f(x)=sin
2x+3 D.向右平移
=sin 2 x+66 个单位长度
.
∵0<φ<π,
∴φ=12
3
π
故可将函数 y=f(x)的图象向右平移6 个单位长度,即可得到 g(x)=Asin
关闭
ωx
D 的图象,故选 D.
解析
-14答案
考点一
考点二
考点三
考点四
π
(2)将函数 y=sin 4 + 3 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2
取
C k=0,得
π
x= ,故选
3
关闭
C.
解析
-12答案
考点一
考点二
考点三
考点四
方法总结1.对函数y=sin x,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图
象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位长
度,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
+ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的
A=2,
由题意得
∵函数
图象的相邻两条对称轴之间2
3
π
2020版高考数学(文)新精准大一轮课通用版检测：第四章第6讲y=Asin(ωx+φ)图象及三角函数应用含解析
[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C. 2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B ．33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎡⎦⎤－5π3，－7π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤π，4π3 解析：选B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2 π36．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6， 结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. [综合题组练]1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 答案：34．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，因为函数f (x )＝2a sin (πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝14时，T ＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确．答案：③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]， 列表如下：6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]． (2)由题意得，20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52， 即－22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤22， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k－8≤t≤8k－4，k∈Z，因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。
2020版数学新优化浙江大一轮试题：第四章 三角函数、解三角形 考点规范练21 Word版含答案
考点规范练21 解三角形应用举例基础巩固组1.在相距2 km 的A ,B 两点处测量目标点C ,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A ,C 两点之间的距离为( )A kmB kmC kmD.2 km.6.2.3,在△ABC 中,由已知可得∠ACB=45°,,∴AC=2(km).∴ACsin60°=2sin45°2×32=62.在地平面上有一旗杆OP (O 在地面),为了测得它的高度h ,在地平面上取一基线AB ,测得其长为20 m,在A 处测得点P 的仰角为30°,在B 处测得点P 的仰角为45°,又测得∠AOB=30°,则旗杆的高h 等于( )A.10 m B.20 mC.10 mD.20 m33∠PAO=30°,∠PBO=45°,∴AO=h ,BO=h ,3所以AB 2=202=(h )2+h 2-2h ·h ·cos 30°,33因此h 2=400,h=20.故选B .3.一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75°,距离为12海里,灯塔C 在A 的北偏西30°,距6离为12海里,该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60°方向,则此时灯3塔C 位于游轮的( )A.正西方向 B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向,在△ABD 中,B=45°,由正弦定理有=24,AD=24.ADsin45°=ABsin60°=12632在△ACD 中,由余弦定理有CD 2=AC 2+AD 2-2AC×AD×cos 30°,因为AC=12,AD=24,所以3CD=12,由正弦定理有,sin ∠CDA=,CD sin30°=ACsin ∠CDA 32故∠CDA=60°或120°.因AD>CD ,故∠CDA 为锐角,所以∠CDA=60°,故选C .4.某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D 到其正上方点A 的距离,他站在地面C 处,利用皮尺量得BC=9 m,利用测角仪测得仰角∠ACB=45°,测得仰角∠BCD 后通过计算得到sin ∠ACD=,则AD 的距离为( )2626A.2 m B.2.5 m C.3 m D.4 mAD=x m,则BD=(9-x )m,CD= m .92+(9-x )2在△ACD 中应用正弦定理得,CDsin ∠DAC =ADsin ∠ACD 即,92+(9-x )222=x2626则2[92+(9-x )2]=26x 2,整理,得2x 2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m).5.如图,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是( )A.100 m B.400 m 2C.200 m D.500 m3x m,则由已知可得BC=x m,BD=x m,由余弦定理可得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos ∠3BCD ,即3x 2=x 2+5002+500x ,解得x=500(m).6.在200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为 m .,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°.又AB=200 m,∴AC= m .40033在△ACD 中,由余弦定理得,AC 2=2CD 2-2CD 2·cos 120°=3CD 2,∴CD=AC= m .1340037.如图所示,长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上,另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α= .△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BC ·cos ∠ACB ,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=51623116sin αcos α=2315.8.海岛B 上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A ,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D 处.(假设游船匀速行驶)则CD 的长 ;又经过一段时间后,游船到达海岛B 的正西方向E 处,此时游船距离海岛B 米. 56在Rt △ABC 中,∠BAC=60°,AB=10米,则BC=10米.3在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,AB=10米,则BD=10米.在Rt △BCD 中,∠DBC=75°+15°=90°,则CD==20(米).BD 2+BC 2(2)在Rt △BCD 中,∠BCD=30°,又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE 中,由正弦定理可知,EBsin30°=BCsin45°所以EB==5(米).BC sin30°sin45°6能力提升组9.在某个位置测得某山峰仰角为α,对着山峰在水平地面上前进900 m 后测得仰角为2α,继续在水平地面上前进300 m 后,测得山峰的仰角为4α,则该山峰的高度为( )3A.300 m B.450 m C.300 m D.600 m3,易知,在△ADE 中,∠DAE=2α,∠ADE=180°-4α,AD=300 m,由正弦定理,得3900sin4α=,解得cos 2α=,则sin 2α=,sin 4α=,因此在Rt △ABC 中山峰的高度h=300sin 4α=3003003sin2α32123233×=450(m).3210.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为( )A.8 km/h B.6 km/h 2C.2 km/h D.10 km/h34AB 与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ=,从而cos θ=0.61=35,所以由余弦定理得+12-22×1,解得v=645(110v )2=(110×2)2×110××452.11.某人在汽车站M 的北偏西20°的方向上的A 处(如图所示),观察到C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶,公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时,汽车到A 处的距离为31 km,汽车前进20 km 后,到A 处的距离缩短了10 km .