人教A版 高中数学必修2 第3章 3.2 3.2.2 直线的两点式方程
人教A版高中数学必修二第3章 3.2 3.2.2 直线的两点式方程
重点 直线的截距式方程
1．直线的截距式为ax＋by＝1，它是由直线在 x 轴和 y 轴上
的截距确定的，其中 a 叫做横截距，b 叫做纵截距． 2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线
B.2x＋3y＝0
C.2x＋3y＝1
D.2x－3y＝1
3．过点(－43,49)，(－43,2 012)的直线方程是( D )
A．y＝49
B．y＝2 0Βιβλιοθήκη 2C．x＝49D．x＝－43
4．若直线 l 的横截距与纵截距都是负数，则( B )
A．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限
解法二：设 l1 上的点 A 的坐标为(x1，y1)， ∵P(3,0)是线段 AB 的中点， 则 l2 上的点 B 的坐标为(6－x1，－y1)，
∴26x－1－xy11＋－2－＝y01＋3＝0 ，解得xy11＝ ＝113316
，
∴点 A 的坐标为131，136，
由两点式得 l 的方程为 8x－y－24＝0.
所求直线的方程为 y＝－43x，即 4x＋3y＝0.
故所求直线 l 的方程为 x－y＋7＝0 或 4x＋3y＝0.
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.2 直线的两点式方程
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6).求与CB 平行的中位线的直线方程.
解析答案
类型二 直线的截距式方程 例2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化Leabharlann 固化模式拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
yy2－－yy11＝
x－x1 x2－x1
斜率存在且 不为0
答案
知识点二 直线方程的截距式
思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用 5x＋7y＝1表示吗？
高中数学 同步教学 直线的两点式方程
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的两点式方程
典例 1 在△ABC中,已知A(－3,2)、B(5,－4)、C(0,－2), (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解析] (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)、C(0，－2)，
数 学
∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55，
修
②
人 教
版
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第三章 直线与方程
[归纳总结] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐
标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为ax＋by＝1(ab≠0)，即为
截距式．用截距式可以很方便地画出直线．
(2)直线方程的截距式在结构上的特点：
直线方程的截距式为ax＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项
[解析] M(5－2 7，－22＋6)，即 M(－1,2)．
数 学 必 修 ② 人 教 版
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第三章 直线与方程
5．在△ABC中,已知点A(5,－2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中
点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程． [解析] (1)设点 C(x，y)，由题意得5＋2 x＝0，3＋2 y＝0．
得 x＝－5，y＝－3.故所求点 C 的坐标是(－5，－3)．
(2)点 M 的坐标是(0，－52)，点 N 的坐标是(1,0)，
数 学 必 修 ② 人
直线 MN 的方程是－y－52－00＝0x－－11，
教
即 5x－2y－5＝0．
版
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高中数学 必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代
y
入两点式得：
l B(0,b)
A(a,0)
O
x
y-0 = x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
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直线的截距式方程
直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做
直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
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y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0. 这就是BC边所在直线的方程.
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
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设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
14
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________． －32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
34
2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由 例题知 BC 的中点为52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
35
直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程， 再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确 定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
12
2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
13
【例 3】 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1) B，C两点坐标 两――点→式 求方程 (2) 求中点坐标 两――点→式 求直线方程
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》教案_17
3.2.2 直线的两点式方程一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2. 过程与方法让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识.3. 情态与价值观感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感.二、教学重点、难点：1. 重点：直线方程两点式。
2. 难点：两点式推导过程的理解及截据式方程.三、教学方法启发，引导探究，练习四、教学过程（一）复习旧知，导入课题复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点思考：已知直线经过两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，(x 1≠x 2 ,y 1≠y 2),如何求出这两个点的直线方程呢？生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.（二）师生互动，探究新知1. 利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点12(8,1),(2,4)P P --,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）11(8)2y x +=-- （2）)(112121x x x x y y y y ---=- 教师指出：当21y y ≠时，方程可以写成 ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.2. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =.(三) 概念辨析，巩固提高例 3 已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程.中，b a ,的几何意义和截距式方程的概念. 教师指出：在方程例4 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。
3.2-3.2.2 直线的两点式方程 秋学期高中数学必修2(人教A版)PPT课件
3．2.2 直线的两点式方程 3．2.3 直线的一般式方程 [学习目标] 1.理解直线的两点式、截距式及一般式 的特征． 2.理解直线方程几种形式之间的内在联系，能 从整体上把握直线的方程(重点)． 3.掌握直线方程各种 形式之间的相互转化，并能根据条件熟练地求出满足已 知条件的直线方程(重点、难点)．
B．6
C．12
D．14
解析：直线x3＋4y＝1 与两坐标轴的交点分别为(3，0)，
(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为 3＋4＋
32＋42＝12.
