高数下复习
西南交通大学 高数下期末复习参考资料
2018-2019第2学期高等数学下册复习参考资料目录第一章、向量代数与空间解析几何 (1)第一节向量及其运算 (1)第二节空间的平面和直线 (2)第三节空间曲面与空间曲线 (4)习题 (5)第二章、多元函数微分法及其应用 (5)第一节偏导数 (5)第二节全微分 (6)第三节方向导数和梯度 (8)第四节多元函数的极值以求法 (9)习题 (10)第三章、重积分 (10)第一节二重积分的概念和性质（几何意义） (10)第二节二重积分的计算法 (12)第三节三重积分的概念 (13)第四节三重积分的计算 (13)第五节重积分的应用 (15)习题 (16)第四章、曲线积分与曲面积分 (16)第一节对弧长的曲线积分 (16)第二节对坐标的曲线积分 (18)第三节格林公式 (18)第四节对面积的曲面积分 (20)第五节对坐标的曲面积分 (20)习题 (22)第五章、无穷级数 (22)第一节常数项级数的概念和性质 (22)第二节常数项级数的审敛法 (23)第三节幂级数 (24)第四节傅里叶级数 (25)习题 (26)期末模拟卷 (26)参考答案 (28)第一章、向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算1.向量的数量积（点积）向量a⃗=(a1,a2,a3)与向量b⃗⃗=(b1,b2,b3)的数量积是一个数，其值为|a⃗||b⃗⃗|cosθ，其中θ为向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角，记作a⃗⋅b⃗⃗，若其中有一个为零向量时，则定义其值为0，数量积的坐标表达式为a⃗⋅b⃗⃗=a1b1+a2b2+a3b3，两个向量相互垂直则称它们正交，记作a⃗⊥b⃗⃗，特别的，规定零向量与任意向量垂直。
数量积有以下基本性质：（1）a⃗⋅b⃗⃗=b⃗⃗⋅a⃗（2）(λa⃗)⋅b⃗⃗=λ(a⃗⋅b⃗⃗)（3）(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⃗⋅c⃗（4）a⃗⊥b⃗⃗的充要条件为a⃗⋅b⃗⃗=02.向量的向量积（叉积）向量积，顾名思义，就是两个向量a⃗和b⃗⃗的经过特殊的法则所合成的向量，通常该向量垂直于向量a⃗与向量b⃗⃗所在的平面，记此向量为c⃗，c⃗=a⃗×b⃗⃗，通常，向量a⃗与向量b⃗⃗交换位置后要再添加一个负号才能使其值还是c⃗，c⃗的模等于|a⃗||b⃗⃗|sinθ，θ为两个向量的夹角，应注意这里的θ范围。
高数下册-级数复习题
A. 1 + x2 + x4 + x6 + !； B. 1 − x2 + x4 − x6 + !；
2! 3!
2! 3!
C. 1 + x + x2 + x3 + !； D. 1 − x + x2 − x3 + !；
n=1
73、 求幂级数 x + x2 + x3 + !的收敛域；
3 3⋅5 3⋅5⋅7
74、
∞
求幂级数 ∑ nxn−1(| x |< 1)在收敛区间内的和函数；
n=1
∑ 75、
∞
求幂级数
x4n+1 (| x |< 1)在收敛区间内的和函数；
n=1 4n + 1
76、 函数 f (x) = e−x2 展开成 x 的幂级数为：（ ）
n=1
A.
un+1
≤ un(n = 1,2,!) ；
B.
lim
n→∞
un
= 0；
C.
un+1
≤
un
(
n
=
1,2,
!)
