8[1].6_Z变换与拉普拉斯变换的关系

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拉氏变换和z变换表

拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2.常用函数的拉氏变换和z变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3. 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式,即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中,系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数;n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

(1)0)(=s A 无重根:这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式,即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( (F-1)式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根;i c 为待定常数,称为()F s 在i s 处的留数,可按下列两式计算:lim()()ii i s s c s s F s →=- (F-2)或iss i s A s B c ='=)()( (F-3)式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(=1in s ti i c e =∑ (F -4) (2)0)(=s A 有重根:设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…,n s 为F(s)的n r -个单根;其中,1+r c ,…,n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算,r c ,1-r c ,…,1c 则按下式计算:)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( (F-6)。

Z变换及其收敛域

Z变换及其收敛域
n0
z
1
)
n
1 1 e
sT
z
1

F (z)
1 2 j
j 1
ds
j
F (s) e
sT
z
ds 1

j 2 j
1
j
zF ( s ) z e
sT
(z e
sT
)
29
这个积分可用留数来计算,即
F (z)

i
z F (s) Re s , si z e sT
2、若x(n)是单边序列,其单边Z变换为:
右移
(二)位移性质
7
)z( X
z ) n ( u ) m n ( x Z
(二)位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
解:若周期序列x(n) 的周期为N,即
x(n ) x(n N )
n 0
令x1(n)表示x(n)的第一个周期,因为x1(n)是有 限长序列,所以其Z变换为
N 1
X 1( z)

x1 ( n ) z
n
z 0
8
n0
(二)位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示,为
x ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N ) x1 ( n 2 N )
x(n)的Z变换为
X ( z) X 1( z) 1 z
X 1( z) z z
0 S平面平行于虚轴的直线
z e
0T
Z平面的圆,半径为 e
0T
22
S平面与Z平面的映射关系
j
j Im z

傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义_百度文库.

傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义_百度文库.

傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。

理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。

傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。

这都是一个信号的不同表示形式。

它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。

幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。

也就是说,用无数的正弦波,可以合成任何你所需要的信号。

§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系

§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系



X
二.z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样,得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x

n

子 工
X z
n x n z


程 学

逆变换 x n

2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页


1 IDTFT X e x n 2

n


x n e jn
j K2 K 2
* 1

程 学
K1 K2 ω0 解: xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0,p2 j ω0 。

大 学

子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学

i 1
i 1
其拉式变换为
N


邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i



子 工
程 学

ˆ i t Ai e pi t u t x

N

子 工

学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,

(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系

(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系

1
j
Xs

e sT z -1 nds
2pj - j
n0
此式的收敛条件是:|z|>|esT|,当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
例如:当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s

zX z-
s e sT
ss1

z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得,它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
X s

s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1

-j 2
及A2

j 2
于是, X(s)可以展成部分分式
-j
j
X s 2 2
s - jω0 s jω0
可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其逆变换表

n
F ( s)
L[ f (t )dt ]
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ]
共n个
2 F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) ]t 0 s2 s2 s
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )(dt ) n ]t 0 s k 1 s
B( s ) b s b s b s b F (s ) A(s ) a s a s a s a
m m 1 m m 1 1 n n 1 n n 1 1 0
0
(n m)
式中系数 a
0
, a ,..., a , a , b , b ,b , b 都是实常数; m, n 是正整数。按
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
拉普拉斯变换及其反变换表表a1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理或称域平移定理5衰减定理或称域平移定理6终值定理7初值定理8卷积定理2
拉普拉斯变换及其反变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
c c t t c t c e c e (r 2)! (r 1)!

DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系

DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系



有w ,因此,W从


S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
2 1 S平面上宽度为 的水平带映射成整个 Z平面,左半带 T 映射成单位园内部,右 半带映射成单位园外部 ,长度为 2 的虚轴映射成单位圆周 。 T 2 2 由于S平面可被分成无限条宽 度为 的水平带,所以 S T 平面可被映射成无限多 个Z平面。
也就是说,因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
2016/6/25
16
由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 1 z 2 H z 3 1 1 2 1 z z 4 8
试画出零极点分布图,并确定 H z 的收敛域和稳定性。
n


xa nT e nTs
而 xn xa nT 的Z变换为
X z
n
xn z

n

n
n x nT z a

由此可知 X z
2016/6/25
z e sT
X s s
3
S平面到Z平面的映射
关系式 X z
用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线
2016/6/25
26
由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解(续)
因为在 所以
z 1 处有零点,
H e j 0 0
H e jw
1 e jw H e 1 0.81e j 2w
jw

z 0.9 j 处有极点,
这就是Z平面到S平面的映射关系。

z变换与拉普拉斯变换的关系

z变换与拉普拉斯变换的关系

z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中,z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。

它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。

虽然它们看起来非常不同,但它们之间有着密切的联系。

本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。

一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法,它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。

z变换定义如下:$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中,$x(n)$是一个离散时间信号,$z$是一个复变量。

$X(z)$是一个复变量函数,称为$x(n)$的z变换。

可以看出,z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。

它的收敛域是一圆形或一个环形区域。

z变换具有一些重要的性质,包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。

这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。

二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法,它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。

拉普拉斯变换定义如下:$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中,$x(t)$是一个连续时间信号,$s$是一个复变量。

$X(s)$是一个复变量函数,称为$x(t)$的拉普拉斯变换。

可以看出,拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。

它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。

与z变换类似,拉普拉斯变换也具有一些重要的性质,包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。

这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。

三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同,但它们之间有着密切的联系。

实际上,z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。

具体来说,我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换:$$s=frac{1}{T}ln z$$其中,$T$是采样周期。

这个公式告诉我们,如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$,并且采样周期为$T$,那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$,然后将$s$替换成上面的公式,得到$x(n)$的z变换$X(z)$。

z变换的基本知识

z变换的基本知识

z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。

一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数;而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程,从而可以大大简化微分方程的求解;从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此,拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换,从中找到了简化运算的方法,引入了z变换。

连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后,采样信号的表达式为(1)对式(1)作拉普拉斯变换(2)从式(2)可以看出,是的超越函数,含有较为复杂的非线性关系,因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具,无法使问题简化。

为此,引入了另一个复变量“z”,令(3)代入式(2)并令,得(4)式(4)定义为采样信号的z变换,它是变量z的幂级数形式,从而有利于问题的简化求解。

通常以表示。

由以上推导可知,z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式,它是对采样信号作的变量置换。

的z变换的符号写法有多种,如等,不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式,其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。

式(1),式(2)和式(3)分别是采样信号在时域、域和z域的表达式,形式上都是多项式之和,加权系数都是,并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍,体现了信号的定时关系。

在实际应用中,采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式,其表达式是z的有理分式(5)或的有理分式(6)其分母多项式为特征多项式。

在讨论系统动态特征时,z变换写成零、极点形式更为有用,式(5)可改写为式(7)(7)2 求z变换的方法1)级数求和法根据z变换定义式(4)计算级数和,写出闭合形式。

例1求指数函数的z变换。

解连续函数的采样信号表达式为对应的z变换式为上式为等比级数,当公比时,级数收敛,可写出和式为。

例2求单位脉冲函数的z变换。

8.6-Z变换与拉普拉斯变换的关系(共28张)

8.6-Z变换与拉普拉斯变换的关系(共28张)
14 第14页,共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1)
(3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
(3) h(n) ZT 1[H (z)]
H(z)
第16页,共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
y(n) x(n) 3x(n 2) 5y(n 1) 6y(n 2)
x(n)
z1 3
5
z 1
6
y(n)
z 1 z 1
Y (z) 5z1Y (z) 6z2Y (z) X (z) 3z2 X (z)
H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
18
第18页,共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
解法一: H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
解法二 :
H(z)
z2
5z 6 5z 9 z2 5z 6
从系统函数 的极点来看稳定因果系统
因果系统: z a
稳定系统:单位圆在收敛域内
z a,a 1
收敛域内无极点,故全部极点都落在单位圆内。
12
第12页,共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为
y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H (z); (2) 讨论此因果系统H (z)的收敛域和稳定性; (3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).

