已右点A
《工程制图》赛项测试(7)
《工程制图》赛项测试您的姓名： [填空题] *_________________________________1、在 AutoCAD 系统中，使用 TRIM 命令时，被选取的实体可以作为修剪的目标，但不能同时当作切割边。
[判断题] *对错(正确答案)2、ARC 命令只适用于二维空间。
[判断题] *对(正确答案)错3、用 LINE 命令和 RECTANG 命令均可以绘制矩形，并且所得结果是一样的。
[判断题] *对错(正确答案)4、在 CAD2010 中，多线可以进行修剪。
[判断题] *对(正确答案)错5、ALIGN 命令可通过移动、旋转和比例缩放实现与其他对象的对齐。
[判断题] *对(正确答案)错6、LENGTHEN(改变长度)命令不能改变圆弧的长度。
[判断题] *错(正确答案)7、用 MLINE(多线)命令只能同时绘制两条线。
[判断题] *对错(正确答案)8、在执行 PAN(屏幕平移)命令将实体移动位置后，其坐标保持不变。
[判断题] *对(正确答案)错9、RECTANG(绘制矩形)命令可在屏幕上绘出带有一定线宽和圆角的实体。
[判断题] *对(正确答案)错10、矩形命令产生的矩形是由多条线段组成的。
[判断题] *对错(正确答案)11、快速标注可以用于设置多个连续标注。
[判断题] *对(正确答案)错12、圆心标记可以添加到平面直径或半径标注。
[判断题] *对错(正确答案)13、所有尺寸标注都应该在视图中给出。
[判断题] *错(正确答案)14、COPY 命令产生对象的拷贝，而保持原对象不变。
[判断题] *对(正确答案)错15、不能为尺寸文字添加后缀。
[判断题] *对错(正确答案)16、AutoCAD 系统中，使用 ERASE 命令删除目标时，在选中目标后，目标立即删除。
[判断题] *对错(正确答案)17、SNAP 的步距值不能大于 GRID 的栅格点间距值。
[判断题] *对错(正确答案)18、AutoCAD 的图标菜单栏可以定制，可以删除，不可以增加。
空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。
测量工程-施工放样方法
b Hb (HA a)
2007-5-9
6
高程的传递放样
待测设高差大，用钢尺代替水准尺。
钢 b1
尺
①
a1
A
HA a HB b2 (b1 a2) b2 HA HB a (b1 a2) a2 ② b2
B
hAB HA
在木桩上画线或逐渐打入木桩，使立在B点
HB
的水准尺上的读数字为b2
♦同样方法也可向高处传递高程。
2007-5-9
7
2.全站仪无仪器高作业法放样
对一些高低起伏较大的工程放样，如：大型体育馆的 网架、桥梁构件、厂房及机场屋架等，用水准仪放样 就比较困难，这时可用全站仪无仪器高作业法直接放 样高程。
2007-5-9
8
• 测站点高程Ho • 目标高L • HA为已知高程点
γ
2.在测站A测设1，得AP方向；
在测站B测设2，得BP方向， 相交得P点，定P点标志。
1
B
(XB,YB)
♦测设时，通常先沿AP、BP 的方向线打“骑马桩”，
A
然后交会出P点位置。 (XA,YA)
♦注意交会角 30 <γ<150
2007-5-9
16
(四).距离交会法
(四).距离交 会法
1.计算DAP、DBP
♦用专用仪器——铅垂仪投测铅垂线(P149图) 能向上、下瞄出精确的铅垂视线
能向上、下投射出精确的铅垂激光束
部分铅垂仪及型号：
生产厂
型号
日本 SOKKIA公司 PD3
瑞士 leica公司 WILD NZL
WILD NL
WILD ZL
铅垂线精度
摄影测量学基础知识点
摄影测量学基础知识点一、摄影测量学的基本概念。
1. 摄影测量学定义。
- 摄影测量学是对研究的对象进行摄影，根据所获得的构像信息，从几何方面和物理方面加以分析研究，从而对所摄对象的本质提供各种资料的一门学科。
简单来说，就是利用摄影像片来测定物体的形状、大小和空间位置的学科。
2. 摄影测量的分类。
- 按距离远近分。
- 航天摄影测量：利用航天器（卫星、航天飞机等）上的摄影机对地球表面进行摄影，获取大面积的影像数据，主要用于地形测绘、资源调查、环境监测等全球性或大区域的项目。
- 航空摄影测量：通过飞机等航空飞行器上的航空摄影机对地面进行摄影，是地形测绘、城市规划等中常用的测量手段，它可以获取较高分辨率的影像，覆盖范围相对航天摄影测量小，但精度较高。
- 地面摄影测量：将摄影机安置在地面上，对目标物进行摄影测量。
常用于近景摄影测量，如建筑变形监测、文物保护中的三维建模等。
- 按用途分。
- 地形摄影测量：主要目的是测绘地形图，获取地面的地形地貌信息，包括等高线、地物位置等。
- 非地形摄影测量：用于测定物体的外形、大小和运动状态等，在工业制造（如汽车外形检测）、生物医学（如人体骨骼测量）等领域有广泛应用。
3. 摄影测量的发展历程。
- 早期的摄影测量主要基于模拟摄影测量仪器，如立体测图仪等。
通过光学机械的方法，将摄影像片进行模拟处理，实现地形测绘等功能。
- 随着计算机技术的发展，进入解析摄影测量阶段。
通过建立数学模型，利用计算机解算像片上像点的坐标，提高了测量的精度和效率。
- 现在，数字摄影测量成为主流。
它以数字影像为基础，利用计算机视觉、图像处理等技术，实现自动化、智能化的摄影测量处理，如数字高程模型（DEM）生成、正射影像图制作等。
二、摄影测量的基本原理。
1. 中心投影原理。
- 摄影测量中，摄影机的镜头相当于一个中心投影的投影中心。
地面上的点在像片上的成像过程是中心投影。
- 设地面点A，摄影中心S，像点a，在中心投影下，A点发出的光线通过镜头S 后，在像平面上成像为a点。
八年级数学上册专项05 一线三等角模型的综合应用(原卷版)
专项05 一线三等角模型的综合应用模型一 一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA模型二 一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。
结论：△BEC ≌△CDA图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ； ②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；CDEBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c 的式子表示）【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a ＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．3．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C ＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．5.已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，点P为线段OA上任意一点，连接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时，若点N（﹣3，0），请你在图1中连接CD，EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点，”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD，EN⊥CD，垂足为F，交y轴于点H，交x轴于点N，请在图2中补全图形，求点N的坐标（用含m的代数式表示）．7．如图1，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a，a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．。
反比例函数教案第二课时
一、基础练习1、已知反比例函数xk y 23-=，当k 时，其图象的两个分支在第一、三象限。
2、正方形A B O C 的边长为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是3、如图，直线2y x=+与双曲线k yx=相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k4、正比例函数x y 32=与反比例函数xy6=的图象相交于A 、B 两点，其中点A5、在反比例函数1k y x-=的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是______（写出一个即可）。