且
lim
n→∞
un
= 0；
第十一章 级数复习题
51、
判别级数
∞
∑
n=1
⎜⎛ ⎝
−
3 4
n
⎞ ⎟ ⎠
的收敛性；
52、
∞ −1
判别级数 ∑ 2n+1 的收敛性；
n=1
53、
判别级数
∞
∑
n=1
⎜⎛ ⎝
1 5n
高数下多元微分学复习
。
解：
z x
2xy
1 y2
，
2z xy
2x2
2 y3
。
7．已知 z ln ex ey ，求 z 和 2 z 。 x xy
解：
z x
ex ex ey
，
2z xy
exey ex ey
。
2
8．设 z exy yx2 ，则 zx 1,2 [ C ]。
(A) e 4 ； (B) e2 4 ；(C) 2e2 4 ；(D) 2e 4 。
9．已知
f
x,
y
cos x cos x
y y
，求
fy
,
4
。
解：
f
,
y
cos y cos y
1，故
fy
,
4
0。
10．已知 f x, y, z ex2 y2 z2 ，求 fyy 5,1, 0 。 解： f 5, y,0 e25y2 ， f y 5, y,0 2 ye25 y2 ，
f yy 5, y, 0 2 4 y2 e25y2 ， fyy 5,1,0 6e26 。
11．试证函数 z y arcsin x 满足 x z y z 0 。
x
y
x y
解：
z x
y x2
arcsin
x y
y x
1 1
1 x y2 y
y x2
arcsin
x y
x
y； y2 x2
2 x2 y2 z2
x2 y2 z2
15．若 z f x, y 在点 x0, y0 处有连续一阶偏导数，
则 f x, y 在 x0, y0 处 [ B ]。
(A)不一定可微；
高数下复习
′ 例1. 已知 z = ln(cos(x- 2y)), 求z′ , z′yx x 1 解： z′ = (− sin(x − 2 y)) = −tg ( x − 2 y) x cos(x − 2 y) 1 z′y = (− sin(x − 2 y))(−2) = 2tg ( x − 2 y) cos(x − 2 y) ′yx = (2tg ( x − 2 y))′x = 2 sec2 ( x − 2 y) z′
3.利用极坐标计算二重积分
.例 3. 计算I = sin x2 + y2 dσ , D: π 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4π 2 ∫∫
D
x = r cD π ≤ r ≤ 2π y = r sinθ I = ∫ dθ ∫ sinr ⋅ rdr = −2π ∫ rd cosr
0 ≤ y ≤ 1 ∴ D: ， y ≤ x ≤ 2 − y 原式 = ∫ dy ∫
0 1 2− y y
f（x，y）dx
2.利用直角坐标计算二重积分
. 例2.
( x 2 + y 2 )dσ ∫∫
D
D由y = x，y = x + a， = a和y = 3a (a > 0)围成 y
a ≤ y ≤ 3a 解： D ： y − a ≤ x ≤ y 原式 =
4.全微分的求法 全微分的求法
1 (1)直接法：直接利用微分法则求出全微分。
2 (2)公式法：先求出偏导数，然后利用公式： = z ′ dx + z ′ dy dz x y 写出全微分。
例4. 已知cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1, 求dz. 解法一： d(cos x + cos y + cos z) = d1
高数下知识点复习
高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。
(2) 导函数的值表示函数的斜率。
(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。
(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。
3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。
微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。
数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。
2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。
函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。
3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。
高数(下)复习
