最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-3
同济大学第六版高等数学的课后典型题
247页例5.
248页例6.
249页例7.
习题5--3题1做一半，题2.
习题5--4题1做偶数题，题2
总习题五题8.9.10.11.12.13.14
习题6--2题5.7.9.13.20.28.30.
习题7--2题1做奇数，
习题7--3题1.
习题7--4题1.7.
习题7--5题1
习题7--6题5
习题7--7题1做奇数，
习题7--8题1做奇数，
总习题七题1.题7
习题9--2题3.4.6.8.9.
习题9--3题2.5.
同济六版高等数学典型题
习题1--5:习题4.5.
习题1--6:习题2.4，
习题1--7:习题4.
习题1--8习题3.4.5
习题1--没有画题，看自己的情况选择做
习题9--4题2.7.9.12.
习题9--5题1.2.6.11.
习题9--8题1.2.4.5.
总习题九习题5.8.9.12.
习题10--2题2.6.11.13.14.15
以上就是同济大学第六版高等数学的课后典型题，供近期才开始复习的同学参考，第二章求导没有画题，看自己的情况选择做
总习题一习题3.9.12.13.14
习题3--1全部
习题3--2:题2.4
习题3--3:题10
习题3--4题5.6.11.12.15
习题3--5题2.3
总习题三全部
221页总习题四，
习题5--2题3.9.10.12.14.
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1,11, 设A,(,,～ ,5),(5～，,)～ B,[,10～ 3)～写出A,B～ A,B～ A\B及A\(A\B)的表达式,2, 设A、B是任意两个集合～证明对偶律: (A,B)C,AC ,BC , ,3, 设映射f : X ,Y～ A,X～ B,X , 证明(1)f(A,B),f(A),f(B),(2)f(A,B),f(A),f(B),g,f,If,g,IXY 4, 设映射f : X,Y～若存在一个映射g: Y,X～使～～其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射～即对于每一个x,X～有IX x,x, 对于每一个y,Y～有IY y,y, 证明: f是双射～且g是f的逆映射: g,f ,1, 5, 设映射f : X,Y～ A,X , 证明:(1)f ,1(f(A)),A,(2)当f是单射时～有f ,1(f(A)),A ,6, 求下列函数的自然定义域:111y,2y,y,,1,x22y,3x，2y,sinx4,xx1,x (1),, (2), (3),(4),(5),1y,3,x，arctanx (6) y,tan(x，1),(7) y,arcsin(x,3), (8),, (9)y,ln(x，1),1xy,e (10),7, 下列各题中～函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,(1)f(x),lg x2～ g(x),2lg x,2x (2) f(x),x～ g(x),,3343f(x),x,xg(x),xx,1 (3)～,(4)f(x),1～ g(x),sec2x,tan2x ,,,|sinx| |x|,,3,(x),,,,,,x0 ||,,()()(,),,,3,644 8, 设～求～～～ ,(,2)～并作出函数y,,(x)的图形,, 9, 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy,1,x (1)～ (,,～ 1),(2)y,x，ln x～ (0～，,),10, 设 f(x)为定义在(,l～ l)内的奇函数～若f(x)在(0～ l)内单调增加～证明f(x)在(,l～ 0)内也单调增加,11, 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l～ l)上的～证明:(1)两个偶函数的和是偶函数～两个奇函数的和是奇函数,(2)两个偶函数的乘积是偶函数～两个奇函数的乘积是偶函数～偶函数与奇函数的乘积是奇函数,12, 下列函数中哪些是偶函数～哪些是奇函数～哪些既非奇函数又非偶函数,(1)y,x2(1,x2),(2)y,3x2,x3,21,xy,21，x (3),(4)y,x(x,1)(x，1),(5)y,sin x,cos x，1,x,xa，ay,2 (6)13, 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数～指出其周期:(1)y,cos(x,2),,(2)y,cos 4x,(3)y,1，sin ,x,(4)y,xcos x,(5)y,sin2x,14, 求下列函数的反函数:3y,x，1 (1)错误～未指定书签。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1
习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(16)
习题6-21. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ,解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A ee e. (3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A .(4)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A34238cos 16402+=-=⎰ππtdt .346)22(122-=-=ππS A .(2)x y 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A .(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x .(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为ab e dy e A ba y ba y -===⎰ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A .4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p处的法线所围成的图形的面积.解2y ⋅y '=2p .在点),2(p p 处, 1),2(=='p p y py , 法线的斜率k =-1,法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y px -=23.求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p和)3,29(p p -.法线与抛物线所围成的图形的面积为 233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A pp pp =--=--=--⎰. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ; 解:所求的面积为⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解所求的面积为 ⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.(3)ρ=2a (2+cos θ ) 解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰.6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积. 解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A .8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ 解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=. 解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π. 所求的面积为2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A .9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000,求得x 0=1, y 0=e , k =e . 所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e ee=⋅+-=-⎰⎰. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===⎰.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 所得旋转体的体积为20020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====⎰⎰.12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x .绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ⎰⎰-=-⋅⋅=8328223282dy y dy x V y πππππππ56453328035=-=y .13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解 由对称性, 所求旋转体的体积为 dx x a dx y V aa⎰⎰-==03323202)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰.14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π.证明 ⎰⎰---==RHR R HR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V .(2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令 1022310223)21221(4)2(4u u uu e u e a du e e a ---+=++=⎰ππ )2sh 2(43+=a π. (3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π⎰=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ⎰----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a 232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰. 16. 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为y h a A A --, y hb B B --.截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --⋅--.于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ. 18. 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ), 由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.20. 