高中物理第二章探究匀变速直线运动的规律微型专题匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式的应用学案粤教

微型专题 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式的应用[学习目标] 1.掌握三个平均速度公式及其适用条件，会应用平均速度公式求解相关问题.2.会推导Δs ＝aT 2并会用它解决相关问题．一、匀变速直线运动的平均速度公式一物体做匀变速直线运动，初速度为v 0，经过一段时间末速度为v t . (1)画出物体的v －t 图象，求出物体在这段时间内的平均速度．(2)在图象中表示出中间时刻的瞬时速度2t v ，并求出2t v .(结果用v 0、v 表示)答案 (1)v －t 图象如图所示因为v －t 图象与t 轴所围面积表示位移，t 时间内物体的位移可表示为s ＝v 0＋v t2·t ①平均速度v ＝s t② 由①②两式得v ＝v 0＋v t2.(2)由图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：2t v ＝v 0＋v t2.1．三个平均速度公式及适用条件 (1)v ＝s t，适用于所有运动． (2)v ＝v 0＋v t2，适用于匀变速直线运动．(3)v ＝2t v ，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．2．匀变速直线运动位移的另一公式 根据v ＝s t得s ＝v t ＝v 0＋v t2t说明：公式s ＝v 0＋v t2t 只适用于匀变速直线运动，不适用于非匀变速直线运动．例1 物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a 1＝2m/s 2，加速一段时间t 1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t ＝20 s ，总位移为300m ，则物体运动的最大速度为( ) A ．15m/s B ．30m/s C ．7.5m/s D ．无法求解答案 B解析 设最大速度为v m ，匀加速直线运动过程：v ＝12(0＋v m )＝12v m ，匀减速直线运动过程：v ＝12(v m ＋0)＝12v m ，所以整个运动过程的平均速度为v m 2＝s t ＝300m20s ，解得v m ＝30m/s.针对训练1 做匀变速直线运动的质点在第一个0.5s 内的平均速度比它在第一个1.5s 内的平均速度大2.45m/s ，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为( ) A ．2.45m/s 2B ．－2.45m/s 2C ．4.90m/s 2D ．－4.90m/s 2答案 D解析 设质点在第一个0.5s 内的平均速度为v 1，即在t 1＝0.25s 时的速度为v 1；设在第一个1.5s 内的平均速度为v 2，即在t 2＝0.75s 时速度为v 2.由题意得：v 1－v 2＝2.45m/s ，故a ＝v 2－v 1t 2－t 1＝－2.450.75－0.25m/s 2＝－4.90m/s 2，D 正确．二、位移差公式Δs ＝aT 2物体做匀变速直线运动，加速度为a ，从某时刻起T 时间内的位移为s 1，紧接着第二个T 时间内的位移为s 2.试证明：Δs ＝aT 2. 答案 见解析解析 证明：设物体的初速度为v 0 自计时起T 时间内的位移s 1＝v 0T ＋12aT 2①在第2个T 时间内的位移s 2＝v 0·2T ＋12a (2T )2－s 1＝v 0T ＋32aT 2.②由①②两式得连续相等时间内的位移差为 Δs ＝s 2－s 1＝v 0T ＋32aT 2－v 0T －12aT 2＝aT 2，即Δs ＝aT 2.1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T 内的位移之差为一恒定值，即Δs ＝s 2－s 1＝aT 2. 2．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δs ＝s 2－s 1＝s 3－s 2＝…＝s n －s n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． (2)求加速度利用Δs ＝aT 2，可求得a ＝Δs T2.例2 一个做匀加速直线运动的物体，在前4s 内经过的位移为24m ，在第2个4s 内经过的位移是60m ，求这个物体的加速度和初速度各是多大？ 答案 2.25m/s 21.5m/s解析 由公式Δs ＝aT 2得：a ＝Δs T 2＝s 2－s 1T2＝60－2442m/s 2＝2.25m/s 2，这8s 中间时刻的速度 v ＝s 1＋s 22T ＝60＋242×4m/s ＝10.5m/s而v ＝v 0＋at 得：v 0＝1.5m/s.例3 从斜面上某一位置每隔0.1s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图1所示的照片，测得s AB ＝15cm ，s BC ＝20cm.试求：图1(1)小球的加速度的大小； (2)拍摄时小球B 的速度的大小； (3)拍摄时s CD 的大小．