总复习 10.6CH6 微分方程1. 基本概念 P330-331(波浪线划出)2. 可分离变量微分方程：先分离变量，再两边积分 P335(3) (4)3. 一阶线性微分方程：标准型 P344(1), 公式法解题步骤：1）写成标准型；2）计算⎰dx x P )(；3）计算⎰⎰dx x Q e dx x P )()(； 4）写出通解：[]⎰+=⎰⎰-C dx x Q e e y dx x P dx x P )()()(4. 二阶常系数线性微分方程： 1）齐 次：标准型：P359（1）；解的性质：定理，P359；通解的结构和求解步骤：P363 表；例题：1. 若y (x )是常系数齐次线性方程y "+ay '+by =0的解，则k y (x ) ( 或3 y (x )、7 y (x ) ) 也是其解.2. 设微分方程 y "+ay '+by =0有两个线性无关的特解y 1(x )与y 2(x )，则其通解为_______________.3. 求下列方程的通解：（1）y" -2 y' -3 y = 0；（2）y" -6 y' +9 y = 0 ；（3）y" -4 y' +5 y = 0 ；（4）y" -2 y' +5 y = 04. 求解下列微分方程的通解或特解：（1）x y d x + (x 2+1) d y = 0，y (0) =2 .（2）.52,)1(12d d 027=+=+-=x y x x y x y （3） P350，1（3），2（1） （4）sin y x x ''=+CH7 向量代数1. 空间直角坐标系 P82. 向量的坐标表示（向径终点M 的坐标），向量的运算 P113. 向量的模、两点间的距离 P134. 向量的数量积、向量积（定义+坐标表示式） P24 、P28 两向量垂直、平行的充要条件 P22 、P275. 平面的点法式方程（点+法向量）、一般式方程 P35（3）、P37（4）6. 两平面的夹角（两平面垂直、平行的充要条件） P39（6）、P397. 空间直线的一般式方程、点向式方程（点+方向向量）、参数方程 P43（1）、P44（2）、（3） 8. 两直线的夹角（两直线垂直、平行的充要条件） P46（5）、P46 9. 直线与平面的夹角 P47（6）10. 旋转曲面与二次曲面 P54（2）（3）、P56-60例题：1. 在空间直角坐标系中，点A (2, - 3, 4)关于坐标面xOz 、坐标轴O x 、原点的对称点分别为2. 设向量a =i -3 j + k , b = i + 3k , c = i - 3 j , 计算 ( a +b ) ⨯ (c + b ).3. 求直线22213--=-=z y x 与直线21123-=-=--z y x 的夹角 4. 求平面2 x - y + 6 = 0与直线z y x 126133=-=-的夹角为（ ）. 5. 在空间直角坐标系中，求向量 (1, 2 ,3 ) 与x 轴的夹角.6. 若向量（2 , 0 , 3）与（a ，2，1）垂直， 与（6 , 0 , b ）平行，则常数a = ， b = .7. 求过点(2,3,4)且平行于二平面x + y + z + 2=0 和 2 x - y +3 z +5= 0的直线方程.8. 求过点(3,2,1)且垂直于二平面 x - y +3 = 0和 2 y - z = 3的平面方程.9. 指出曲 面z =221y x +-的几何图形10. 求yoz 面上曲线z= y 2 绕z 轴旋转生成的曲面.11. 将xoz 面上的椭圆2221x z +=绕x 轴旋转一周所形成的曲面方程。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高数下期末考试复习题及答案
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ h) 的下侧。
解：补平面 Σ1 : z = h 的上侧，则 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy
∑
=
∫∫ ( y
Σ + Σ1
2
− z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
a0 =
5分
f ( x) =
Hale Waihona Puke h 2 ∞ sin nh + ∑ cos nx, x ∈ [0, h) ∪ (h, π ) π π n =1 n h 2 ∞ sin nh 1 + ∑ cos nx 收敛于 。 π π n =1 n 2
8分
当 x = h 时，级数
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x+
7分
计算 ∫∫ ( y 2 + 3 x − 6 y + 9)dσ ，其中 D 是闭区域: x 2 + y 2 ≤ R 2 。
D
解：利用对称性，并设 x = r cosθ , y = r sin θ ，则
∫∫ ( y
D
2
+ 3 x − 6 y + 9)dσ = ∫∫ ( y 2 + 9)dσ =
D
C
0
4分
π
0
π
0
= 18 13 ∫ 2 (t sin t cos t )dt = 18 13 ∫ 2
t sin 2tdt 2
6分
t 1 = 18 13[− cos 2t + sin 2t ] 4 8
高数下册复习题
高数下册复习题多元函数微分学1：证明函数⎪⎩⎪⎨⎧+=,0,),(422y x xy y x f)0,0(),()0,0(),(=≠y x y x在点)0,0(处不连续，但存在一阶偏导数. 2：设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧++=,0,1sin )(),(2222yx y x y x f)0,0(),()0,0(),(=≠y x y x问在点)0,0(处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由. .3：设),,(w v u ϕ为可微函数，且0),,(=---bx ay az cx cy bz ϕ，证明：b xza+∂∂c y z =∂∂4： 求二元函数)4(2y x y xz --=在由直线轴轴y x y x ,,6=+所围成的闭域D 上的极值、最大植和最小值.5： 求平面1543=++z y x 和柱面122=+y x的交线上与xOy平面距离最短点的坐标.)1235,53,54(⎪⎭⎫⎝⎛ 6：在椭球面196222=++z y x 上求距离平面2281243=++z y x 的最近点和最远点.