利用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s . 22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度.解 x x x y 31-=, x x y 2121-=',x x y 4121412+-=', )1(2112x x y +='+,所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2(, )36 ,2(-.所求弧长为⎰'+=21212dx y s .因为2)1(22-='x y y , yx y 2)1(-=', )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y . 所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s . 24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y ydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y py p p y 2222ln 22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长. 解 用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ⎰'+'=2022)()(4π⎰⋅+-⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==⎰π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y -=. 计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度.解 由参数方程弧长公式⎰⎰+='+'=ππ22022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==⎰.27. 在摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 ⎰⎰+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==⎰.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a ta 2)2cos 1(40=-,解得320π=t , 因而分点的坐标为:横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ,纵坐标a a y 23)32cos 1(=-=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π.28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=ϕ的一段弧长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d s a a ⎰⎰+='+=022022)()()()()1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a . 29. 求曲线ρθ=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长.解 按极坐标公式可得所求的弧长 ⎰⎰-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=⎰θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长.解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
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同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
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高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1−11.设A =(−∞,−5)∪(5,+∞),B =[−10,3),写出A ∪B ,A ∩B ,A \B 及A \(A \B )的表达式.解A ∪B =(−∞,3)∪(5,+∞),A ∩B =[−10,−5),A \B =(−∞,−10)∪(5,+∞),A \(A \B )=[−10,−5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ∪B C ,所以(A ∩B )C =A C ∪B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )∪f (B ),所以f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒∃x ∈A ∩B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )∩f (B ),所以f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g =ο,Y I g f =ο,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f −1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f −1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f −1(f (A ))⊂A .因此f −1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x .函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解由1−x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).(3)211x xy −−=;解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1,0)∪(0,1].(4)241x y −=;解由4−x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(−2,2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2,4].(8)xx y 1arctan 3+−=;解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1,+∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x −tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=−x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解216sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1,(−∞,1);(2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(−∞,1),有1−x 1>0,1−x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y ,所以函数xx y −=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(−l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(−l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(−l ,0)且x 1<x 2,有−x 1,−x 2∈(0,l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (−x 2)<f (−x 1),−f (x 2)<−f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(−l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(−l ,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211xxy +−=;(4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=.解(1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−,所以f (x )是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x −2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3−1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)xx y +−=11;解由x x y +−=11得yy x +−=11,所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11.(3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得acy b dy x −+−=,所以d cx b ax y ++=的反函数为a cx b dx y −+−=.(4)y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)122+=x x y .解由122+=x x y 得y y x −=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y −=1log 2.15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即−M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则−M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ;解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=−1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[−1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a ,所以函数f (x +a )的定义域为[−a ,1−a ].(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1−a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1−a ],当21>a 时函数无意义.18.