二、巩固练习 1、反比例函数xk y3-=的图象位于一、三象限，正比例函数x k y )92(-=过二、反比例函数复习课时教案第二课时四象限，则k 的整数值是________； 2、在同一坐标系中，函数xk y=和3+=kx y 的图象大致是（）3、如图，A （11,y x ）、B （22,y x ）、C （33,y x ）是函数xy 1=的图象在第一象限分支上的三个点，且1x反比例函数复习课时教案第二课时反比例函数复习课时教案第二课时反比例函数复习课时教案第二课时过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是（）（A ）S 1>，则x 的取值范围在数轴上表示为（反比例函数复习课时教案第二课时反比例函数复习课时教案第二课时三、提高练习反比例函数复习课时教案第二课时1、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky=与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=23（1）求这两个函数的解析式。
（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和2、如图，已知一次函数1y x=+的图象与反比例函数k y x=的图象在第一象限相交于点反比例函数复习课时教案第二课时A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AO B △的面积为1，求AC 的长。
测量学第十章测设的基本工作2007资料
一般方法：
① 如图，在地面上，由已知点A开始，沿给定AB方向，用钢尺量出已知水平距离 D，定出B′点。
② 在起点A处改变钢尺读数，同法测量已知距离D，定出B″点。 ③ B′与B″两点取中点B，作为最终位置。
A
B′ B B″
D
精确方法：
• 间接法：先用一般方法测设平距，得B’点（如上图），精确测定AB’平 距后，进行改正，得B点。
S = D - Δ l - Δ t - Δ h =60－0.006＋0.011＋0.012
＝60.01M
•测设：自起点A沿给定AB方向量出S，定出终点B，即得设计水平距离D。
•检核：再放样一次，若两次放样之差在允许范围内，取平均位置得B。
二、光电测距仪测设已知水平距离
光电测距仪测设已知水平距离与钢尺测设方法基本相同。
使仪器置于测设模式，然后输入控制点和测设点坐 标；
按坐标测设功能键，全站仪显示出棱镜位置与测设 点的坐标差；
根据坐标差值，移动棱镜位置，直到坐标差值等于 零时，棱镜位置即为测设点位。
检核：测设点确定后，可再测定其坐标，与设计 坐标比较。
§10.5 已知坡度线的测设
即，在地面上定出一条直线，其坡 度值等于已给定的设计坡度。
在交通线路、管线等项工作中经常 涉及到该问题。
如图，设地面上A点的高程为HA，AB两点之间的水平距离为D，要求 从A点沿AB方向测设一条设计坡度为δ 的直线AB。
即，在AB方向定出1、2、3、4、B各桩，使其各个桩顶连线的坡度 等于δ 。
iA δ
倾斜视线
HA
设计坡度
1
2
i
3
4
D
已知坡度线测设
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的根本形式是y=ax²。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。
其他性质与y=ax²相同。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
其他性质与y=a(x-h)²相同。
平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。
具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。
如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。
y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。
y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。
另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。
对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。
【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-9 一次函数
第九讲一次函数【命题点1 一次函数的图像与性质】类型一与图像有关的判定1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．类型二一次函数解析式与象限的关系3．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜05．（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限类型三与一次函数增减性、最值有关的问题6．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．1 B．2 C．4 D．6 7．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2 8．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．类型四一次函数图像的交点问题9.（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（﹣，0）C．（，0）D．（0，1）10．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE 的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为．11.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3 12．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称】13．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣114．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 15．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．16．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n ＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式．【命题点3 一次函数与方程、不等式结合】类型一一次函数与方程（组）的关系17．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．18．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4类型二一次函数与不等式（组）的关系19．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 21．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为．22．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为．23．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．（1）绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．x……﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y……﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：；（3）运用函数图象及性质①写出方程﹣|x|＝5的解；②写出不等式﹣|x|≤1的解集．【命题点4 一次函数与几何图形结合】24．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y 轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．