问汽车还需行驶( )km,才能到达汽车站M ?A.5 km B.10 km C.15 km D.20 km20 km 后到达B 处,在△ABC 中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cos C=,则sin C=所以sin ∠MAC=sin(120°-C )=sin 120°cos C-cos 120°sin C=在AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=233112331.35362.△MAC 中,由正弦定理,得MC==35,从而有MB=MC-BC=15(km).AC sin ∠MACsin ∠AMC =31×3533212.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )A 米B 米.(1+32).(2+32)C 米D 米.(1+3).(2+3)BC=x (x>1)米,AC=t (t>0)米,依题设AB=AC-0.5=t-0.5米,在△ABC 中,由余弦定理得:AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos 60°,即(t-0.5)2=t 2+x 2-tx ,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,x 2-0.25x -10.75x -1因x>1,故t=x-1++2≥2+,此时取最小值2+,应选答案D .0.75x -13(当且仅当x =1+32时取等号)313.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(+1) mB.180(-1) m 32C.120(-1) mD.30(+1) m33,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt △ACD 中,CD==60(m),在Rt △ABD 中,BD==60(2-)(m),ADtan ∠ACD =60tan30°3ADtan ∠ABD =60tan75°=602+33∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).33314.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C 点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m .,AC=100 m .2在△MAC 中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得AM=100 m .AC sin45°=AMsin60°⇒3在△AMN 中,=sin 60°,∴MN=100=150 m .MNAM 3×3215.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从点A 出发沿正北方向行进x m 到达B 处发现生命迹象,然后向右转105°,行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象,这时它向右转135°回到出发点,那么x= .,AB=x ,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°=45°.∵BC=10,∠BAC=180°-75°-45°=60°,,∴x=∴x sin45°=10sin60°10sin45°sin60°=1063.16.如图一块长方形区域ABCD ,AD=2,AB=1,在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为,设∠AOE=,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S.π4α(0≤α≤34π)(1)当0时,求S 关于α的函数关系式;≤α≤π2(2)当0时,求S 的最大值;≤α≤π4(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用的时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG=,求点G π6在“一个来回”中被照到的时间.当0时,E 在AB 上,F 在BC 上,S=1-tan α-tan ,当<时,E ,F 都在BC 上,S=≤α≤π41212(π4-α)π4α≤π212.1tan α+1tan (3π4-α)(2)当0时,S=2-,≤α≤π412(1+tan α+21+tan α)由于tan α∈[0,1],所以当tan α=-1时,S max =2-22.(3)在“一个来回”中,OE 共转动了2,×3π4=3π2其中点G 被照到时,OE 共转动了2,×π6=π3点G 被照到的时间为t=9=2(分钟).×(π3÷3π2)17.如图,已知扇形OPQ 的半径为1,圆心角为,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形,记∠π3COP=α.(1)当AB=BC 时,求tan 2α的值;3(2)记矩形ABCD 的面积为f (α),求f (α)最大值,并求此时α的值.∵tan ,π3=ADOA =BCOA =3∴OA=BC ,33又tan α=,BC OB =BC33BC +3BC =34所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=8313.(2)∵在Rt △OBC 中,OB=cos α,BC=sin α,在Rt △OAD 中,=tan 60°=,∴OA=DA=BC=DA OA 3333333sin α,∴AB=OB-OA=cos α-sin α.33设矩形ABCD 的面积为S ,则S=AB ·BC=sin =sin αcos α-sin 2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-α(cos α-sin α3)1312123123636sin 由于0<α<,当2α+,当2α+,即α=时,S 最大==13(2α+π6)‒36.π3π6∈(π6,5π6)π6=π2π613‒36=36.因此f (α)max =36.。
2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质含答案
第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________． 答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一 三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________． 解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 考点二 三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合． 常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6 B ．－6 C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， 故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D. 2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π.答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ， 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1B ．52C ．32D ．2 解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1， 所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a 2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值； ③当a 2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2， 故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C. 2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)． 解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
2020届高三理数一轮讲义：4.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(含答案)
14.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再 把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x) 在区间0，π8上的最小值.
________.(结果用区间表示)
(2)已知函数 f(x)＝2sin ωx 在区间－3π，π4上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是
________.
基础巩固题组
一、选择题
(建议用时：40 分钟)
1. (2016·全国Ⅱ卷)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin2x－π6 B.y＝2sin2x－π3 C.y＝2sinx＋π6
3sin
ωx 2 cos
ωx 2
＋
2cos2
ω2x－1(ω>0)的最小正周期为
π，当
x∈0，2π时，方程 f(x)＝m 恰有两个不同的实数解 x1，x2，则 f(x1＋x2)＝(
)
A.2
B.1
C.－1
D.－2
13.(2019·广东省际名校联考)将函数 f(x)＝1－2 3·cos2x－(sin x－cos x)2 的图象向 左平移π3个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，若 x∈－2π，π2，则函数 g(x)的单调递 增区间是________.
图象的对称轴方程是________.
考点三 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 角度 1 三角函数模型的应用 【例 3－1】 如图，某大风车的半径为 2 米，每 12 秒旋转一周，它的最低点 O 离 地面 1 米，点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始，逆时 针方向旋转 40 秒后到达 P 点，则点 P 到地面的距离是________米.
