(完整word版)典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
信号的复频域分析——拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
成绩评定表课程设计任务书目录1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。
2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)3.总结 (14)4.参考文献 (15)1．Matlab介绍MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。
经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。
典型的用途包括以下几个方面：1）数学计算；2）新算法研究开发；3）建模、仿真及样机开发；4）数据分析、探索及可视化；5）科技与工程的图形功能；6）友好图形界面的应用程序开发。
1.1Matlab入门Matlab7.0介绍Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。
当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。
在国内外Matlab已经经受了多年的考验。
Matlab7.0功能强大，适用范围很广。
其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。
MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。
函数即是预先编制好的子程序。
在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。
无疑，这会大大提高编程效率。
典型信号的拉普拉斯变换
典型信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种将一个函数或信号从时域（t域）转换到
复平面的频域（s域）的数学变换工具。
典型信号的拉普拉斯
变换如下：
1. 单位冲激信号（或单位脉冲信号）：
拉普拉斯变换后的表达式为：F(s) = 1
2. 单位阶跃信号：
拉普拉斯变换后的表达式为：F(s) = 1/s
3. 指数衰减信号（或指数增长信号）：
拉普拉斯变换后的表达式为：F(s) = 1/(s-a)
4. 余弦信号：
拉普拉斯变换后的表达式为：F(s) = s/(s^2 + w^2)
5. 正弦信号：
拉普拉斯变换后的表达式为：F(s) = w/(s^2 + w^2)
以上是一些典型信号的拉普拉斯变换表达式，其中s为复变量，a和w为实常数。
使用拉普拉斯变换可以将这些典型信号在频
域进行分析和处理，更好地理解其频域特性和系统响应。
拉普拉斯变换及其逆变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s ) F2 ( s )
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （ 0 ） dt 2 L[
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 n 1 n 0 1 m 1 m
代数定理可将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A( s) 0 无重根 这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
c c c c c F (s ) ss ss ss ss ss
1 2 i n n i i 1 1 2 i n
r 1 r 1 n r 1 1 r 1 i n r 1
c c c c c c (s s ) (s s ) (s s ) s s ss ss
r 1 1 1 r 1 i
n
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, sn 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
Laplace变换和逆变换
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问 题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求 原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示
拉普拉斯变换及其逆变换表
n
F ( s)
L[ f (t )dt ]
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ]
共n个
2 F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) ]t 0 s2 s2 s
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )(dt ) n ]t 0 s k 1 s
B( s ) b s b s b s b F (s ) A(s ) a s a s a s a
m m 1 m m 1 1 n n 1 n n 1 1 0
0
（n m）
式中系数 a
0
, a ,..., a , a ， b , b ,b , b 都是实常数； m, n 是正整数。按
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
拉普拉斯变换及其反变换表表a1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理或称域平移定理5衰减定理或称域平移定理6终值定理7初值定理8卷积定理2
拉普拉斯变换及其反变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
c c t t c t c e c e (r 2)! (r 1)!