（答案：最近点⎪⎭⎫ ⎝⎛83819，，，最远点⎪⎭⎫ ⎝⎛---83819，，）多元函数积分学一．重积分1：计算二次积分⎰⎰xxdy y xdx 2sin 21π⎰⎰+2422sin xdy yxdx π2：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.（答案：24π-） 3：设)(t f 在),0[+∞上连续，且+=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f求)(t f . （答案：24)(t e t f π=） 4：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x),(y x f 为D 上的连续函数，且---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ）5：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdyy x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域.（答案：2910）6：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（其中}01{22≥≤+=y y xy x D ，），（.（答案：)41(22ln 2ππ-+） 7：计算二重积分⎰⎰++=Ddxdyy xyf x I )](1[22，其中D 由1,1,3-===x y x y 所围成的平面区域，f 是D 上的连续函数.（答案：52-）8：证明⎰⎰⎰-=110)()1()(dx x f x dy y f dx x9：设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛ba b a dx x f a b dx x f )()()(2210：求⎰⎰++=Ddxdyy y x I )(22，其中D 由圆422=+y x和1)1(22=++y x 围成的平面区域. （答案：)23(916-π） （2004年数学三）11：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z I 2，其中Ω是由)0(1222>=++z z y x 及221y x z +=+所围成的区域.（答案：6π） 12：计算三重积分⎰⎰⎰Ω++=dxdydzz y x I 222，其中Ω是以平面1=z 及锥面22y x z +=为边界的区域.（答案：)122(6-π）13：设函数)(x f 连续且恒大于⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t tt D dxx f d y xf t G )()()(2)(22σ其中}),,{()(2222t z y xz y x t ≤++=Ω，}),{()(222t y xy x t D ≤+=（1） 讨论)(t F 在区间),0(+∞内的单调性；（2） 证明当0>t 时，)(2)(t G t F π>14：计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D（答案：2ln 419+） （2008年数学二、三） 15：计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )(, 其中{}xy y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(22（答案：38-） （2009年数学二、三）二．曲线积分1：计算dyxe y dx e xy AOBy y ⎰--+)(cos )12(，其中AOB 为由点)1,1(-A 沿曲线2x y =到点)0,0(，再沿直线0=y 到点)0,2(B 的路径.（答案：11sin -+e ）2：计算下列曲线积分 dyx y dx y x y AMB⎰-+-]sin )('[]cos )([πϕπϕ其中AMB 为连接点)2,(πA 与点)4,3(πB 的线段AB 之下方的任意路线，且该路线与线段AB 所围图形面积为2.（答案：26π-）3：计算⎰+-Lyx ydxxdy 224，其中L 是以点)0,1(为中心，R 为半径的圆周（1≠R ），方向为逆时针方向.（答案：π时为〉；当时为当101R R <）4：计算曲线积分 ⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正方形边界1=+y x 的正向.（答案：π2-） 5：计算⎰-++)2,1()0,0()2()(dyy xe dx x ey y，其中积分路径为过三点)2,1(),1,0(),0,0(的圆.（答案：272-e）6：设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数。
高数下期末考试复习大纲
高数下期末考试复习大纲第8章1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程（例如锥面等），会求柱面方程5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。