2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质(解析版)
第四篇三角函数与解三角形专题4.05函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π2.所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C. 5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 6.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【考点聚焦】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z ).由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z ). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【规律方法】 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2B.32C.23D.12【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值. 考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2， 法一T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝⎛⎭⎫512π＋φ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫π6×40＝4. 角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期；②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【评析】 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3 【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. 【评析】 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.【评析】 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4B.－π4C.π4D.5π4【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6.∴该函数的最小正周期T ＝6.4.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增. 5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π24 B.7π24C.5π12D.7π12【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝724π.二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 8.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________. 【答案】143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ). ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1C.－ 2D.－ 3【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1. 12.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100πC.1100D.440【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎡⎦⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝⎛⎭⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx＝2203⎝⎛⎭⎫32sin 100πx －12cos 100πx＝2203×sin ⎝⎛⎭⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C.13.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值.【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
(浙江)2020年高考数学一轮 讲练测 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (含解析)
第05讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用---练1．（2019·四川高考模拟（理））将函数的图象向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 将函数的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的解析式为 ．故选A ．2．（2019·天津高考模拟（理））将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度，则所得函数的最小正周期为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】D 【解析】 由题y ＝cos （x π3+）y ＝cos （12x π3+）y ＝cos[12（x π6+）π3+]＝cos （12x 5π12+）， 其周期T 2π12==4π．故选：D ．3．（2019·上海高考模拟）将函数的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 向右平移4π个单位长度得：横坐标扩大到原来的2倍得：本题正确选项：A4．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（理））函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 由得：将它的图象向左平移6π个单位， 可得函数的图象，再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：图象.故选：D5. （2019·河南高考模拟（理））已知将函数的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ（ ） A ．34π- B ．23π- C ．23π D ．34π【答案】A 【解析】 由题又()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则12k Z Î，k ，得，即，又06ω<<，故=3ω，=4pj -，则⋅=ωϕ34π- 故选：A6．（2019·河北高考模拟（理））已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 由题意得44T π=，所以T π=，因此22πωπ==，所以．从而，由，k Z ∈， 得，k Z ∈．要使()g x 的图象在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则需满足，即，解得，k Z ∈，当1k =，可得536ππϕ≤≤，符合条件． 故选B ．7. （2019·内蒙古高考模拟（理））函数的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ） A ．32- B ．32C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 函数的图象向右平移6π个单位后， 得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，k z ∈，∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，，由题意，得，∴，∴函数在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为32， 故选B ．8．（2019·山东高考模拟（理））已知函数满足24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值有_________个. 【答案】9 【解析】由题意知函数()f x 的周期T ，由24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图象的特征可知，k ∈N ，故312T k π=+，，k ∈N ；又因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 所以342T ππ-<，故6T π>，所以，即，∴172k <，k ∈N ，∴符合条件的ω的值有9个.9．（2019·河南高考模拟（理））已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则___________.【答案】21+ 【解析】 依题意，，所以4πω=，故，，因为，所以.10．（2015·天津高考真题（理））已知函数，(I)求最小正周期； (II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）,.【解析】（Ⅰ） 由已知，有.所以的最小正周期.（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为.1．（2019·四川高考模拟（文））将函数的图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则()g x 的图象的一条对称轴可以是（ ）A ．518x π=B ．56x π=C ．9x π=D ．3x π=【答案】A 【解析】的周期为23π，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则，由，k Z ∈，得，k Z ∈，取0k =，得518x π=为其中一条对称轴. 故选A.2．（2019·天津高考模拟（文））以下关于的命题，正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到的图象【答案】D 【解析】当2(0,)3x π∈时，，函数()f x 在区间2(0,)3π上有增有减， 当8x π=时，204x π-=，所以直线π8x =不是函数()y f x =图象的对称轴，当4x π=时，244x ππ-=，所以点π,04⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =图象的对称中心， 将函数()y f x =图象向左平移π8个单位，得到，综上选D.3．