答案：C
4．以点 P(5，8)和 Q(3，－4)为端点的线段的方程是 ________．
解析：过两点 P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是 －y－4－88＝x3－ －55，
又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，得直线 l′的斜率为43， 又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝43(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0.
[巧妙解法] (1)由 l′与 l 平行， 可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 m＝－9. 所以直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 n＝13. 所以直线 l′的方程为 4x－3y＋13＝0.
又 l1 与 l2 平行，
a＋b（a－1）＝0，
所以4b≠－2，
因此 a＝4.
所以 a＝4，且 b＝－43.
类型 4 直线方程的综合应用 [典例 4] 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． (1)证明：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15， 所以 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35. 而点 A15，35在第一象限，故 l 必过第一象限．
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
.
A(a,0)
二、直线的截距式方程
x y 1 a b
(a 0, b 0)
上面方程由直线在坐标轴上的截距a与b确定，所 截距式 以此方程叫做直线的 截距式方程 简称： 适用范围：与x轴、y轴都不垂直并且不过原点的 直线
即截距式方程不能表示： 斜率为0、斜率不存在、过原点的直线
x y 1 a b
y y 2 1 代入点斜式，得： y y1 ( x x1 ) x2 x1
当 y1 y2 时，方程可以写成：
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( x1 x2 , y1 y2 )
一、直线的两点式方程 y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 ( x1 x2 , y1 y2 )
解决求三角形的面积问题很简便
例3：已知直线l过点P（ ，4），且与两坐标轴正 半轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程。
练习：已知直线l过点P（2，3），并且在两坐标 轴上截距相等，求直线l的方程。
例4：为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一 个矩形草坪，另外，△AEF内部有一文物保护区 不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m, AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大？
典例解析
例1：已知三角形的三个顶点A（-5，0）， B（3，-3），C（0，2）， （1）求BC边所在直线的方程； y （2）求AC边的方程； （3）求BA边上
. B
x
例2：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交 点为B(0，b)，其中a≠0 , b≠0 ,求直线l的方程 B(0，b) .
(a 0, b 0)
思考1：直线的截距式方程有什么特征？ x项 分母对应的是横截距，y项 分母对应的是纵截 距，中间以“+”连接，等式右边为1
高一数学人教a版必修2试题：3.2.2 直线的两点式方程 含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为导学号 09024735( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x2－y5＝1化成直线截距式的标准形式为x2＋y－5＝1，故直线x2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M(1，－2)、N(m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是导学号 09024736( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是xa ＋yb ＝1，则有导学号 09024737( B )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0[解析] 很明显M(a,0)、N(0，b)，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a>0，b<0.4．已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为导学号 09024738( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0. 5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b)在直线l 上，那么b 的值为导学号 09024739( D )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线xm －yn ＝1与xn －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个导学号 09024740( B )[解析] 直线x m －yn＝1化为y ＝nm x －n ，直线xn －ym＝1化为y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P(0，10a)，则直线AB 的方程为导学号 09024741( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P(0,5)．设A(x 0,2x 0)、B(－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A(4,8)、B(－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ． 8．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有导学号 09024742( B ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k(x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.。
人A版数学必修2讲义： 第3章 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．(重点)2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1直线方程的两点式和截距式阅读教材P95～P96“例4”以上部分，完成下列问题．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.【答案】 B教材整理2 线段的中点坐标公式阅读教材P 96“例4”至P 97“练习”以上部分，完成下列问题．若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.已知A (1,2)及AB 的中点(2,3)，则B 点的坐标是________．【解析】设B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝2，2＋y2＝3，∴⎩⎨⎧x ＝3y ＝4，即B (3,4)． 【答案】 (3,4)教材整理3 直线的一般式方程阅读教材P 97“练习”以下至P 99“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，。
人教版高中数学必修2 3.2.2 直线的两点式方程 课件(1)
k 4,
5
y 4 x.
x
y
5
1,
aa
a 1.
达标检测
1．过点 A(3,0)和 B(2,1)的直线方程为( )
A．x＋y－3＝0
B．x－y－3＝0
C．x＋y＋3＝0
D．x－y＋3＝0
【解析】 由两点式方程得1y－－00＝2x－－33，整理得 x＋y－3＝0.
【答案】 A
2．经过 P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
分析：截距均为0时，设方程为y=kx,
y
截距不为0，设截距式求解.
o
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,
把P(-5，4)代入上式得
即直线方程为
当截距均不为0时，设直线方程为
把P(-5，4)代入上式得
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上直线方程为 y 或4 x
5
x y 1 0.