25．（2022•攀枝花）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．（1）证明：＝；（用图1）（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）命题点5 一次函数的实际应用类型一行程问题26．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．27．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．28．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a＝，b＝，c＝；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）29．（2022•新疆）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为km/h；（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．30．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；（2）何时乙骑行在甲的前面？31．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？32．（2022•黑龙江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？类型二方案问题考向1 方案设计问题33．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．34．（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲 乙 进价（元/双）m m ﹣20 售价（元/双） 240 160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？考向2 方案选取问题35．（2022•内蒙古）某商店决定购进A 、B 两种北京冬奥会纪念品．若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A 、B 两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．36．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）两图象交于点A，求点A坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．37．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？类型三费用或利润最值问题38．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？39．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．其他类型40．（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．41．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km0.5 0 1.6 （Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．答案与解析【命题点1 一次函数的图像与性质】类型一与图像有关的判定1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；故选：D．类型二一次函数解析式与象限的关系3．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．则一定不经过第四象限．故选：D．4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0【答案】C【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，由图象得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图象看，y≤b，故C正确，符合题意；当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．故选：C．5．（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解答】解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大，∴﹣5a＞0，∴a＜0．∵ab＞0，∴a，b同号，∴b＜0．∴点A（a，b）在第三象限．故选：B．类型三与一次函数增减性、最值有关的问题6．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．故选：B．7．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．8．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），∴该函数为一次函数．设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．类型四一次函数图像的交点问题9.（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（﹣，0）C．（，0）D．（0，1）【答案】D【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），故选：D．10．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE 的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为．【答案】2【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．∵点D为OB的中点，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，∴DE∥x轴．当y＝2时，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴点E的坐标为（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．故答案为：2．11.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】D【解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，∴y＝2×1＝2，∴B（1，2），设一次函数解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，故选：D．12．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x+6 （2）M（3，6）或（﹣1，2）【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称】13．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1【答案】D【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，故选：D．14．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．15．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．【答案】y＝x+2【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）设对应的函数解析式为：y＝kx+b，将点（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2．16．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n ＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式．