拉普拉斯变换和z变换的关系

拉普拉斯变换和z变换的关系

拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法,它们有着密切的联系和相互转换的关系。

拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法,可以将微分方程转化为代数方程。

它的定义是对于一个函数f(t),如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的,那么它的拉普拉斯变换F(s)为:F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中,s是一个复数变量,e^(-st)是指数函数。

与拉普拉斯变换相对应的是z变换,它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。

z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n],如果它在n的整个范围上是绝对可和的,那么它的z变换X(z)为:X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中,z是一个复数变量,n是整数。

尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同,但它们之间存在着密切的联系。

事实上,z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。

具体地说,如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1),那么我们就得到了z变换的公式。

这意味着,通过对拉普拉斯变换的理解,我们可以更好地理解z变换,并在它们之间进行转换。

拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。

例如,它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。

在实践中,我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。

如果我们处理的是连续时间信号,那么我们会使用拉普拉斯变换;如果我们处理的是离散时间信号,那么我们会使用z变换。

当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时,我们也可以使用z变换,它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。

拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法,它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。

通过深入理解它们的定义和应用,我们可以更好地处理和分析信号,实现更好的信号处理效果。

傅里叶和拉普拉斯和z变换之间的关系公式

傅里叶和拉普拉斯和z变换之间的关系公式

傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号与系统领域中重要的数学工具,它们在信号处理、通信系统、控制系统等方面有着广泛的应用。

这三种变换都是将时域信号转换到频域或复域中,以便对信号进行分析和处理。

在本文中,我们将探讨傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间的关系公式,以及它们之间的联系和区别。

1. 傅里叶变换让我们来介绍傅里叶变换。

傅里叶变换是将一个连续时间域的信号转换到连续频率域的变换。

对于一个时域信号x(t),其傅里叶变换可以表示为:X(Ω) = ∫[from -∞ to +∞] x(t)e^(-jΩt) dt其中,X(Ω)表示信号x(t)在频率域的表示,Ω表示频率,e^(-jΩt)是复指数函数。

2. 拉普拉斯变换接下来,我们来介绍拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是将一个连续时间域的信号转换到复频域的变换。

对于一个时域信号x(t),其拉普拉斯变换可以表示为:X(s) = ∫[from 0 to +∞] x(t)e^(-st) dt其中,X(s)表示信号x(t)在复频域的表示,s = σ + jΩ 是复频率,σ和Ω分别表示实部和虚部。

3. Z变换我们再介绍Z变换。

Z变换是将一个离散时间域的信号转换到复频域的变换。

对于一个离散时间域信号x[n],其Z变换可以表示为:X(z) = ∑[from 0 to +∞] x[n]z^(-n)其中,X(z)表示信号x[n]在复频域的表示,z = re^(jΩ) 是复频率,r和Ω分别表示幅度和相位。

联系和区别通过以上介绍,我们可以发现,傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换本质上都是将信号在不同域之间进行转换的数学工具。

