含30°角的直角三角形的性质检测题

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含30°角的直角三角形的性质练习题

1 1 CEF(AAS)，∴BE＝CF，∵CF＝2CE，∴BE＝2CE，又∵BE＋CE＝8，∴ 16 16 8 CE＝ 3 ，∴BD＝ 3 ，∴AD＝3
16．已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°.
(1)如图①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC；
(2)如图②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
) C
A．30° B．60°
C．30°或150° D．不能确定
11．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮
以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a元，则购买这种草皮至少需要( B)
A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分 6．别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝____
14．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测到距A市正北方向200千
米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千
米/时的速度沿直线向C移动，且台风中心风力不变．已知每远离台风中
心20千米，风力就减弱一级，若A市所受风力不到4级，则称不受台风影
响．根据以上信息回答下列问题： (1)A市是否会受到这次台风影响？请说明理由． (2)若A市受影响，所受最大风力是几级？
解：(1)作 AD⊥BC 于点 D，在 Rt△ABD 中，∠B＝30°，AB＝200 1 千米，∴AD＝2AB＝100 千米．由题意知，受台风影响范围的半径为 20× (12－4)＝160(千米)，∵AD＝100 千米＜160 千米，∴A 市将受到台风影响 100 (2)当台风中心位于 D 处时，A 市所受风力最大，其风力为 12－ 20 ＝7(级)

含30角的直角三角形

含30°角的直角三角形1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）A ．2厘米B ．4厘米C ．6厘米D ．8厘米2. 在直角△ABC 中，∠C=30°，斜边AC 的长为5cm ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2.5cmD ．2cm3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm ，则AB 等于（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图第7题图第9题图 4. 如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm ，那么斜边长为（）A ．6cmB ．9cmC ．12cmD ．14cm5. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm6. 已知∠B=30°，AB=6，BC=8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．487. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．78.在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a 9. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则AD 与BD 的关系是（）13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米第13题图第14题图第16题图14. 某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥，一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达B 点，这时汽车离地面高度为（）米．A ．300B ．150C ．75D ．5015. 等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm ，那么底边上的高（）A ．10cmB ．5cmC ．20cmD ．15cm16.如图是一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30cm ，OC=OD=50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为（）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°17. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，若AE=4cm ，则AD 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．12cm第17题图第18题图18.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 .19. 如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ．若∠AOB=30°，OC=4，则点P 到OA 的距离PD 等于 .第19题图第20题图 20. 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s,角θ=30°．当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，则C 恰好在点D 处将球成功抢断（填“能”或“不能”，球员反应速度、天气等因素均不予考虑）．21.在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC ，使∠A=30°，AB=10cm ，∠A 的对边可以在长为4cm 、5cm 、6cm、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画个．22. 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边第23题图第26题图24. 已知一个等腰三角形的腰长是a ，底角是15度．则此等腰三角形的面积为 .25.△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，28. 某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求这个端点间的距离“，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽30. 已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为 .31. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB 于点M、N，且BM=3，则CM= .第31题图第32题图32. 如图，Rt△ABC中，∠CAB=30°，AD为角平分线，DE∥AB，DF⊥AB于F，若AE=8cm，则DF的长为cm．33. 有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．34. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．第34题图35. 如图所示，CD ⊥AB ，垂足为D ，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BD=41AB ．第35题图36. 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC ；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．37. 我们已经学过直角三角形的一个重要性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．小明得出，如图△ABC 中，有∠B=60°，2BC=AB ．爱动脑筋的他想，如果先画∠ABC=60°，且有2BC=AB ，比如，BC=1，AB=2，连接AC ，那么得到的△ABC 是否是直角三角形呢？画完后他发现是的，你能帮他证明吗？第37题图38. 如图，一块含有30°角（∠ABC=30°，∠ACB=90°）的木制三角板是由三块宽度相等的木条拼合而成，若木条的宽度为5cm，求制作时拼合缝AA′的长．第38题图39.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3-1=215中的x的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．①求AB的长度﹙厘米﹚．②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．第39题图42.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？第40题图等腰三角形1．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9第1题第2题2. 如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（）A．30 B．32 C．34 D．363.如图，已知点O是△ABC的∠ABC和∠ACB平分线的交点，过O作EF平行于BC 交AB于E，交AC于F，AB=12，AC=18，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．24 D．30第3题第4题4. 如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5. 如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC 交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm第5题第6题6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．无法确定第9题第10题10. 如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC 的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°11.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5第11题第12题12.在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图中的等腰三角形的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．813. 已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（）个．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④第13题第14题14. 在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C．D．16.如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2第16题第17题17.△ABC中，∠CAB-∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN= .19.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD= .第19题第20题20.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，第21题第22题22.如图，轮船以每小时20海里的速度向正北方向航行，测得灯塔C在北偏东40°的方向（即∠NAC=40°），半小时后，轮船航行到B处，测得灯塔C在北偏东80°的方向（即∠NBC=80°），这时轮船在B处与灯塔C的距离是海里．23.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB=30°，OC=4，则PD= ．第23题第24题24.如图：已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE．则∠B= ．25.如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．第25题26.已知：如图，点C、D在△ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE．求证：AC=AD．第26题27.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E．已知：DA=DC，E为AC 中点．求证：（1）AC⊥BD；（2）∠ABD=∠CBD．28.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE.（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：；（2）从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是（只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知，求证，并加以证明．第28题29.如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．第29题30.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．第30题31.在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．第31题32.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE ⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．第32题33.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．第33题34.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC．第34题35.如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，过D作DE⊥AB，垂足为E点．（1）求证：AB=AC+CD；（2）已知AC=4cm，求CD的长．第35题36.如图，已知∠ACB=90°，点D是AB上一点，若DB=DC．求证：点D是AB的中点．第36题37.如图，△ABC中，AB=6，BD=3，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求CD的长．第37题38.在△ABC中，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC，BE=EC．第38题39.如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC 的理由．第39题40.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC．第40题41.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．第41题42.如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．第42题43.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．44.如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DB=CF，求证：DE=EF．第44题45.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE．第45题46.如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC=2AM．第46题47.△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°,①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．48.已知：在锐角△ABC中，AB=AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE．（1）求证：∠ABE=∠DAC；（2）若∠BAC=60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC=α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．49.已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF ∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？。

含30度角的直角三角形-初中数学习题集含答案

含30度角的直角三角形（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为 A ．3B ．4C ．6D ．82．（2018秋•东城区期末）如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为 A ．2B ．4C ．6D ．83．（2019春•昌平区校级月考）如图，若，，，则 A ．B ．C ．D ．4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，中，，，，点是边上的动点，则的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．45．（2018春•海淀区校级期中）已知直角三角形中，，，若，则长为 A ．2B ．4C ．3D ．ABC BA BC =120ABC ∠=︒D AC 6BC =BD ()ABC ∆90A ∠=︒30C ∠=︒AD BC ⊥D BE ABC ∠AD P 2AP =AC ()30B ∠=︒90C ∠=︒20AC m =(AB =)25m 30m 40m ABC ∆90C ∠=︒30A ∠=︒4AB =P AC BP ()ABC 30A ∠=︒90C ∠=︒AC =AB ()二．填空题（共7小题）6．（2019秋•延庆区期末）如图，与交于点，，，，则的度数是．7．（2019秋•丰台区期末）如图，中，，，交于点，，则．8．（2019秋•延庆区期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则．9．（2019秋•海淀区校级期中）如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为．10．（2019秋•西城区校级期中）等腰三角形的顶角是，底边上的高是3，则腰长为．11．（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，，，则的面积为．12．（2019秋•海淀区校级期中）中，，，，．三．解答题（共3小题）13．（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在中，，，求的长．14．（2014秋•海淀区校级期末）等腰三角形中，，，求边上的高的长．EC DA B 90ACB ∠=︒60A ∠=︒BD BE =DEB ∠ABC ∆AB AC =120BAC ∠=︒AD AC ⊥BC D 3AD =BC =ABC ∆90A ∠=︒CD ACB ∠DE BC 2DE =AB =ABC ∆AB BC =30ABC ∠=︒BD ABC ∠AC D BC EF BC E BD F 6BF =AC 120︒6AB BC ==15A ∠=︒ABC ∆Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠4BC cm =AB =cm ABC ∆8AB AC ==120A ∠=︒BC ABC 30A ∠=︒8AB =AB CD15．（2014•顺义区一模）如图，在四边形中，，，，，求的长．ABCD 90B D ∠=∠=︒60C ∠=︒4BC =3CD =AB含30度角的直角三角形（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为 A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：，，，为边的中点，，，，故选：．【点评】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．2．（2018秋•东城区期末）如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为 A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】易得的等边三角形，则，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质来求的长度，然后在等腰中得到的长度，则易求的长度．【解答】解：中，，，．又是的平分线，ABC BA BC =120ABC ∠=︒D AC 6BC =BD ()BA BC =Q 120ABC ∠=︒30C A ∴∠=∠=︒D Q AC BD AC ∴⊥6BC =Q 132BD BC ∴==A ABC ∆90A ∠=︒30C ∠=︒AD BC ⊥D BE ABC ∠AD P 2AP =AC ()AEP ∆2AE AP ==AEB ∆EB BEC ∆CE AC ABC ∆Q 90BAC ∠=︒30C ∠=︒60ABC ∴∠=︒BE Q ABC ∠，，，，．又，，则，的等边三角形，则，在直角中，，则，，．故选：．【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到是解题的关键．3．（2019春•昌平区校级月考）如图，若，，，则 A ．B ．C ．D ．【分析】根据含的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：，，，，故选：．【点评】此题考查含的直角三角形，关键是根据含的直角三角形的性质解答．4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，中，，，，点是边上的动点，则的最小值为 30EBC ∴∠=︒60AEB C EBC ∴∠=∠+∠=︒C EBC ∠=∠60AEP ∴∠=︒BE EC =AD BC ⊥60CAD EAP ∴∠=∠=︒60AEP EAP ∠=∠=︒AEP ∴∆2AE AP ==AEB ∆30ABE ∠=︒24EB AE ==4BE EC ∴==6AC CE AE ∴=+=C 30︒60AEB ∠=︒30B ∠=︒90C ∠=︒20AC m =(AB =)25m 30m 40m 30︒30B ∠=︒Q 90C ∠=︒20AC m =40AB m ∴=D 30︒30︒ABC ∆90C ∠=︒30A ∠=︒4AB =P AC BP ()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先根据直角三角形30度角的性质得的长，根据垂线段最短可得是的最小值．【解答】解：，，，，点是边上的动点，则当与重合时，的值最小为2，故选：．【点评】本题考查了直角三角形30度角的性质，点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是关键．5．（2018春•海淀区校级期中）已知直角三角形中，，，若，则长为 A ．2B ．4C ．3D ．【分析】根据计算．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查了三角函数，熟练运用三角函数关系是解题的关键．二．填空题（共7小题）6．（2019秋•延庆区期末）如图，与交于点，，，，则的度数是．【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：，，，，BC BC BP 90C ∠=︒Q 30A ∠=︒4AB =114222BC AB ∴==⨯=Q P AC P C BP B ABC 30A ∠=︒90C ∠=︒AC =AB ()cos AC A AB =∠30A ∠=︒Q 90C ∠=︒AC =∴cos cos30AC A AB =∠=︒=4AB ∴==B EC DA B 90ACB ∠=︒60A ∠=︒BD BE =DEB ∠75︒90ACB ∠=︒Q 60A ∠=︒30ABC DBE ∴∠=∠=︒BE BD ∴=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内角和，对顶角的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2019秋•丰台区期末）如图，中，，，交于点，，则　9　．【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：，，，，，又，，，，，，，，故答案为：9．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．8．（2019秋•延庆区期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则　6　．【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：是的平分线，，垂直平分，1(18030)752DEB ∴∠=︒-︒=︒75︒ABC ∆AB AC =120BAC ∠=︒AD AC ⊥BC D 3AD =BC =30B C ∠=∠=︒CD BD AB AC =Q 120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒AD AC ⊥Q 90DAC ∴∠=︒30C ∠=︒26CD AD ∴==120BAC ∠=︒Q 90DAC ∠=︒30BAD ∴∠=︒DAB B ∴∠=∠3BD AD ∴==9BC BD CD ∴=+=30︒ABC ∆90A ∠=︒CD ACB ∠DE BC 2DE =AB =CD Q ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠DE Q BC，，，，，，，，，故答案为：6．【点评】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．9．（2019秋•海淀区校级期中）如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为　6　．【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出，进而利用含的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：连接，如图所示：在中，，平分交于点，，，的垂直平分线交于点，，，，，，，BD CD ∴=DCB B ∴∠=∠2ACB B ∴∠=∠90A ∠=︒Q 30B ∴∠=︒90DEB ∠=︒Q 24BD CD DE ∴===2AD DE ==6AB ∴=ABC ∆AB BC =30ABC ∠=︒BD ABC ∠AC D BC EF BC E BD F 6BF =AC 6CF BF ==30︒CF Q ABC ∆AB BC =BD ABC ∠AC D AD DC ∴=BD AC ⊥BC Q EF BC E 6BF CF ∴==230DFC DBC ABC ∴∠=∠=∠=︒BD AC ⊥Q 90BDC ∴∠=︒132DC CF ∴==26AC DC ∴==故答案为：6．【点评】此题考查含角的直角三角形，关键是根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出解答．10．（2019秋•西城区校级期中）等腰三角形的顶角是，底边上的高是3，则腰长为　6　．【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含的直角三角形的性质可求得腰的长．【解答】解：如图，，于点，，，，．故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质；求得的角是正确解答本题的关键．11．（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，，，则的面积为　9　．【分析】根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质得到，过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：，，，，过作交的延长线于，，，的面积为，故答案为：9．30︒CF BF =120︒30︒AB AC =AD BC ⊥D 3AD =120BAC ∠=︒120BAC ∠=︒Q AB AC =(180)230B C BAC ∴∠=∠=︒-∠÷=︒AD BC ⊥Q 1362AB ∴=÷=30︒30︒6AB BC ==15A ∠=︒ABC ∆15ACB A ∠=∠=︒30CBD A ACB ∠=∠+∠=︒C CD AB ⊥AB D 132CD BC ==6AB BC ==Q 15A ∠=︒15ACB A ∴∠=∠=︒30CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒C CD AB ⊥AB D 90D ∴∠=︒132CD BC ∴==ABC ∴∆1163922AB CD =⨯⨯=g【点评】本题考查了含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2019秋•海淀区校级期中）中，，，，　8　．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答．【解答】解：如图，在中，，，，，．故答案是：8．【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．三．解答题（共3小题）13．（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在中，，，求的长．【分析】过点作于．解直角三角形求出，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点作于．，，，，30︒Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠4BC cm =AB =cm Q Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠190303A ∴∠=︒⨯=︒4BC cm =Q 28AB BC cm ∴==30︒ABC ∆8AB AC ==120A ∠=︒BC A AD BC ⊥D BD A AD BC ⊥D AB AC =Q 120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒2BC BD =在中，，，，，．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2014秋•海淀区校级期末）等腰三角形中，，，求边上的高的长．【分析】①当为底角时，首先计算出，然后再计算出的度数，再根据直角三角形的性质可得的长，再利用勾股定理计算出长即可；②当为顶角时，直接利用在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得答案；③当为底角，为底边，利用勾股定理以及在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．【解答】解：①当为底角时，，，，，，，，；②当为顶角时，，，，，，③当为底角，为底边，则，，，，Rt ABD ∆90ADB ∠=︒30B ∠=︒8AB =cosBD B AB=cos308BD AB ∴=︒==BC ∴=ABC 30A ∠=︒8AB =AB CD A ∠60CBD ∠=︒BCD ∠BD CD A ∠30︒A ∠AB 30︒A ∠30A ∠=︒Q 8AB CB ==30ACB ∴∠=︒60CBD ∴∠=︒CD AD ⊥Q 30BCD ∴∠=︒142BD CB ∴==CD ∴===A ∠CD AB ⊥Q 12CD AC ∴=AB AC =Q 8AC ∴=4CD ∴=A ∠AB AC BC =AC BD =CD AB ⊥Q 4AD BD ∴==设，则，故，解得：，综上：边上的高的长为4或【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．15．（2014•顺义区一模）如图，在四边形中，，，，，求的长．【分析】延长，，交于点，可得出三角形与三角形相似，由相似得比例，设，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到，利用勾股定理表示出，由表示出，在直角三角形中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到，即可求出的长．【解答】解：延长，，交于点，，，，，在中，，设，则有，根据勾股定理得：，DC x =2AC x =22244x x +=x=CD ∴=AB CD 30︒ABCD 90B D ∠=∠=︒60C ∠=︒4BC =3CD =AB DA CB E ABE CDE AB x =2AE x =BE BC BE +CE DCE 2DC CE =AB DA CB E E E ∠=∠Q 90ABE D ∠=∠=︒ABE CDE ∴∆∆∽∴AB AE CD EC=Rt ABE ∆30E ∠=︒AB x =2AE x =BE ==，在中，，，即，解得：则【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．4CE BC BE ∴=+=+Rt DCE ∆30E ∠=︒12CD CE ∴=1(4)32+=x =AB =。