【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，∴相当于将它向右平移了1个单位长度，故答案为：1；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，∴相当于将它向左平移了个单位长度；故答案为：左；；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）【命题点3 一次函数与方程、不等式结合】类型一一次函数与方程（组）的关系17．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．18．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由函数图象可知，直线y＝mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①错误；②由函数图象可知，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；③由函数图象可知，直线y＝mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n＝0的解为x＝2，故③正确；④由函数图象可知，直线y＝ax+b过点（0，﹣2），所以当x＝0时，ax+b＝﹣2，故④错误；故选：B．类型二一次函数与不等式（组）的关系19．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．21．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为．【答案】x＞3【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．22．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为．【答案】x＜﹣1【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．23．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．（1）绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．x……﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y……﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：；（3）运用函数图象及性质①写出方程﹣|x|＝5的解；②写出不等式﹣|x|≤1的解集．【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，故答案为：1；②描点，③连线如下：（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，。
arcgis点符号
arcgis点符号
在 ArcGIS 中，点符号可以通过两种方式创建：一种是在 ArcMap 中直接使用符号库中已有的点符号，另一种是通过自定义符号样式来创建新的点符号。
1. 在 ArcMap 中创建点符号:
1. 打开 ArcMap 并创建一个新的图层。
2. 在图层属性中选择“符号”选项卡。
3. 在符号库中选择一个点符号样式，或者在“新建符号样式”对话框中自定义点符号样式。
4. 将点符号应用于图层中的点。
2. 自定义点符号样式:
1. 打开 ArcMap 并创建一个新的图层。
2. 选中想要自定义点符号的点。
3. 在“属性编辑器”中选择“符号”选项卡。
4. 在符号库中选择一个点符号样式，或者在“新建符号样式”对话框中自定义点符号样式。
5. 修改点符号的外观参数，例如大小、颜色、阴影等。
6. 将自定义的点符号样式应用于图层中的点。
无论是在哪种情况下，自定义点符号样式都需要遵守 ArcGIS 符号库中的规定，例如符号大小、颜色、阴影等。
如果符号样式不符合规定，可能会导致符号无法正常显示。
山东省菏泽市普通高中2021-2022学年高二年级上学期期中考试数学(B卷)试题及答案
绝密★启用前山东省菏泽市普通高中2021-2022学年高二年级上学期期中教学质量检测数学(B卷)试题2021年11月本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l，则l的倾斜角为A.30°B.60°C.120°D.150°2.已知点A(x，2)与B(－3，y)关于坐标原点对称，则x＋y等于A.5B.1C.－5D.－13.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x＋8y＋9＝0的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.内含4.若经过两点A(2，1)，B(1，m 2)的直线l 的倾斜角为钝角，则m 的取值范围是A.(－∞，1)B.(－1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.己知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，则双曲线C 的渐近线方程为A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±12x D.y ＝±x6.当a 为任意实数时，直线(a ＋1)x －y －a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为半径的圆的方程为A.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5B.(x －1)2＋(y －2)2＝5C.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝57.直线x ＋y ＋b ＝0与曲线x 有两个公共点,则实数b 的取值范围是B.1≤C.<b<－1D.<b ≤－18.以抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的项点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E两点。
2019-2020学年北京市东城区文汇中学八年级下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年八年级第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣5B．3，﹣4，5C．3，4，5D．3，4，﹣52．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x≠3C．x≠﹣3D．x≥33．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．4．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC＝3，AC＝4，则线段CD的长是（）A．2B．3C．D．55．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．56．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形7．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（）A．k＞l B．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣18．▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的面积为l0cm2，则△ABD的面积为（）A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．40cm29．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3B．4C．5D．610．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm二、填空题（本题24分，每小题3分）11．一元二次方程x2＝2x的根是．12．若有意义，则x的取值范围是．13．