它们之间的关系可以通过一些特殊的变换或极限情况来表示。

在离散时间信号中,当采样周期趋于无穷大时,Z变换可以近似为拉普拉斯变换。

而在连续时间信号中,当采样周期趋于零时,Z变换可以近似为傅里叶变换。

这些关系公式为我们在不同领域之间进行信号分析和处理提供了便利。

结论傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间存在着密切的联系和区别。

拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换

拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换

傅立叶变换,拉普拉斯变换,Z变换的意义在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。

理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。

傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。

这都是一个信号的不同表示形式。

它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。

幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。

也就是说,用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

z变换和拉普拉斯变换的关系

z变换和拉普拉斯变换的关系

z变换和拉普拉斯变换的关系在信号分析中,Z变换和拉普拉斯变换都是用来分析信号的工具。

它们在时间和频率域之间建立了一种关系,这使得我们能够更好地了解信号的频域性质。

虽然它们之间有许多相似之处,但它们之间还存在一些不同之处。

本文将探讨Z变换和拉普拉斯变换之间的关系。

Z变换是一种傅立叶变换的离散形式,用来分析离散时间系统。

Z变换可以将一个离散时间序列转换为一个复平面上的复函数,它是用于离散时间系统分析的强有力工具。

因为几乎所有现代数字信号处理(DSP)算法都使用Z 变换进行设计,因此掌握Z变换是非常重要的。

拉普拉斯变换则是一种傅立叶变换的连续形式,它用来解决传统时间域的微积分方程,是一种非常有用的工具。

拉普拉斯变换能够将一个信号转换为一个复数域,在这个复数域内,信号的频率和幅度可以很方便的进行分析。

虽然它们之间的定义看起来不同,但实际上,它们之间有着很强的联系。

这种联系主要体现在它们可以相互转换。

我们都知道,时域上的导数在频域上相当于乘以$ω$;而对于Z变换,$z$的值对应的是离散点(复杂频率)。

实际上,如果在Z平面上用$z=e^{jω}$,那么Z变换就相当于DTFT(离散时间傅里叶变换)。

因此Z变换和DTFT是密切相关的。

拉普拉斯变换和Z变换的转换是通过时间离散化实现的。

实际上,使用拉普拉斯变换可以在连续时间领域中分析信号,但这并不总是非常方便,因为在实际应用中,我们通常需要分析数字信号或控制系统。

因此,为了在数字信号处理(DSP)中利用某些设计工具,我们必须将信号从连续时间域中转换为离散时间域。

这种转换通常通过取样或通过离散化来实现。

在进行时间离散化后,我们可以使用Z变换来分析离散时间系统,在这种情况下,拉普拉斯变换的Z域等效变量是很有用的。

换句话说,我们可以使用Z变换将离散时间系统映射到与拉普拉斯变换的复平面中的区域相关的点。

虽然Z变换和拉普拉斯变换之间存在这些联系和相似之处,但它们在一些方面仍然有所不同。

傅里叶变换、拉普拉斯变换、z 变换的联系

傅里叶变换、拉普拉斯变换、z 变换的联系

一、引言傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统领域中重要的数学工具,它们在时域和频域之间建立了数学关系,广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。

本文将对这三种变换进行介绍,并讨论它们之间的联系。

二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

对于一个连续时间信号x(t),它的傅里叶变换X(ω)可以表示为:X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt其中,ω为频率,e^(-jωt)为复指数函数,表示频率为ω的正弦波。

傅里叶变换将信号在时域和频域之间进行了转换,使得我们可以通过频域分析来理解信号的频率特性。

三、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复域信号的数学工具。

对于一个连续时间信号x(t),它的拉普拉斯变换X(s)可以表示为:X(s) = ∫x(t)e^(-st)dt其中,s为复变量,e^(-st)为复指数函数,可以表示不同的衰减和增长特性。

拉普拉斯变换不仅可以用于分析信号的频率特性,还可以用于分析系统的稳定性和时域响应。

四、z变换z变换是一种将离散时间信号转换为复域信号的数学工具。

对于一个离散时间信号x[n],它的z变换X(z)可以表示为:X(z) = ∑x[n]z^(-n)其中,z为复变量,z^(-n)为z的负幂,可以表示离散时间信号的序列。

z变换可以用于分析离散时间系统的稳定性和频率响应。

五、联系与比较1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的联系傅里叶变换和拉普拉斯变换都是将时域信号转换为复域信号的数学工具,它们之间存在一定的联系。

在一定条件下,可以通过拉普拉斯变换来推导傅里叶变换,从而将连续时间系统的频域特性转换为复域特性。

这种联系使得我们可以统一地分析连续时间信号和系统的频率特性。

2. 拉普拉斯变换与z变换的联系拉普拉斯变换和z变换同样是将时域信号转换为复域信号的工具,它们之间也存在联系。

在一定条件下,可以通过z变换来推导离散时间系统的拉普拉斯变换,从而将离散时间系统的频率特性转换为复域特性。

拉普拉斯变换与Z变换

拉普拉斯变换与Z变换

tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有:
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换(或称为象函数) 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换,则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换(或称为象原函数) ,记为:
定义:设函数 f(t)当 t≥0 时有定义,而且积分 某一域内收敛,则由此积分所描述的函数可写为