2019-2020学年八年级数学下学期《17.1勾股定理》测试卷及答案解析

2019-2020学年八年级数学下学期《17.1勾股定理》测试卷一．选择题（共6小题）1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．3．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（）A．B．C．5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，∴CB＝＝，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×＝×4×CD，解得，CD＝，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．4．在△ABC中，若∠ABC＝90°，则下列正确的是（）A．BC＝AB+AC B．BC2＝AB2+AC2C．AB2＝AC2+BC2D．AC2＝AB2+BC2【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2+BC2．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．5．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（）A．2B．4C．8D．16【分析】根据勾股定理求出AC2+BC2的值，再整体计算．【解答】解：根据勾股定理，得：AC2+BC2＝AB2＝4，故AB2+AC2+BC2＝4+4＝8，故选：C．【点评】熟练运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．6．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（）A．8B．10C．12D．16【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．【解答】解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∴AC＝＝5，∵∠ACB＝90°，AB＝13，∴BC＝＝12．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．二．填空题（共4小题）7．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．（1）若a＝5，b＝12，则c＝13；（2）若c＝41，a＝40，则b＝9；（3）若∠A＝30°，a＝1，则c＝2，b＝；（4）若∠A＝45°，a＝1，则b＝1，c＝．【分析】（1）（2）直接运用勾股定理即可得出答案；（3）根据30°角对的直角边等于斜边一半可得出c，利用勾股定理可得出b；（4）此时直角三角形是等腰直角三角形a＝b＝1，利用勾股定理可得出c的值．【解答】解：（1）c＝＝13；（2）b＝＝9；（3）∵∠A＝30°，a＝1，∴c＝2a＝2，∴b＝＝；（4）∵∠A＝45°，a＝1，∴a＝b＝1，∴c＝＝．故答案为：13；9；2、；1、．【点评】本题考查了勾股定理的知识含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式．8．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10．【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2∴BF＝BG﹣BF＝6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．故答案是：10．【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．9．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：＝；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：＝5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．10．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是6．【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝DC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，由勾股定理得，BD＝＝3，∴BC＝2BD＝6，∴△ABC的周长为：6+2+2＝6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．三．解答题（共5小题）11．已知Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）∠C＝90°，若a＝5，b＝12，求c．（2）若a＝3，b＝5，求c．【分析】（1）根据勾股定理求出即可；（2）分为两种情况，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：c＝＝＝13；（2）当边c为直角边，边b为斜边时，c＝＝＝4；当边c为斜边，c＝＝＝；即c＝4或．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．12．（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝12，b＝5，则c＝13；（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，b＝6cm，则a＝8cm；（3）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝20，则a2＝144，b2＝256．【分析】（1）（2）直接利用勾股定理计算即可；（3）设a＝3k，b＝4k，则c＝5k，构建方程求出k，可得a，b的值即可解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝12，b＝5，∴c＝＝13；故答案为13．（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，c＝10cm，b＝6cm，∴a＝＝8（cm）；故答案为8cm．（3）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝20，设a＝3k，b＝4k，则c＝5k，∴5k＝20，∴k＝4，∴a＝12，b＝16，∴a2＝144，b2＝256，故答案为144，256．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用方程是思想解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150则CD＝＝12．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．14．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB＝4，CD＝6．试求AD的长；（2）如图②，∠BPC＝∠BP A，BC⊥BP，若AB＝4，求CD的长．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，利用角平分线性质定理可得AP＝PE，再由全等三角形的判定方法可知Rt△ABP≌Rt△EBP，同理可证Rt△CEP ≌Rt△CDP，进而可得AB＝BE，CE＝CD，即BC＝10，易证四边形ABFD是矩形，所以BF＝AD，利用勾股定理求出BF的长即可；（2）如图2，延长CB和P A，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB＝BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到，则CD＝2AB，问题得解；【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，∴AP＝PE，在Rt△ABP和Rt△EBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△EBP，∴AB＝BE＝4，同理可得CE＝CD＝6，∴BC＝BE+CE＝10，易证四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD，CF＝6﹣4＝2，∴AD＝＝4；（2）延长CB和P A，记交点为点Q．∵∠BPC＝∠BP A，BC⊥BP，∴QB＝BC（等腰三角形“三合一”的性质）．∵BA⊥MN，CD⊥MN，∴AB∥CD，∴△QAB∽△QDC，∴，∴CD＝2AB＝2×4＝8．【点评】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE ＝＝＝4.8（cm）∴CE ＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．第11 页共11 页。

专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上(1)[含答案]