如图，▱ABCD中，AC＝AD，BE⊥AC于E，若∠D＝70°，则∠ABE＝．14．在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC中点，则∠AED＝．15．已知y＝++5，则＝．16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．18．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是．三、解答题（本题共46分，第19-20题，每小题8分，第21题4分，第22-24题.每题6分，第25题8分）19．计算：（1）π0+2﹣1﹣﹣|﹣|；（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．20．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．21．作图题：在数轴上表示出﹣的点．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．23．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．25．阅读下列材料：问题：如图1，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．求证：EG＝AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣5B．3，﹣4，5C．3，4，5D．3，4，﹣5【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．故选：A．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x≠3C．x≠﹣3D．x≥3【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可解答．解：根据题意得：x﹣3≥0，解得x≥3，故选：D．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数非负．3．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．【分析】根据题意把x＝2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根，∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0，解得：a＝4．故选：B．【点评】本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．4．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC＝3，AC＝4，则线段CD的长是（）A．2B．3C．D．5【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解：∵AC＝4cm，BC＝3，∴AB＝＝5，∵D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝×5＝．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．5【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】根据矩形和平行四边形的判定判断即可．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．7．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（）A．k＞l B．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣1【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．解：由题意知△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得：k≥﹣1，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．8．▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的面积为l0cm2，则△ABD的面积为（）A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．40cm2【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△COD＝20cm2，根据平行四边形的性质可得O为AC和BD中点，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△AOD＝S△COD ＝S△AOB＝20cm2，进而可得答案．解：∵点E是CD的中点，∴S△DOE＝S△COD，∵△DOE的面积为l0cm2，∴S△COD＝20cm2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△AOD＝S△COD＝S△AOB＝20cm2，∴△ABD的面积为40cm2，故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中线的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．三角形的中线平分三角形的面积．9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB 面积相等，再根据DO＝BO，AO＝CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E 是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝AB，在△ADB和△CBD中：，∴△ADB≌△CBD（SSS），∴S△ADB＝S△CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO，CO＝AO，即：O是DB、AC中点，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADB，∵E是AB边的中点，∴S△ADE＝S△DEB＝S△ABD，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADE＝S△DEB＝S△ADB，∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．10．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．故选：A．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．二、填空题（本题24分，每小题3分）11．一元二次方程x2＝2x的根是x1＝0，x2＝2．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．解：移项，得x2﹣2x＝0，提公因式得，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12．若有意义，则x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．如图，▱ABCD中，AC＝AD，BE⊥AC于E，若∠D＝70°，则∠ABE＝20°．【分析】首先利用等边对等角可得∠ACD的度数，再利用平行四边形的性质可得∠BAC 的度数，然后根据直角三角形的性质可得∠ABE的度数．解：∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠ACD＝70°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝20°，故答案为：20°．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．14．在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC中点，则∠AED＝90°．【分析】根据平行四边形的性质和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四边形AFEB，推出AF＝BE＝DF，根据直角三角形的判定求出即可．