+∞
0
f (t )e − st dt (s 是一个复参量)在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量,σ为实部,ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2

z变换与拉普拉斯变换的关系

z变换与拉普拉斯变换的关系
X (Z )
z re
j
X ( re
j
)
n


x ( n )( re
j
)
n

n
x ( n ) r e
n
j n
这个式子可以看成x(n)乘以指数序列r n 后的傅里叶变换。
傅里叶变换的收敛条件: 1、在任何一个周期内必须模可积。 2、在任何一个周期内的极大值和极小值的个数有限。 3、在任何一个周期内只有有限个数的间断点。 应用收敛条件1
单位圆上的z变换即序列的傅里叶变换。 在单位圆|z|=1上,r=1,
X ( z ) | z e j X ( e
j
)
n


x (n )e
j n
所以,如果序列的z变换的收敛域包括单位圆,则单位圆上的z变换 即序列的频谱,这是频谱与z变换只是一种符号代换。
3、序列的傅里叶变换与拉普拉斯变换(双边) 的关系
ˆ ( s ) X


-
x( a nT ) ( t - nT n -

- st ) e dt
jm 2 t T
1 由式(2-5)可知 ( t - nT ) T n -

m -
e

1 ˆ (s) 所以X T
m-



-
xa (t)e
1、序列的Z变换与拉普拉斯变换的关系
拉普拉斯变化:拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间 函数x(t)通过关系式 (式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。 Z变换:可将时域信号变换为在复频域的表达式。
所以说拉普拉斯变换与Z变换都是把函数从时域变换到复数域。

z变换与拉普拉斯变换的关系

z变换与拉普拉斯变换的关系

N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得,它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2nT xN nT
N
N
xi nT Ai epinTu nT
能否借助Xs写出Xz?
注意:
连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
例如,阶跃信号ut在t 0点定义为 1 ;
2
阶跃序列un在点n 0定义为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆt xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2

Yzi
z

zz 1 z 2z 1

3z z2

2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
x
i
nT
un



i
t
u
t

t

nT
xˆ i
t
ut

t

nT

Ai 2
当n 0 当n 0
例8-6-1
已知指数函数eat ut的拉式变换为 1 ,求抽样序列
sa
eanT unT 的z变换。

0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z

拉普拉斯变换和z变换的关系

拉普拉斯变换和z变换的关系

拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常见的信号处理技术,它们在信号噪声分析、信号滤波、信号压缩等领域得到广泛应用。