（2019·天津高考模拟（文））函数的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D 【解析】过,06π⎛⎫⎪⎝⎭， ，k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=， 又，∴向右平移6π个单位， 得，即， 令，，k Z ∈,0k =时，12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D. 4. （2019·江西高考模拟（文））已知函数（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由图可得故2T ππω==，解得2ω=， 将点(,)6A π代入函数，即，因为||2ϕπ<， 所以6π=ϕ，故函数，因为将()f x 图象上的所有点向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象 所以，当时解得：，故当时，()g x 单调递增，故选A.5．（2019·山西高考模拟（文））函数（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线【答案】B 【解析】 由函数的图象可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫⎪⎝⎭、最大值为3， 所以A 3=,2T ππω==，ω2=，，，所以取0k =时，函数()f x 的解析式为，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度得，当时，即时，函数()g x 单调递增，故选B.6．（2019·天津耀华中学高三月考）已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，当，且时，，则__________.【答案】【解析】函数的图象，过点，则：，解得：，由于：，所以：.则：.同时的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，所以：.则：.函数在上单调，则：，解得：.所以：.则：.函数的对称轴方程为：，得.已知：，且时，则：当时，.由于：，则.故答案为：.1．（2018·天津高考真题（文））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.2．（2019·天津高考真题（文理））已知函数是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．2- C ．2D ．2【答案】C 【解析】因为()f x 为奇函数，∴0ϕ=；又2ω=，2A =，又()24g π=∴，故选C.3．（2019·全国高考真题（文））函数的最小值为___________．【答案】4-.【解析】，，∴当cos 1x =时，，故函数()f x 的最小值为4-． 4. 设函数.（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）3,22ππ；（2）.【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当0x =时，，即，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ. (2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：. 5. （2017·北京高考真题（文））已知函数. （I）求f(x)的最小正周期；（II ）求证：当时，．【答案】（1）（2）见解析【解析】（Ⅰ）.所以的最小正周期.（Ⅱ）因为，所以.所以.所以当时，.6．（2017·浙江高考真题）已知函数（I）求2f3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II）求()f x的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I）2；（II）()f x的最小正周期是π，.【解析】（Ⅰ）由函数概念，计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合2Tπω=可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由，，．得223fπ⎛⎫=⎪⎝⎭．（Ⅱ）由与得．．所以()f x的最小正周期是π．由正弦函数的性质得，解得，所以，()f x的单调递增区间是．。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第四章 第5讲 三角函数的图象与性质
2019年4月[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 详细分析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6详细分析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tan x |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |详细分析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减详细分析：选D.根据函数解+析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D. 5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C ．⎣⎡⎦⎤14，23D ．⎣⎡⎦⎤13，23详细分析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值， 所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B ．⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C ．⎣⎡⎦⎤－π3，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 详细分析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎤π12，7π12，故选A. 7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．详细分析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z 8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 详细分析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．详细分析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝⎛⎭⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．详细分析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. 答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12， 由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z . (2)由题意f (x )＝⎝⎛⎭⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝⎛⎭⎫32cos φ－122＋⎝⎛⎭⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0， 又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π， 由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z .由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . [能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( ) A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β详细分析：选B.α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B. 2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]详细分析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝⎛⎭⎫0，32，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________． 详细分析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2k π，k∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝⎛⎭⎫B 2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1 ＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx 2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0⇒B ＝π3， 因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9，故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． 所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
