拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中,直接计算

32

8

.95781

2028.6⨯⨯

=N 5

3)164.1(⨯

就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为

164

.1lg 53

)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N

然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。

这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。

一、拉氏变换得基本概念

定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分

()pt f t e dt +∞

-⎰

在P 得某一区域内

收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即

dt

e t

f P F pt ⎰

∞

+-=

)()( (12、1)

称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 得

拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为

()F P 象原函数),记作

)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:

(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。

(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。

(3)拉氏变换就是将给定得函数通过广义积分转换成一个新得函数,它就是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到得函数,它得拉氏变换总就是存在得。

例12、1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)得拉氏变换。

解:00

00

[]()[]pt pt

pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞

+∞+∞---+∞-=

=-

=-+⎰

⎰⎰ 2020

][0p a e p a dt e p

a pt pt =-=+

=∞

+-∞+-⎰

)

0(>p

二、单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生得电流时,要涉及到我们要介绍得脉冲函数,在原来电流为零得电路中,某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量得脉冲,现要确定电路上得电流()i t ,以()Q t 表示上述电路中得电量,则

⎩⎨

⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q

由于电流强度就是电量对时间得变化率,即

t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)

()(lim )()(0-+==

→,

所以,当0t ≠时,()0i t =;当0t =时,

∞

=-=-+=→→)1

(lim )0()0(lim

)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。

上式说明,在通常意义下得函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路得电流强度.

为此,引进一个新得函数,这个函数称为狄拉克函数。

定义12、2

设0,

01(),00,

t t t t εδεε

ε<⎧⎪⎪

=≤≤⎨⎪>⎪⎩,当0ε→时,()t εδ得极限0

()lim ()t t εεδδ→=

称为狄拉克(Dirac)函数,简称为δ-函数。

当0t ≠时,()t δ得值为0;当0t =时,()t δ得值为无穷大,即0,

0(),

0t t t δ≠⎧=⎨∞=⎩。

显然,对任何0ε>,有0

1

()1t dt dt εεδε

+∞-∞

==⎰⎰,所以()1t dt δ+∞-∞

=⎰。

工程技术中,常将δ-函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将δ-函数用一个长度等于1得有向线段来表示,这个线段得长度表示δ-函数得积分,叫做δ-函数得强度。

例12、2 求单位脉冲信号()t δ得拉氏变换。 解:根据拉氏变换得定义,有

dt

e dt e

dt e

dt e

t t L pt pt

pt

pt

-→∞

+-→-→∞+-⎰

⎰

⎰

⎰

=⋅+=

=

ε

εε

εε

εε

ε

δδ0

1

lim

0lim

)1

lim

()()]([

11lim 1)()1(lim 11lim 1][1

lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→ε

εεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ,

即

1)]([=t L δ。

例12、3 现有一单位阶跃输入0,

()1,

0t u t t <⎧=⎨

≥⎩,求其拉氏变换。

解:00011[()]()1[]pt pt

pt L u t u t e dt e dt e p p

+∞+∞---+∞===-=⎰⎰,(0)p >。

例12、4 求指数函数()at

f t e =(a 为常数)得拉氏变换。

解:()001[]at at pt p a t

L e e e dt e dt p a

+∞+∞---===-⎰⎰,()p a >,即