虽然这两种技术有一些相似之处,但它们在数学理论和应用领域上也存在明显的差异。

拉普拉斯变换是一种连续时间信号处理技术,它将信号从时域转换到频域。

使用拉普拉斯变换,可以将一个连续时间信号$f(t)$转换为在复平面上的一组函数$F(s)$,其中$s$是一个复变量。

拉普拉斯变换广泛应用于控制工程、噪声分析和其他应用领域。

相比之下,z变换是一种离散时间信号处理技术,它将信号从时域转换到$z$域。

使用z变换,可以将一个离散时间信号$f[n]$转换为在复平面上的一组函数$F(z)$,其中$z$是一个复变量。

z变换也广泛应用于数字滤波、视觉跟踪、自适应信号处理等应用领域。

尽管拉普拉斯变换和z变换来源于不同的数学理论,但它们之间存在相似之处,即它们都可以将时域信号转换为频域信号,以改善信息处理的效率和准确性。

而且,当某些条件得到满足时,z变换可以视为拉普拉斯变换的离散时间特例:z变换是当拉普拉斯变换中复变量$s$沿虚轴移动到单位圆时的结果。

这使得z变换和拉普拉斯变换之间建立了一种有用的数学关系。

在信号处理中,拉普拉斯变换和z变换之间的关系可以通过算法和数学等方式进行描述。

首先,在算法方面,可以使用拉普拉斯变换和z变换的特性,将信号从一种频域转换为另一种频域。

其次,在数学方面,可以使用变换的性质来描述它们之间的关系。

这包括卷积性质、反演性质、初始值定理和终值定理等。

需要注意的是,尽管两种变换之间存在类似之处和相关性,但它们并不是等同的技术。

拉普拉斯变换通常用于连续时间信号,而z变换主要用于离散时间信号。

因此,在信号处理中,我们需要根据信号时间域和信号类型的不同,选择适当的变换方法。

例如,对于离散时间信号,可能更适合使用z变换来准确分析其频域特性,而拉普拉斯变换可能不太适用。

总之,拉普拉斯变换和z变换是两种用于信号处理和频率分析的常见数学工具。

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Y ( z) H 2 ( z)
(1)
[ X ( z) Y ( z) H 2 ( z)]H1 ( z) Y ( z) X ( z) H1 ( z) Y ( z)[1 H 2 ( z) H1 ( z)]
19
z 一个离散线性非时变系 统如图所示 子系统H1 ( z ) , , z 1 z H 2 ( z) . (1) 求整个系统的系统函数 ( z ); (2) 写出 H z 8 描述此系统的差分方程 .
h(n) [1.4(0.4) 0.4(0.6) ]u(n)
n n
17
例8 19 表示某离散系统的差分 方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时 求零状态响应 (n). , y
x(n)

y (n)
z (1 z ) H ( z) ( z 0.6)( z 0.4)
15
例8 19 表示某离散系统的差分 方程为 y (n) 0.2 y (n 1) 0.24 y (n 2) x(n) x(n 1) (2) 讨论此因果系统 ( z )的收敛域和稳定性 H ; (3) 求单位样值响应 (n); h (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时 求零状态响应y (n). ,
收敛域内无极点,故全部极点都落在单位圆内。
14
例8 19 表示某离散系统的差分 方程为 y (n) 0.2 y (n 1) 0.24 y (n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H ( z ); (2) 讨论此因果系统 ( z )的收敛域和稳定性 H ; (3) 求单位样值响应 (n); h (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时 求零状态响应 (n). , y
z z 8) H ( z) 2 2z 7z 8
Y ( z)(2 7 z 1 8z 2 ) X ( z)(1 8z 1 )
2 y(n) 7 y(n 1) 8 y(n 2) x(n) 8 x(n 1)
7 1 y (n) y (n 1) 4 y (n 2) x(n) 4 x(n 1) 2 2
h(n) ZT [ H ( z )]
1
H ( z ) ZT [h(n)]
2、离散时间系统的稳定性和因果性 系统稳定的充分必要条件: h(n)
n
H ( z)
n
h( n) z n

H ( z ) z 1
n
h( n )
13
2.08 z 0.93 z 0.15 z Y ( z) ( z 1) z 1 z 0.4 z 0.6
y(n) [2.08 0.93(0.4) n 0.15(0.6) n ]u(n)
18
z 一个离散线性非时变系 统如图所示 子系统H1 ( z ) , , z 1 z H 2 ( z) . (1) 求整个系统的系统函数 ( z ); (2) 写出 H z 8 描述此系统的差分方程 .
(2) H ( z)的收敛域为 : z 0.6
z (1 z ) H ( z) ( z 0.6)( z 0.4)
因果稳定系统的系统函数的极点都落在单位圆内
H ( z)的极点位于z1 0.6, z2 0.4, 都在单位圆内
这是一个稳定的因果系统
16
例8 19 表示某离散系统的差分 方程为 y (n) 0.2 y (n 1) 0.24 y (n 2) x(n) x(n 1) (3) 求单位样值响应 (n); h (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时 求零状态响应 (n). , y
z (1 z ) H ( z) ( z 0.6)( z 0.4)
h(n) [1.4(0.4) n 0.4(0.6) n ]u(n)
z ( z 1) z (4) x(n) u (n), Y ( z ) H ( z ) X ( z ) ( z 0.6)(z 0.4) z 1
2
2
s j z re
j
2
r e
T
e
s
T 2 s
r 1 r1 r 1
0 0
0
0
0
3
s ~ z平面具有如下映射关系
s j z re
j
2
r e
T
e
s
T 2 s
n 0

