动态规划例1 求解下列整数规划的最优解
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是一种数学建模方法，用于在给定的一组约束条件下，寻找使目标函数最大（或最小）的变量值。
本文将介绍动态规划方法在解决线性规划问题中的应用。
一、线性规划问题的定义和形式线性规划问题可以用下列形式来描述：目标函数：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数。
目标是找到使目标函数最大（或最小）的变量值。
二、动态规划方法求解线性规划问题的基本思想动态规划方法可以将线性规划问题转化为一个多阶段决策问题，并通过递推的方式求解最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式：将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构建动态规划模型：定义状态和状态转移方程。
3. 初始化：确定初始状态和初始条件。
4. 递推求解：根据状态转移方程，逐步计算得到最优解。
5. 回溯得到最优解：根据递推过程中记录的状态，回溯得到最优解。
三、动态规划方法求解线性规划问题的具体步骤1. 将线性规划问题转化为标准形式：将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
例如，将约束条件 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≤ b₁转化为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + x₃ = b₁，其中 x₃为松弛变量。
2. 构建动态规划模型：定义状态和状态转移方程。
定义状态：设 f(i,j) 表示前 i 个约束条件中，使得目标函数最大（或最小）的变量值。
状态转移方程：f(i,j) = max/min { f(i-1,j), f(i-1,j-aᵢ₋₁₁x₁ - aᵢ₋₁₂x₂) +cᵢ₋₁x₁ + cᵢ₋₁x₂ }其中，f(i-1,j) 表示不使用第 i 个约束条件时的最优解，f(i-1,j-aᵢ₋₁₁x₁ -aᵢ₋₁₂x₂) + cᵢ₋₁x₁ + cᵢ₋₁x₂表示使用第 i 个约束条件时的最优解。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是数学规划的一种重要方法，它通过线性约束条件和线性目标函数来求解最优解。
在实际应用中，线性规划经常遇到大规模问题，传统的求解方法效率较低。
而动态规划方法可以通过将大问题分解为小问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解，从而提高求解效率。
动态规划方法求解线性规划问题的步骤如下：1. 确定问题的状态：将线性规划问题转化为动态规划问题时，需要确定问题的状态。
对于线性规划问题，状态可以是决策变量的取值范围或者问题的某种特征。
2. 定义状态转移方程：根据问题的状态，定义状态转移方程。
状态转移方程描述了问题从一个状态转移到另一个状态时的转移规则。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即问题的初始状态和结束状态。
4. 构建动态规划表：根据状态转移方程和边界条件，构建动态规划表。
动态规划表是一个二维表格，用于存储问题的中间结果。
5. 填充动态规划表：根据状态转移方程和边界条件，填充动态规划表。
填充的过程是从表格的左上角开始，逐行逐列地计算表格中的每个单元格的值，直到填充到右下角。
6. 根据动态规划表求解最优解：根据填充好的动态规划表，可以得到问题的最优解。
最优解可以通过回溯法得到，即从右下角开始，根据动态规划表的值和状态转移方程，逆向推导出问题的最优解。
动态规划方法求解线性规划问题的优点在于可以将大问题分解为小问题进行求解，并且可以利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
这样可以大大提高求解效率，特别是对于大规模问题来说。
此外，动态规划方法还具有较好的可扩展性和灵活性，可以根据问题的特点进行相应的调整和优化。
举例来说，假设有一个线性规划问题，要求在满足一定约束条件的情况下，最大化目标函数的值。
可以将该问题转化为动态规划问题，并按照上述步骤进行求解。
首先确定问题的状态，可以将决策变量的取值范围作为状态。
然后定义状态转移方程，根据问题的约束条件和目标函数，确定状态之间的转移规则。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是一类数学规划问题，其目标函数和约束条件都是线性的。
在实际应用中，线性规划问题广泛存在于经济、管理、工程等领域。
动态规划方法求解线性规划问题的基本思想是将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍动态规划方法求解线性规划问题的步骤和具体算法。
1. 定义问题首先，需要明确线性规划问题的目标函数和约束条件。
目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，约束条件是一组线性不等式或等式。
2. 确定状态将线性规划问题转化为动态规划问题时，需要确定问题的状态。
状态可以是问题的某个特定阶段或某个特定决策的结果。
状态的选择要便于问题的分解和求解。
3. 确定状态转移方程状态转移方程是动态规划问题的核心，它描述了问题从一个状态转移到另一个状态的方式。