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表;..;..;..3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s ii-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为;..())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r1-=→)]s (F )s s ([dsdlimc r 1s s 1r 1-=→-)s (F )s s (dsd lim !j 1c r1)j ()j (s s jr 1-=→-)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c r1)1r ()1r (s s 11--=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---nnii1r 1r 111r 11r r1r1s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L ts n1r i its 122r 1r 1r r1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定一般形式理L[af ( t)] aF (s)L[ f1 (t ) f 2 ( t )] F1 ( s) F2 ( s) L[ df (t ) ] sF (s) f (0)dtL[d 2 f (t) 2f（）dt 2 ] s F (s) sf (0) 0n nd f (t ) n n k ( k 1 )L dt n s F (s) k 1 s f (0) f ( k 1) (t ) d k 1 f (t )dt k 1初始条件为 0 时一般形式3积分定理初始条件为 0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[d n f (t) ndt n ] s F (s)L[ f (t)dt]F (s) [ f (t)dt] t 0s sL[ f (t)(dt)2 ] F (s)[ f (t )dt]t 0[ f (t)( dt) 2 ] t 0s2 ss2共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t )(dt) ] 1 [ f (t)( dt) ] t 0nk 1 sn ks共 n个F (s)L[ f (t )( dt) n ]s nL[ f (t T )] e Ts F ( s)L[ f ( t)e at ] F (s a)lim f (t ) lim sF (s)t s0lim f (t ) lim sF ( s)t 0 st 1 ( ) 2 ( ) ] [ t 1 ( ) 2 ( ) ] 1() 2()[ f d L f f t dL f t t F s F s0 012．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表拉氏变换E(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a1( s a) 2as( s a)b a( s a)(s b)s2 2ss2 2( s a) 2 2s a( s a)2 21s (1 / T ) ln a 时间函数 e(t)δ(t)T (t )(t nT )n01(t )tt 22ntn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos ta t / T23．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
(完整word版)典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
成绩评定表课程设计任务书目录1.Matlab介绍............... 错误!未定义书签。
2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)3.总结 (14)4.参考文献 (15)1．Matlab介绍MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。
经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。
典型的用途包括以下几个方面：1）数学计算；2）新算法研究开发；3）建模、仿真及样机开发；4）数据分析、探索及可视化；5）科技与工程的图形功能；6）友好图形界面的应用程序开发。
1.1Matlab入门Matlab7.0介绍Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。
当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。
在国内外Matlab已经经受了多年的考验。
Matlab7.0功能强大，适用范围很广。
其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。
MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。
函数即是预先编制好的子程序。
在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。
无疑，这会大大提高编程效率。
拉普拉斯变换和逆变换讲课文档
如何求k2?
对原式两 设法边使乘部(以分s 分1)式2 s只s 2 保2留(ks2 ，1其)2它sk 分12式为k20(s1)k3 令 s1时 ,只能 k3 求 1,若 出 k2 求 ,两边再求 右边 d d s (s1)2sk 12(s1)k2k3
2(s1)s( (s2 )k 2 1) 2k1(s1)2k20
4 点是( , 0)，比曲线 y A sin x
4 的起点滞后了 个单位，相当
4 于像函数乘以指数因子e as ，因 此这个性质叫做延滞性质．如 图 14-2 所示．
f (t)
O
a
图14-2
f (t) f (t a)
t
现在二十八页，总共五十页。
例3
求函数u
t
a
0, t 1, t
a a
函数F (s)也可叫做 f (t)的像函数．
现在十八页，总共五十页。
若 F (s)是 f (t)的 拉 氏 变 换 ， 则 称 f (t)是 F (s)的 拉 氏 逆 变 换 （ 或 叫 做 F ( s ) 的 像 原 函 数 ）， 记 作
f (t) L1[ f (s)]． 注 意 1． 在 拉 氏 变 换 中 ， 只 要 求 f (t) 在 [0, ) 内 有 定 义 即 可 ． 为 了 研 究 方 便 ， 以 后 总 假 定 在 ( ,0) 内 ， f (t) 0 ． 在 以 后 的 研 究 中 ， 规 定 所 研 究 的 t 均 属 于 [0, )； 2． 在 此 我 们 规 定 只 讨 论 s 是 实 数 的 情 况 ； 3． 拉 氏 变 换 的 作 用 是 通 过 建 立 f (t)的 一 个 新 的 函 数，来化繁为简．
第二种情况：包含共轭复数极点
拉普拉斯变换及反变换
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例1
u(t)t0
k2(2 ss1)52(s1)2S13 k1dds(2s5)S12
f(t)L1[F(s])2et3tet t0
例2
F(s)
s2 2s2 (s2)3