答案 (1)5m/s 2(2)1.75m/s (3)0.25m解析 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1s ，可以认为A 、B 、C 、D 各点是一个小球在不同时刻的位置． (1)由推论Δs ＝aT 2可知，小球的加速度为 a ＝Δs T 2＝s BC －s AB T 2＝20×10－2－15×10－20.12m/s 2＝5m/s 2. (2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，可知B 点的速度等于AC 段上的平均速度，即v B ＝v AC ＝s AC 2T ＝20×10－2＋15×10－22×0.1m/s ＝1.75m/s.(3)由于连续相等时间内的位移差恒定，所以s CD －s BC ＝s BC －s AB所以s CD ＝2s BC －s AB ＝2×20×10－2m －15×10－2m ＝0.25m.针对训练2 (多选)(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3s 内的位移是2m ，第4s 内的位移是2.5m ，那么以下说法正确的是( ) A ．第2s 内的位移是2.5m B ．第3s 末的瞬时速度是2.25m/s C ．质点的加速度是0.125m/s 2 D ．质点的加速度是0.5m/s 2答案 BD解析 由Δx ＝aT 2，得a ＝x 4－x 3T 2＝2.5－212m/s 2＝0.5m/s 2，x 3－x 2＝x 4－x 3，所以第2s 内的位移x 2＝1.5m ，A 、C 错误，D 正确；第3s 末的瞬时速度v 3＝x 3＋x 42T＝2.25m/s ，B 正确．三、匀变速直线运动公式的比较 1．两个基本公式v t ＝v 0＋at 和s ＝v 0t ＋12at 2上两个公式中包括五个物理量，原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，可以解决所有的匀变速直线运动问题．解题时要注意公式的矢量性，先根据规定好的正方向确定好所有矢量的正负值． 2．几个导出公式及特点(1)v t 2－v 02＝2as 不涉及时间，若题目中已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往比较简单．(2)s ＝v t 普遍适用于各种运动，而v ＝v 0＋v t2＝2t v 只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．(3)s 2－s 1＝aT 2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有s m －s n ＝(m －n )aT 2(其中T 为连续相等的时间间隔，s m 为第m 个时间间隔内的位移，s n 为第n 个时间间隔内的位移)．例4 一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27m 的A 、B 两点所用时间为2s ，汽车经过B 点时的速度为15m/s.求： (1)汽车经过A 点时的速度大小和加速度大小； (2)汽车从出发点到A 点经过的距离；(3)汽车经过B 点后再经过2s 到达C 点，则BC 间距离为多少？ 答案 (1)12m/s 1.5m/s 2(2)48m (3)33m解析 (1)设汽车初始运动方向为正方向，过A 点时速度为v A ， 则AB 段平均速度为v AB ＝v A ＋v B2故由s ＝v t ＝v AB t ＝v A ＋v B2t ，解得v A ＝12m/s.对AB 段：a ＝v B －v A t AB＝1.5m/s 2. (2)对OA 段(O 为出发点，v 0＝0)：由v t 2－v 02＝2as得s OA ＝v A 2－v 022a＝48m.(3)汽车经过BC 段的时间等于经过AB 段的时间， 则s BC －s AB ＝aT 2，得s BC ＝s AB ＋aT 2＝27m ＋1.5×22m ＝33m.1．(平均速度公式的应用)小蒙骑自行车由静止沿直线运动，他在第1s 内、第2s 内、第3s 内、第4s 内通过的位移分别为1m 、2m 、3m 、4m ，则( ) A ．他4s 末的瞬时速度为4m/s B ．他第2s 内的平均速度为1.5m/s C ．他4s 内的平均速度为2.5m/s D ．他1s 末的速度为1m/s 答案 C解析 小蒙骑自行车的速度是逐渐增大的，无法确定他的瞬时速度，只能求出平均速度，第2s 内平均速度为21m/s ＝2m/s ；4s 内的平均速度v ＝1＋2＋3＋44m/s ＝2.5m/s.2．(平均速度公式的应用)一质点从静止开始由A 点先做匀加速直线运动到B 点，然后从B 点做匀减速直线运动到C 点时速度刚好为零．已知t AB ＝2t BC ，那么在AB 段和BC 段( ) A ．加速度大小之比为2∶1 B ．位移大小之比为1∶2 C ．平均速度大小之比为2∶1 D ．平均速度大小之比为1∶1答案 D解析 设B 点速度为v ，t BC ＝t 加速度a 1＝v 2t ，a 2＝vt故a 1∶a 2＝1∶2，选项A 错误；v 1＝0＋v 2＝v 2；v 2＝v ＋02＝v 2故v 1∶v 2＝1∶1，选项C 错误，D 正确；s 1＝2v 1t ，s 2＝v 2t ，故s 1∶s 2＝2∶1，选项B 错误．