对于线性规划问题，状态转移方程可以通过目标函数和约束条件来确定。
4. 确定初始状态和边界条件初始状态是问题的起始状态，边界条件是问题的终止条件。
初始状态和边界条件的选择要符合问题的实际情况。
5. 递推求解最优解根据状态转移方程和初始状态，可以使用递推的方式求解问题的最优解。
递推求解的过程中，需要保存中间结果，以便在求解过程中进行优化。
6. 回溯求解最优解在求解过程中，可以记录每个状态的最优解，以便在求解完整问题的最优解时进行回溯。
回溯的过程是根据最优解的选择路径，逐步恢复出完整问题的最优解。
通过以上步骤，可以使用动态规划方法求解线性规划问题。
动态规划方法的优点是能够高效地求解复杂问题，并且可以通过保存中间结果来提高计算效率。
下面通过一个具体的例子来说明动态规划方法求解线性规划问题的过程。
假设有一个生产企业需要生产两种产品A和产品B，企业有限定的资源，包括人力资源和材料资源。
产品A和产品B的生产需要消耗不同数量的人力资源和材料资源，并且有不同的利润。
整数规划求解方法
整数规划求解方法
整数规划是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。
求解整数规划问题的方法有以下几种：
1. 枚举法：对整数规划的决策变量进行枚举计算，找到满足约束条件的整数解并计算目标函数的值。
虽然这种方法可以保证找到最优解，但是在决策变量较多时计算复杂度非常高。
2. 列生成法/分支定界法：将整数规划转化为线性规划问题，然后利用线性规划求解方法求解。
通过不断添加新的决策变量，同时利用剪枝技术来减少搜索空间，从而求得整数规划的最优解。
3. 隐枚举法：通过将整数规划问题转化为混合整数规划问题，然后利用线性松弛来求解。
通过求解线性松弛问题的松弛变量，来判断是否满足整数约束条件，进而判断是否需要继续搜索。
4. 启发式方法/元启发式方法：基于某种特定的启发规则进行搜索，通过局部搜索和全局搜索相结合的方式来求解整数规划问题。
常见的启发式算法有遗传算法、粒子群算法等。
5. 对偶法/割平面法：通过对目标函数和约束条件进行线性组合，构建一个对偶问题，并求解对偶问题来间接求得原问题的最优解。
需要根据具体的整数规划问题来选择合适的求解方法。
有些方法适用于特定类型的整数规划问题，所以需要根据问题特点来选择合适的方法。
同时，对于大规模的整数规划问题，可能需要结合多种方法进行求解。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题动态规划什么是动态规划？动态规划的⼤致思路是把⼀个复杂的问题转化成⼀个分阶段逐步递推的过程，从简单的初始状态⼀步⼀步递推，最终得到复杂问题的最优解。
基本思想与策略编辑:由于动态规划解决的问题多数有重叠⼦问题这个特点，为减少重复计算，对每⼀个⼦问题只解⼀次，将其不同阶段的不同状态保存在⼀个⼆维数组中。
1. 拆分问题：根据问题的可能性把问题划分成通过递推或者递归⼀步⼀步实现。
关键就是这个步骤,动态规划有⼀类问题就是从后往前推到,有时候我们很容易知道 : 如果只有⼀种情况时,最佳的选择应该怎么做.然后根据这个最佳选择往前⼀步推导,得到前⼀步的最佳选择 2. 定义问题状态和状态之间的关系：⽤⼀种量化的形式表现出来,类似于⾼中学的推导公式,因为这种式⼦很容易⽤程序写出来,也可以说对程序⽐较亲和(也就是最后所说的状态转移⽅程式) 3. 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若⼲个⼦问题（阶段），按顺序求解⼦阶段，前⼀⼦问题的解，为后⼀⼦问题的求解提供了有⽤的信息。
在求解任⼀⼦问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。
依次解决各⼦问题，最后⼀个⼦问题就是初始问题的解。
我的理解是：⽐如我们找到最优解,我们应该讲最优解保存下来,为了往前推导时能够使⽤前⼀步的最优解,在这个过程中难免有⼀些相⽐于最优解差的解,此时我们应该放弃,只保存最优解,这样我们每⼀次都把最优解保存了下来,⼤⼤降低了时间复杂度。
动态规划解决问题的过程分为两步：1.寻找状态转移⽅程式2.利⽤状态转移⽅程式⾃底向上求解问题动态规划原理使⽤条件：可分为多个相关⼦问题，⼦问题的解被重复使⽤使⽤条件：可分为多个相关⼦问题，⼦问题的解被重复使⽤Optimal substructure（优化⼦结构）：⼀个问题的优化解包含了⼦问题的优化解缩⼩⼦问题集合，只需那些优化问题中包含的⼦问题，降低实现复杂性我们可以⾃下⽽上的Subteties（重叠⼦问题）：在问题的求解过程中，很多⼦问题的解将被多次使⽤。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
第六章---运筹学-整数规划案例
第六章---运筹学-整数规划案例第六章整数规划用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥0求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋ x6-10 x16≤0x7+ x8＋ x9-20 x17≤0x10+ x11＋ x12-30 x18≤0x13+ x14＋ x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划方法是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，最大化或者最小化一个线性目标函数。
动态规划方法通过将问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