解：取AD的中点F，连接EF，∵平行四边形ABCD，BC＝2AB，E为BC的中点，∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，∴AB＝BE＝AF＝DF，∴AF＝BE，AF∥BE，∴四边形AFEB是平行四边形，∴EF＝AB＝AF＝DF，∴∠AED＝90°．故答案为：90°．【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出AF＝DF＝EF是解此题的关键．15．已知y＝++5，则＝．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．解：∵与有意义，∴，解得x＝2，∴y＝5，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，解得：a＝±1，∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0且a2﹣1＝0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．【分析】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D＝AD ＝3，A'G＝AG，则A'B＝5﹣3＝2，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．解：在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，∴A'D＝AD＝3，A'G＝AG，∴A'B＝BD﹣A'D＝5﹣3＝2，设AG＝x，则A'G＝AG＝x，BG＝4﹣x，在Rt△A'BG中，x2+22＝（4﹣x）2解得x＝，即AG＝．【点评】此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．18．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是．【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，求出BE、BF、EF，根据全等得出CH＝BF＝1，根据三角形的面积公式求△DEF的面积即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB∥CD，AB＝CD＝3，∵E为BC中点，∴BE＝CE＝2，∵∠B＝60°，EF⊥AB，∴∠FEB＝30°，∴BF＝1，由勾股定理得：EF＝，∵AB∥CD，∴∠HCE＝∠B，在△BFE和△CHE中∴△BFE≌△CHE（ASA），∴EF＝EH＝，BF＝CH＝1，即HD＝1+3＝4，∴S△DEF＝EF×DH＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．三、解答题（本题共46分，第19-20题，每小题8分，第21题4分，第22-24题.每题6分，第25题8分）19．计算：（1）π0+2﹣1﹣﹣|﹣|；（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；（2）先利用平方差公式计算，然后根据二次根式的乘法法则运算．解：（1）原式＝1+﹣﹣＝；（2）原式＝（3﹣2+3+2）（3﹣2﹣3﹣2）＝6×（﹣4）＝﹣24．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】（1）利用配方法求解比较简单；（2）利用因式分解法求解比较简单．解：（1）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝3，∴（x+2）2＝3，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；（2）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9．∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，∴x1＝3，x2＝9．【点评】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21．作图题：在数轴上表示出﹣的点．【分析】因为10＝1+9，所以只需作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可．解：过表示﹣3的点B作数轴的垂线AB，取AB＝1，连接OA，以O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的负半轴交于点C，则C点表示的数为﹣．【点评】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．【分析】（1）先把方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；（2）先利用因式分解法求出两根：x1＝2，x2＝2k﹣1．先分类讨论：若a＝4为底边；若a＝4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．【解答】（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，∵△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）＝（2k﹣3）2，而（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]＝0，∴x1＝2，x2＝2k﹣1，当a＝4为等腰△ABC的底边，则有b＝c，因为b、c恰是这个方程的两根，则2＝2k﹣1，解得k＝，则三角形的三边长分别为：2，2，4，∵2+2＝4，这不满足三角形三边的关系，舍去；当a＝4为等腰△ABC的腰，因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1＝4，则三角形三边长分别为：2，4，4，此时三角形的周长为2+4+4＝10．所以△ABC的周长为10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．23．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，列出方程求解即可；（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有20（1+x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增长率为20%；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD∥BC，求出∠FAD＝∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD＝∠FAB，求出∠AFB＝∠FAB，即可得出答案；（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝，解直角三角形求出EF＝2，BF＝4，AB＝BF＝4，BC＝AD＝2，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∴BF＝CD；（2）解：∵由（1）知：AB＝BF，又∵∠BFA＝60°，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，∴点E是AF的中点．∵在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝，∴EF＝2，BF＝4，∴AB＝BF＝4，∵四边形BACD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，∴CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴CE＝EF＝CF＝2，∴BC＝4﹣2＝2，∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4＝12．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．阅读下列材料：问题：如图1，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．