第9章1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。
2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。
3.理解二元函数的连续的概念。
4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导（不超过三阶），会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。
5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。
7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。
8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点第10章1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.第11章1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.3.理解格林公式的含义.4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.7.了解高斯公式与斯托克斯公式第12章1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.。
高数下知识点复习
高数下知识点复习在高等数学下册的学习中，我们接触到了许多重要的知识点。
这些知识点不仅是数学学科的基础，也在实际应用中发挥着重要作用。
接下来，让我们一起对这些知识点进行一次系统的复习。
首先，我们来看看多元函数微分学。
多元函数的概念是这部分的基础，与一元函数不同，多元函数有多个自变量。
对于二元函数 z ＝ f(x, y)，我们要理解其定义域、值域等概念。
偏导数是多元函数微分学中的重要内容。
偏导数表示函数在某一方向上的变化率。
对于函数 z ＝ f(x, y)，其关于 x 的偏导数记为∂z/∂x，关于 y 的偏导数记为∂z/∂y。
计算偏导数时，我们把其他自变量看作常数，只对所关注的自变量求导。
全微分则是对多元函数微小变化的一种精确描述。
如果函数 z ＝f(x, y)的全微分 dz ＝∂z/∂x dx ＋∂z/∂y dy，那么全微分在近似计算和误差分析中有着广泛的应用。
接下来是多元复合函数求导法则。
这部分内容相对复杂，需要我们理清函数之间的复合关系。
比如，对于形如 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)）的复合函数，我们要使用链式法则来求导。
隐函数求导也是一个重点。
当方程 F(x, y) ＝ 0 确定了隐函数 y ＝y(x)时，我们通过对方程两边同时求导来得到隐函数的导数。
再说说方向导数与梯度。
方向导数表示函数沿某一方向的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向是函数值增加最快的方向，其模长等于方向导数的最大值。
在多元函数极值问题中，我们要掌握极值的必要条件和充分条件。
通过求解偏导数为零的方程组，得到可能的极值点，然后再利用充分条件判断是极大值还是极小值。
然后是重积分。
二重积分是将平面区域上的函数进行积分，它可以用来计算平面图形的面积、质量等。
在计算二重积分时，我们可以将其化为累次积分，根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。
三重积分则是对空间区域上的函数进行积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。
我们可以通过直角坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来计算三重积分。
高数下册复习专题-(带答案)教学内容
解:
u x
f1
yf2,
u y
f1
xf2,
2u xy
f11
xf12
f2 y( f21 xf22 ).
f2 f11 ( x y) f12 xyf22 .
3. 设z f (2x 3 y, x y), f (u,v)具有二阶连续偏导数， 求 z , z , 2z . x y xy
yz
1
dy dz 0 dx dx
xz dy xy dz
0
(1) ，
(2)
dx dx
(2)式–xy(1)式, 得
yz xy ( xz xy) dy 0, dx
即
dy y(z x) .
dx x( y z)
(2)式–xz(1)式, 得
yz xz ( xy xz) dz 0, dx
f ( y , z ) 0 确定z是x,y的函数，试求 x z
xx
x
y z y
。
z
练习.设F ( x az, y bz) 0, 计算a z b z , x y
其中F是它的变元的任意可微函数.
答案：1；公式法或两边求
5、设方程组
x
yz xyz 1
0，求
dy dx
，dz dx
。
解:方程组两边对x求导, 得
x y y2
解:
z x
f1，
z y
f1 2 yf2，
2z y2
f11 2 yf12 2 f2 2 yf21 4 y2 f22
f11 4 yf12 4 y2 f22 2 f2.