设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°(图1−37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1−37解ο40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅−=ο40cot 0,所以h h S L οο40sin 40cos 20−+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS ο确定,定义域为ο40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0−100)=90−75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0.01=91−0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31×1000−0.01×10002=21000(元).习题1−21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限:(1)n n x 21=;解当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→n n .(2)nx n n 1)1(−=;解当n →∞时,n x n n 1)1(−=→0,01)1(lim =−∞→nn n .(3)212nx n +=;解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn .(4)11+−=n n x n ;解当n →∞时,12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n .(5)x n =n (−1)n .解当n →∞时,x n =n (−1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π.∀ε>0,要使|x n −0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n −0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;分析要使ε=−221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<−|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n 41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22+∞→na n n ;分析要使ε<<++=−+=−+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<−+|1|22na n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n ,只须1101−n <ε,即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞→n n ,但n n )1(lim −∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0,∃K 1,当2k −1>2K 1−1时,有|x 2k −1−a |<ε;∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k −a |<ε.取N =max{2K 1−1,2K 2},只要n >N ,就有|x n −a |<ε.因此x n →a (n →∞).习题1−31.根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=−→x x ;分析因为|(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|,所以要使|(3x −1)−8|<ε,只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x −3|<δ时,有|(3x −1)−8|<ε,所以8)13(lim 3=−→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|,所以要使|(5x +2)−12|<ε,只须51|2|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x −2|<δ时,有|(5x +2)−12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22−=+−−→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x ,所以要使ε<−−+−)4(242x x ,只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x −(−2)|<δ时,有ε<−−+−)4(242x x ,所以424lim22−=+−−→x x x .(4)21241lim 321=+−−→x x x .分析因为|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x ,所以要使ε<−+−212413x x ,只须ε21|)21(|<−−x .证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<−−<|)21(|0x 时,有ε<−+−212413x x ,所以21241lim 321=+−−→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ;分析因为333333||21212121x x x x x x =−+=−+,所以要使ε<+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<+212133x x ,所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)0sin lim =+∞→x x x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin =−.所以要使ε<−0sin x x ,只须ε<x 1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<−0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x −2|<δ时,|y −4|<0.001？解由于当x →2时,|x −2|→0,故可设|x −2|<1,即1<x <3.要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0.001,只要0002.05001.0|2|=<−x .取δ=0.0002,则当0<|x −2|<δ时,就有|x 2−4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+−=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x ,只要397301.04||=−>x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )−0|=||x |−0|=|x |=|x −0|,所以要使|f (x )−0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x −0|<δ,时有|f (x )−0|=||x |−0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 00x f x f x x +→→=−,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000−=−==−−−→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠−,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →−∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =−∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <−X 1时,有|f (x )−A |<ε;∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )−A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有|f (x )−A |<ε.因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有|f (x )−A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0,∃δ1>0,使当x 0−δ1<x <x 0时,有|f (x )−A <ε;∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )−A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x −x 0|<δ时,有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有|f (x )−A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε=1.所以|f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |.习题1−41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −3|<δ时,有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||−≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −0|<δ时,有εδ=<−≤=|0|1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >−2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x −0|<δ时,有M xx >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<−<x 时,|y |>104.4.求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解(1)因为x x x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=−−→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.x →x 0+x →x 0−x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →−∞解f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0−∀ε>0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )<−M .x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )<−M .x →+∞∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )<−M .x →−∞∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )<−M .6.