首先，我们需要定义线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1,x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是一组线性函数，b1, b2, ..., bm是一组常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法来求解线性规划问题。
动态规划方法的核心思想是将原问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示子问题的最优解，其中i表示决策变量的个数，j表示目标函数的取值。
具体的求解过程如下：1. 初始化dp数组。
将dp数组的所有元素初始化为无穷大（对于最小化问题）或者负无穷大（对于最大化问题），并将dp[0][0]初始化为0。
2. 逐步求解子问题。
从dp[1][1]开始，挨次计算dp[i][j]的值。
对于每一个dp[i][j]，我们需要考虑两种情况：选择第i个决策变量和不选择第i个决策变量。
如果选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-c[i]] + f[i]，其中c[i]表示第i个决策变量的系数，f[i]表示第i个决策变量的目标函数系数。
如果不选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]。
力扣优秀题解
力扣优秀题解——动态规划动态规划（Dynamic programming，简称DP）是一种常见的求解优化问题的方法。
它与分治算法类似，都是通过将大问题分解成若干个小问题来求解的。
不同的是，DP解决的问题通常是有重叠子问题和最优子结构特征的，即在求解过程中会反复计算相同的子问题，并且每个子问题都具有最优解，可以通过这些最优解推导出全局最优解。
力扣中的很多题目都可以使用动态规划来解决，比如最长公共子序列、股票买卖、打家劫舍等等。
下面针对这些题目进行详细解析。
一、最长公共子序列题目描述：给定两个字符串text1 和text2，返回它们的最长公共子序列。
如果不存在公共子序列，返回0。
示例：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
解题思路：最长公共子序列问题是比较经典的DP问题。
设字符串text1和text2的长度分别为m 和n，令dp[i][j]表示text1[0:i]和text2[0:j]的最长公共子序列长度，为方便起见，text1和text2的下标从1开始。
当text1[i-1] == text2[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度加上1。
当text1[i-1] != text2[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即考虑text1[0:i-1]和text2[0:j]的最长公共子序列长度与text1[0:i]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度，两者取最大值。
最终的答案即为dp[m][n]。
代码实现：class Solution: def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i - 1] == text2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) return dp[m][n]二、股票买卖题目描述：给定一个数组prices，其中prices[i]是一支给定股票第i天的价格。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
在线性规划中，我们需要找到一组变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
动态规划方法可以帮助我们高效地解决这类问题。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, g2(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) ≤ bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个关于变量x1, x2, ..., xn的线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是关于变量x1, x2, ..., xn的线性不等式，b1, b2, ..., bm是常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法求解线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：1. 定义状态：我们需要定义子问题的状态。
在这里，我们可以将线性规划问题的状态定义为子问题的目标函数值。
2. 确定状态转移方程：我们需要确定子问题之间的转移关系。
在这里，我们可以使用递推的方式来定义子问题之间的关系。
假设dp[i]表示目标函数值为i时的最优解，那么我们可以得到状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i - c1] + v1, dp[i - c2] +v2, ..., dp[i - cn] + vn)，其中ci表示第i个约束条件的系数，vi表示第i个约束条件的常数。