专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】【苏科版】专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】知识点：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）1．如图，在等边ABC V 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ^于点Q ．(1)求证：BE AD =；(2)若4PQ =，求BP 的长．【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）2．在等边三角形ABC V ，若AB 边上的高CD 与边BC 所夹得角为30°，且3BD =，则ABC V 的周长为（）A ．18B ．9C ．6D ．4.5【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）3．如图所示，ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为E ．若3AE =，则ABC V 的边长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）4．如图，在ABC V 中，60ABC Ð=°，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，过点D 作DE BC ^．若 5.4AB =，3CE =，则BE = ．【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）5．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段AC 在直线MN 上．若点F 恰好是线段AB 中点，则AFD Ð的大小为 °．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）6．如图，在ABC V 中，45ACB Ð=°，点M 为边BC 上的动点，当2AM CM +最小时，则CAM Ð的度数为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）7．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）8．已知在等腰ABC V 中，AD BC ^，垂足为点D ，12AD BC =，则C Ð的度数有（）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）9．如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:3【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）10．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，点D 是AB 上一点，且6,15BD CD DBC ==Ð=°，则BCD △的面积为（）A ．9B ．12C ．18D ．6【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）11．如图，在ABC V 中，90,30C B Ð=°Ð=°，D 是BC 上一点，连接AD ，若AD 平分BAC Ð，设ADB V 和ADC △的面积分别是1S ，2S ，则12:S S =（）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．3:2【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）12．如图，在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，求阴影部分的面积．【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）13．如图，CA ^直线l 于点A ，4CA =，点B 是直线l 上一动点，以CB 为边向上作等边MBC △，连接MA ，则MA 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）14．如图，已知60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，点P 在OC 上，PD OA ^于点D ，6OP =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（）A ．4B ．2C ．5D ．3【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，30BAC Ð=°，AG 是底边BC 上的高，在AG 的延长线上有一个动点D ，连接CD ，作150CDE Ð=°，交AB 的延长线于点E ，CDE Ð的角平分线交AB 边于点F ，则在点D 运动的过程中，线段EF 的最小值( )A ．6B ．4C ．3D ．2【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB V 的斜边OB 在x 轴上，30ABO Ð=°，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为．【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）18．如图，等边ABC V 的三个顶点都在坐标轴上，()30A -，，过点B 作BD AB ^，交x 轴于点D ，则点D 的坐标为．【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）19．如图，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为()00，，点M 的坐标为()30，，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60°得到线段MK ，连接NK OK ，．求线段OK 长度的最小值（）A ．32B C ．2D ．【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标是(0,1)，以OA 为边在右侧作等边三角形1OAA ，过点1A 作x 轴的垂线，垂足为点1O ，以11O A 为边在右侧作等边三角形112O A A ，再过点2A 作x 轴的垂线，垂足为点2O ，以22O A 为边在右侧作等边三角形223O A A L ，按此规律继续作下去，得到等边三角形202120212022O A A ，则点2021A 的纵坐标为．【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）21．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ．(1)用尺规作出线段AD 的垂直平分线交AD 于点M ，交AB 于点N ．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求证：12CD AN =．【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）22．如图，在等腰ABC V 中，AC BC =，4ACB B =∠∠，点D 是AC 边的中点，DE AC ^，交AB 于点E ，连接CE ．(1)求BCE Ð的度数；(2)求证：3AB CE =．【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）23．如图，在ABC V ，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D E ，．(1)若6cm AC =，求CE 的长度；(2)连接CD ，请判断BCD △的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）24．如图，已知在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且AE DC =，连接AD ，BE 相交于点P ，过点B 作BQ AD ^，Q 为垂足，求证：2BP PQ =．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）25．如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°．沿过点A 的直线将纸片折叠（折痕为AF ），使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，折痕交AC 于点E （折痕为EG ），则FG 的长是（）A ．3B ．4C ．6D ．8【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）26．如图所示，在ABC V 中，9030C A Ð=°Ð=°，，将BCE V 沿BE 折叠，使点C 落在AB边D 点，若6cm EC =，则AC =（）cm ．A ．12B ．16C ．18D ．14【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）27．如图，点O 是矩形纸片ABCD 的对称中心，E 是BC 上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B 恰好与点O 重合．若3BE =，则折痕AE 的长为．【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）28．如图，在ABCD Y 中，将ADC △沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若602B AB Ð=°=，，则BC 为．【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）29．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AB C ¢¢△的位置，点B 的对应点为点B ¢，点C 的对应点C ¢恰好落在边AB 上．设旋转角为a ．(1)a 的度数为 °；(2)求ABB ¢V 的周长．【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）30．如图，将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，若90B Ð=°，30C Ð=°，2AB =，则AE 的长为．【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）31．如图，AB C ¢¢△是ABC V 绕点A 旋转180°后得到的，已知90B Ð=°，1AB =，30C Ð=°，则CC ¢的长为．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）32．如图，在等边ABC V 中，10AB =，P 为BC 上一点（不与点B ，C 重合），过点P 作PM BC^于点P ，交线段AB 于点M ，将PM 绕点P 顺时针旋转60°，交线段AC 于点N ，连接MN ，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：PNC △为直角三角形．淇淇：当2AM =时，7AN =．珍珍：在点P 移动的过程中，MN 不存在平行于BC 的情况．下列说法正确的是（）A ．只有嘉嘉正确B ．嘉嘉和淇淇正确C ．淇淇和珍珍正确D ．三人都正确【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）33．如图：ABC V 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 运动的时间为(s)t ．当t 为时，PBQV 是直角三角形．【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）34．如图，在ABC V 中，90,30,8cm B A AC Ð=°Ð=°=，动点P 、Q 同时从A 、C 两点出发，分别在AC 、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为2cm /s,1cm /s P Q v v ==，当点P 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，PCQ △为等边三角形？(2)当t 为何值时，PCQ △为直角三角形？【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）35．已知：如图，ABC V 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB BC 、方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当动点P 、Q 同时运动2s 时，则BP = cm ，BQ = cm ．(2)当动点P 、Q 同时运动s t 时，分别用含有t 的式子表示；BP = cm ，BQ = cm ．(3)当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）36．如图，在ABC V 中，60A Ð=°，4cm AB =，12cm AC =．动点P 从点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CA 边以3cm/s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也随之停止运动．设动点的运动时间为()s 04t t <<，解答下列问题：(1)用含t 的代数式表述AQ 的长是______．(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使APQ △是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）37．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若50cm AO BO ==，30cm CO DO ==．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度AOB Ð应为120°，则AB 距离地面CD 的高为 cm ．【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）38．某游乐场部分平面图如图所示，点C 、E 、A 在同一直线上，点D 、E 、B 在同一直线上，DB AB ^．测得A 处与E 处的距离为70m ，C 处与E 处的距离为35m ，90C Ð=°，30BAE Ð=°．(1)请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；(2)判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）39．如图，嘉琪想测量一座古塔CD 的高度，在A 处测得15CAD Ð=°，再往前行进60m 到达B 处，测得30CBD Ð=°，点 A ，B ，D 在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD 的高度为（）A ．40mB ．30mC ．D ．50m【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）40．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为7cm ，双翼的边缘80cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ Ð=Ð=°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．1．(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明ABE CAD V V ≌即可得证；（2）求出30PBQ Ð=°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ABC V 为等边三角形，∴60AB AC BAC C =Ð=Ð=°，，在ABE V 和CAD V 中AB AC BAE ACD AE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS V V ≌ABE CAD ，∴BE AD =．（2）解：∵ABE CAD V V ≌，∴ABE CAD Ð=Ð，∴60BPQ ABP BAP CAD BAP BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，又∵BQ AD ^，∴90BQP Ð=°，∴18030PBQ BPQ BQP Ð=°-Ð-Ð=°，∴2BP PQ =，又∵4PQ =，∴8BP =．2．A【分析】由30度角的性质可求出26BC AB ==，然后利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ^，∴90CDB Ð=°．∵30BCD Ð=°，3BD =，∴26BC AB ==．∵ABC V 是等边三角形，∴ABC V 的周长为6318´=．故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．3．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；在直角三角形中30°角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．根据题意可知60A Ð=°，在直角三角形ADE 中求得AD 的长，即可求得AC 的长．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为点E ．若3AE =，∴在直角三角形ADE 中，60A Ð=°，90AED Ð=°，30ADE Ð=°，∴26AD AE ==，又∵D 为AC 的中点，∴212AC AD ==，∴等边三角形ABC 的边长为12，故选：A ．4．7.8【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．过点C 作CP AB ^于P ，根据60ABC Ð=°得120BAC BCA Ð+Ð=°，再根据等边三角形性质得AC CD =，60ACD Ð=°，则120DCE BCA Ð+Ð=°，由此得BAC DCE Ð=Ð，据此可依据“AAS ”判定APC △和CED △全等，从而得3AP CE ==，则 2.4BP AB AP =-=，进而在根据直角三角形性质得2 4.8BC BP ==，据此可得BE 的长．【详解】解：过点C 作CP AB ^于P ，如图所示：60ABC Ð=°Q ，180120BAC BCA ABC \Ð+Ð=°-Ð=°，ACD QV 为等边三角形，AC CD \=，60ACD Ð=°，180120DCE BCA ACD Ð+Ð=°-Ð=°Q ，BAC DCE \Ð=Ð，CP AB ^Q ，DE BC ^，90APC CED \Ð=Ð=°，在APC △和CED △中，90APC CED BAC DCEAC CD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，(AAS)APC CED \V V ≌，3AP CE \==，5.43 2.4BP AB AP \=-=-=，在Rt BCP △中，60ABC Ð=°，30BCP \Ð=°，22 2.4 4.8BC BP \==´=，4.837.8BE BC CE \=+=+=．故答案为：7.85．15【分析】本题考查了三角形中位线，含30°的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，先证明FH 为ABC V 的中位线，和45B HFA Ð=Ð=°，再根据直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可得出30FDH Ð=°，继而求出HFD Ð，以及AFD Ð的度数．【详解】过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，如图：∵点F 恰好是线段AB 中点，FH AC ^，90BCA Ð=°，∴BC FH ∥，2BC FH =，∴45B HFA Ð=Ð=°，∵两块等腰直角三角板完全相同，∴BC FD =，∴2BC FD FH ==，∵90FHD Ð=°，∴30FDH Ð=°，∴60HFD Ð=°，∵45B HFA Ð=Ð=°，∴604515AFD HFD HFA Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：15．6．D【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，根据含30度角的直角三角形的性质得出12ME CM =，根据()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，求出此时CAM Ð的度数即可．【详解】解：在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，如图所示：则12ME CM =，∴()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，∵两点之间线段最短，且垂线段最短，∴当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，∴当点E 在点F 时，2AM CM +最小，∵90AFC Ð=°，453075ACE ACB BCE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴=9075=15CAF Ð°-°°，即此时15CAM Ð=°．故选：D ．7．72【分析】过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，证明()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，得12DCM ACD Ð=Ð=°，求出ACB Ð的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出A Ð的度数．【详解】解：如图，过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，∵点D 在AC 的垂直平分线上，∴DN 垂直平分AC ，∴12NC AC =，∵AC BC =，∴12NC BC =，在Rt BMC △中，30DBC Ð=°，∴12CM BC =，∴CM CN =，在Rt DNC △和Rt DMC V 中，∵CD CD CN CM =ìí=î，∴()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，∴12DCM ACD Ð=Ð=°，∵30DBC Ð=°，∴60MCB Ð=°，∴6012236ACB Ð=°-°´=°，又∵AC BC =，∴()118036722A Ð=´°-°=°，故答案为：72．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．8．A【分析】根据题意分两种情况：AD 落在ABC V 内部和AD 落在ABC V 外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）当AD 落在ABC V 内部时，①如图，当AB AC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴AD BD DC ==，即45C Ð=°．②如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30B Ð=°，∴()()11180180307522C B Ð=´°-Ð=´°-°=°③如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30C Ð=°．（2）当AD 落在ABC V 外部时，④当AB AC =时，此时不存在．⑤如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30ABD Ð=°，则11301522C ABD Ð=Ð=´°=°．⑥如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30ACD Ð=°，则18030150ACB Ð=°-°=°，即150C Ð=°．综上，C Ð的度数可能为15°，30°，45°，75°，150°，共5种可能，故选：A ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论．9．D【分析】先根据30°角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC Ð，∴BAE DAE Ð=Ð，在ABE V 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S =V V ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．A【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出30ADC Ð=°，进而求出AC 的长，利用三角形的面积公式求出BCD △的面积即可．【详解】解：∵6,15BD CD DBC ==Ð=°，∴15DCB B Ð=Ð=°，∴30ADC B BCD Ð=Ð+Ð=°，∵90A Ð=°，∴132AC CD ==，∴BCD △的面积为1163922BD AC ×=´´=；故选A ．11．B【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出30BAD CAD Ð=Ð=°，得出AD BD =，从而1122CD AD BD ==，然后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵90,30C B Ð=°Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°．∵AD 平分BAC Ð，∴1302BAD CAD BAC Ð=Ð=Ð=°，∴B BAD Ð=Ð，∴AD BD =， ∴1122CD AD BD ==，∴1211::2:122S S BD AC CD AC =××=．故选B ．12．9【分析】根据旋转的性质得到11ABC A BC V V ≌，16A B AB ==，所以1A BA V 是等腰三角形，依据130A BA Ð=°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V 阴影，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．【详解】解：在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，∴11ABC A BC V V ≌16A B AB \==，\1A BA V 是等腰三角形，130A BA Ð=°，如图，过1A 作1A D AB ^于D ，则11132A D AB ==，116392A BA S \=´´=△，又1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V Q 阴影，11A BC CBA S S =V V ，19A BA S S \==V 阴影．13．B【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，证明(SAS)BCA MCE V V ≌，由全等三角形的性质得出BA ME =，90BAC MEC Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图，以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，MBC QV 和ACE △为等边三角形，BC CM \=，AC CE =，60BCM ACE Ð=Ð=°，BCA MCE \Ð=Ð，在BCA V 和MCE △中，BC MC BAC MCE AC CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BCA MCE \V V ≌，BA ME \=，90BAC MEC Ð=Ð=°，906030AEF \Ð=°-=°，B Q 是直线l 的动点，M \在直线ME 上运动，MA \的最小值为AF ，4AE AC ==Q ，122AF AE \==．故选：B14．D【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过P 作PH OB ^，根据垂线段最短即可求出PE 最小值．【详解】解∶∵60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，∴30AOC Ð=°，∵PD OA ^，6OP =，∴132PD OP ==，过P 作PH OB ^于点H ，∵PD OA ^，OC 平分AOB Ð，∴3PD PH ==，∵点E 是射线OB 上的动点，∴PE 的最小值为3，故选：C ．15．32【分析】取BC 的中点，连接MG ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明MBG NBH V V ≌，可得MG NH =，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN 长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【详解】解：如图，取BC 的中点，连接MG ，Q 线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，60MBH HBN \Ð+Ð=°，又ABC QV 是等边三角形，60ABC \Ð=°，即60MBH MBC Ð+Ð=°，HBN GBM \Ð=Ð，CH Q 是等边三角形的高，12BH AB \=，BH BG \=，又BM Q 旋转到BN ，BM BN \=，(SAS)MBG NBH \△≌△，MG NH \=，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，此时160302BCH Ð=´°=°，116322CG BC ==´=，1322MG CG \==，32HN \=．\线段HN 长度的最小值是32．故答案为：3216．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，证明()ASA MDE NDC V V ≌，推出DE DC =，再证明()SAS EDF CDF V V ≌，推出EF CF =，得到当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，由30BAC Ð=°，4AC =，求出CF ．【详解】解：作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，AB AC =Q ， AG BC ^，AG \平分BAC Ð，即AD 平分BAC Ð，DM AB ^Q ，DN AC ^，DM DN \=，30BAC Ð=°Q ，90AMD AND Ð=Ð=°，150MDN Ð\=° ，150CDE Ð=°Q ，150MDE CDM ÐÐ\=°- NDC Ð=，(ASA MDE NDC \V V ≌)，DE DC \=，DF Q 平分CDE Ð，EDF CDF \Ð=Ð，连接CF ，DF DF =Q ，()SAS EDF CDF \V V ≌，EF CF \=，\当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，此时，30BAC Ð=°Q ，4AC =，\122CF AC ==，故选：D ．17．()4,0【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，先得出30OAC Ð=°，则22OA OC ==，进而得出24OB OA ==，即可解答．【详解】解：过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，∵Rt OAB V 中30ABO Ð=°，∴60AOB Ð=°，∵AC OB ^，∴30OAC Ð=°，∵点A 的横坐标为1，∴1OC =，∴22OA OC ==，∵30ABO Ð=°，∴24OB OA ==，∴点B 的坐标为()4,0，故答案为：()4,0．18．()90，【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得AB 的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得AD 的长，继而求得OD 的长，即可求解．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，且BO AC ^，∴60AO OC BAC =Ð=°，，∵()30A -，，∴3AO =，∴26AB AC AO ===，∵BD AB ^，∴90ABD Ð=°，∴30ADB Ð=°，∴212AD AB ==，∴9OD AD OA =-=，∴点D 的坐标为()90，．故答案为：()90，．19．A【分析】如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，证明OMQ V 是等边三角形，得到60QOM OQ OM =°=∠，，推出30NOQ Ð=°；由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，∴OMQ V 是等边三角形，∴60QOM OQ OM =°=∠，，∴30NOQ Ð=°，∵点M 的坐标为()30，，∴3OQ OM ==，由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，∴1322OK NQ OQ ===最小值最小值，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．202112【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 30°的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．首先根据点A 的坐标及等边三角形的性质得111,60,OA OA AOA ==Ð=°进而得1130,A OO Ð=°再根据直角三角形的性质得 11111,22A O OA ==点1A 的纵坐标为 12，依次类推得到点n A 的纵坐标为 12næöç÷èø即可解题．【详解】∵点A 的坐标是()0,1，1OAA V 是等边三角形，111,60OA OA AOA \==Ð=°，1111906030A OO AOO AOA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，11A O x ^Q 轴,∴在11Rt A OO V 中, 1130,A OO Ð=°则 1111122A O OA ==，∴点1A 的纵坐标为 12，同理：2221111,22A O A O æö==ç÷èø 3332211,22A O A O æö==ç÷èø 4443311,22A O A O æö==ç÷èø...，以此类推， 12n n n A O æö=ç÷èø，∴点2A 的纵坐标为 21,2æöç÷èø点 A ₃的纵坐标为31,2æöç÷èø点 A ₄的纵坐标为 41,2æöç÷èø……，以此类推，点n A 的纵坐标为 12n æöç÷èø，∴点 2021A 的纵坐标为 202120211122æö=ç÷èø．故答案为： 202112．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可；（2）过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，由角平分线的性质和定义得到1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，再由线段垂直平分线的性质得到NA ND =，进而得到30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，则12DE DN =，由此即可证明结论．【详解】（1）解：如图，MN 为所求作的线段AD 的垂直平分线；（2）证明：过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，∵30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，DC AC ^，DE AB ^，∴1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，∵MN 是AD 的垂直平分线，∴DN AN =，∴15NDA NAD Ð=Ð=°，∴30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，在Rt DNE △中，12DE DN =，∵DN AN =，DC DE =，∴12CD AN =．【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．22．(1)90BCE °Ð=；(2)证明见解析．【分析】（1）证明ECD EAD V V ≌，可得A ECD Ð=Ð，设B x Ð=，可得2BEC x Ð=，得出23180x x x ++=°，解得30x =°，则BCE Ð可求出；（2）由直角三角形的性质可得2BE CE =，AE CE =，则结论可得出．【详解】（1）解： Q 点D 是AC 边的中点，DE AC ^，90EDC EDA \Ð=Ð=°，DC DA =，ED ED =Q ，()SAS ECD EAD \V V ≌，A ECD \Ð=Ð，设B x Ð=，∵AC BC =，B A x \Ð=Ð=，2BEC A ECA x \Ð=Ð+Ð=，4ACB B Ð=ÐQ ，3BCE x \Ð=，180B BEC BCE Ð+Ð+Ð=°Q ，23180x x x \++=°，解得30x =°，90BCE \Ð=°；（2）解：30B Ð=°Q ，90BCE Ð=°，2BE CE \=，CE AE =Q ，3AB BE AE CE \=+=．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．23．(1)2cm(2)等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接BE ，由垂直平分线的性质可求得30CBE ABE A Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，由直角三角形的性质可证得2BE CE =，则可得出结果；（2）由垂直平分线的性质可求得AD BD =，根据含30°角的直角三角形可得12BC AB =，因此BCD △为等腰三角形，进一步由题意可知60ABC Ð=°，即可证明BCD △为等边三角形．【详解】（1）解：如图，连接BE ，DE Q 是AB 的垂直平分线，AE BE \=，30ABE A \Ð=Ð=°，30CBE ABC ABE \Ð=Ð-Ð=°，在Rt BCE V 中，2BE CE =，2AE CE \=，6cm AC =Q ，2cm CE \=．