人教A版 必修2
Thanks!
P1(x1, y1)
y1
P2 (x2 , y2 )
O
x1
x2
x
新课探究 (一)直线的两点式方程
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）
的直线方程,叫做直线的两点式方程，简称两点式。
3
2
4
2
3
2
O
2
4
8
x
(1)已知直线经过P1(2,3)和P2(4,2)两点,求直线的方程 (2)验证点P（8,0）是否满足直线的方程
人教新课标A版高一数学《必修2》3.2.2 直线的两点式方程
直线方程的求法
新课引入
直线方程的求法
新课讲授
直线方程的求法
新课讲授
直线方程的求法
新课讲授
直线的两点式方程
答：因为当x1＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义， 所以此时直线P1P2没有两点式方程.
两点式的适用条件：直线的两点式方程，
不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方
第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程
学习目标Biblioteka 三维目标及重难点分析1．知识与技能 (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围． 2．过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论， 并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特 点．
程.
新课讲授 不能用直线的两点式方程的情况 思考6 若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
答：当x1＝x2时，直线的斜率不存在，直线的方程为：x＝
x1或x＝x2； 当y1= y2时，直线的斜率为0，直线的方程为：y=y1或y=y2. 即也可以说两点式不能表示与两条坐标轴垂直的直线 (包括两条坐标轴).
学习目标 三维目标及重难点分析 3．情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；
(2)培养学生用联系的观点看问题．
4 ．重点与难点 重点 难点 直线方程的两点式和截距式． 关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k
＝0时对两点式方程的讨论及变形．
复习回顾
直线方程的相关结论
新课引入
各类方程的适用范围
谢谢大家！
达标检测
高一数学直线的两点式方程教案
必修2第3章3.2.2 直线的两点式方程一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第二节的第二课时。
直线的两点式方程是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 与直线的点斜式密不可分；另一方面,学习直线的两点式方程也为进一步学习直线方程的一般式做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1. 直线的两点式方程的适用范围;2. 直线的截距式的适用范围.三、教学目标知识与技能1.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
情感与价值观1.认识事物之间的普遍联系与相互转化；2.培养学生用联系的观点看问题。
四、教学重点，难点重点：直线方程两点式;难点：两点式推导过程的理解．五、教学过程(一)．复习旧知问题1: 确定一条直线的方法有几种?(二).问题情境问题2: 已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程?(三).探索研究已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,直线的点斜式方程为211121()y y y y x x x x --=-- (四).归纳总结两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 问题3:若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？问题4: 在斜率满足什么条件时,能用两点式方程?(五).应用举例例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.例2：已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点为B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0求l 的方程结论:当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1x y a b+= ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b . 中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩例3.已知∆ABC 的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1） 三边所在直线的方程；（2）中线AD 所在直线的方程；（3）高AE 所在直线的方程。
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C )
x y A.3＋2＝1 x y C.2＋3＝1
A．y＝49 C．x＝49
x y B.2＋3＝0 x y D.2－3＝1
D )
3．过点(－43,49)，(－43,2 012)的直线方程是( B．y＝2 012 D．x＝－43 4．若直线 l 的横截距与纵截距都是负数，则( A．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限
解法二：设 l1 上的点 A 的坐标为(x1，y1)， ∵P(3,0)是线段 AB 的中点， 则 l2 上的点 B 的坐标为(6－x1，－y1)，
x ＝11 1 3 2x1－y1－2＝0 ∴ ，解得 6 － x ＋ － y ＋ 3 ＝ 0 1 1 y1＝16 3
4－1.求经过 A(－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直 线 l 的方程．
x 解：当直线 l 在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为a＋
－3 4 y ＝1.将 A(－3,4)代入上式，有 a ＋ ＝1， －a －a 解得 a＝－7.∴所求直线方程为 x－y＋7＝0.
当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为 y＝kx. 4 将 A(－3,4)，代入得 4＝－3k，k＝－3，
∴点 A
11 16 的坐标为 3 ， 3 ，
，
由两点式得 l 的方程为 8x－y－24＝0.
3－1.直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截 得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程． 解：设所求直线与 l1、l2 的交点分别是 A、B， 设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(－x0，－y0) 因为 A、B 分别在 l1、l2 上，
x1＋x2 x0＝ 2 P0(x0，y0)，则有 y0＝y1＋y2 2
.
利用两点式求直线的方程 例 1：已知三角形的顶点为 A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)， 求 AB 边上的中线 CM 所在直线的方程． 解：AB 的中点 M 的坐标是 M(1,1)，中线 CM 所在直线的方 程是 y－1 x－1 ＝ ，即 2x＋3y－5＝0. 3－ 1 － 2－ 1
例 2：根据下列条件，求直线的方程： (1)在 x 轴上的截距为－2，在 y 轴上的截距为 2；
(2)过点(1,4)，在两坐标轴上的截距之和为 10.