函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k πcos2k π=2k π(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有|y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数x x y 11=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k (k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−71.当x →0时,2x −x 2与x 2−x 3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时,x 2−x 3是高阶无穷小,即x 2−x 3=o (2x −x 2).2.当x →1时,无穷小1−x 和(1)1−x 3,(2))1(212x −是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和1−x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x −.证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y yx x y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===−=−→→→→x xx x x x x x x x x x x ,所以当x →0时,2~1sec 2x x −.4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)x x x 23tan lim 0→;(2)m n x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00.(3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .(4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α;(2)若α~β,则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1−81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==−−→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处,因为f (−1)=−1,并且)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x ,所以函数在x =−1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==−−→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(−∞,−1)和(−1,+∞)内连续,在x =−1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11−=−+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =−2,则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>−≤−=1 31 1x x x x y ,x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x ,2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xx x f n nn 2211lim )(+−=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =−1处,因为1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x ,1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x ,所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==−−→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο,使当x ∈)(0x U ο时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉−∈=Q Q x x x x x f )(在R上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1−91.求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x −→及)(lim 2x f x →.解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(−∞,+∞)内除点x =2和x =−3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(−∞,−3)、(−3,2)、(2,+∞).在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim)(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ]|)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限:(1)52lim20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim0−+→;(5)145lim 1−−−→x x x x ;(6)a x a x a x −−→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解(1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以0)62cos 2ln(6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim000++=++++−+=−+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim11x x x x x x x x x x x x +−−+−−−=−−−→→)45)(1(44lim1x x x x x +−−−=→214154454lim 1=+−⋅=+−=→x x x .(6)ax a x a x a x a x a x a x −−+=−−→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=−−+=→→.(7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x x x x .4.求下列极限:(1)xx e 1lim∞→;(2)xx x sin ln lim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解(1)1lim 01lim1===∞→∞→e ee x xx x .(2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x .(3)[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .。
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
高等数学第六版下册课后习题答案_同济大学
同学们，淘00宝00搜00店00铺 春少爷33，美00鞋惊喜不断哦第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++ (2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒=2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的?(1) yx z -=1解：x y =(2)xy xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， y y x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴 的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：x y zy x z yz x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x ∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x xz ++=解：(1z x∂==∂z y ∂=∂ (4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y xz cos sin =解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim 1y y y e z y∆∆→-==-∆3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y ∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22xz ∂∂，y x z∂∂∂2 解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆， 00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
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高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
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(2)不同 . 因为对应法则不同 , x<0 时 , g(x) =- x. (3)相同 . 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 . 因为定义域不同 . ?|sin x | | x|<π ? π π 3 , 求 ? (π 8. 设 ? ( x) = ? ) , ? ( ) , ? (- ) , ?(- 2), 并作出函数 y=?(x) π 6 4 4 | x|≥ ?0 3 ? 的图形 . 解 ? (π) =|sin π|= 1 , ? (π) =|sin π|= 2 , ? (- π ) =|sin(- π ) |= 2 , ? (- 2) = 0 . 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y = x , (- ∞， 1); 1- x : .