（2）BCD △是等边三角形，理由如下：连接CD ，DE Q 垂直平分AB ，∴D 为AB 中点，AD BD \=，在Rt ABC △中，30A Ð=°，12BC AB =∴，AD BD BC \==，又60ABC Ð=°Q ，∴BCD △是等边三角形．24．见详解【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到30PBQ Ð=°，根据直角三角形的性质即可得到．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：ABC QV 为等边三角形．AB AC \=，60BAC ACB Ð=Ð=°，在BAE V 和ACD V 中，AE CD BAC ACB AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BAE ACD \V V ≌，ABE CAD \Ð=Ð，BPQ ÐQ 为ABP V 外角，60BPQ BAD ABE CAD BAD BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，BQ AD ^Q ，30PBQ \Ð=°，2BP PQ \=．25．B【分析】根据折叠的性质可得，BF FD =，CG GD =，即12FG BC =，再由30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．【详解】解：由折叠可知，BF FD =，CG GD =，12FG BC \=，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°，2248BC AB \==´=，118422FG BC \==´=，故选：B ．26．C【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质6cm DE EC ==，90EDB C Ð=Ð=°，∴90EDA Ð=°，∵30A Ð=°，∴212cm AE DE ==，∴18cm AC AE EC =+=，故选C ．27．6【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到OE 垂直平分AC ，得到AE EC =，根据AB 为AC 的一半确定出30ACE Ð=°，进而得到OE 等于EC 的一半，求出EC 的长，即为AE 的长．【详解】解：由题意得：AB AO CO ==，即2AC AB =，且OE 垂直平分AC ，AE CE \=，30ACB Ð=°，在Rt OEC △中，30OCE Ð=°，12OE EC BE \==，3BE =Q ，3OE \=，6EC =，则6AE =，故答案为：6．28．4【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，=90ACD Ð°，由ABCD Y ，可知260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，则18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，24AD CD ==，进而可求BC 的值．【详解】解：由折叠的性质可得，=90ACD Ð°，∵ABCD Y ，∴260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，∴18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，∴24AD CD ==，∴4BC =，故答案为：4．29．(1)60(2)30cm【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．（1）根据90C Ð=°，30ABC Ð=°，求出903060BAC Ð=°-°=°，即可求出结果；（2）根据直角三角形的性质得出210cm AB AC ==，根据旋转得出60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，证明ABB ¢V 是等边三角形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°，根据旋转可知：60BAB BAC a =Ð=Ð=¢°；（2）解：∵90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，∴()22510cm AB AC ==´=，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转a 角度至AB C ¢¢△的位置，∴60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，∴ABB ¢V 是等边三角形，∴ABB ¢V 的周长是()331030cm AB =´=．30．4【分析】由直角三角形的性质可得24AC AB ==，由旋转的性质可得4AE AC ==．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：90B Ð=°Q ，30C Ð=°，24AC AB \==，Q 将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，4AE AC \==，故答案为：431．4【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出2AC =，进而根据旋转的性质，即可求解．【详解】在Rt ABC △中，1AB =，30C Ð=°，∴22AC AB ==．。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在等腰△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为OD ，OE ，OF ，且::1:4:4OD OE OF =，则AO 的长度为（）A ．5B ．6C ．407D ．80172．下列说法中，不正确的有（）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（） A ．3 B 20 C ．320D 20805．如图，ABC 中，D 、E 为线段BE 上两点，且AC DC =，BA BE =，若52DAE BAC ∠=∠，则DAE ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，50EAC ∠=︒，则ADE ∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（）A ．3B ．5C 5D 79．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 10．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 11．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 点作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF //AC 交AB 于F ，则（）A ．不确定B ．AF=BFC ．AF >BFD ．AF <BF12．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，交AB 于点F ，15AB =，12AD =，14BC =，则DE 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．103二、填空题13．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，高AD 和BE 相交于点,30H CAD ∠=︒，若4AC =，则点H 到BC 的距离是_____________．14．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线相交于点D ，过点D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为 F 、G ．若BG ＝5，AC ＝6，则△ABC 的周长是_____．16．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．17．已知：如图，在△ABC 中CD 交AB 边于点D ，直线DE 平分BDC ∠且与直线BE 相交于点E ，2BDC A ∠=∠，3E ∠=∠．求证：//CD EB证明：理由如下： DE 平分,BDC ∠（已知）_____ 2.∴=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）____//____,______________,______________)∴(____3,______________,______________)∴=∠(又3,E ∠=∠（已知）________.∴=（等量代换）//____,______________,______________)CD ∴(18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，点O 是AB 边的中点，点P 是射线AC 上的一个动点，BQ ∥CA 交PO 的延长线于点Q ，OM ⊥PQ 交BC 边于点M ．当CP ＝1时，BM 的长为_____．19．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．20．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，点(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，点P 在点B 的下方，且在对称轴上，当PAB △为等腰三角形时，BP 的长为______________．三、解答题21．在ABC ∆中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=__度；（2）如图2，如果60BAC ∠=︒，求BCE ∠的度数是多少？（3）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图3，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．22．已知ABC 和ADE ，AB=AD ，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠，AD 与BC 交与点P ，点C 在DE 上．（1）求证：BC=DE（2）若30B ∠=︒，70APC ∠=︒，①求E ∠的度数②求证：CP=CE23．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，40BAC ∠=，12∠=∠．解答下列问题：（1）求1∠度数；（2）求4ACE ∠∠的值． 24．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC 平分∠DAB ，DE ⊥AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ．（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；（2）若∠DAC ＝30°，求∠DCA 的度数．25．如图，在△ABC 中，AB=18cm ，AC=12cm ，BC=67cm ，点P 从点B 出发，以3cm/s 的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 以2cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求△ABC 的边AB 上的高CD ．（2）再点P 和点Q 的运动过程中，是否存在时间t 使得AP=AQ ？若存在，请求出时间t ；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，5），B （1，0），C （3，1），连接BC ．（1）在图中画出点A 关于y 轴的对称点A '，连接,A B A C ''，并直接写出点A '的坐标；（2）在（1）的基础上，试判断△A BC '的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OA,OB,OC ，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x ，OE=4x ，OF=4x ，根据OE=OF ，得到AO 为∠BAC 的角平分线，再根据AB=AC ，得到AO ⊥BC ，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△，得到方程求解即可．【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x ，∵OE=OF ，∴AO 为∠BAC 的角平分线，又∵AB=AC ，∴AO ⊥BC ，∴AD 为△ABC 的中线，∴A 、D 、O 三点共线，∴BD=3，在Rt △ABD 中， AD=222253AB BD -=-=4，∴ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△∴12=10x+10x−3x ，∴x=1217∴AO=4+1217=8017. 故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，即可求解.【详解】∵AB= AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°= 60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=1260°= 30°，∵DF// AB∴∠F=∠BAE= 30°，∴∠DAE=∠F= 30°，∴AD= DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.4．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则（2）顶角是锐角时在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AD 2=AC 2-DC 2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=22+42=20,则BC=20；综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．5．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE ＝∠BEA ，∠ADC ＝∠DAC ，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE ＝2∠BAC 可得出∠DAE 的值．【详解】解：∵AC ＝DC ，BA ＝BE ，∴∠DAE +∠EAC ＝∠ADE ＝∠B +∠BAD ①，∠EAD +∠BAD ＝∠AED ＝∠C +∠EAC ②，①+②可得：∠DAE +∠EAC +∠EAD +∠BAD ＝∠B +∠BAD +∠C +∠EAC ，整理，得∠DAE +∠BAC ＝180°﹣∠DAE ，又5∠DAE ＝2∠BAC ，设∠DAE =2x ，则∠BAC =5x ，上式即为2x +5x =180°－2x ，解得：x =20°，即∠DAE ＝40°．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题需用到等腰三角形的两底角相等、三角形的内角和等于180°．6．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEBCME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中， AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．7．D解析：D【分析】由全等可得，AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B 即可．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠ADE ，∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠EAC=∠DAE-∠DAC ，∠BAD=∠EAC=50°，∵AB=AD ，∴∠B=180652BAD ︒-∠=︒， ∴∠ADE=∠B=65º，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算．8．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD ＝∠ACB ，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠DAC ，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 为高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ABC +∠BAD ＝90°，∴∠ACB ＝∠BAD ，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB ＝2∠ACF ，∴∠BAD ＝2∠ACF ，即∠BAG ＝2∠ACF ，故②正确；∵CF 是角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ACB +∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠CAD ，∵∠AFG ＝∠ABC +∠BCF ，∠AGF ＝∠CAD +∠ACF ，∴∠AFG ＝∠AGF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．10．A解析：A【分析】由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．【详解】解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =，所以，ABD △的面积为：141=22⨯⨯，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高． 11．B解析：B【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得到FAE FEA ∠=∠，即可得到AF=EF ，再根据BE ⊥AD ，得到90AEB =︒∠，再根据等角的余角相等得到ABE BEF ∠=∠，根据等边对等角的性质得到BF=EF ，即可得解；【详解】∵AD 平分∠BAC ，EF //AC ，∴FAE FEA ∠=∠，∴AF=EF ，∵BE ⊥AD ，∴90FAE ABE ∠+=︒，90AEF BEF ∠+∠=︒， ∴ABE BEF ∠=∠， ∴BF=EF ，∴AF=BF ；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的角平分线，准确分析证明是解题的关键． 12．D解析：D【分析】作EG AC ⊥于点G ，分别通过勾股定理计算出BD ，DC ，AC ，再结合角平分线的性质得到DE GE =，设DE GE x ==，分别表示AE ，AG ，最终在Rt AEG 中运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，作EG AC ⊥于点G ，∵AD BC ⊥于点D ，∴在Rt ABD △中，9BD ==， ∵14BC =，∴5DC BC BD =-=，∴在Rt ACD △中，13AC ==， ∵CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，EG AC ⊥，ED BC ⊥∴DE GE =，∵CE=CE∴△△CED CEG ≌，∴5CD CG ==，设DE GE x ==，则12AE AD ED x =-=-，8AG AC GC =-=，∴在Rt AEG 中，222AE EG AG =+，即：()222128x x -=+，解得：103x =，即：103DE =，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质以及勾股定理，灵活根据角平分线的性质构造辅助线并且熟练运用勾股定理求解是解题关键．二、填空题13．2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC 可得HD=CD 进而求解【详解】解：∵AD ⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠HBD+∠BHD=90°∵∠解析：2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长，然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC ，可得HD =CD ，进而求解．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∠HBD +∠BHD =90°，∵∠CAD =30°，AC =4， ∴122CD AC ==， ∵BE ⊥AC ，∴∠HBD +∠C =90°，∴∠BHD =∠C ，∵∠ABD =45°，∴∠BAD =45°，∴BD =AD ，在△BDH 和△ADC 中，BHD C BDH ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDH ≌△ADC （AAS ），∴HD =CD =2，故点H 到BC 的距离是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，证明△BDH ≌△ADC 是解题的关键．14．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB解析：45°或36°．【分析】设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴设∠BAD=∠CAD=α，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=1802902αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,当BE=BC 时，∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，∴245BAC α∠==︒；当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；当BC=CE 时，∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，∴236BAC α∠==︒，故答案为：45°或36°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．15．16【分析】连接ADDC 证明Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）可得出AG ＝CF 再证明Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ）得出BG ＝BF 则可求出答案【详解】解：连接ADDC ∵BD 平分∠ABCDG ⊥ABD解析：16【分析】连接AD 、DC ．证明Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）可得出AG ＝CF ，再证明Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ），得出BG ＝BF ，则可求出答案【详解】解：连接AD 、DC ．∵BD 平分∠ABC ，DG ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DG ＝DF ．∵D 在AC 的中垂线上，∴DA ＝DC ．在Rt △DGA 与Rt △DFC 中，∵DG ＝DF ，DA ＝DC ，∴Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）．∴AG ＝CF ．又∵BD ＝BD ，DG ＝DF ．∴Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ）．∴BG ＝BF ．又∵AG ＝CF ，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝BG ﹣AG +BF +FC +AC ＝2BG +AC ＝2×5+6＝16．故答案为：16．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．16．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个解析：11702n -︒⨯【分析】根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．【详解】在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=12∠BA 1C=12×70° ．同理可得：∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=12∠EA 3A 2=(12)3×70°，综上可知规律：第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：112n -×70° ，故答案为 70° ×112n -．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 17．ACDE 同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等；；EB 内错角相等两直线平行【分析】由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得【详解】证明：理由如下：平分（已知）（已解析：1∠，AC ，DE ，同位角相等，两直线平行；1∠，两直线平行，内错角相等；1∠，E ∠；EB,内错角相等，两直线平行【分析】由DE 平分,BDC ∠可得1 2.∠=∠由2,BDC A ∠=∠可得2,A ∠=∠可推出AC //DE,利用平行线性质可得13,∠=∠由3,E ∠=∠利用传递性可得1 E.∠=∠利用判定定理可得//BE CD ．【详解】证明：理由如下： DE 平分,BDC ∠（已知）_1 2.∴∠=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）AC //DE,∴（同位角相等，两直线平行）13,∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）又3,E ∠=∠（已知）1 E.∴∠=∠（等量代换）//BE CD ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：1∠；AC DE,，同位角相等，两直线平行；1,∠两直线平行，内错角相等；1E ∠∠，；BE,内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角分线性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线性质是解题关键．18．5或1【分析】如图设BM=x 首先证明BQ=AP 分两种情形利用勾股定理构建方程求解即可【详解】解：如图设BM ＝x 在Rt △ABC 中AB ＝10AC ＝6∴BC ＝＝＝8∵QB ∥AP ∴∠A ＝∠OBQ ∵O 是AB 的解析：5或1【分析】如图，设BM=x ，首先证明BQ=AP ，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM ＝x ，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，∴BC 22AB AC -22106-8，∵QB ∥AP ，∴∠A ＝∠OBQ ，∵O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ，在△OAP 和△OBQ 中，A OBQ OA OBAOP BOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAP ≌△OBQ （ASA ），∴PA ＝BQ ＝6﹣1＝5，OQ ＝OP ，∵OM ⊥PQ，∴MQ ＝MP ，∴52+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝2.5．当点P 在AC 的延长线上时，同法可得72+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝1，综上所述，满足条件的BM 的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥116322CP BC ∴==⨯=，即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．20．2或4或【分析】首先根据题意求得抛物线与x 轴交点的坐标继而由勾股定理解得的长再运用分类讨论的方法按为底或为腰两种情况逐一解题即可【详解】解:令得与点位于y 轴两侧抛物线的对称轴为当为等腰三角形时如图若解析：2或4或2【分析】首先根据题意，求得抛物线与x 轴交点A 的坐标，继而由勾股定理解得AB 的长，再运用分类讨论的方法，按AB 为底或AB 为腰两种情况逐一解题即可．【详解】解:令0y =，得2230x x --=(3)(1)0x x ∴-+=123,1x x ∴==-(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，(1,0)A ∴-22(20)(11)22AB ∴=-++=抛物线223y x x =--的对称轴为12b x a=-= 当PAB △为等腰三角形时，如图，若AB 为腰，以点B 为圆心，BA 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点1P ，则1==22BP AB ；若AB 为腰，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点2P ，则2==22AP AB 根据等腰三角形三线合一性质得，2=2=22=4B BP y ⨯；若AB 为底，作AB 的垂直平分线，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点3P ，则33AP BP =设3(1,)P y(1,2)B ，(1,0)A -2222(11)(0)(11)(2)y y ∴++-=-+-即224+44y y y =-+ 0y ∴=3(1,0)P ∴32BP ∴=综上所述，BP 的长为2或4或22故答案为：2或4或22【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程、抛物线与x 轴的交点、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题21．（1）90；（2）120°；（3）①180αβ+=︒；见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）由条件可得△ABC 为等边三角形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ＝60°，则可得出结论；（3）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC ＝∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠ACB ＝60°，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．∵∠ACE +∠ACB ＝β，∴∠B +∠ACB ＝β，∵α+∠B +∠ACB ＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，连接CE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，即：∠BCE +∠BAC ＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ＝∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC ＝∠ACE +∠ABC ＝∠ACB +∠BCE +∠ABC ＝180°，∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE ．∴α＝β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）②70°；②见解析【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC ≌△ADE 即可得到BC=DE ；（2）①先根据外角的性质求出∠BAP ，进而求出∠CAE ，然后根据等腰三角形的性质求解即可；②根据“AAS”证明△ACP ≌△ACE 即可得到CP=CE ；【详解】解：（1）∵BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAP CAE CAP ∠+∠=∠+∠，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中B D AB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ADE （ASA ），∴BC=DE ；（2）①∵30B ∠=︒，70APC ∠=︒，∴∠BAD=70°-30°=40°，∴∠CAE=∠BAD=40°．∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，∴∠E=∠ACE=18040702-=； ②∵70APC ∠=︒，∠E=∠ACE =70°，∴∠APC=∠E=∠ACE =70°．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠ACP=∠E =70°，∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°．在△ACP 和△ACE 中APC E ACP ACE AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△ACE （AAS ），∴CP=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．23．（1）70°；（2）32 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ，再利用平角定义可得∠BCF =90°，进而可得CB ⊥CF ，计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；（2）利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，根据∠4的度数可得结果．【详解】解：（1）∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，∴∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ， ∵∠ACG +∠ACD =180°，∴∠ACF +∠ACB =90°，∴CB ⊥CF ，∵∠BAC =40°，∵CD//AB ，∴∠ACG =40°，∴∠ACF =20°，∴∠ACB =90°-20°=70°，∴∠BCD =70°，∵CD ∥AB ，∴∠2=∠BCD =70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°；（2）∵∠BCD =70°，∴∠ACB =70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE =30°，∵CF 平分∠ACG ，∴∠ACF =∠4=20°， ∴4ACE ∠∠=3020︒︒=32．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．24．（1）△ABC ≌△AED ，证明见解析；（2）∠DCA ＝75°．【分析】（1）根据ASA 证明△ABC ≌△AED 即可；（2）根据△ABC ≌△AED 可得AC=AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）△ABC ≌△AED ．证明：在△ABC 和△AED 中，90BAC EAD AB AE B AED ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ）；（2）∵△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∵∠DAC ＝30°，∴∠ACD ＝1(18030)2︒-︒=75° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．25．（1）2）存在，t=3.6．【分析】（1）设AD=x ，则BD=18-x ，得出AC²-AD²=BC²-BD²，最后在Rt ∆ACD 中，利用勾股定理得出结果．（2）先求出点P 从点B 运动到点A 需要的时间和点Q 从点A 运动到点C 需要的时间，再用含t 的式子分别表示出AP 、AQ 即可求得结果．【详解】解:(1)过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=x ，则BD=18-x ，∵CD²=AC²-AD²，CD²=BC²-BD²，∴AC²-AD²=BC²-BD²，即12²-x²=(67)²-(18-x)²，解得：x=6，∴Rt ∆ACD 中，CD=222212663AC AD -=-=；(2)存在，点P 从点B 运动到点A 需要的时间为1863=（s ），点Q 从点A 运动到点C 需要的时间为122=6（s ），由题可得，AP=AB-BP=18-3t ，AQ=2t则有18-3t=2t ，解得t=3.6<6，∴存在t=3.6，使得AP=AQ ．【点睛】本题考查了勾股定理及对等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．26．（1）画图见解析，A '（1，5）；（2）△A BC '是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据关于y 轴对称的点y 值不变，x 值互为相反数，先画出点A 关于y 轴的对称点A '，连接,A B A C ''；（2）由图可以判断△A BC '是直角三角形，根据点的坐标计算线段的长，再根据勾股定理逆定理计算验证即可．【详解】解：（1）如图，由点A （﹣1，5）易得A '（1，5），连接,A B A C ''；（2）△A BC '是直角三角形，理由如下：由（1）易得5A B '=，()()22311525'=-+-=A C ，()()2231105=-+-=BC ，∵222''A C BC A B，+='是直角三角形．∴△A BC【点睛】本题考查的是轴对称以及勾股定理逆定理，解题的关键是掌握相关的知识点．。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析)