思维突破：设出截距式方程，根据题意列方程求解． x y 解： (1) ＋ ＝1，即 x－y＋2＝0. －2 2
x y (2)设a＋b＝1，由题意得
B )
难点
直线的两点式方程
1．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程
y － y － x 1x 1 ＝ 中 ， 可 以 看 出 x ≠ x ， y ≠ y ， 即 直 线 斜 率 不 存 在 1 2 1 2 y － y x － x 2 1 2 1
(直线方程为 x＝x1)或斜率为 0 时(直线方程为 y＝y1)，不能用两 点式． 2．若把两点式化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可以 利用它求平面内过任意两点的直线方程．
化简得 a2－5a＋6＝0， 解得 a1＝2，a2＝3. x y 当 a＝2 时，直线的方程为2＋4＝1，直线经过第一、二、 四象限； x y 当 a＝3 时，直线的方程为3＋3＝1，直线经过第一、二、 四象限．
综上所述，所求直线方程为
2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0.
中点公式的应用
例 3：过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y－2
法较为简便．
2－1.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截
距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
解：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6－a， x y ∴直线 l 的方程为a＋ ＝1. 6－ a ∵点(1,2)在直线 l 上， 1 2 ∴a＋ ＝1， 6－ a
由直线过点 A(1,2)，可得k＝2，即y＝2x； 当截距不为0 时，设直线方程为 x ＋y ＝1 或x ＋ y ＝1， a a a －a ∵直线过点 A(1,2)， 则得a＝3 或a＝－1，
即x＋y－3＝0 或x－y＋1＝0. 故这样的直线有3 条： 2x－y＝0，x＋，即 4x＋3y＝0. 故所求直线 l 的方程为 x－y＋7＝0 或 4x＋3y＝0.
a＝ 5 a＝ 2 解得 或 ， b＝ 5 b＝ 8
1 4 a ＋b ＝ 1 ， a＋b＝10
x y x y ∴所求直线方程为 2＋8＝1 或5＋ 5 ＝1， 即 4x＋y－8＝0 或 x＋y－5＝0. 此题求直线 l 的方程有两种方法：①用直线 方程的点斜式求 k；②用直线方程的截距式求 a、b.而第②种解
y＝kx－3 2x－y－2＝0 y＝kx－3 和 x＋y＋3＝0
，
3k－2 3k－3 解得 xA＝ 和 xB＝ ， k－2 k＋1 ∵P(3,0)是线段 AB 的中点， 3k－2 3k－3 ∴ ＋ ＝6，解得 k＝8， k－2 k＋1
故所求的直线 l 为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
4x0＋y0＋6＝0 所以 －3x0＋5y0－6＝0
① ②
，
①＋②得：x0＋6y0＝0，
即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，
又直线 x＋6y＝0 过原点， 所以直线 l 的方程为 x＋6y＝0.
例 4：经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相 等的直线有几条？请求出这些直线的方程． 错因剖析：易忽略截距的绝对值都为零的情况． 正解：当截距为 0 时，设 y＝kx，
＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l
的方程． 思维突破：过点 P 的直线 l 显然不与 y 轴平行，故可设点
斜式，求待定系数 k；也可设出 A 点坐标，利用中点坐标关系表
示出 B，再把 A、B 坐标分别代回到 l1、l2 方程中求出未知数．
解法一：设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)，将此方程分别与 l1、 l2 的方程联立，得：
1－1.已知△ABC 的顶点为 A(2,8)，B(－4,0)，C(6,0)，求过 点 B 且将△ABC 面积平分的直线方程． 解：AC 中点 D 的坐标为 D(4,4)， 则直线 BD 即为所求，由直线的两点式方程得 y－0 x＋4 ＝ ，即 x－2y＋4＝0. 4－ 0 4＋ 4
利用截距式求直线的方程
重点
直线的截距式方程
x y 1．直线的截距式为a＋b＝1，它是由直线在 x 轴和 y 轴上
的截距确定的，其中 a 叫做横截距，b 叫做纵截距． 2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线 以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面 积比较方便． 3．中点公式： 已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点
3．2.2 直线的两点式方程
1．过 P1(－1，－3)，P2(2,4)两点的直线的方程是(
B )
y－3 x－1 A. ＝ 4－3 2－1 y－4 x－2 C. ＝ 3－4 1－2
y＋3 x＋1 B. ＝ 4＋3 2＋1 y＋1 x＋3 D. ＝ 2＋1 4＋3
2．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(