求证：EG＝AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，则∠GAB＝∠HAE，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH＝∠EAB＝60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；（2）作∠GAH＝∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG＝EH，AG＝AH，根据∠GAH＝∠EAB＝90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG＝HG，由此可得出结论．解：（1）证明：如图1，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，则∠GAB＝∠HAE．∵∠EAB＝∠EGB，∠GAB＝∠HAE，∴∠ABG＝∠AEH．又∵AB＝AE，∴（ASA），∴△ABG≌△AEH．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG＝HG．∴EG＝AG+BG；（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG＝AG﹣BG．理由如下：如图2，作∠GAH＝∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB＝∠HAE．∵∠EGB＝∠EAB＝90°，∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．∴∠ABG＝∠AEH．又∵AB＝AE，∴（ASA），∴△ABG≌△AEH．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG＝HG，∴EG＝AG﹣BG．【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度适中．。
双中点模型
1.已知线段AB＝10cm，C为线段AB上一点，
且BC＝4cm，则线段AC＝ 6
cm
2.已知线段AB＝10cm，C为直线AB上一点， 且BC＝4cm，则线段AC＝ 6或14 cm
例1 如图，已知线段AB=10cm，C为线段AB上一点， M、N分别为AC、BC的中点，
（1）若BC＝4cm，求MN的长，
通过前面的计算，你发现了什么规律？Fra bibliotek（小组讨论完成）
已知，点A、B、C在同一条直线上，且M、N分别是 线段AC、AB的中点 （1）当BC=10cm，AC=4cm时，MN= 5 cm； （2）当BC=12cm，AC=6cm时，MN= 6 cm ； （3）当BC=9cm，AC=2cm时， MN= 4.5 cm；
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？ 若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
（2）若BC＝6cm，求MN的长， （3）若C为线段AB上任一点，你能求MN的长吗？ 请写出结论，并说明理由。
【变式】如图，已知线段AB，C为线段AB延长线上一点， M、N分别为AC、BC的中点，你能求MN的长吗？若能， 请求出MN的长，并说明理由。
A
M
B NC
【思考】：已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC 的中点，那么MN与AB之间有什么关系？
2、B、C 是线段AD上任意两点，M是AB的中点， N是CD的中点，若MN =a，BC = b，则线段AD= 2a-b 。
A
M
B
A
CND
如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动， C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒。
（1）当t=2时，AB=___4___cm，CD =___3___cm ． （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长， AB=___2_t__cm
人教版小学五年级上册数学期中考试试卷附答案【黄金题型】
人教版小学五年级上册数学期中考试试卷一.选择题(共8题，共16分)1.方格图中，已有三个点：A（2，5），B（6，5），C（1，2），如果点D与A、B、C三点相连，刚好构成一个平行四边形，那么，点D的位置是（）。
A.（5，2）B.（4，2）C.（3，2）D.（2，2）2.李林家的位置是（2，2），学校的位置是（2，5）。
如果每个小正方形的边长表示100米，李林从家出发，经过学校到少年宫，至少要走（）米。
A.300米B.400米C.500米D.600米3.与3.73×2.18的积相等的式子是（）。
A.3.73×21.8B.37.3×0.218C.37.3×21.84.两数的积是30，如一个因数乘3，另一个因数也乘3，现在积是（）。
A.90B.180C.270D.前面都不对5.下面算式中与56÷0.6相等的算式是（）。
A.560÷6B.0.56÷0.06C.5.6÷66.0.3×b＜0.3，b一定（）。
A. 大于1B.等于1C.小于17.下列算式中，积大于第一个因数的是（）。
A.9.6×0.25B.0.9×10.5C.0.89×0.898.一个数（0除外）与真分数相乘，积一定（）。
A.小于这个数B.等于这个数C.大于或等于这个数二.判断题(共8题，共16分)1.一块橡皮0.75元，10.5元能买14块这样的橡皮。
（）2.2.453453…的循环节是435。
（）3.0.54÷0.98的结果大于0.54。
（）4.两个因数的小数位数一共是3，积的小数位数也一定是3。
（）5.78.9÷2.5÷0.8的简便计算方法是78.9÷（2.5÷0.8）。
（）6.一个不等于0的数除以小数时，商一定大于被除数。
（）7.聪聪在教室的位置用数对表示是（5，5），位置是（5，6）的同学坐在聪聪的前面。
常用GeoGebra指令—10.脚本
常用GeoGebra指令—脚本按钮按钮[ ]新建一个空白按钮如：按钮[]按钮[ "<标题>" ]新建一个特定标题按钮如：按钮[“开始”]背景色背景色[ <对象>, "<颜色>" ]更改文字和电子表格中的对象的背景颜色如：背景色[文字1,Cyan]（颜色对照表）更多的颜色列表：/en/Reference:Colors 背景色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝> ]更改文字和电子表格中的对象的背景颜色如：背景色[文字1,255,0,255]红绿蓝三色用0-255之间的数字输入就可以了，大于255的取余转化标签模式标签模式[ <对象>, <0_名称|1 _名称+数值| 2_数值| 3_标题> ] 改变对象的标签模式如：标签模式[A,2]标题标题[ <对象>, "<标题>" ]改变对象的标题如：标题[A,“圆心”]标题在标签模式选择标题时才会显示播放声音播放声音[ <文件> ]播放一个电脑上的mid文件如：播放声音[“光辉岁月.mid”]播放声音[“C:\Users\mengbaoxing\Downloads\光辉岁月.mid”] 相对路径：将MID文件与GGB文件放在同一文件夹下；绝对路径：文件可以放在任意文件夹下，只是需要写上复杂的路径。