课时跟踪检测（二十三） 函数y = Asin （ 3汁0的图象及三角函数模型的简单应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .已知 f （x ） = sin 2x + _3cos 2x ，在直角坐标系下利用"五点法”作f(x)= 3sin x— 4 , x € R 的最小正周期为 nA・n2 n 解析：选D 最小正周期为T == 4 n. 1 2除C ,故选A. 4. （2019东阳模拟）为了得到函数 y = cos 2x 的图象，可以将函数 y = singx —总的图象f （x ）在区间的图象，应描出的关键点的横坐标依次是（n2,B .n 3, n 3,jt 6’ 12' n n 7 n 2 n 12, 33' 解析:n 3,0,扌,n, 3n2 ,C 由题意知f(x)= 2sin 2x + 3，当 x €3, 0,2‘ n, 3n, 521时，x 的值分别为一n 3,n6，12 n 3' 12' 3.2.函数 7t匚2, n1nr\J 卄1 JJ咼'j o \/nx解析：选 A 令 x = 0,得 y = sin — f =— ?n3，n3,,2x +京n3.函数 y = sin区间的简图是 ()A .向右平移 个单位长度解析：选D T y = sin(- x)2= sin x 2,「.函数为偶函数，可排除 A 项和C 项；当x = ±,y = sin x 2= 1，而寸，且 y = sin-4< 1,故 D 项正确.—保咼考，全练题型做到咼考达标h(x) = cos2x + ；的图象，只需将y = f(x)的图象向左平移丁个单位长度即可.2.已知函数f(x)= sin (3x+ 0) 3>0, |训<2的最小正周期是 n 若将f(x)的图象向右B .向右平移个单位长度C .向左平移 个单位长度D .向左平移 个单位长度解析：选D因为 y = cos 2x = sin 2x + 扌= sin 2 x +才，所以为了得到函数y = cos 2x—n =sin 2 x —n 的图象向左平移 5. (2016浙江高考)函数y = sin x 2的图象是(的图象，只需将函数 y = sin移 个单位长度即可.1. (2018金华十校联考)已知函数f(x)= sin 3x+亍(x € R , 3> 0)与 g(x)= cos(2x + 妨的对称轴x+亍的图象，只需将函数y = f(x)的图象( )A .向左平移 n 个单位长度4 B .向右平移 n 个单位长度4 C .向左平移 n个单位长度 D .向右平移 n 个单位长度 解析：选A 因为两函数的对称轴完全相所以两函数的周期一致， 由此可得3= 2,h(x)= cos 2x + n ，且 cos 2x + n = sin 为了得到函数h(x)= 则 f(x) = sinn ， ,所以为了得到in 2 x +nA .关于直线x=石对称B .关于直线x= 对称C •关于点D .关于点5n o对称解析：选B •/ f(x)的最小正周期为n3= 2,• f(x)的图象向右平移扌个单位后得到g(x)= sin 2$ —$ = sin 2x —¥+ $ 的图象, 又g(x)的图象关于原点对称,1k n,k€乙$= 2^+ k n, k € Z,3f(x)= sin 2x — n .当x =右时，2x—n=—才••• A , C错误;当x =时,2x3. (2019潍坊统一考试)函数y= . 3sin 2x—cos 2x的图象向右平移 $ 0< X长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，贝y 0的值为(n A —A.12n B.nn C・nn D. n解析：选B由题意知y= ,3sin 2x—cos 2x = 2sin 2x—n，其图象向右平移$个单位长度后，得到函数g(x)= 2sin 2x—2 的图象，因为g(x)为偶函数，所以2(j)+才=寸+ kn, k€ z,所以$=才+ k n，M z,又因为能o, n，所以$=n4.函数f(x)= sin(3x+0(x€ R) 3>0 , |训<肓的部分图象如图所示，如果单位, 3,且f(X1)= f(X2),则f(X1 + X2)=( 66解析：选 B 由图可知，2 =n3= 2,7t …_ 一+ 一f 6 3 又•••B .n = n ，n 3 n 2 一 = 12，二f(x)的图象过点 即 sin 2X ；n + © = 1，得 ©= n,• f(x)= sin 2x + n .W nX 1+x 2= — 6 +3=6， ••• f(X i + X 2)= f nn n2 n3 6 =sin2x 6+3 =sin §=!"•7t5.若函数f(x)= 2sin 3xXo>0)在(0,2上恰有两个极大值和一个极小值，则 范围是( )3的取值3 4 B.4，5C.3 5 D . 3, 5解析：选A 因为函数f(x)在(0,2 n 上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得；T < 2 nW 即5弐 4 4 4 3V 2 nW 7 弐，解得 5< 3 w 7.4 3 4 4 6. (2019丽水模拟)已知函数f(x) = ,3cos 2x — sin 2x ,则下列结论中正确的序号是① 函数f(x)的图象关于直线x = 对称； ② 函数f(x)的图象关于点 2-n, 0对称； ③ 函数f(x)在区间右，5n 上是增函数； ④将y = 2sin 2x 的图象向右平移 芦个单位长度可以得到函数f(x)的图象.⑵求函数f(x)在区间0,的最值，并求出相应的 x 值.解析：f(x) = 3cos 2x — sin 2x =— 2sin 2x — n. 令2x — n= k n+n, k € Z ,得x = k n+ 5n , k € Z ,当k = 1时，函数f(x)的图象的对称轴 方程为x =寺 所以①正确；令2x —n= k n k € Z ,得x = k n+n ，k € Z ,所以当k = 1时，函数f(x)的图象的对称中3 2 6心是2n，o ,所以②正确；由 2k n —n< 2x ―詐 2k n+f, k € Z ,得 k n — x < k n+ 密，k € Z ,所以当 k = 0 时,2 3 2 12 12函数f(x)的单调递减区间为「- W ,告1,所以③错误；将函数y = 2sin 2x 的图象向右平移£个 单位长度可以得到函数y = 2sin 2x —扌的图象，所以④错误•所以正确的序号是①②答案：①②则f(x)的值域是3sin 2x — n ,— _w f(x)w 3. 28.已知角$的终边经过点 P( — 4,3),函数f(x)= sin (ox+枷o>0)的图象的相邻两条 对称轴之间的距离等于 n则 可'的值为 _______________________ .解析：由角0的终边经过点P(— 4,3),可得cos $= — 4 , sin (j )= ?.5 5 根据函数f(x)= Sin(ox+枷3>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 可得周期为2n= 2xf ，解得o= 2 ,o 2• f(x)= sin(2x + 0 ,• fsin n+ $ = cos 片-；.7.已知函数f(x)= 3sin cox—o> 0)和g(x) = 3cos(2x +册的图象完全相同，若 x €解析：f(x) =ox-n= 3cos23cos ox —于，易知 o= 2,贝U f(x)=ox —■/ x €答案:：：;.3sin 2 3x- sin wx cos 3x ( 3>0), 且y = f(x)图象的一个对称中心⑴求3的值;解：(1)f(x)^ ~23 — 3sin 2 3x- sin 3 x 0s 3x '■-J 31 — cos 2w x 1=~2 — 3 2 — Qsin 2 3x 3 1=丁 cos 23X - ?sin 23X=-sin 2wx-.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为又3> 0，所以3= 1. (2)由(1)知 f(x) = - sin当nW x <竽时,象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;答案：-45 到最近的对称轴的距离为n4.9.设函数f(x) =23⑵求f(x)在区间 所以一~23< sin-n 1.因此一1W f(x)三于,故f(x)在区间 10. (2019杭州二中模拟)已知函数 f(x)= Asin(»+妨 1.A >0, 3>0, |^|v n的部分图的最大值和最小n, 的最大值和最小值分别为 n⑵求函数f(x)在区间0,的最值，并求出相应的 x 值.2 n解：⑴由图象可知， A = 2, T = n=—,所以3= 2. co 所以 f(x)= 2sin(2x + 妨，因为 f 3 = 2sin 手 + $ = 2, | 0<扌， 所以£所以 f(x)= 2sin 2x — f .(2)因为x € 0,器]所以2x —器—n斜 所以 f(x)= 2sin[2x —訂€ [ — 1,2].所以当 2x — n= n ，即 x = n 时，f(X)max = f n= 2；当 2x — n=— £ 即 x = 0 时，f(x)min = f(0) = — 1.6 6 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2016 全国卷 I )已知函数 f(x) = sin(ox+ 妨(o>0,|$, x = — f 为 f(x)的零点，x y = f(x)图象的对称轴，且f(x)在 18,詁上单调，贝Uo 的最大值为()B . 9解析：选B 由题意得n4®+ $= k 1 n, k 1 € Z , n n . rI 4o + $= k 2 n+ ， k 2 € Z ,则 o= 2k + 1, k € Z , $= 4或或 $=2.已知函数 f(x) = 2sin?x +n I, g(x)= mcos?x —才)—2m + 3(m > 0)，若对?捲 € 0,；n4.n , f(x)在区间土 啬話上单调；9,则$= ^，此时f(x)= sin [9x +才)满足f(x)在区间若 o= 11,贝U $=—:,此时 f(x) = sin 11x — 间2：，36n 上单调递减，不满足f(x)在区间18，岩」上单调递增，在区益,器上单调递减，故选 B? x 2€ 0, n解析：当x € 0, ，使得g (x 1)= f(X 2)成立，则实数 m 的取值范围是:时,2x +n €n 5 n ・ns ，石，sin2x + n4-解得 1 w m w 3,即 m € 1,23. (2018浙江名校协作体考试 )已知函数f(x)= sin wx cos wx+ cos wx ( w>0)的最小正周 期为n.(1)求w 的值；1⑵将函数y = f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的？(纵坐标不变)，得到函数y = ax)解：(1)f(x)= 2sin 2wx+ 1 + c<os 2wx因为T = ~ = n所以w= 1.2 w(2)因为 f(x)=¥sin[x + 才)+ 2, 所以 g(x)=-^sin 4x +的图象，求函数y = g(x)在区间4， 0上的最值.3n4，的值域为[1,2] •当x € 0,才时时，函数g(x)= mcos2x —彳—2m + 3(m >0)的值域为* n €?, 1】「.当 x € _0礬 3,— m + 3 27t, i 罟+ 3> 1,使得g(x“= f(x 2)成立，•—m + 3 w 2,£ 7[2 3X+ n ；+ 2,1 2, x —n n6, 3•••对？,?以 答案:- n _4」3 n 1 — -2—16 = 2 , g(x)max = g(0) = 1.「n 0 时，4x+n €所以 g(x)min = g n ，。
2020版数学新优化浙江大一轮试题：第四章 三角函数、解三角形 考点规范练15 Word版含答案
π
- 3 ,2sin
π
-3
,即(1,-
3).