k1 (s2)
(s k22)2(s k32)3
等式两边乘 (s 2)3
F(s)(s 2)3 k1(s 2)2 k2 (s 2) k3
k3s2(s22 s)32(s2)3S22
lims11 s s
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i( 0 ) lis ( m 52) li(m 52) 3 s s 1s 2s 1 1 /s1 2 /s
例3
I(s)ℒ [1e-t]1 1 s s1
11 i(t)t ls i0m s(ss1)1
例4：已知F(s)= 1 ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换的基本性质表
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质
(1)
利用 ℒ
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
__
1
(s-1)2
二、拉普拉斯反变换
1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)]
（1）利用公式
f(t) 1 2πj
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
拉普拉斯变换及反变换.ppt
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )L [df ( t )sF ( s ) f ( 0 )dt ]d2f 2 ( t )L [dt] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L dnf n ( t ) s n F ( s )ns n k f ( k 1 ) ( 0 )kdt 1f ( k 1 ) ( t )d k1 f ( t )dt k 1L [d nf n ( t ) ] s n F ( s )dt一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)[f (t )dt]t 0s s2F (s) [ f (t)dt]t 0 [L[ f (t)( dt) ] s2 s2共n个n共 n个nF (s) 1L[ f (t)(dt) ] [s n k 1 s n k 1共n个2f (t )(dt) ]t 0f (t)(dt)n ]t 0初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t ) lim sF (s)t 0 stf1(t ) f2 ( )d ]tL[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)0 02．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a时间函数f(t)δ(t)T (t)(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atZ 变换 F(z)1zz 1zz 1Tz(z 1)2T 2 z(z 1)2(z 1) 3lim( 1) n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eaT8 1( s a) 2 te at Tze( z e aT )2aT91011121314as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a)2 2s a(s a)2 211 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos t(1 e ) z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz sin Tz2 2zcos T 1z( z cos T )z2 2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz15 s (1 / T ) ln a a t / Tz a3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
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成绩评定表课程设计任务书目录1.Matlab介绍............... 错误!未定义书签。
2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)3.总结 (14)4.参考文献 (15)1．Matlab介绍MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。
经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。
典型的用途包括以下几个方面：1）数学计算；2）新算法研究开发；3）建模、仿真及样机开发；4）数据分析、探索及可视化；5）科技与工程的图形功能；6）友好图形界面的应用程序开发。
1.1Matlab入门Matlab7.0介绍Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。
当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。
在国内外Matlab已经经受了多年的考验。
Matlab7.0功能强大，适用范围很广。
其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。
MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。
函数即是预先编制好的子程序。
在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。
无疑，这会大大提高编程效率。
MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。
而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。
首先，MATLAB具有友好的用户界面与易学易用的帮助系统。
用户在命令窗里通过help 命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单。
其次，MATLAB 程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，操作极为简单。
除此之外，MATLAB7.0还具有强大的图形功能，可以用来绘制多姿多彩的图形，直观而形象。
综上，在进行信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。
尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析2 利用Matlab 实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计2.1 拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号)(t f 的拉普拉斯变换定义为:⎰+∞-=0)()(dt e t f s F st（6-1）其中ωσj s +=，若以σ为横坐标（实轴），ωj 为纵坐标（虚轴），复变量s 就构成了一个复平面，称为s 平面。