3．(位移差公式的应用)(多选)如图2所示，某物体做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB ＝2m, BC ＝3m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间均为0.2s ，则下列说法正确的是( )图2A ．物体的加速度为20m/s 2B ．物体的加速度为25m/s 2C ．CD ＝4m D ．CD ＝5m答案 BC解析 由匀变速直线运动的规律知，连续相等时间内的位移差为常数，即Δs ＝aT 2，可得：a ＝BC －AB T 2＝10.04m/s 2＝25 m/s 2，故A 错误，B 正确；根据CD －BC ＝BC －AB ，可知CD ＝4m ，故C 正确，D 错误．4．(位移差公式的应用)(多选)(2019·山西大学附中月考)一质点从A 点以v 0＝3m/s 的初速度开始做匀加速直线运动，随后依次经过B 、C 两点．已知AB 段、BC 段距离分别为5m 、9m ，质点经过AB 段、BC 段时间相等均为1s ，则( ) A ．质点的加速度大小为4m/s 2B ．质点的加速度大小为2m/s 2C ．质点在C 点的速度大小为11m/sD ．质点在B 点的速度大小为6m/s 答案 AC解析 AB 段、BC 段时间相等，均为T ＝1s 由Δx ＝aT 2得a ＝x 2－x 1T 2＝9－512m/s 2＝4m/s 2B 点为AC 的时间中点 v B ＝v AC ＝x 1＋x 22T ＝5＋92×1m/s ＝7m/s 则v C ＝v B ＋aT ＝(7＋4×1) m/s＝11m/s 故A 、C 正确．一、选择题1．某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v 所需时间为t ，则起飞前的运动距离为( )A ．vt B.vt2C ．2vt D ．不能确定 答案 B解析 因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则s ＝v t ＝0＋v 2t ＝v2t ，B 正确．2．一物体从斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9s 后停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与水平地面上的位移之比是( ) A ．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1 答案 C解析 设物体到达斜面底端时的速度为v ， 则物体在斜面上的平均速度v 1＝v2，在斜面上的位移x 1＝v 1t 1＝v2t 1在水平地面上的平均速度v 2＝v2，在水平地面上的位移x 2＝v 2t 2＝v2t 2所以x 1∶x 2＝t 1∶t 2＝1∶3，故选C.3．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动．已知汽车从启动到停止一共经历了10s ，前进了25m ，在此过程中，汽车的最大速度为( ) A ．2.5m/s B ．5m/s C ．7.5m/s D ．10m/s答案 B解析 设汽车的最大速度为v m ，加速时间为t 1，减速时间为t 2，则加速阶段的平均速度v 1＝0＋v m 2＝v m2减速阶段的平均速度v 2＝v m ＋02＝v m2汽车的总位移s ＝v 1t 1＋v 2t 2＝v m 2(t 1＋t 2)＝12v m t ，代入数据解得v m ＝5m/s.4．一辆汽车做匀加速直线运动，初速度为2m/s ，经过4s 速度为10m/s ，在这段时间内，下列说法正确的是( ) A ．汽车的加速度为4m/s 2B ．汽车的加速度为3m/s 2C ．汽车的位移为24mD ．汽车的平均速度为3m/s 答案 C解析 汽车的加速度a ＝Δv Δt ＝2m/s 2，故A 、B 错误；平均速度v ＝v 0＋v t 2＝6m/s ，故D 错误；位移x ＝v ·t ＝24m ，故C 正确．5．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图象如图1所示，那么0～t 和t ～3t 两段时间内( )图1A ．加速度大小之比为3∶1B ．位移大小之比为1∶2C ．平均速度大小之比为2∶1D ．平均速度大小之比为1∶1答案 BD解析 两段的加速度大小分别为a 1＝v t ，a 2＝v 2t ，a 1a 2＝21，A 错．两段的位移s 1＝12vt ，s 2＝vt ，s 1s 2＝12，B 对．两段的平均速度v 1＝v 2＝v2，C 错，D 对． 6．一质点做匀加速直线运动，依次经过O 、A 、B 、C 四点，A 、B 间的距离为10m ，B 、C 间的距离为14 m ，已知物体通过OA 段、AB 段、BC 段所用的时间相等．则O 与A 的距离为( ) A ．8mB ．6mC ．4mD ．2m 答案 B解析 根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔T 内物体的位移之差Δs ＝aT 2，则s 3－s 2＝s 2－s 1，所以s 1＝2s 2－s 3＝2×10m－14m ＝6m ，选项B 正确．