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A. 4，5，6B. 1，1，2C. 6，8，11D. 5，12，132. 下列四边形不是轴对称的图形是( )A. 菱形B. 矩形C. 平行四边形D. 圆3. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为( )A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm4. 菱形ABCD中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是( )A. 24B. 12C. 36D. 105.如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑米．( )A. 0.6B. 0.8C. 1D. 26. 一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为( )A. 4B. 34C. 4或34D. 27.如图，在矩形ABCD中，△ADE沿AE折叠交BC于F，AD=10，∠DAE=15°，则CD长为( )A. 5B. 4C. 53D. 68. 下列说法正确的是( )A. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形B. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形9.如图，平行四边形的对角线相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为5cm，则△OCD的周长为( )A. 23cmB. 31cmC. 25cmD. 13cm10.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上，且∠EDF=90°，连接EF、AD.下列结论：①图中全等三角形共有三对；②∠DEF=45°；③三角形ABC的面积等于四边形AEDF面积的2倍；④AE+AF=2BD．其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 将数字0.000000005用科学记数法可表示为______ ．12. 把多项式ax2−9a分解因式的结果是______ ．13. 计算18+8的结果为______ ．214. 若分式x−1有意义，则x的取值范围是．x+115.如图，若菱形ABCD的边长为4，其中∠DAB=60°，则对角线AC长度为______ ．16.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE// AC，若AC=8，则四边形CODE的周长是______．17.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=1cm，则平行四边形ABCD的周长是______ ．18.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点PBC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到是母线BC上一点且PC=23点P的最短距离是______．19. 已知，在菱形ABCD 中，∠ABC =100°，对角线AC 和BD 相交于点O ，在AC 上取点P ，连接PB 、PD ，若∠PBD =20°，则∠PDC 的度数为．20. 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边AB 的垂直平分线上，连接AE 、CE ，若CD =8，AE =2 5，CE =2 13，则BC = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。