12.如果 sin α>sin β,那么下列命题中成立的是( ) A.若 α,β 是第一象限角,则 cos α>cos β B.若 α,β 是第二象限角,则 tan α>tan β C.若 α,β 是第三象限角,则 cos α>cos β D.若 α,β 是第四象限角,则 tan α>tan β 答案 D 解析如下图所示,
10.已知角 α=2kπ-5(k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y=|sin������| + cos������ + |tan������|的值为( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
答案 B
π
解析由 α=2kπ-5(k∈Z)及终边相同角的概念知,角 α 的终边在第四象限,又角 θ 与角 α 的终边相同,所 以角 θ 是第四象限角.所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.因此,y=-1+1-1=-1,应选 B.
34
解(1)因为点 A 在单位圆上,点 A 在第一象限,点 A 的横坐标是5,所以点 A 的坐标为 5,5 .
������ 3
������ 4
24
根据三角函数定义有 cos θ=������ = 5,sin θ=������ = 5,从而 sin 2θ=2sin θcos θ=25.
(2)设点 B 的坐标为(x,y),
2π
11.点 P 从(2,0)出发,沿圆 x2+y2=4 ( )
( ) 1 3
A. 2, - 2
( ) 3 1
B. - 2 , - 2
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习高考解答题专讲2三角综合课件
π
,1 ,与其相邻的最低点是
6
2π
3
,-3 .
(1)求函数f(x)的解析式及其对称中心;
1
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ·=-2ac,
试求函数 f(A)的取值范围.
解:(1)f(x)= 3sin ωx+cos ωx+c=2sin +
sin
2
2 - 2 - 2
sin
1
=-4 cos =-4tan C,
在△ABC 中,∵tan C=-tan(A+B),
△
1
tan +tan
tan +tan
∴ 2 -
=
tan(A+B)=
=
,
1
2 - 2
4
4(1-tan tan )
4(1- )
π
π
∴2sin 2A-6 +2sin 2B-6 =0,
5
5π
∵A+B=6 π,∴B= 6 -A,
π
5π
∴sin 2A-6 +sin 2
π
∴sin 2A-6 +sin
3
2
6
π
-A - 6 =0,
π-2A =0,
π
π
∴sin 2A-6 -cos 2A=0,∴ 3sin 2A-3 =0,
π
2
π
2
2
π
∴A=6 或 A=3 π. ∴A=6 ,B=3 π或 A=3 π,B=6 .
π
从而 cos φ=0,又 0≤φ<π,故 φ=2 .
-5题型一
2020版数学新优化浙江大一轮试题：第四章 三角函数、解三角形 考点规范练18
+1.再由-2+2kπ≤3x-6
≤
������
2+2kπ,k∈Z,得-
������
2+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选 B.
������
10.(2018 浙江舟山中学模拟)定义在区间 0,2 上的函数 y=2cos x 的图象与函数 y=3tan x 的图象的交
点为 M,则点 M 到 x 轴的距离为( )
( ) ( ) ( ) g
������
+
������ 4
+g
������ 4
=sin
2
×
������ 2
+
3
2+sin
������ 2
+
3
2=4,故选
A.
5������
1
13.(2018 浙江诸暨中学模拟)将函数 f(x)=sin x+ 6 图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不
������
变),再把得到的图象向右平移3个单位,得到的新图象的函数解析式为 g(x)= ,g(x)的单调递
答案 D
( ) ( ) ( ) 解析∵函数
y=cos
2������ +
������ 3
=sin
2������
+ 5������
6
=sin
2
������ +
5������ 12
,∴将函数
y=sin
2x
5������
的图象向左平移12个单位,
( ) ( ) 即可得到函数
y=cos
2������
+
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浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时214.6函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用夯基提能作业
4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用A组基础题组1.(2017浙江名校协作体)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 C 因为y=sin =sin,所以仅需将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象,故选C.2.(2017浙江嘉兴基础测试)若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位长度得到,则g(x)的解析式是( )A.g(x)=2sin 2xB.g(x)=2sinC.g(x)=2sinD.g(x)=2sin答案 A ∵f(x)= sin ,∴g(x)= sin-=2sin 2x.3.(2018温州十校联合体期初)函数y=f(x)在区间-, 上的简图如图所示,则函数y=f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=sinB.f(x)=sin-C.f(x)=sinD.f(x)=sin-答案 B 由题中图象知A=1,因为=--=,所以T=π,所以ω=2,所以函数的解析式是f(x)=sin(2x+φ),因为函数的图象过点, ,所以0=sin,所以φ=kπ-,k∈Z,所以当k=0时,φ=-,所以函数的一个解析式是f(x)=sin-,故选B.4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的可能取值是( )A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=-答案 C 由题图知函数f(x)的最小正周期T==4×--=4π,解得ω=,所以f(x)=sin,又由题图得·+φ=2kπ+,k∈Z,取k=0,则φ=.故选C.5.(2017温州中学月考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为( )A.-,B.-4,4C. ,D.4,答案 D f(x)=2sin-,由题意得=,得ω= ,∴f(x)= sin-.从而g(x)=2sin2-=2sin 2x,令+2kπ≤ x≤π+2kπ,k∈Z,得4+kπ≤x≤4π+kπ,k∈Z,故选D.6.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是( )A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2πB.函数y=f(x)·g(x)的最大值为2C.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象D.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后得到y=g(x)的图象答案 C ∵f(x)=sin(x-π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos x,∴f(x)·g(x)=-sin x·(-cos x)=sin .最小正周期为π,最大值为,故A,B错误;将f(x)的图象向左平移个单位后得到y=-sin=-cos x=g(x)的图象,故C正确;将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=-sin-=cos x的图象,故D错误,故选C.7.