显然，)(s F 是复变量s 的复函数，为了便于理解和分析)(s F 随s 的变化规律，可以将)(s F 写成：)()()(s j es F s F ϕ= （6-2）其中，)(s F 称为复信号)(s F 的模，而)(s ϕ则为)(s F 的幅角。
从三维几何空间的角度来看，)(s F 和)(s ϕ对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换)(s F 随复变量s 的变化规律。
上述过程可以利用MATLAB 的三维绘图功能实现。
现在考虑如何利用MATLAB 来绘制s 平面的有限区域上连续信号)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 的曲面图，现以简单的阶跃信号)(t u 为例说明实现过程。
我们知道，对于阶跃信号)()(t u t f =，其拉普拉斯变换为ss F 1)(=。
首先，利用两个向量来确定绘制曲面图的s 平面的横、纵坐标的范围。
例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s ，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB 命令如下：[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;上述命令产生的矩阵s 包含了复平面2.02.0<<-σ， 2.02.0<<-ωj 范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图1所示。
2.2 拉普拉斯变化编程设计及实现已知连续时间信号)()sin()(t u t t f =，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。
解：该信号的拉普拉斯变换为：11)(2+=s s F利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序clf;a=-0.5:0.08:0.5;图2 单边正弦信号拉氏变换曲面图b=-1.99:0.08:1.99; [a,b]=meshgrid(a,b);d=ones(size(a)); c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c);%计算拉普拉斯变换的样值 mesh(a,b,c);%绘制曲面图surf(a,b,c);axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);title('单边正弦信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);上述程序运行结果如图2所示。
2.3 拉普拉斯逆变化编程设计及实现连续信号)(t f 的拉普拉斯变换具有如下一般形式：∑∑====Li iiKj jjsd s c s D s C s F 11)()()(若L K ≥，则)(s F 可以分解为有理多项式与真分式之和，即∑∑==+=+=+=Ni iiMj j j sa sb s P s A s B s P s R s P s F 11)()()()()()()(其中，)(s P 是关于s 的多项式，其逆变换可直接求得（冲激信号及其各阶导数），)(s R 为关于s 的有理真分式，即满足N M <。
以下进讨论N M <的情况。
设连续信号)(t f 的拉普拉斯变换为)(s F ，则∏=-==Nii p s s B s A s B s F 1)()()()()(在满足N M <情况下，有以下几种情况（1）极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：NNp s r p s r p s r s F -++-+-= 2211)(其中，),,2,1()()(N i s F p s r i p s i i =-==称为有理函数)(s F 的留数。
则)(s F 的拉普拉斯逆变换为：)()(1t u e r t f Ni ti p i ∑==（2）有k 重极点，设为1p ，则部分分式展开为)()()()()()(111112111s D s E p s K p s K p s K s F k k k +-++-+-=-i K 1可用下式求得[]11111)()()!1(1p s ki i i s F p s ds d i K =----= 则)(s F 的拉普拉斯逆变换为：)()()!()(211t u e r t u e t j k K t f N i t i p i kj ti p j k j∑∑==-+-= （3）有共轭极点N Nt f p s r p s r p s r p s r s F -++-+-+-=32)(22211)(设)(s F 有一对共轭极点βαj p ±-=2,1，则θj p s er s F p s r 1111)()(=-==*12r r =由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有)()cos(2)(12t u t e r t f tθβα+=-从以上分析可以看出，只要求出)(s F 部分分式展开的系数（留数）i r ，就可直接求出)(s F 的逆变换)(t f 。
上述求解过程，可以利用MATLAB 的residue()函数来实现。
令A 和B 分别为)(s F 的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数：[r,p,k]=residue(B,A)将产生三个向量r 、p 和k ，其中p 为包含)(s F 所有极点的列向量，r 为包含)(s F 部分分式展开系数i r 的列向量，k 为包含)(s F 部分分式展开的多项式的系数行向量，若N M <，则k 为空。
例：已知连续信号的拉普拉斯变换为：ss s s F 442)(3++=试用MATLAB 求其拉普拉斯逆变换)(t f 。
解：MATLAB 命令如下：a=[1 0 4 0];b=[2 4];[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r =-0.5000 - 0.5000i-0.5000 + 0.5000i1.0000p =0 + 2.0000i0 - 2.0000ik =[] 由上述结果可以看出，)(s F 有三个极点22,1j p ±=，03=p ，为了求得共轭极点对应的信号分量，可用abs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角，命令如下：abs(r)ans =0.70710.70711.0000angle(r)/pians =-0.75000.75000 由上述结果可得)()]432cos(21[)(t u t t f π-+=。
例：求下式函数的逆变换3)1(2)(+-=s s s s F解：MATLAB 程序如下：a=[1 3 3 1 0];b=[1 -2];[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r =2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.0000k =[] 则ss s s s F 2)1(3)1(2)1(2)(32-+++++=，对应的逆变换为)(]2)2223[()(2t u e t t t f t -++=-3. 总结通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB 的应用，对MATLAB 语言在中的推广应用起到促进作用。