八上数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年填空题版

答案解析答案解析
. (2020大东.八上期末) 等腰
中，是BC边上的高，且
考点：等腰直角三角形;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;
，则等腰
底角的度数为________.
答案解析
7.
(2020江汉.八上期末) 如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，过点F作
考点：等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;
4.
(2020南召.八上期末) 如图，在等边
中，点D、E分别在边BC、AB上，且
CB的延长线于点若
，则
________．
答案解析
，过点E作
，交
考点：等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;
5. (2020九龙坡.八上期中) 等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm，则此三角形的面积为________。考点：等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;
答案解析
9.
(2020江汉.八上期末) 如图，
，四边形ABCD的顶点A在
的内部，B，C两点在OM上（C在B
，O之间），且
，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是________.
考点：含30度角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题;
答案解析
10.
(2019营口.八上期末) 如图，
答案解析
1.答案： 2.答案： 3.答案： 4.答案： 5.答案： 6.答案： 7.答案： 8.答案： 9.答案： 10.答案：
中，
于点，，分别以点和点为圆心，大于
，以点为圆心，适当长为半径画弧，与

【2021中考数学】直角三角形中30度角的性质应用含答案

2021年中考复习小专题突破训练：直角三角形中300角的性质应用1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE＝2，则AE的长为（）A．B．1C．D．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.53．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4B．6C．D．84．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．65．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．77．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．88．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝，则HC的长为（）A．4B．C．D．69．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当AB ＝10，∠B＝30°时，△ACD的周长为（）A．12B．14C．15D．1611．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h 是（）A．m B．4 m C．4m D．8 m12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则BD的长度是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．2B．4C．5D．14．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（）A．1B．C．D．15．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2B．C．D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝8，BC的长是（）A．16B．24C．30D．3217．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取P A＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．18．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD ＝1，则BD＝．20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为．21．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝．23．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．24．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝．26．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC ＝．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．30．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长．31．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为．32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5，则AD＝．33．如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC 交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．34．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6cm，∠OMN＝30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．（1）求等边△ABC的边长；（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．35．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．36．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．37．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB＝2，求△AFD的面积．38．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．39．图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．40．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M、N分别是BC、DE的中点．（1）猜想，MN与DE的位置关系，并证明；（2）若∠A＝60°，求的值．参考答案1．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．2．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4（cm），∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），若∠BED＝90°，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．若∠BDE＝90°时，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选：D．3．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故选：B．4．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．6．解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：D．7．解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．故选：C．8．解：由旋转的性质可知：AC＝AF，∵D为AF的中点，∴AD＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°，∴AH＝CH，∴DH＝AH＝CH，∴CH＝2DH，∵CD＝AD＝BC＝6，∴HC＝CD＝4．故选：A．9．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，∴CE＝DE＝3cm，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AE＝2DE＝6cm，故选：C．10．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，AD＝BD．又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∴△ACD的周长＝AC+AB＝AB＝15，故选：C．11．解：过C作CM⊥AB于M则CM＝h，∠CMB＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝30°，∴h＝CM＝BC＝4m，故选：B．12．解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），∵AD＝3cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9cm，故选：C．13．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝AB＝×10＝5，∴DF＝5，故选：C．14．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝，故选：C．15．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，则AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，则BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故选：D．16．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝DC＝8，∵AD＝8，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝16，∴BC＝BD+DC＝8+16＝24．故选：B．17．解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AE＝EF，∴EF+FM＝AE+CM，∴AE+CM＝ME＝AC，∵AC＝3，∴ME＝，故答案为：．18．解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝．故答案为：．19．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2，故答案为2．20．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴∠ACD＝30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．21．解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，∴∠A＝30°，②如图，∵CD是△ABC边BA上的高，DC＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30或150．22．解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD＝6，∴CD＝BD＝6×＝3．故答案为：3．23．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故答案为6．24．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．25．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝30°，连接AN，AM，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵MN＝2，∴AN＝2＝CN，在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，∴NF＝CN＝1，故答案为：1．26．解：分四种情况进行讨论：①当AB＝AC时，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴底角为45度；②当AB＝BC时，∵AD＝BC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝75°，∴底角为75度．③当AC＝BC时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°；④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°，故答案为15°或45°或75°．27．解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，故答案为：2．28．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，∴CD＝2AD＝6，∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝3，∴BC＝BD+CD＝9，故答案为：9．29．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．30．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．31．解：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BD＝AD＝14，∴∠BCD＝2∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝BD＝7，故答案为：7．32．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，即在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，故∠A＝∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝10（含30度角的直角三角形的性质），故答案为：10．33．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+．④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴CM＝BC＝1，有勾股定理得：BM＝，∵OB＝2，∴OM＝2﹣＝＝CK，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．34．解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM＝6cm，∠OMN ＝30°，∴∠ONM＝60°，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∠NOA＝30°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝OM＝×6＝3cm．（2）∵OM＝6cm，∠OMN＝30°，∴ON＝2，MN＝4．∵△OMN∽△BEM，∴＝，∴＝，BE＝，当点P在BE上时，PE＝BE﹣PB＝﹣2t＝，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，即S＝＝﹣（0＜t＜）；当点P在AE上时，PE＝PB﹣BE＝2t﹣＝，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，即S＝＝（＜t≤）；（3）存在，有4种情况：①当点P在线段AB上时，点P在AB上运动的时间为s，∵△PEF为等腰三角形，∠PEF＝90°，∴PE＝EF，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴＝t或＝t，解得t＝或＞（故舍去），②当点P在AF上时，若PE＝PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，∴PF＝AP＝2t﹣3，∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，∴0＜t＜3，在直角三角形中，cos30°＝＝＝，解得：t＝2，若FE＝FP，AF＝＝＝t，则t﹣（2t﹣3）＝t，解得：t＝12﹣6；③当PE＝EF，P在AF上时无解，④当P点在CF上时，AP＝2t﹣3，AF＝t，则PF＝AP﹣AF＝t﹣3＝EF，所以t﹣3＝t，解得t＝12+6＞3，不合题意，舍去．综上，存在t值为或12﹣6或2时，△PEF为等腰三角形．35．（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．36．（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD＝∠CAB＝60°．又∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AD＝AC，AB＝AC，∴AB+AD＝AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED＝∠CFB＝90°，∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC＝∠NAC＝60°，∴∠ECA＝∠FCA＝30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE＝AC，AF＝AC，则AD+AB＝AD+AF+BF＝AD+AF+DE＝AE+AF＝AC+AC＝AC．∴AD+AB＝AC．37．解：（1）∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF＝EF＝DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE＝AF，则AE＝AF＝EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，∵AB＝2，∴BE＝1、DF＝AF＝AE＝，则EH＝AE＝、AH＝，∴S△ADF＝××＝．38．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．39．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．40．（1）证明：MN⊥DE，理由是：连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，点M是BC的中点，∴EM＝BC，DM＝BC，∴ME＝MD，又点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴＝．。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形,解答题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训1、(2012淮安.中考真卷) 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10 ，AB=20．求∠A的度数．2、(2018秦皇岛.中考模拟) 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？3、(2017吉林.中考模拟) 如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）4、(2017江阴.中考模拟) 如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？5、(2017西湖.中考模拟) 小高发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=12米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．（结果保留根号）6、(2017宁波.中考真卷) 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．7、(2017瑶海.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．8、(2018威海.中考真卷) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．9、(2017洛宁.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻事故，立即出发了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以50海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）10、(2017黄州.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）11、(2016广东.中考真卷) 如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CD B的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．12、(2017上思.中考模拟) 如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．13、(2018天水.中考真卷) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90º，∠CED=45º，∠DCE=30º，DE= ，BE=2 ．求CD的长和四边形ABCD的面积．14、(2020青羊.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。

(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(1)

（易错题精选）初中数学三角形基础测试题及解析(1)一、选择题1．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.2．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D．31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，由勾股定理得：AD1=5．故选B．3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，∠EAD=∠FADDE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F ，∴DF=DE，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB ，∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．∵DF=DB ，∴∠B=∠F=x ，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处，已知BC=24，∠B=30°，则DE 的长是（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，在Rt △BED 中，∠B=30°，故此BD=2ED ，从而得到BC=3BC ，于是可求得DE=8．【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=90°．又∵∠B=30°，∴BD=2DE ．∴BC=3ED=24．∴DE=8．故答案为8．【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE 是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S V V D ．CD=12BD【答案】C【解析】【分析】A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.7．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（）A 13B 5C ．22D ．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝， ∴5355DB＝， ∴DB=35在Rt △ABD 中，AD=2225BD AB -= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A ．25°B ．40°C ．25°或40°D ．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.12．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．13．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确．故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．15．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1，则菱形ABCD 的周长等于（）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.16．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（）A．3B．6C．12D．16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE=BE，∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．192D．7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B （3，3），∴OA =3，AB =3，∴OB =23，∴∠BOA =30°，∵在Rt △AMO 中，∠MOA =30°，AO =3，∴AM =1.5，∠OAM =60°，∴∠ADN =30°， ∵在Rt △AND 中，∠ADN =30°，AD =2AM =3，∴AN =1.5，DN =332， ∴CN =3－12－1.5=1， ∴CD 2=CN 2+DN 2=12+（332）2=314，∴CD =31. 故选B. 点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P 点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B20．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．∵CD=3，∴AC=2CD=6．故选D．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．。

含30°角的直角三角形的性质习题

第2课时含30°角的直角三角形的性质姓名：01 基础题知识点含30°角的直角三角形的性质1．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则BC ∶AB 等于( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．2∶32．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长度是( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm 3．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝10，则BC ＝ .4．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB 的垂直平分线ED 交AB 于点E ，交BC 于点D ，若CD ＝3，则BD 的长为．5．如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAC ＝120°，AD ＝3.5 m ，求∠B ，∠C ，∠BAD 的度数和AB 的长度．02 中档题 6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，则AC 等于( )A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm7．(扬州中考)如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，则OM ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．68．等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm ，则腰上的高为．9．(温州中考)如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F. (1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．03 综合题10．如图，△ABC 为等边三角形，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，PQ ＝3，PE ＝1.。

(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(2)

故选B．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）
A．30B．36C．45D．72
【答案】B
【解析】
【分析】
由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；
12．如图，、分别是边、上的点，，点为中点，设的面积为，的面积为，若，则（）
A． B．1C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ,根据三角形中线的性质及面积求解方法得到，，故可求解．
【详解】
∵点为中点
∴ = 4.5
∵
∴ = 3
∵ = =
∴ 4.5-3=
故选C．
9．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()
A．2B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【详解】
∵EF∥AC，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），

含30度的直角三角形的特殊性质 (有知识点,手写答案,所有题目都有详细过程)

1.1直角三角形的性质和判定（Ι）第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用要点感知1在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.预习练习1-1已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm要点感知2在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.、预习练习2-1在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，∠B的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°知识点1在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A.3.5B.4.2C.5.8D.7第2题图第4题图3.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是()A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.5.在△ABC中，已知∠A=12∠B=13∠C，它的最长边是8cm，求它的最短边的长.知识点2在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°6.在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.7.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=12AB,那么∠B=__________.8.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是()A.30°B.60°C.30°或150°D.不能确定9.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长.知识点3含30°锐角的直角三角形的应用10.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则()A.AB=2ACB.AC=2ABC.AB=ACD.AB=3AC12.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为()A.10cmB.5cmC.6cmD.8cm13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于()A.25°B.30°C.45°D.60°14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足()A.0°＜∠B＜15°B.∠B=15°C.15°＜∠B＜30°D.∠B=30°第14题图第16题图15.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=__________.16.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.17.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，周长为3+3，AC=3，求BC的长.18.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.19.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为()A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°20.已知如图,在△ABC,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.1.1直角三角形的性质和判定（Ι）第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用要点感知1在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_一半_______.预习练习1-1已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm 答案解析：由于直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，所以斜边的长度是2×2=4，所以答案选B。

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。

八年级数学上册：含30°角的直角三角形的性质定理练习(含答案)

八年级数学上册：含30°角的直角三角形的性质定理练习（含答案）一．选择题（共8小题）1．如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是（）A．3.5 B． 4.2 C．5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D．若ED=5,则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D．2.53．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,与∠ABC的两边相交于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线BM,交AC于点D．若△BDC的面积为10,∠ABC=2∠A,则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,斜边AB的长为2cm,则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=10m,∠A=30°,则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图,已知∠ABC=60°,DA是BC的垂直平分线,BE平分∠ABD交AD于点E,连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE =S△CBE,其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是_________ ．10．如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF= _________ ．11．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=10,则BC的长为_________ ．12．如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,∠ABC=30°,底边上的高AD= _______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm,则AD= _________ cm．第13题第14题第15题第16题14．如图,在△ABC中．∠B=90°,∠BAC=30°．AB=9cm,D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD= _________ cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长约为12米,则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________ 米．= _________ ．16．在△ABC中,已知A B=4,BC=10,∠B=30°,那么S△ABC17．如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AC,若AB=12cm,则CE= ______ cm．18．有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是_________ 海里．三．解答题（共5小题）19．如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°,CD=1,求BD的长．20．如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证：AD=DC．21．如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,求AC的长．22．如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的高,∠A=30°,AB=4,求BD长．23．如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．等边三角形（2）：一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1,DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2．20、解：如图,连接DB．∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=DB,∴∠A=∠ABD,∵BA=BC,∠B=120°,∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,∴∠ABD=30°,又∵∠ABC=120°,∴∠DBC=120°﹣30°=90°,∴BD=DC,∴AD=DC．21、解：∵△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC, ∴∠2=∠3=30°；在Rt△B CD中,CD= BD,∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理）,∴∠1=∠2=30°,∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6,∴AC=9．22、解：∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴BC=AB=×4=2,∵CD是△ABC的高,∴∠CDA=∠ACB=90°,∠B=∠B,故∠BCD=∠A=30°,∴在Rt△BCD中,BD=BC=×2=1,∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠AB C=∠ADC=90°,∴∠DCA=∠BCA=30°,在Rt△ACD中,∠DCA=30°,Rt△ACB中,∠BCA=30°∴AC=2AD,AC=2AB,∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC,连接CE,∵∠BAC=60°,∴△CAE为等边三角形,∴AC=CE,∠AEC=60°,∵∠DAC=60°,∴∠DAC=∠AEC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°, ∴∠ADC=∠EBC,∴△ADC≌△EBC,∴DC=BC,DA=BE,∴AD+AB=AB+BE=AE,∴AD+AB=AC．。