(2018宁波十校联考模拟)将函数y=sin-的图象向左平移个单位长度,所得函数图象的一条对称4轴方程是( )A.x=πB.x=-πC.x=πD.x=π答案 A 将函数y=sin-的图象向左平移个单位长度,可得y=sin-=sin的图象,4令2x+=kπ+,k∈Z,求得x=+,k∈Z,可得所得函数图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,令k=1,可得所得函数图象的一条对称轴方程为x=,故选A.8.函数f(x)=2sin(ωx+φ), 的图象如图所示,则ω= ,φ= .答案2;解析由题图知,最小正周期T=π,又ω>0,故ω==2,当x=0时,2sin φ=1,即sin φ=,因为|φ|<,所以φ=.9.(2018宁波模拟)已知函数f(x)=asin x+(a+ )cos x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为,振幅的最小值为.答案π;解析函数f(x)=asin x+(a+ )cos x,a∈R,化简可得:f(x)=(a )sin(2x+θ)=sin(2x+θ),其tan θ=.函数f(x)的最小正周期T==π.振幅为,当a=-时,可得振幅的最小值.10.(2018温州中学高三模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos2.(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标;(2)如果△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角为B,求f(B)的取值范围.解析(1)f(x)=sin+cos=sin+cos+=sin+,由sin=0,得+=kπ(k∈Z),得x=-π,k∈Z,即对称中心坐标为-, ,k∈Z.(2)已知b2=ac,则cos B=-=-ac≥-=,所以≤cos B< , <B≤,<+≤,因为->-,所以sin <sin≤ ,所以<sin+≤ +,即f(B)的范围是 , .11.(2017浙江湖州、衢州、丽水联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ), 的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π.(1)求函数f(x)的解析式;=,求cos 2α的值.(2)若f-4解析(1)因为S △MBC=× ×BC=π,所以T=2π=,所以ω=1,由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,4.所以f(x)=2sin4=2sin α=,得sin α=,(2)由f-4所以cos 2α=1-2sin2α=.12.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的图象如图,P是图象的最高点,Q是图象的最低点,且|PQ|=.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[ , ]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.解析(1)过P作x轴的垂线,过Q作y轴的垂线两垂线交于点M,则由已知得|PM|=2,又|PQ|=,由勾股定理得|QM|=3,所以T=6,又T=,所以ω=,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin x.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,所以g(x)=sin x.函数h(x)=f(x)·g(x)=sin x sin x=sin2x+sin xcos x= 4-cos x+4sin x=sin x-+4.当x∈[ , ]时,x-∈-,,所以当x-=,即x=1时,h(x)max=4.B组提升题组1.函数y=sin的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点-, 中心对称( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 B 假设将函数y=sin 的图象向左平移ρ个单位长度得到y=sin的图象关于点-, 中心对称,所以将x=-代入得到sin-=sin=0,所以+2ρ=kπ,k∈Z,所以ρ=-+,k∈Z,当k=0时,ρ=-.2.(2018杭州高三期末检测)设A,B是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min=2π,则正实数ω=( )A. B.1 C. D.2答案 B 函数f(x)=sin |ωx|=sin, ,-sin,,ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示:设A,B是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,且|AB|min=T==2π,解得ω=1.故选B.3.(2018杭州高级中学高三月考)将函数y=2sin-4(ω>0)的图象分别向左、向右各平移4个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为( ) A. B.1 C.2 D.4答案 C 把函数y=2sin-4(ω>0)的图象向左平移4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y1=2sin4-4=2sin-4,向右平移4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y2=2sin-4-4=2sin-4.因为所得的两个图象对称轴重合,所以ωx+-4π=ωx-4π①,或ωx+-4π=ωx-4π+kπ,k∈Z②.解①得ω=0,不合题意;解②得ω= k,k∈Z.所以ω的最小值为2.故选C.4.(2018杭州七校联考)已知函数y=4sin,x∈ ,的图象与直线y=m有三个交点,其交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),那么x1+2x2+x3的值是( )A.4B.4C.D.答案 C 由函数y=4sin ∈ ,的图象可得,当x=和x=时,函数分别取得最大值和最小值,由正弦函数图象的对称性可得x1+x2= ×=,x2+x3= ×=4 .故x1+2x2+x3=+4 =,故选C.5.已知函数f(x)=msin ωxcos ωx+nsin2ωx(ω>0)的图象关于点, 对称.(1)若m=4,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)的最小正周期是一个三角形的最大内角的值,又f(x)≤f4对任意实数x成立,求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(x)=msin ωxcos ωx+nsin2ωx=sin(2ωx)+[-cos( )]=s in( )-c os( )+=sin(2ωx+θ)+.其中cos θ=,sin θ=-.∵f(x)的图象关于点, 对称,∴=1,即n= ,∵m=4,∴f(x)=sin(2ωx+θ)+1,∴f(x)min=1-.(2)由f(x)≤f4对任意实数x成立,得4-=4+k·,k∈Z,其中T为函数f(x)的最小正周期,且≤T<π,得k=0,T=.∴ ω==3.∴f(x)=sin 3x-cos 3x+1,由f=sin4-cos4+1=1,得m=2.f(x)=sin 3x-cos 3x+1=sin-4+1.由-+2kπ≤ x-4≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤4+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为-k ,4k ,k∈Z.。
2020版数学新攻略大一轮浙江专用课件：21_§ 4_6 函数y=Asin的图象及简单应用
数f(x)的解析式为
f(x)=sin 32 x
3
4
+2
.