ze 或 1 s ln z T
sT
x(nT ) LT [ (t nT )] x(nT )e snT
n 0 n 0


X s ( s) x(nT ) z n x(n) z n X ( z )
n 0 n 0
1


X s ( s) s 1 ln z X ( z )
T
e
s
T 2 s
z平 面
ks s j (k 1,3,) 2
0
k
0
s jk s (k 1,2,3,)
5
s ~ z平面具有如下映射关系
s j z re
j
2
r e
T
e
s
T 2 s
Y ( z) a[ z 1Y ( z) y(1)] bX ( z)
Y ( z)(1 az ) bX ( z)
Y ( z) b bz H ( z) 1 X ( z ) 1 az za (z a)
1
h(n) banu(n)
11
例 : 离散系统对输入x(n) u (n)的零状态响应为 y (n) 2(1 0.5n)u (n), 若x(n) 0.5n u (n), 求此 时的零状态响应y (n).
20
z 一个离散线性非时变系 统如图所示 子系统H1 ( z ) , , z 1 z H 2 ( z) . (1) 求整个系统的系统函数 ( z ); (2) 写出 H z 8 描述此系统的差分方程 .
Y ( z) 1 8 z 1 (2) H ( z ) X ( z ) 2 7 z 1 8 z 2
Y ( z) H ( z) X ( z)
Y ( z) X ( z) H ( z)
h(n) ZT 1[ H ( z )]
y(n) x(n) ZT [ H ( z)]
H ( z ) ZT [h(n)]
10
1
例8 18 求下列差分方程所描述的离散系统的系统函数 和单位样值响应. y (n) ay (n 1) bx(n)
21
P 8 26 由下列差分方程画出离 散系统的结 107 构图, 并求系统函数 ( z )及单位样值响应 (n). H h
(5) y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) x(n) 3x(n 2)
y(n) x(n) 3x(n 2) 5 y(n 1) 6 y(n 2)
7
s ~ z平面具有如下映射关系
s j z re
j
2
r e
T
e
s
T 2 s
e j 是以 w s 为周期的周期函数,因此在 S 平 3、由于
面上沿虚轴移动对应于 Z 平面上沿单位圆周期性旋 转,每平移 w s ,则沿单位圆转一圈,所以 Z—S 平 面映射并不是单值的。
8
j
S
2
j3
j2
j1
e
2
j Im[z]
1
1
1
e
Z
1 2 Re[z] e
2
3 2
2 1
1 2
j4

5
e
1
3
4
3
j5
9
8.8 离散系统的系统函数 一、单位样值响应与系统函数 离散系统零状态响应的Z变换与相应激 励的Z变换之比称为系统函数H(z),即
2. S平面的实轴( 0, s )映射到Z平面是正实轴 平行 ; 于实轴的直线(为常数)映射到Z平面是始于原点的辐射 ks 线; 通过 j (k为奇数) 而平行于实轴的直线映 射到Z平 2 面是负实轴 .
6
s j z re
j
2
r e
T
e
s
T 2 s
ZT [ y (n)] H ( z ) ZT [0.5n u (n)] z (2 z 3) 4z 2z ( z 0.5)(z 1) z 0.5 z 1
y(n) [4(0.5) n 2]u(n)
12
二、系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1、由系统函数的零极点分布确定单位样值响应
(3) h(n) ZT [ H ( z)]
1
z (1 z ) H ( z) ( z 0.6)( z 0.4)
H ( z) (1 z ) 1.4 0.4 z ( z 0.6)( z 0.( z) z 0.4 z 0.6

对于稳定系统,H(z)的收敛域应包含单 位圆在内(单位圆肯定在收敛域内) 因果系统的充分必要条件: h(n) h(n)u(n)
因果系统H ( z)的收敛域为某圆外区域 z a
从系统函数 H (z ) 的极点来看稳定因果系统 P 8 23 106 因果系统: z a z a, a 1 稳定系统:单位圆在收敛域内
8.6 Z变换与拉普拉斯变换的关系 Z平面与S平面的映射关系
xs (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
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