2021年秋八年级数学上期末章末复习试卷第十三章轴对称(含答案)

2021年秋八年级数学章末复习试卷第十三章轴对称分点突破命题点1 轴对称与轴对称图形1．(钦州中考)下列图形中，是轴对称图形的是( )A B C D2．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？3．请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形(要求：不写作法，但必须保留作图痕迹)．命题点2 线段的垂直平分线4．(遂宁中考)如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为( )A．1 cmB．2 cmC．3 cmD．4 cm命题点3 等腰三角形与等边三角形5．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．60°6．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝( )A．30°B．20°C．25°D．15°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A．5个B．4个C．3个D．2个命题点4 含30°角的直角三角形的性质8．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝________．如图所示，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2 cm，则△ABC的周长为________cm.命题点5 最短路径问题10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP ＋BP 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6综合训练11．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，则AC 等于( )A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm12．(云南模拟)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以顶点A 、B 为圆心，大于12AB 为半径作弧，两弧在直线AB 两侧分别交于M 、N 两点，过M 、N 作直线交AB 于点P ，交AC 于点D ，连接BD.下列结论中，错误的是( )A ．直线AB 是线段MN 的垂直平分线B ．CD ＝12ADC．BD平分∠ABCD．S△APD＝S△BCD13．(遵义中考)如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )A．50°B．60°C．70°D．80°14．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1)．(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)△A1B1C1的面积为________．15．如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；(2)∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．16．(保山期末)如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．参考答案1．C 2.与1和3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴． 3.如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求． 4.C 5.C 6.D 7.A 8.3 9.12 10.B 11.D 12.A 13.D 14.(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)4.5 15.(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ.∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ ＝BP＋PQ＋CQ＝BC.∵△APQ的周长为12，∴BC＝12. (2)∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ. ∵∠BAC＝105°，∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°.∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°. 16.(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．(2)当∠CAE＝120°时，△ABC是等边三角形．∵∠CAE＝120°，∴∠BAC＝60°.又∵△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形．第13章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形不是轴对称图形的是( )2．已知点P(3，－2)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为( )A．(－3，2) B．(－3，－2) C．(3，2) D．(3，－2)3．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于( )A．8 cm B．2 cm或8 cm C．5 cm D．8 cm或5 cm4．下列说法正确的是( )A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形一边不可以是另一边的2倍5．(2014·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为( )A．70°B．80°C．40°D．30°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，BD，CE相交于点F，则图中的等腰三角形有( )A．6个B．7个C．8个D．9个,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) ,第8题图)7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为( )A．2 B．4 C．6 D．88．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为( )A．20°B．25°C．30°D．40°9．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半，则其顶角等于( )A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．120°，30°或150°10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒,第10题图) ,第13题图) ,第14题图)二、填空题(每小题3分，共24分)11．国旗上的五角星是轴对称图形，它有________条对称轴．12．等腰三角形的一个内角为68°，则其他两内角的度数为____________．13．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中最大角的度数是________．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，S△ABC＝6 cm2，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________ cm.15．如图，在ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，过AB的中点M作MN⊥AB，交AC于点N，若AC＝12 cm，则CN＝________.16．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有________个．,第15题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，已知△ABC为等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，且等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为________．18．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，求∠2的度数．20．(8分)如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．21．(8分)如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里？22．(10分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)已知：______________.求证：△AED是等腰三角形．证明：23．(10分)如图，已知等腰Rt△OAB中，∠AOB＝90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF＝90°，连接AE，BF.求证：(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF.24．(10分)如图，大海中有两个岛屿A与B，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°，在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°.(1)判断AE，AB的数量关系，并说明理由；(2)求∠BAE的度数．25．(12分)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥A D于Q，PQ＝3，PE＝1，求AD 的长．第13章检测题参考答案1．C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11.5 12.56°，56°或68°，44°13.125°14.7 15.8 cm 16.4 17.1 18.30a19.延长AE，BF交于点D.∵∠A＝65°，∠B＝80°，∴∠D＝180°－80°－65°＝35°，∴∠C＝35°，又∵∠1＝20°，∠CEF＝∠DEF，∠1＋∠CEF＋∠DEF＝180°，∴∠CEF＝180°－20°2＝80°，∴∠CFE＝180°－80°－35°＝65°，∴∠2＝180°－65°×2＝50°20.(1)如图①点M即为所求(2)如图②点N即为所求21．∵∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，∴∠BCA ＝∠CAB ＝30°，∴AB ＝B C ，∴BC ＝20×2＝40(海里)，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝60°，∴∠DCB ＝30°，∴BD ＝12BC ＝20(海里) 22.∵∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE ，∴AE ＝DE ，∴△AED 是等腰三角形23．(1)∵Rt △OAB 与Rt △EOF 是等腰直角三角形，∴AO ＝OB ，OE ＝OF ，∠AOB ＝∠EOF ＝90°，∴∠AOB －∠EOB ＝∠EOF －∠EOB ，即∠AOE ＝∠BOF ，∴△AEO ≌△BFO(SAS)，∴AE ＝BF (2)延长AE 交BF 于D ，交OB 于C ，则∠BCD ＝∠ACO ，由(1)知：∠OAC ＝∠OBF ，∴∠BDA ＝∠AOB ＝90°，∴AE ⊥BF24．(1)AE ＝AB ，理由：∵∠BEF ＝30°，∠AFE ＝60°，∴∠EOF ＝90°，∵∠BFQ ＝60°，∠BEF ＝30°，∴∠EBF ＝30°，∴BF ＝EF ，∴OE ＝OB ，即AF 垂直平分BE ，∴AE ＝AB (2)∵∠AEP ＝74°，∴∠AE B ＝180°－74°－30°＝76°，∴∠BAE ＝180°－76°×2＝28°25.∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，又∵AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD(SAS)，∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD ，∵∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠PAE ＝∠BAC ＝60°，又∵BQ ⊥PQ ，∴∠AQB ＝90°，∴∠PBQ ＝30°，∴PQ ＝12PB ，∴PB ＝2PQ ＝6，∴BE ＝PB ＋PE ＝6＋1＝7，∴AD ＝BE ＝7八年级上册第十三章轴对称检测题姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(含30°角的直角三角形)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图△ABC是等边三角形点E是AC的中点过点E作EF⊥AB于点F 延长BC交EF的反向延长线于点D 若EF=1 则DF的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE∵△ABC是等边三角形点E是AC的中点∴∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30°∵EF⊥AB∴∠D=90°-∠ABC=30° 即∠D=∠CBE=30°∴BE=DE在Rt△BEF中EF=1∴BE=2EF=2∴BE=DE=2∴DF=EF+DE=3故答案为：C.【思路引导】连接BE 根据等边三角形的性质得∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30° 易求∠D=30° 即得∠D=∠CBE 由等角对等边可得BE=DE 根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2 即得DE=2 从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图 △ABC 中 ∠C ＝90° AB ＝8 ∠B ＝30° 点P 是BC 边上的动点则AP 长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7.3【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90° AB=8 ∠B=30°∴AC=12AB=12×8=4 ∵点P 是BC 边上的动点∴4＜AP ＜8∴AP 的值不可能是3.5．故答案为：A ．【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4 根据垂线段最短得出AP 的最小值然后得出AP 的范围即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图 OE 为AOB ∠的角平分线 30AOB ∠=︒ 6OB = 点P C 分别为射线OE OB 上的动点则PC PB +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【完整解答】解：过点B 作BD ⊥OA 于D 交OE 于P 过P 作PC ⊥OB 于C 此时PC PB +的值最小∵OE 为AOB ∠的角平分线 PD ⊥OA PC ⊥OB∴PD=PC∴PC PB +=BD∵30AOB ∠=︒ 6OB = ∴132BD OB == 故答案为：A ．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC 再求出PC PB +=BD 最后求出BD 的值即可。