3. 初始化边界条件：我们需要初始化子问题的边界条件。
在这里，我们可以将dp[0]初始化为0，表示目标函数值为0时的最优解。
4. 递推求解：我们可以使用动态规划的递推方式来求解子问题的最优解。
从dp[1]开始，依次计算dp[2], dp[3], ..., dp[k]，直到dp[m]，其中m为目标函数的最大值或最小值。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一组线性约束条件下的最优解。
本文将介绍如何使用动态规划方法来求解线性规划问题。
一、问题描述假设我们有一个线性规划问题，目标是最小化或最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件：A * X <= B其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
二、动态规划方法求解线性规划问题的步骤1. 定义状态首先，我们需要定义问题的状态。
在线性规划问题中，状态可以表示为决策变量的取值范围。
假设我们有n个决策变量，每个决策变量有m个可能的取值，那么我们可以定义n个状态，每个状态有m个取值。
2. 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态之间的转移关系。
在线性规划问题中，状态转移可以表示为决策变量的变化。
假设我们从第i个状态转移到第j个状态，那么我们可以定义一个转移函数T(i, j)，表示从状态i到状态j的转移。
3. 定义初始状态和目标状态在动态规划中，我们需要定义一个初始状态和一个目标状态。
初始状态是问题的起始状态，目标状态是问题的最终状态。
在线性规划问题中，初始状态可以表示为决策变量的初始取值，目标状态可以表示为决策变量的最优取值。
4. 计算最优解通过定义状态、状态转移方程、初始状态和目标状态，我们可以使用动态规划方法来计算线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：4.1 初始化动态规划表格我们可以使用一个二维表格来表示动态规划过程中的中间结果。
表格的行表示状态，列表示阶段。
我们可以将初始状态填入表格的第一行，然后逐步计算表格的其他元素。
4.2 逐步计算表格元素从第二行开始，逐行计算表格的元素。
对于每个状态，我们可以根据状态转移方程和前一行的结果来计算当前行的结果。
具体计算方法根据问题的具体情况而定。
动态规划例1 求解下列整数规划的最优解
例1 求解下列整数规划的最优解：()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型：阶段变量：将给每一个变量j x 赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量k s 表示从第k 阶段到第3阶段约束右端最大值，则10.j s = 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 的值(1,2,3)k =. 状态转移方程：2113223,4.s s x s s x =-=-阶段指标：111122223333(,)4,(,)5,(,)6.u s x x u s x x u s x x === 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === （1） 用逆序法求解： 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而{}[]30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.s x ∈表示不超过x 的最大整数。
因此，当30,1,2,3,4s =时，30x =；当35,6,7,8,9s =时，3x 可取0或1；当310s =时，3x 可取0，1，2，由此确定()33.f s 现将有关数据列入表4.1中表4.1中.当时，有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而{}20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10s ∈。
所以当20,1,2,3s =时，20x =；当24,5,6,7s =时，201x =或；当28,9,10s =时20,1,2x =。
运筹学答案_第_8_章__整数规划
3 3
*=1,
或 x11 *=0,x1 *=1,x1 *=0,x14 *=0, x 2 3 x 34 *=0, x
41 21
*=0,x 2 *=0,x 2 *=0,x 2 *=1,x 3 *=0, 2 3 4 1 x
32
*=0, x
3 3
*=1,
*=1,x 42 *=0, x
4 3
*=0,x 44 *=0,z*=71
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
1, 当 第 i 项 工 程 被 选 定 时， xi = 0，当第 i 项工程没被选定时。 根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为： maxz = 20x 1 + 40x2 + 20x3 +15x 4 + 30x 5 s.t. 5x +4x +3x +7x +8x ≤ 25，
1 2 3 4 5