7．(多选)如图2所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5、…所示小球运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度为d .根据图中的信息，下列判断正确的是( )图2A ．位置“1”是小球释放的初始位置B ．小球做匀加速直线运动C ．小球下落的加速度为d T2 D ．小球在位置“3”的速度为7d2T答案 BCD解析 由题图可知相邻时间间隔内通过的位移分别为2d 、3d 、4d 、5d ，所以小球做匀加速直线运动，位置“1”不是小球释放的初始位置，由位移差Δs ＝aT 2得小球下落的加速度为a ＝d T 2，小球在位置“3”的速度为v ＝3d ＋4d 2T ＝7d2T. 8．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1s 内和第2s 内位移大小依次为9m 和7m ．则刹车后6s 内的位移是( ) A ．25mB ．24mC ．20mD ．36m 答案 A解析 根据Δs ＝aT 2解得a ＝－2m/s 2，设汽车的初速度为v 0，第1s 末的速度为v 1，则v 1＝s 1＋s 22T＝8m/s ，根据v 1＝v 0＋aT ，代入数据解得v 0＝10m/s ，故刹车时间为t ＝0－v 0a＝5s ，所以刹车后6s 内的位移s ＝0－v 022a＝25m ，A 正确，B 、C 、D 错误．9．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图3所示，如果拍摄时每隔2s 曝光一次，轿车车身总长为4.5m ，那么这辆轿车的加速度为( )图3A ．1m/s 2B ．2.25m/s 2C ．3m/s 2D ．4.25m/s 2答案 B解析 根据匀变速直线运动规律，Δs ＝s 2－s 1＝aT 2，读出s 1、s 2，代入即可计算．轿车车身总长4.5m ，则图中每一小格为1.5m ，由此可算出两段距离分别为s 1＝12m 和s 2＝21m ，又T ＝2s ，则a ＝s 2－s 1T 2＝21－1222m/s 2＝2.25m/s 2，故选B.10．物体以初速度v 0做匀减速直线运动，第1s 内通过的位移为s 1＝3m ，第2s 内通过的位移为s 2＝2m ，又经过位移s 3物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是( )A ．加速度a 的大小为1m/s 2B ．初速度v 0的大小为2.5m/sC ．位移s 3的大小为1.125mD ．位移s 3内的平均速度大小为0.75m/s答案 B解析 根据Δs ＝aT 2得， a ＝Δs T 2＝－112m/s 2＝－1m/s 2，A 项正确； 根据s 1＝v 0t 1＋12at 12，得v 0＝3.5m/s ，B 项错误； 第2s 末的速度v 2＝v 0＋at 2＝(3.5－1×2) m/s＝1.5m/s ，则s 3＝0－v 222a ＝－2.25－2m ＝1.125m ，位移s 3内的平均速度大小v ＝v 22＝0.75m/s ，C 、D 项正确． 二、非选择题11．(2019·唐山一中月考)公交车是新浦地区的学生上学的重要交通工具之一，当汽车快到校门口时，司机往往关闭汽车发动机，让汽车做匀减速直线运动滑行进站，已知滑行120m 时速度减小为原来的一半，再滑行8s 静止，求汽车关闭发动机时的速度和滑行的距离． 答案 见解析解析 设汽车初速度方向为正方向，汽车进入站台前做匀减速直线运动，设初速度为v 0，加速度大小为a ，t 2＝8s ，则：at 2＝v 02 前半段：t 1＝v 0－v 02a ＝t 2＝8s由s 1＝v 0＋v 022t 1＝120m 得：v 0＝20m/s滑行的距离s ＝v 02(t 1＋t 2)＝160m. 12．一些同学乘坐火车外出旅游，当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，一位同学提议说：“我们能否用身边的器材测出火车的加速度？”许多同学参与了测量工作，测量过程如下：他们一边看着窗外每隔100m 的路标，一边用手表记录时间，他们观测到从第一根路标运动到第二根路标的时间间隔为5s ，从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为9s ，请你根据他们的测量情况，求：(计算结果均保留两位小数)(1)火车的加速度大小；(2)他们到第三根路标时的速度大小．答案 (1)1.11m/s 2 (2)27.22m/s解析 (1)设t 1＝5s ，t 2＝(9－5) s ＝4s ，根据2t v ＝v ＝s t，知他们在第一、二根路标中间时刻的速度12t v ＝20m/s ，在第二、三根路标中间时刻的速度22t v ＝25m/s ，两中间时刻的时间间隔为Δt ＝t 1＋t 22＝4.5s.所以a ＝Δv Δt ＝2122t t t v -v ≈1.11m/s 2. (2)设他们到第三根路标时的速度为v 3则v 3＝22t v ＋a t 22＝27.22m/s.。