拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。

第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。

这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。

一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。

函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。

函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。

为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。

(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。

为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。

(3)拉氏变换就是将给定得函数通过广义积分转换成一个新得函数,它就是一种积分变换。

一般来说,在科学技术中遇到得函数,它得拉氏变换总就是存在得。

例12、1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)得拉氏变换。

解:0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰ 2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生得电流时,要涉及到我们要介绍得脉冲函数,在原来电流为零得电路中,某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量得脉冲,现要确定电路上得电流()i t ,以()Q t 表示上述电路中得电量,则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度就是电量对时间得变化率,即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→,所以,当0t ≠时,()0i t =;当0t =时,∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。

上式说明,在通常意义下得函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路得电流强度.为此,引进一个新得函数,这个函数称为狄拉克函数。

定义12、2设0,01(),00,t t t t εδεεε<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩,当0ε→时,()t εδ得极限0()lim ()t t εεδδ→=称为狄拉克(Dirac)函数,简称为δ-函数。

当0t ≠时,()t δ得值为0;当0t =时,()t δ得值为无穷大,即0,0(),0t t t δ≠⎧=⎨∞=⎩。

显然,对任何0ε>,有01()1t dt dt εεδε+∞-∞==⎰⎰,所以()1t dt δ+∞-∞=⎰。

工程技术中,常将δ-函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将δ-函数用一个长度等于1得有向线段来表示,这个线段得长度表示δ-函数得积分,叫做δ-函数得强度。

例12、2 求单位脉冲信号()t δ得拉氏变换。

解:根据拉氏变换得定义,有dte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ,即1)]([=t L δ。

例12、3 现有一单位阶跃输入0,()1,0t u t t <⎧=⎨≥⎩,求其拉氏变换。

解:00011[()]()1[]pt ptpt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰,(0)p >。

例12、4 求指数函数()atf t e =(a 为常数)得拉氏变换。

解:()001[]at at pt p a tL e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰,()p a >,即)(1][a p a p e L at >-=类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+;22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。

三、拉氏变换得性质拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂得函数得拉氏变换。

性质12、1 (线性性质) 若1a ,2a 就是常数,且11[()]()L f t F p =,22[()]()L f t F p =,则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += (12、2)证明:dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211 )()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=例12、5 求函数1()(1)at f t e a-=-得拉氏变换 解:)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=---- 性质12、2(平移性质) 若[()][]L f t F p =,则[()]()atL e f t F p a =-(a 为常数) (12、3)证明:⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat at位移性质表明:象原函数乘以ate 等于其象函数左右平移||a 个单位。

例12、6 求[]atL te ,[sin ]atL e t ω-与[cos ]at L e t ω-。

解 因为21[]L t p =,22[sin ]L t p ωωω=+,22[cos ]p L t p ωω=+,由位移性质即得 。

，，22222)(]cos [)(]sin [)(1][ωωωωω+++=++=-=--a p ap t e L a p t e L a p te L at atat性质12、3(滞后性质) 若[()][]L f t F p =,则)()]([p F e a t f L ap -=- )0(>a (12、4)证明:dtea t f a t f L pt⎰∞+--=-0)()]([=dte a tf dt ea t f apt apt⎰⎰∞+---+-)()(0,在拉氏变换得定义说明中已指出,当0t <时,()0f t =。

因此,对于函数()f t a -,当0t a -<(即t a <)时,()0f t a -=,所以上式右端得第一个积分为0,对于第二个积分,令t a τ-=,则)()()()]([0)(p F e d e f ed ef a t f L ap p apa p -∞+--∞++-===-⎰⎰ττττττ滞后性质指出:象函数乘以ape -等于其象原函数得图形沿t 轴向右平移a 个单位。

由于函数()f t a -就是当t a ≥时才有非零数值。

故与()f t 相比,在时间上滞后了一个a 值,正就是这个道理,我们才称它为滞后性质.在实际应用中,为了突出“滞后”这一特点,常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -,所以滞后性质也表示为)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--例12、7 求[()]L u t a -。

解:因为1[()]L u t p =,由滞后性质得1[()]ap L u t a e p --=。

例12、8 求()[()]a t L e u t ττ--。

解:因为1[]at L e p a =-,所以()1[()]a t p L e u t e p aτττ---=-,()p a >例12、9 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,求[()]L f t 。

解: )(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=,于就是 )3(2)()([)]([a t cu a t cu t cu L t f L ---+=)21(233ap ap ap ap e e p ce p c e p c p c ----+=-+=,由拉氏变换定义来验证:⎰⎰--+=a a apt ptdtce dt cet f L 032)]([)21()221(33ap ap ap ap ap e e p ce e e p c ------+=-+-=。

性质12、4(微分性质) 若[()][]L f t F p =,并设()f t 在[0,+∞)上连续,'()f t 为分段连续,则)0()()]([f p pF t f L -=' (12、5)证明:由拉氏变换定义及分部积分法,得dt et f t f L pt⎰∞+-'='0)()]([⎰∞+-∞+-+=0)(])([dte tf Pet f pt pt ,可以证明,在[()]L f t 存在得条件下,必有lim ()0ptt f t e-→+∞=。