播放声音[ <是否播放?> ]播放和暂停声音如：播放声音[true] 播放声音[false]播放声音[ <音符组合>, <乐器> ]播放由特定乐器演奏的一串音符如：播放声音["V0 A3q B3q C3q B3q V1 A2h C2h", 0]音符组合，请看音符输入规则乐器，请看乐器对照表播放声音[ <音符>, <持续时间>, <乐器> ] 播放一个音符如：播放声音[1,1,1]音符，请看音符对照表音符输入规则乐器对照表音符对照表播放声音[ <函数>, <最小值>, <最大值> ]通过函数播放一个声音如：播放声音[sin(x),0,1]播放声音[ <函数>, <最小值>, <最大值>, <采样率>, <样本深度> ] 通过函数播放一个声音如：播放声音[sin(x),0,1,44100,16]采样率值：8000, 11025, 16000, 22050, 44100样本深度：8 或16.参数参数[ <最小值>, <最大值>, <增量>, <速度>, <宽度（px）>, <true | false(角度)>, <true | false(水平)>, <true | false(开启动画)>, <true | false(随机)> ] 新建一个参数如：参数[0,10,1,1,200,false,true,false,true]新建参数一般用工具相比较工具更好用些点径点径[ <点>, <数值1+> ]更改点对象的大小如：[A，9]数值越大，点越大，不受参数设置中的限制点型点型[ <点>, <数值> ]更改点对象的形状如：[A，0]数值含义:0_圆点|1_叉形|2_空心点|3_十字|4_菱形|5_空心菱形|6_上三角|7_下三角|8_左三角|9_右三角动态颜色动态颜色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝> ]改变对象的颜色如：动态颜色[A,1,1,1]三种颜色取值范围均为0-1动态颜色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝>, <透明程度> ]改变对象的颜色和透明度如：动态颜色[A,1,1,1,1]透明度取值范围是0-1放大放大[ <缩放因子> ]放大绘图区如：放大[0.5]放大画面，能够看到的内容会减少这里如果缩放因子取值为0-1，起到的是缩小效果放大[ <缩放因子>, <中心点)> ]保持中心点在画面上的位置不变，放大绘图区如：放大[0.5，A]放大[ <x最小值>, <y最小值>, <x最大值>, <y最大值> ] 放大绘图区到特定的范围如：放大[0，0，2，2]复选框复选框[ ]新建一个无标题的空白复选框（真假值）如：复选框[]空白复选框指没有标题，默认显示名称复选框[ "<标题>" ]新建一个有标题的空白复选框-如：复选框[“正误”]有标题的复选框默认显示标题复选框[ <集合> ]新建一个无标题的集合复选框-如：复选框[{A, B, C, D}]集合复选框可以直接控制集合内所有对象的显示，自身显示为名称复选框[ "<标题>", <集合> ]新建一个有标题的集合复选框-如：复选框[{A, B, C, D},“点集”]集合复选框可以直接控制集合内所有对象的显示，自身显示为标题如果两次复选框包括了相同的对象，那么这个对象只受后面新建的复选框控制。
常用GeoGebra指令—10.脚本
常用GeoGebra指令—脚本按钮按钮[ ]新建一个空白按钮如：按钮[]按钮[ "<标题>" ]新建一个特定标题按钮如：按钮[“开始”]背景色背景色[ <对象>, "<颜色>" ]更改文字和电子表格中的对象的背景颜色如：背景色[文字1,Cyan]（颜色对照表）更多的颜色列表：/en/Reference:Colors 背景色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝> ]更改文字和电子表格中的对象的背景颜色如：背景色[文字1,255,0,255]红绿蓝三色用0-255之间的数字输入就可以了，大于255的取余转化标签模式标签模式[ <对象>, <0_名称|1 _名称+数值| 2_数值| 3_标题> ] 改变对象的标签模式如：标签模式[A,2]标题标题[ <对象>, "<标题>" ]改变对象的标题如：标题[A,“圆心”]标题在标签模式选择标题时才会显示播放声音播放声音[ <文件> ]播放一个电脑上的mid文件如：播放声音[“光辉岁月.mid”]播放声音[“C:\Users\mengbaoxing\Downloads\光辉岁月.mid”] 相对路径：将MID文件与GGB文件放在同一文件夹下；绝对路径：文件可以放在任意文件夹下，只是需要写上复杂的路径。
播放声音[ <是否播放?> ]播放和暂停声音如：播放声音[true] 播放声音[false]播放声音[ <音符组合>, <乐器> ]播放由特定乐器演奏的一串音符如：播放声音["V0 A3q B3q C3q B3q V1 A2h C2h", 0]音符组合，请看音符输入规则乐器，请看乐器对照表播放声音[ <音符>, <持续时间>, <乐器> ] 播放一个音符如：播放声音[1,1,1]音符，请看音符对照表音符输入规则乐器对照表音符对照表播放声音[ <函数>, <最小值>, <最大值> ]通过函数播放一个声音如：播放声音[sin(x),0,1]播放声音[ <函数>, <最小值>, <最大值>, <采样率>, <样本深度> ] 通过函数播放一个声音如：播放声音[sin(x),0,1,44100,16]采样率值：8000, 11025, 16000, 22050, 44100样本深度：8 或16.参数参数[ <最小值>, <最大值>, <增量>, <速度>, <宽度（px）>, <true | false(角度)>, <true | false(水平)>, <true | false(开启动画)>, <true | false(随机)> ] 新建一个参数如：参数[0,10,1,1,200,false,true,false,true]新建参数一般用工具相比较工具更好用些点径点径[ <点>, <数值1+> ]更改点对象的大小如：[A，9]数值越大，点越大，不受参数设置中的限制点型点型[ <点>, <数值> ]更改点对象的形状如：[A，0]数值含义:0_圆点|1_叉形|2_空心点|3_十字|4_菱形|5_空心菱形|6_上三角|7_下三角|8_左三角|9_右三角动态颜色动态颜色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝> ]改变对象的颜色如：动态颜色[A,1,1,1]三种颜色取值范围均为0-1动态颜色[ <对象>, <红>, <绿>, <蓝>, <透明程度> ]改变对象的颜色和透明度如：动态颜色[A,1,1,1,1]透明度取值范围是0-1放大放大[ <缩放因子> ]放大绘图区如：放大[0.5]放大画面，能够看到的内容会减少这里如果缩放因子取值为0-1，起到的是缩小效果放大[ <缩放因子>, <中心点)> ]保持中心点在画面上的位置不变，放大绘图区如：放大[0.5，A]放大[ <x最小值>, <y最小值>, <x最大值>, <y最大值> ] 放大绘图区到特定的范围如：放大[0，0，2，2]复选框复选框[ ]新建一个无标题的空白复选框（真假值）如：复选框[]空白复选框指没有标题，默认显示名称复选框[ "<标题>" ]新建一个有标题的空白复选框-如：复选框[“正误”]有标题的复选框默认显示标题复选框[ <集合> ]新建一个无标题的集合复选框-如：复选框[{A, B, C, D}]集合复选框可以直接控制集合内所有对象的显示，自身显示为名称复选框[ "<标题>", <集合> ]新建一个有标题的集合复选框-如：复选框[{A, B, C, D},“点集”]集合复选框可以直接控制集合内所有对象的显示，自身显示为标题如果两次复选框包括了相同的对象，那么这个对象只受后面新建的复选框控制。
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3k+1）/（k- 3）=（3 3+k）/（3- 3k）
（k- 3） （3 3+k）= 3k+1） （3- 3k）
3 3k+k^2-9- 3k=3 3k-3k^2+3- 3k
k^2+3k^2=12
4k^2=12
K^2=3
解得：k=- 3或k= 3
已右点A（1，3），B（4，-1），则与向量AB同方向的单位向量为
如图，在平等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λ*AO，则λ=2
已平面向量a=（1，2），b=(-2,m),且a//b,则2a+3b=
平面向量a与b的夹角为60度，a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=
已知在
OA*OB=OB*OC OA*OB-OB*OC=0 CA*OB=0同理可证AB*OC=0 BC*OA=0所以CA垂直OB AB垂直OC BC垂直OA所以O为三角形ABC的垂心
6、已知p=（1，2），q=(-1,3),则p在q方向上的正射影长为：（根号10）/2
先求向量p，q间夹角的余弦值cosθ=（向量p乘向量q）/（向量p的模乘向量q的模）p在q方向上的投影=向量p的模乘cosθ
11、已知a=(1,根号3)，b=(根号3，-1)，（2）若ka-b与3a-kb平行，求实数k的值；
（2）解：因为a=(1, 3)，b=( 3，-1)，
所以，ka-b=k(1, 3)-( 3，-1)=(k, 3k)-( 3，-1)=(k- 3, 3k+1)
3a-kb=3(1, 3)-k( 3，-1)=(3, 3)-( 3k,-k)=(3- 3k,3 3+k)
解：p在q方向上的投影=｜p｜×cosα（α为p和q的夹角）=p×q／｜q｜
p×q=(-1×1+2×3)=5，而｜q｜=平方根[（-1）2+32]=平方根10
所以，p在q方向上的投影=5／√10=√10/2
如图，在正六边形ABCDEFG中，有下列四个命题：（1）AC+AF=2BC；（2）AD=2AB+2AF