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
动态规划算法求最优解问题
动态规划算法求最优解问题何思瑶;沈樾;辛琰钰【摘要】在实际生活中,寻找最优解的问题时常出现,它帮助我们寻找解决问题的最佳方案.然而,它在为我们提供便利的同时也给我们带来了极大的考验.本文采用动态规划算法将待求解问题划分成若干个子问题分别求解,最终得到原问题的最优答案,以寻找问题的最优方案.【期刊名称】《电声技术》【年(卷),期】2019(043)003【总页数】3页(P42-44)【关键词】算法;最优解;子问题;动态规划【作者】何思瑶;沈樾;辛琰钰【作者单位】河北农业大学,河北保定071000;河北农业大学,河北保定071000;河北农业大学,河北保定071000【正文语种】中文【中图分类】TP301.61 算法简介动态规划算法的基本思想是将待求解问题划分成若干个相互关联的子问题，通过对子问题的求解以自底向上的方式计算出最优值。
动态规划算法通过提高程序的空间复杂度来达到降低时间复杂度的目的。
由此可见，使用动态规划算法进行求解的问题需要具备两个性质，即最优子结构性质[1]和重叠子问题性质[1]。
最优子结构性质：即待求解问题的最优解包含了其子问题的最优解[2]，因此，通过求解子问题的最优解可逐步构成原问题的最优解。
重叠子问题性质：即求解由原问题分解出的子问题后，其结果可用于求解其他的子问题，做到对每一个子问题只求解一次，避免产生不必要的重复计算，以获得更高的解题效率。
对于动态规划算法的具体实现，可分为以下步骤。
(1)分析问题，找出问题的最优解性质及其结构特征；(2)以自底向上的方式计算出最优值并对过程中产生的结果进行存储；(3)根据计算过程中存储的信息构造并输出最优解。
2 算法的具体实现2.1 问题分析本文分析并求解最长公共子序列问题[1]，以此展示动态规划算法求最优解问题的具体实现。
在最长公共子序列问题的求解过程中，可将原字符串分解为长度不相同的多个子字符串，由子字符串的最长公共子序列加上不属于子字符串的原字符串中共有元素构成原问题的最长公共子序列，降低了程序的时间复杂度[3]。
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例1 求解下列整数规划的最优解：
()123
123m ax 45634510
..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.
解 （1）建立动态规划模型：
阶段变量：将给每一个变量j x 赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量k s 表示从第k 阶段到第3阶段约束右端最大值，则10.j s = 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 的值(1,2,3)k =. 状态转移方程：2113223,4.s s x s s x =-=-
阶段指标：111122223333(,)4,(,)5,(,)6.u s x x u s x x u s x x === 基本方程；
()(){}
()
3113,2,1044()m ax ,()0.
s k k k k
k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+
⎪⎨⎪
=⎩≤≤
其中1233,4, 5.a a a === （1） 用逆序法求解： 当3k =时，
()(){}{}33333
443330055m ax
6m ax
6,s s x x f s x
f s x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=+=
≤≤≤
而{}[]30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.s x ∈表示不超过x 的最大整数。
因此，当30,1,2,3,4s =时，
30x =；当35
,6,7,89s =时，3x 可取0或1；当310s =时，3x 可取0，1，2，由此确定()33.
f s 现将有关数据列入表4.1中
表4.1中.
当2k =时，有
()(){}(){}22222
332
322220044m ax
5m ax
54,s s x x f s x
f s x
f s x ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=
+=
+-≤≤≤≤
而{}20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10s ∈。
所以当20,1,2,3s =时，20x =；当24,5,6,7s =时，
201x =或；当28,9,10s =时20,1,2x =。
由此确定()22f s 。
现将有关数据列入表4.2中.
表4.2
当1k =时,有
()(){}(){}11111
221
211110033m ax
4m ax
43,s s x x f s x
f s x
f s x ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=
+=
+-≤≤≤≤
而110,s =故1x 只能取0,1,2,3,由此确定()11f s 。
现将有关数据列入表4.3中。
11222()13.4 4.21,
x s s x *
==*=1时,f 取得最大值又由查表得及
333
3
0, 4.10.2,1,0,m ax 13.
s x x x Z ***======3
再由表查得因此,最优解为 x 最优解。