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =64°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AC 上，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠BEO 的度数是（）A ．26°B ．32°C ．52°D ．58°3．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ，若∠A ＝50°，则∠B 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．下面说法中正确的是（）A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线B ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段C ．三角形的角平分线不是射线D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合6．下列说法错误的是（）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形7．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )．A ．40︒B ．70︒C ．40︒或70︒D ．50︒或70︒ 8．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，连HB ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC ∠=︒；③HB 平分AHC ∠；④CH EH BH =+．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④11．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点E ，点E 的坐标是（）A ．(3B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．3x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90,60ACB ABC ∠=︒∠=︒，以,,AB BC CA 为边，在AB 的同侧作等边ABE △，BCF △，ACD △，AE ，DC 交于点G ，若GCE Sa =，则“皇冠形ADGECFB ”的面积为________．14．小华的作业中有一道题：“如图，,AC BD 在AB 的同侧，1,4,4AC BD AB ===，点E 为AB 的中点．若120CED ∠=︒，求CD 的最大值．”哥哥看见了，提示他将ACE 和BDE 分别沿CE 、DE 翻折得到A CE '△和B DE '，连接A B ''．最后小华求解正确，得到CD 的最大值是__________．15．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，交BC 于点N ，60EBC BED ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC =__________．16．如图，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且AD ＝2CD ，AC ＝6，点E 是AB 上一点，连接DE ，则DE 的最小值为____．17．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．18．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角度数是_________．19．如图，ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，若D 是BC 的中点，DE AB ⊥，垂足是E ，则:AE BE 的值等于________．20．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．三、解答题21．如图，在ABC 中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，//BD AC ，BD AB =，且C ，D 两点位于AB 所在直线两侧，射线AD 上的点E 满足60ABE ∠=︒．（1）AEB ∠=_____°；（2）图中与AC 相等的线段是BE ，证明此结论只需证明_____≌_______．22．如图，ABC ，其中AC BC >．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线交AC 于点P （要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）若8,AB PBC =的周长为13，求ABC 的周长；（3）在（2）的条件下，若ABC 是等腰三角形，直接写出ABC 的三条边的长度． 23．已知：如图1，等边ABC 的边长为cm 6，点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，点P 沿BC 向终C 运动，速度为1cm/s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ．设它们运动的时间为s x ．（1）当x = 时，//PQ AB ；（2）若PQ AC ⊥，求x ；（3）如图2，当点Q 在AB 上运动时，若PQ 与ABC 的高AD 交于点O ，请你补全图形，猜想OQ 与OP 是否总是相等？并说明理由．24．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．25．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ，B 都在格点上，点A 的坐标为（-1，4），点B 的坐标为（-3，2），请按要求回答下列问题：（1）请你在网格中建立合适的平面直角坐标系；（2）在y轴左侧找一格点C，使△ABC 是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为____，△ABC的周长是；（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP的周长最小?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．26．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接DE．（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．i）求证：CE＝AF；ii）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝32，∠AED＝45°，求线段CE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．【详解】解：作BC、AC所在直线，然后分别以B、A点为圆心，以AB为半径作圆分别交BC、AC所在直线于6点，再作AB的垂直平分线与BC所在直线交于2点，总共符合条件的点P的个数最多有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．C解析：C【分析】连结OB，根据角平分线定义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，则∠OBA=∠OAB，所以得出∠1，由于AB=AC，OA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质得OA垂直平分BC，则BO=OC，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC，解答即可．【详解】解：连结OB、OC，∵∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=32°，∵AB=AC，∠BAC=64°，∴∠ABC=∠ACB=58°，∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=32°，∴∠1=58°-32°=26°，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA垂直平分BC，∴BO=OC，∴∠1=∠2=26°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠2=∠3=26°，∴∠BEO=∠2+∠3=52°，故选择:C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．B解析：B【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【详解】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．C解析：C【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．【详解】中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选解：A．ABC项不符合题意；B．当∠B或∠C是钝角时，过A不存在到线段BC的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；D．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．6．B解析：B【分析】利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．【详解】A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 7．C解析：C【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【详解】当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040702；当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒；故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解． 8．A解析：A【分析】利用等边三角形,ABD BCE 的性质，证明 ,ABE DBC ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC ≌可得,EAB CDB ∠=∠ 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N 利用全等三角形的对于高相等证明,BM BN = 从而可判断③，如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK 证明EHK 为等边三角形，再证明,EHB EKC ≌ 可得,HB KC = 从而可判断④．【详解】解：,ABD BCE 为等边三角形， ,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠(),ABE DBC SAS ∴≌,AE DC ∴= 故①符合题意；,ABE DBC ≌,EAB CDB ∴∠=∠,DGH AGB ∠=∠180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠60DHG ABD ∴∠=∠=︒，120AHC ∴∠=︒，故②符合题意；如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，,BM BN ∴=HB ∴平分,AHC ∠ 故③符合题意；如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK60,EHK AHD ∠=∠=︒EHK ∴为等边三角形，,60,EK EH HEK ∴=∠=︒60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠,HEB KEC ∴∠=∠,BE CE =(),EHB EKC SAS ∴≌,HB KC ∴=.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故④符合题意；综上：①②③④都符合题意，故选：.A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．9．B解析：B【分析】由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．【详解】解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，故②不正确，④正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'．故③正确；∴①③④正确．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．10．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD ＝∠ACB ，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠DAC ，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 为高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ABC +∠BAD ＝90°，∴∠ACB ＝∠BAD ，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB ＝2∠ACF ，∴∠BAD ＝2∠ACF ，即∠BAG ＝2∠ACF ，故②正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．11．B解析：B【分析】+的最小就是PA+PD，当A、由作法知EF是AC的垂直平分线，可得AP=CP，线段PC PDP、D三点共线时最短，由点D是底边BC的中点，可BD=CD=6，由AB=AC，可得⊥，在Rt△ABD中，由勾股定理得：8即可．AD BC【详解】解：连结PA，由作法知EF是AC的垂直平分线，∴AP=CP，∴PC+PD=PA+PD，+的最小就是PA+PD，线段PC PD当A、P、D三点共线时最短，∵点D是底边BC的中点，∴BD=CD=11⨯，BC=12=622∵AB=AC，⊥，∴AD BC在Rt△ABD中，由勾股定理得：8=，（PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8．故选择：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．12．A解析：A【分析】由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE3点E坐标．【详解】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，∴△OBC≌△ABD（SAS），∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，∴AE=2 AO=2，∴22321∴点E坐标(03，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．二、填空题13．13a【分析】根据等边三角形的性质得到BC=CE从而得到EG=CE设EG=x表示出相应线段的长度从而可得S△ADGS△ABES△BCF的面积最后利用皇冠ADGECF 的面积=S △ADG+S △ABE+S解析：13a【分析】根据等边三角形的性质得到BC =CE ，从而得到EG =12CE ，设EG =x ，表示出相应线段的长度，从而可得S △ADG 、S △ABE 、S △BCF 的面积，最后利用皇冠ADGECF 的面积=S △ADG +S △ABE +S △BCF 得到结果．【详解】解：∵△ABE 、△ACD 、△BCF 都是等边三角形，AC ⊥BC ，∴BC =CE ，∠ACD =∠AEB =60°，∴∠ECG =90°-∠ACD =30°，∠CGE =90°，∴EG =12CE ，设EG =x ，则CE =BC =2x ，CG x ，AE =BE =4x ，∴AC ==，∵S △GCE =12EG ·CG =12x 2=a ，∴S△ABE =12BE ·AC =12BE ·2BE =4BE 2=2，S △BCF 22BC =， ∵AG ⊥CD ，∴DG =CG ，∴S△ADG =12S △ACD =()2221124242AC x ⨯=⨯=， ∴皇冠ADGECF 的面积=S △ADG +S △ABE +S △BCF=222x ++=22x =13a故答案为：13a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，30度的直角三角形的性质，解题的关键是理解题中图形面积之间的关系．14．7【分析】根据对称的性质得到∠A′EB′=60°结合点E 是AB 中点可证明△A′EB′是等边三角形从而有CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AE+BD即可求出CD的最大值【详解】解：∵∠CED=12解析：7【分析】根据对称的性质得到∠A′EB′=60°，结合点E是AB中点，可证明△A′EB′是等边三角形，从而有CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AE+BD，即可求出CD的最大值．【详解】解：∵∠CED=120°，∴∠AEC+∠DEB=60°，∴∠CEA′+∠DEB′=60°，∴∠A′EB′=60°，∵点E是AB中点，AE=A′E，BE=B′E，∴A′E=B′E，∴△A′EB′是等边三角形，∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AE+BD=1+2+4=7，∴CD的最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．15．8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6DE=2进而得出△BEM为等边三角形△EFD为等边三角形从而得出BN的长进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M延长AD交BC于N∵AB解析：8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6， DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，∵ AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴ BN=4，∴BC=2BN=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决问题的关键；16．2【分析】根据题意当时DE 的值最小根据已知条件求解即可；【详解】如图所示当时DE 的值最小如图所示∵BD 平分∠ABC ∠C ＝90°∴∵∴∴∴∵∴即整理得：∴又∵∴即整理得：解得：∴故答案是2【点睛】本题解析：2【分析】根据题意，当DE AB ⊥时，DE 的值最小，根据已知条件求解即可；【详解】如图所示，当DE AB ⊥时，DE 的值最小，如图所示，∵BD 平分∠ABC ，DE AB ⊥，∠C ＝90°，∴CD DE =，∵2AD CD =，∴2AD DE =，∴30A ∠=︒，∴30CBD ABD ∠=∠=︒，2AB CB =，∵6AC =，∴222AB AC BC =+，即22246CB CB =+，整理得：2336CB =， ∴23CB =，又∵2BD CD =，∴222BD CD BC =+，即22412CD CD =+，整理得：2312CD =，解得：2CD =，∴2DE =．故答案是2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理，准确分析计算是解题的关键．17．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥ 116322CP BC ∴==⨯=，即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．18．60°或30°【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部还是在三角形的外部所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解【详解】解：分两种情况：①在左图中AB=ACBD ⊥AC ∠ABD=30°∴∠A=60°解析：60°或30°【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．【详解】解：分两种情况：①在左图中，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=180602A ︒-∠=︒； ②在右图中，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故答案为：30°或60°．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余．由于题中没有图，要根据已知画出图形并注意要分类讨论．19．【分析】已知AB=AC ∠BAC=120°根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°连接AD 可求得∠ADE=∠B=30°再由直角三角形性质即可求解【详解】解：如图连接AD ∵AB=AC ∠BA解析：1:3【分析】已知AB=AC ，∠BAC=120°，根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°，连接AD ，可求得∠ADE=∠B=30°，再由直角三角形性质即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，∵AB=AC ，∠BAC=120°，D 是BC 的中点，∴∠B=∠C=30°，∠ADB=90°．∵DE ⊥AB ，∴∠BED=∠ADB ＝90°．∴∠B+∠BDE=∠ADE+∠BDE=90°．∴∠ADE=∠B=30°，设AE=x ，则AD=2x ，AB=2AD=4x ，∴EB=AB-AE=3x ，∴::31:3AE BE x x ==．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形的性质，掌握等腰三角形与含30°角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键．20．【分析】先利用同角的余角相等得到=再通过证得到即再利用三角形内角和得可得最后利用角的和差即可得到答案=【详解】证明：∵∴∴=又∵∴∴即∵∴即∴=故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质内角和定理解析：=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）45°；（2）ABC ，BDE ．【分析】（1）由平行线和等腰三角形的性质得出∠BDA =∠BAD =75°，求出∠DBE =∠ABE -∠ABD =30°，由三角形的外角性质即可得出答案；（2）证出△ABC ≌△BDE （AAS ），得出AC =BE ，即可得出答案．【详解】解：（1）∵BD ∥AC ，∴∠ABD =∠BAC =30°，∵BD =AB ，∴∠BDA =∠BAD =12（180°-30°）=75°， ∵∠ABE =60°，∴∠DBE =∠ABE -∠ABD =30°，∴∠AEB =∠ADB -∠DBE =75°-30°=45°；故答案为：45°；（2）在△ABC 和△BDE 中， BAC DBE ACB BED AB BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△BDE （AAS ），∴AC =BE ；故答案为：ABC ，BDE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（1）画图见解析；（2）△ABC 的周长=21；（3）AB=8，AC=8，BC=5．【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得AP=BP，从而得出AC+BC的值，再根据AB=8，即可求得△ABC的周长；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图所示：即PQ为所求；；（2）如图所示：∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴PA=PB，∵△PBC的周长为13，∴PB+PC+BC=13，∴PA+PC+BC=13，即AC+BC=13，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+13=21；（3）∵AC＞BC，∴分两种情况，①AC=AB=8时，BC=21-AC-BC=21-8-8=5；②BC=AB=8时，AC=21-AB-BC=21-8-8=5，∵AC＞BC，∴不合题意舍去；综上所述，若△ABC是等腰三角形，△ABC的三条边的长度为AB=8，AC=8，BC=5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图、三角形周长等知识．本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．23．（1）2x =；（2）65x =；（3）相等，画图和理由见解析【分析】（1）当PQ //AB 时，△PQC 为等边三角形，根据PC=CQ 列出方程即可解出x 的值；（2）当PQ ⊥AC 时，可得1=2QC PC ，列出方程解答即可；（3）作QH ⊥AD 于点H ，计算得出QH=DP ，从而证明△OQH ≌△OPD （AAS ）即可．【详解】解：（1）∵当PQ //AB 时，∴∠QPC=∠B=60°，又∵∠C=60°∴△PQC 为等边三角形∴PC=CQ ，∵PC=6-x ，CQ=2x ，由6-x=2x解得：2x =，∴当2x =时，PQ //AB ；（2）若PQ ⊥AC ，∵∠C=60°，∴∠QPC=30°， ∴1=2QC PC ，即12(6)2x x =-，解得：65x = ∴当65x =时，PQ AC ⊥；（3）补全图形如图理由如下：作QH AD ⊥于H ， ABC 等边三角形，AD BC ⊥．30QAH ∴∠=，132BD BC ==， 12QH AQ ∴=1(26)32x x =-=-， 3DP BP BD x =-=-，QH DP ∴=，在OQH △和OPD △中，QOH POD QHO PDO QH PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OQH OPD AAS ∴△≌△，OQ OP ∴=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，全等三角形的性质及判定，几何中的动点问题，解题的关键是灵活运用等边三角形及全等三角形的性质及判定． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ．∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．25．（1）图见解析；（2）(-1，0)，442+；（3）P 7(,0)3-．【分析】（1）根据AB 坐标可知，A 点向右1个单位，向下4个单位即是原点（0，0），由此即可建立平面直角坐标系；（2）由网格的特点易得点，再根据勾股定理可求AB 边长为2，进而即可得出答案，（3）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′，交x 轴于点P ，则点P 即所求，再利用一次函数与直线交点求法求出交点P ．【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示；（2）如图，当在y 轴左侧点C (-1，0)时，△ABC 为等腰直角三角形，此时222222AB BC ==+=故△ABC 的周长为42222442BC AB BC ++=+=+故填：(-1，0)，442+；（3）如图，作点(3,2)B -关于x 轴的对称点(3,2)B '--，连接AB ′，交x 轴于点P ，则点P 即所求，设直线AB ′的解析式为y =kx +b ，将A (−1,4)，B ′(−3,−2)代入得423k b k b=-+⎧⎨-=-+⎩，解得37k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB ′的解析式为y =3x +7．将y =0代入得，73x =-， ∴0()7,3P -．【点睛】本题考查了一次函数应用，勾股定理，轴对称与线段最小值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（1）i ）证明见解析；ii ）2222DE AF BE =+，证明见解析；（2） 1.CE =【分析】（1）i ）由等腰直角三角形ABC ，∠ACB ＝90°，,CD AB ⊥ 证明,45,CD AD DCE A =∠=∠=︒ 由,,CD AB DF DE ⊥⊥ 证明,ADF CDE ∠=∠ 可得,CDE ADF ≌ 从而可得结论；ii ）如图，连接,EF 由,CDE ADF ≌,DE DF = 证明,CF BE = 222,EF DE = 结合222,EF CF CE =+ 从而可得答案；（2）过点D 作DH AE ⊥于点H ，过点D 作DG DE ⊥交AE 于点G ，根据SAS 证明CDE ADG ≅△△，进而利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】证明：（1）i ）等腰直角三角形ABC ，∠ACB ＝90°，,CD AB ⊥,45,,AC BC ACD BCD A B AD BD ∴=∠=∠=︒=∠=∠=,CD AD BD ∴==,,CD AB DF DE ⊥⊥90,ADF CDF CDF CDE ∴∠+∠=︒=∠+∠,ADF CDE ∴∠=∠在DAF △与DCE 中，45CDE ADF CD ADDCE A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩(),CDE ADF ASA ∴≌.CE AF ∴=ii ）2222.DE AF BE =+理由如下：如图，连接,EF,CDE ADF ≌,DE DF ∴=,,AC BC AF CE ==,CF BE ∴=,DE DF ⊥22222,EF DE DF DE ∴=+=22222,EF CF CE BE AF =+=+2222.DE AF BE ∴=+（2）如图，过点D 作DH AE ⊥于点H ，过点D 作DG DE ⊥交AE 于点G ，90ACB AC BC CD AB ∠=︒=⊥，，，45ACD BCD A ∴∠=∠=∠=︒，∴CD=AD ，,45DG DE AED ⊥∠=︒，45DGE AED ∴∠=︒=∠，∴DG=DE ，在CDE △和ADG 中AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDE ADG ∴≅△△（SAS ）∴CE=AG在Rt DEG △中，DE DG ==6EG ∴=DH AE ⊥3DH GH EH ∴===在Rt ADH 中，AD=54AH ∴===1CE AG AH GH ∴==-=．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用平方根解方程，方程组思想，掌握以上知识是解的关键．。

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含30°角的直角三角形的性质检测题
一．选择题（共8小题）
1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）
A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D． 7
第1题第2题第3题
2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作
射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A． 25 B． 30 C． 35 D． 40
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）
A．4cm B． 2cm C． 1cm D．m
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A． BD=AB B． BD=AB C． BD=AB D． BD=AB
第5题第6题第7题第8题
6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC 的长度是（）
A． 5m B． 8m C． 10m D． 20m
7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）
A． 6米B． 9米 C． 12米D． 15米
8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共10小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．
10．如图，∠AO E=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．
第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．
第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．
15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h 约为_________米．
16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．
17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是
_________海里．
三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．
21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．
23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．。