2. 设u f ( x y, xy), f具有二阶连续偏导数， 求 u , u , 2u . x y xy
高数(下)综合复习题答案
1. 求下列方程通解： (1)b y a y x y +'-'= 解. 原方程整理为：1by y x a x a'-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰--⎰-c dx e a x b ey a x dxax dxb a x C +-=)((2)0cos )sin 1(=-'+y y y x 解. 原方程整理为：01sin cos =--⋅y dydxyyx tgy x cos 1=⋅-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰-⎰c dy e y e x tgydy tgydy cos 1yc y x cos +=(3)x y y 2cos 24=+''*12*12**()***.()cos :[()cos ()sin ],(),,(,0)x n k x n n k i xn y P y Py P x e x y y x e Q x x Q x x y y x eQ x y y y i k k αααββββαβ+'''++==⋅+=⋅=+=注方程的特解的求法法1.设用待定系数法求法2.先设用待定系数法求后的实部其中是特征方程的重根或1解. 特征方程：042=+r 特征根为：i2±∴对应齐次方程的通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+= 所给方程自由项x x x f 2cos 1cos 2)(2+==设*1y 是：14=+''y y 的一个特解 *2y 是x y y 2cos 4=+''的一个特解可求得41*1=y ，x x y 2sin 4*2= ∴ 原方程的一个特解为x xy 2sin 441*+=∴原方程的通解为*y Y y +==x C x C 2sin 2cos 21++x x2sin 441+2. 设z=arctg xy +ln(x 2+y),求dz 。
解. dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=其中 222)(1)(x y x x y x y x z +∂++-=∂∂ , 221)(11x y xy x y z +++=∂∂ 3. 设Z=f (x 2y,x y )有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2 解. xy z yx z''=∂∂∂2)(2221xy f xy f x z -'+'=∂∂ 11.:(,)2y f f x y x ''注记号也可记为 )2(21)(1122112x f xy x f x f y x z yx z⋅'+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⋅''=∂∂∂∂=∂∂∂)1())(1(22222221x f x y x f x f -'+-''+''+22312311)()2()2(f x y f y y y x f ''-+''-+''=22112f x f x '-'+ 4. 求函数f (x,y,z)=xy 2+yz 3在点（1，2，1）处沿着向量→l ={1,2,5}的方向导数. 解.456fl→∂=+=∂ 5. 求球面x 2+y 2+z 2=9/4与椭球面3x 2+(y-1)2+z 2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ； x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
第5页共5页
5
b、
若曲线
Γ
的方程为：
三元方程组确定两个一元隐函数：
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数：
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导，视y (或x )为常量,得
G 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B,C) ，点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ．
3）截距式方程： x + y + z = 1 abc
4）平面束方程：过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
（1）
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
，t
=
t0
↔
M0
∈C
，则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ，
高数(下)复习题(经管本科)
高数（下）复习题（经管本科）一、填空题（每小题3分）1、设a=｛1,2,1｝,b2某y4某y=｛-2,-1,1｝,则coa,b_________。
2、lim某0y13、交换二次积分的积分次序dy022yy2f(某,y)d某=4、如果级数n1un收敛，则级数n1(un1)的敛散性为________________。
5、方程y6．设z某某214在空间解析几何中表示的图形是_________。
，则dz(1,1)2y．(1n27．若级数n1un收敛，则级数n1un)（填收敛或发散）．8.微分方程y\4y'0的通解为=．9．设D:某2y24(y0)则d某dy．D10．已知A(1,1,1),B(4,1,3)，则方向与AB11、设向量a1,3,20相同的单位向量AB与b___________．，b2,6,l，且a垂直，则l_____.12、设函数zin(某y)某y，则2z某y2.13、过点M01,1,2，且垂直于直线l:某12y13z1的平面方为.14、将二重积分I10d某某某f(某,y)dy改变积分次序为.15、级数n1n1n12的敛散性是（填收敛、发散、不能判定）.16、微分方程y4y3y0的积分曲线在0,2处与直线某y20相切的特解是（具体值）.17．方程y4y13y0的通解是．18．球面某2yz2某4y4z7022的球心是．19．函数y14某关于某的幂级数展开式为．所围成的域，不计算I的先y后某20．设D是由y的累次积分为I某,某y1及某2Df(某,y)d．B(7,1,3)21．已知点A(4,0,5),是．22.曲面z2某y22，则方向与AB相同，过A点的直线方程的曲面名称是_______.23．若级数n11qn收敛，则q.24．点2,3,4在空间直角坐标系的位置是第卦限.25．zln(y2某1)的定义域.226.将函数f(某)214某展开成某1幂级数是.27．y某在平面几何中表示图形，在空间几何中表示图形.28．过点（1，2，-1）且与直线：某为______________．29．求lim某0y02t,y73t,z1t垂直的平面方程2某y4某y＝.30．二阶常系数线性方程y2y3y0的通解是．12y31．交换dy00f(某,y)d某的积分次序_________．2n32.设anaaqaq......aq,q1，则liman=n33.已知a(1,2,3),b(0,1,0),则ab34.过点(0,1,2)且平行平面3某35.交换积分次序36.微分方程y10d 某1某yz1的平面方程为f(某,y)dy=2y2y0的通解是二、选择题（每小题3分）1、函数zf某,y连续是zf(某,y)可微的（）条件。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
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一、 空间解析几何
1. 向量)3,1,2(),2,3,2(),0,1,3(-=-=-=→→→c b a ,向量在向量→a →
b 上的投影
=→
→a j b Pr ；与向量→
→b a ,都垂直的单位向量为；
=⨯⨯-⨯⨯→
→→→→→)()(c b a c b a .