解析 由题中图象知,A=3 1 =1,T =5 - = 2 ,则T= 4 ,∴ω=3 ,由5 ×3 +
2 2 66 3
3
2 62
φ= +2kπ,k∈Z,得φ=- 3 +2kπ,k∈Z.又|φ|<π,∴φ=- 3 .
3
(2)函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分图象如图所示,则函数g(x)的解析式
可以是 ( C )
A.g(x)=sin 2x
3
C.g(x)=cos 2x
5
6
B.g(x)=sin 2x
2
3
D.g(x)=cos 2x
§ 4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及简单应用
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
教
材
研
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图
读
3.三角函数的图象变换
考点一 “五点法”作图和图象变换
考 点
考点二 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式
突 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 破
,
列表如下:
2x+ π6
π
6
π
2
π
3π
2
π
5π
2π
x
0
6
12
3
f(x)
1
2
0
-2
2019-2020年高考数学大一轮复习 5.6函数y=Asin( )的图象与三角函数模型的简单应用配
2019-2020年高考数学大一轮复习 5.6函数y=Asin( )的图象与三角函数模型的简单应用配套练习苏教版1.已知函数y=sin，||<)的图象如图所示,则 .【答案】【解析】由题图知周期T=,∴.∴y=sin.又图象经过点∴sin.又||<,∴.2.将函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标变为原来的2倍,然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位,这样得到的曲线和函数y=2sinx的图象相同,则函数y=f(x)的解析式为 .【答案】sin或写成cos2x)【解析】把函数y=2sinx的图象向右平移个单位所得图象的解析式为y=2sin再把函数y=2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标变为原来的则所得图象的解析式为sin.3.已知函数sincosx)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是 .【答案】[k Z【解析】由题意知T=,所以2sin.令2k解得k Z.4.关于函数f(x)=4sin R),有下列命题:①由可知必是的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;③y=f(x)的图象关于点对称;④y=f(x)的图象关于直线对称.其中正确的命题的序号是 .【答案】②③【解析】对①Z,两式相减得,故①不正确.对②,由诱导公式f(x)=4sincoscoscos正确.对③,当时故正确.同时,④不正确.1.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 . 【答案】y=2cos【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到y=sin即y=sincos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos.2.函数y=Asin||的图象如图所示,则y的表达式为 .【答案】y=2sin【解析】由题图易得A,∴从而y=2sin将点代入y=2sin得2sin即Z)或+2k Z).但是考虑到点在函数图象递减的那段曲线上,从而Z),则+2k ZZ),结合已知得.3.已知函数f(x)=sin若且f(x)在区间内有最大值,无最小值,则 .【答案】4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos[0,2])的图象和直线的交点个是 .【答案】2【解析】y=cossin,画出图象可得2个交点.5.函数y=sincos的最小正周期和最大值分别为 .【答案】,2【解析】因为y=sincos=sincossin所以T=.6.有下列命题:①函数y=4cos,10]不是周期函数;②函数y=4cos2x的图象可由y=4sin2x的图象向右平移个单位得到;③函数y=4cos的图象关于点对称的一个必要不充分条件是Z);④函数的最小值为.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】由周期的定义知①正确;y=4sin2x的图象向右平移个单位所得图象解析式为y=4sincos2x,故②错误;若函数y=4cos的图象关于点对称,则4cos所以即Z,故③正确;因为=-(2+sin=2-sin因为等号不能成立,故④错误.7.将函数y=sin)的图象向左平移个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则的值为 .【答案】【解析】函数y=sin的图象向左平移个单位后,得y=sin则又,故.8设函数f(x)=sin给出以下四个结论:①它的周期为;②它的图象关于直线对称;③它的图象关于点对称;④在区间上是增函数.以其中两个论断为条件,另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题: .【答案】若①②,则③④(或若①③,则②④)【解析】若①成立,则所以f(x)=sin.若此时②也成立,则sin又所以即f(x)=sin可验证③④成立.9.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是 .(填序号)【答案】④【解析】函数的最小正周期∴当|a|>1时,T<2;当0<|a|<1时,T>2,观察图形中周期与振幅的关系,可知④不符合要求.10.(xx浙江高考,文18)已知函数f(x)=Asin R.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及的值;(2)若点R的坐标为求A的值.【解】 (1)由题意得.因为P(1,A)在y=Asin的图象上,所以sin.又因为所以.(2)设点Q的坐标为.由题意可知得所以Q(4,-A). 连接PQ,在△PRQ中由余弦定理得cos2222229(94)1 22229RP RQ PQ A A APRQRP RQA A+-++-+∠===-,⋅⋅+解得.又A>0,所以.11.(xx届广东珠海高三摸底)已知A(cosx,sinx),其中x<2,B||.(1)求f(x)的对称轴和对称中心;(2)求f(x)的单调增区间.【解】 (1)由题设知cosx,sin则cosx,1+sinx).∴f(x)=||cossin2(sinx+cossin.∴对称轴是Z,即对称轴是x=k Z,对称中心的横坐标满足Z,即x=k Z.∴对称中心是(k Z.(2)当2k Z时f(x)单调增加,即2k Z,∴f(x)的单调增区间是[2k Z.12.若a cossin b=(sin其中记函数f(x)=(+k.(1)若函数f(x)的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于求的取值范围;(2)若函数f(x)的最小正周期为,且当时,函数f(x)的最大值是求函数f(x)的解析式,并说明如何由函数y=sinx的图象变换得到函数y=f(x)的图象.【解】∵a cossin b=(sin∴a+b cossinsin.故f(x)=(sincossinsinsincos=sin.(1)由题意可知∴.又∴.(2)∵,∴.∴f(x)=sin.∵∴.从而当即时,sin∴.故f(x)=sin.由函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象.。