素都是 X 中某元素的像 , 所以 f 为 X 到 Y 的满射 . 又因为对于任意的 x1≠ x2 , 必有 f( x1)≠ f(x2 ), 否则若 f(x1)=f (x2 )? g[ f( x1)] =g[ f(x2)] ? x1 =x2 . 因此 f 既是单射 , 又是满射 , 即 f 是双射 . 对于映射 g: Y→ X, 因为对每个 y∈ Y, 有 g(y) =x∈X, 且满足 f(x) =f[g( y)]=I y y=y, 按逆映射的定义 , g 是 f 的逆映射 . 5. 设映射 f : X→ Y, A? X . 证明 : (1)f - 1(f(A))? A; (2)当 f 是单射时 , 有 f - 1 (f( A)) =A . 证明 (1)因为 x∈ A ? f(x)=y∈ f (A) ? f - 1 (y)=x∈ f - 1(f (A)), 所以 f - 1( f( A)) ? A. (2)由 (1) 知 f - 1(f (A))? A. 另一方面 , 对于任意的 x∈ f - 1(f(A))? 存在 y∈f(A), 使 f - 1( y)=x? f(x)=y . 因为 y∈ f (A)且 f 是单射 , 所以 x∈ A. 这就证明了 f - 1 (f(A))? A. 因此 f - 1(f(A)) =A . 6. 求下列函数的自然定义域 : (1) y = 3x + 2 ; 解 由 3x+2≥ 0 得 x >- 2 . 函数的定义域为 [ - 2 , + ∞ ). 3 3 (2) y = 1 2 ; 1- x 解 由 1- x2 ≠ 0 得 x≠± 1. 函数的定义域为 (- ∞， - 1)∪(- 1, 1) ∪ (1 , +∞ ). (3) y = 1 - 1- x2 ; x 解 由 x≠ 0 且 1- x2≥ 0 得函数的定义域 D =[- 1, 0) ∪(0, 1] . (4) y = 1 ; 2 4- x
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解 由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解 由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解 由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学
本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
高等数学(同济第六版)上下册课后题答案00020
1 1
xQ 在 R 上处处不连续 但|f(x)|1 在 R 上 xQ
处处连续 (3)f(x)在 R 上处处有定义 但仅在一点连续
可以验证 x 解 Fra bibliotek数 f ( x) x
续 习题 19
xQ 在 R 上处处有定义 它只在 x0 处连 xQ
因此
2 ( x) 1 [ f ( x) g ( x)| f ( x) g ( x)| ] 2 ( x0 ) 1 [ f ( x0 ) g ( x0 ) | f ( x0 ) g ( x0 )| ] 2
x 0
1 2
1 n 1 是 f(x)的所有间断点 且它们都 2 n
在函数的间断点 x2 和 x3 处
lim f ( x) lim
x 2
1 1 解 函数 f ( x) csc(x) csc 在点 x0 1 2 n x 2 n
x 3 x 2
x3 3x 2 x 3 的连续区间 并求极限 lim f ( x) x 0 x2 x 6
lim f ( x) 及 lim f ( x)
解 f ( x)
由极限的局部保号性定理 存在 x0 的某一去心邻域 U ( x0 ) 使当 x U ( x0 ) 时 f(x)>0 从而当 xU(x0)时 f(x)>0 这就是说 则存在 x0 的某一 邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 是无穷间断点
( x) 1 [ f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x)| ]
2 设函数 f(x)与 g(x)在点 x0 连续 证明函数
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同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案6-3
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习题6-3
1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.
解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026
0===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知:
ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则
ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π
-=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π,
所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400
2
πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
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R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;
(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .
证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y
kMm
dW 2=, 所求的功为 )
(2h R R mMh k dy y kMm W h
R R +⋅==⎰+. (2)533324111075.910
)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功.
解 因为3ct x =, 所以
23)(cx t x v ='=, 阻力4
229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342
9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.
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功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 373203
43203432072799)]([a kc dx x kc dx x kc dx x f W a a a ===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？
解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 211
01==⎰, 击第二次作功为 )2(212112h h k kxdx W h
+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(2
1212h h k k +=, 解得12-=h (cm).
6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？
解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3
210-=, 功元素为
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 dx x x dx r x dW 22)3
210(-=⋅=ππ, 所求功为
⎰-=15
02)3210(dx x x W π ⎰+-=15
032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).
7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.
解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面.
水压力元素为
xdx dx x dP 221=⋅⋅=,
闸门上所受的水压力为
2125
22
52===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN). 8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.
解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为
dx x x dx x y x dP 22)4
3()43(38)(21--⋅
=⋅⋅=, 所求压力为
⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=2223
022cos 4
3cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ16
9cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4
343=-) 9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力.
解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为
x y 10
15-=, 压力元素为
dx x x dx x y x dP )5
110()(21-⋅=⋅⋅=, 所求压力为
1467)5110(20
0=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.
解 建立坐标系如图.
腰AC 的方程为x y 3
2=, 压力元素为 dx x x dx x x dP )3(3
4322)3(+=⋅⋅⋅+=, 所求压力为
168)2331(34)3(3460236
0=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛). 11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.
解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为
dy y
a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为
dF r
a dF x -=, dF r y dF y =.
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l l
x +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l l
y +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0.
θμcos 2⋅⋅⋅=
R ds m G dF x θθμθθμd R
Gm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22
cos 2
sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰. 引力的大小为
2
sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.。