2. 以→
→b a ;为两条相邻边向量的三角形的面积的计算公式为=S 以→
→→c b a ,;为三条相邻边向量的平行六面体体积的计算公式为=V 3. ABC 为三角形的三个顶点,如果已知→
→
→
→
==b AC a AB ;,则底边AB 上高的计算公式为=h .
4.直线⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=
-k y z x l 31431与2
11:221x y z l --==-相交求常数k ，并求由它们所确定的平面方程.
5.求过点)3,2,1(-P 且与直线⎩⎨⎧=++=-+1
20
z y x z y x 垂直相交的直线的对称式方
程.
6. xoy
平面上曲线y =绕直线1x =-所得旋转曲面的方程为 .
二、 多元微分学
1.⎪⎩
⎪
⎨⎧
=≠+-==)
0,0(),(0)0,0(),(1arctan )2(),(2
2y x y x y x y x y x f z ,讨论函数),(y x f 在
)0,0(点的偏导数
y
z
x z ∂∂∂∂;. 2.（1）0),(,0),(0000==y x f y x f y x 是),(y x f 在),(00y x 取得极值的条件， （2）),(y x f 在),(00y x 有极限是),(y x f 在),(00y x 有偏导数的条件， （3）),,(z y x f 在),,(000z y x 可微是),,(z y x f 在),,(000z y x 有偏导数的条件, （4）),,(z y x f 在),,(000z y x 所有方向导数都存在是),,(z y x f 在),,(000z y x 偏导数 存在的条件
A:充分， B 必要， C 充分必要， D 无关
3.函数x
y
y x z arctan
)(22+=,（1）试求函数在)1,1(点的全微分dz ； （2）在任意0≠x 的点，试求函数的二阶偏导数y x z
∂∂∂2以及22y
z ∂∂.
4.方程组⎩⎨⎧-=-+=+3
322
32223v
u y x v u y x ，在)1,1,1,1(),,,(0=v u y x P 点确定了函数组：),(),,(v x y y v x u u ==,计算该点的偏导数
P x
u ∂∂；
P x
y ∂∂
5.2
),(C y x f ∈，)34,23(y x y x f z -+=．求y
x z
∂∂∂2．
6. 求曲面42)21l n (22
=++yz x 在)1,2,1(点的切平面以及法线方程，并分别计算点），，（111-到所求得的切平面与法线的距离.
7.2
2249),,(z y x z y x f ++=,在椭球面14
9222=++z y x 上各点),,(z y x 处，求),,(z y x f 沿向径),,(z y x r =→
方向的方向导数并求出它们的最大与最小值以及对应的点.
三、 重积分
1． D 是由直线;x y =0232=+-y x 以及x 轴所围成的有界闭区域,则积分σd y x f I D
),(⎰⎰=化成先对x 再对y 的二次积分时=I ；
化成先对y 再对x 的二次积分时=I 。
2 D 是由22y y x -=以及
x
y =所围成的有界闭区域,则积分
σd y x f I D
),(⎰⎰=化成先对x 再对y 的二次积分时=I ；化成极坐标下的二
次积分时=I 。
3.计算三重积分z y x z y x Ω
d d d 1222⎰⎰⎰-++，其中闭区域4:222≤++Ωz y x
4．质量为k 的质点位于点坐标)0,0,1(,Ω是密度为),,(z y x ρ的立体，
Ω对于该质点的引力),,(z y x F F F F =→
，则z y x F F F ,,的计算公式分别为=x F ；
=y F ； =z F 。
5．求由22y x z +=；x y x 222=+；以及0=z 所围立体的体积。
6．求密度为z =ρ的半椭球体:Ω0;122
2222≥≤++z c
z a y a x 的质心坐标。
7.Ω是体密度为),,(z y x ρ的空间立体，其质量为M ，0l l 与是相距d 的两条平行直线。
其中0l 经过Ω的质心。
1.证明转动惯量M d I I l l 20
+=； 2.Ω是由
222z y x =+以及1=z 所围的立体，
体密度为1=ρ，l 是过点)0,1,1(平行于z 轴的直线。
求转动惯量l I
四、 线面积分
1． 线密度为),,(z y x ρ的空间曲线L 关于x 轴的转动惯量=x I ； 2． 密度为),,(z y x μ的空间曲面∑的质心坐标为),,(_
_
_
z y x 。
则它们的计算公式
=_x ；=
_
z
3．L 是起点为)3,2,1(A 终点为)0,2,1(--B 的光滑曲线。
若不考虑它的方向，该曲线的弧长为s ，则积分=⎰L
ds 2；=⎰L
dx 2； =++⎰L
dz dy dx 32。
4．L 是顺时针方向的椭圆曲线1922=+y x ，则积分=+-⎰dy x ydx L
22。
5.L 是有向光滑闭曲线，∑是以L 为边界且与L 正向联系的光滑曲面，则利用斯托克斯公式
积分 =++⎰L
x dz z xy dy y ydx e 322sin 2
⎰⎰
∑。
6．∑是长方体3;2;1≤≤≤z y x 的表面外侧，则积分
=++-+⎰⎰
∑
dxdy z x dzdx y x xdydz )3()2(。
7.求积分dS z y x )(222++⎰⎰∑
，∑是圆柱面;422=+y x .40≤≤z
8.求dxdy z y x dzdx z y x dydz z y x )22()32()2(-+++-+++⎰⎰∑。
其中∑是曲面
1222-+=y x z ；位于1≤z 的下侧。
9.求⎰
+-L
y
x xdy ydx 2
24,其中L 是逆时针方向运行的椭圆1342
2=+y x 。
10. ()x f 具有一阶连续导数，()00=f ，已知积分()()()⎰--L
x y
x f x y e x f d d 与路径无关，求函数)(x f ，若L 是3x y =从()0,0到()1,1的有向曲线段，试求上述曲线积分.
五、 无穷及数
1、将A,B,C,D 之一填入空格,其中A:充分; B:“必要; C:充要; D:无关。
⑴ 0)(lim 1=-+∞
→n n n u u 是1n n u ∞
=∑收敛的 条件． ⑵ 对正项级数1
n n u ∞
=∑,部分和数列()1n n s ∞
=有界是1
n n u ∞
=∑收敛的条件．
⑶ 级数1
n n u ∞=∑收敛是级数1
n n u ∞
=∑收敛的条件．
⑷ 数列()1n n u ∞
=单调且lim 0n n u →∞
=是交错级数()1
1
1n n n u ∞
-=-∑收敛的条件． ⑸ 级数1
n n u ∞
=∑按某一方式经加括弧后所得的级数收敛是级数收敛的条
件．
⑹ 1
lim
1n n n
u u ρ+→∞=>是级数1n n u ∞
=∑发散的条件． 2、函数
()e ,10
1,01x x f x x ⎧-≤<⎨≤≤⎩
=的傅里叶级数的和函数)(x s 在点4x =-处收
敛于 ，在点5x =处收敛于 . 3
、要使级数211
)p n n ∞
=+收敛，则p 的范围是 。
4、求幂级数11
1ln n n n
n ∞=+⎛⎫- ⎪
⎝⎭
∑n
x )1(+的收敛域． 5.求幂级数()
()1
2111121n n n x n n ∞
-=⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝
⎭∑的收敛区间，并求和函数
6.将函数()21
56
f x x x =-+展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的区
间.
7.设()()
0lim
0x f x f x x x
→==在点的某邻域内有二阶连续导数, 证明级数11n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑绝对收敛.。