高考数学大一轮复习第八章解析几何两条直线的位置关系课时达标理含解析新人教A版
高三数学一轮复习第八章解析几何第2课时两条直线的位置关系课件
√
考点三 对称问题 1．点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为__(－__x_，__－__y_)_，点(x，y)关于点(a，b)的对 称点为__(_2_a_－__x_，__2_b_－__y_)_． 2．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为_(2_a_－__x_，__y_)，关于直线y＝b的对称点为
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜
率不存在的情形．
[常用结论] 三种直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x ＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
考向2 轴对称问题 [典例4] (1)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的
坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )
A．(－2，4)
B．(－2，－4)
√C．(2，4)
D．(2，－4)
(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过
k1＝k2且b1＝b2
l3，l4满足的条件
__A_1_B_2_－__A_2_B_1_＝__0_且__A__1_C_2_－__A_2_C_1_≠__0___ _A__1A__2＋__B__1_B_2_＝__0 __A_1_B_2_－__A_2_B_1_≠__0__
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0
点拨 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
√
2019-2020年新人教A版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课件文
(2)设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0，y0)，则直线 l 与 l2 的交点 B(6－x0，－y0)，2 分
由题意知62－x0－x0－y0－y0＋2＝3＝0，0， 解得xy00＝ ＝113316，，
6分
即 A131，136，从而直线 l 的斜率 k＝113316－－30＝8，10 分 直线 l 的方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.12 分
2 [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8， 直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋4y＋7＝0， ∴两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
两条直线的平行与垂直
(1)设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直
线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的( )
[规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的 影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况， 同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得 出结论，可避免讨论．另外当 A2B2C2≠0 时，比例式AA12与BB12，CC12的关系容易记住， 在解答选择、填空题时，有时比较方便．
(1)y＝2x－3 (2)10x－3y＋8＝0 [(1)法一：在直线 l 上任取一点 P′(x，y)， 其关于点(1,1)的对称点 P(2－x,2－y)必在直线 y＝2x＋1 上，
∴2－y＝2(2－x)＋1，即 2x－y－3＝0. 因此，直线 l 的方程为 y＝2x－3.
法二：由题意，l 与直线 y＝2x＋1 平行，设 l 的方程为 2x－y＋c＝0(c≠1)， 则点(1,1)到两平行线的距离相等，
2020高考数学总复习第八章解析几何8.2两直线的位置关系课件理新人教A版
解析：方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示
提醒：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存 在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注 意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
(1)已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0 不能
构成三角形，则实数 m 的取值集合为( D )
①若直线与对称轴平行，则在直
2.轴对称问题的两种类型及求解方法
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于 直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，由
点关 方程组
于直 线对 称
Ax1＋2 x2＋By1＋2 y2＋C＝0， yx22－－yx11·－BA＝－1，
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的 坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2)
法二 设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4 －y)， ∵P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
角度 4 线关于线的对称
直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：x－y＋2＝0 对称的直线
(1)若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移
动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A )
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.2两条直线的位置关系课件理
第三十页，共43页。
解法二：线段 OA 的中垂线方程为 x－y＋1＝0， 则由2x－x－y＋3y＋1＝6＝0. 0， 解得xy＝ ＝34， ， 则 P 点的坐标为(3,4)． 答案：(3,4)
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3．已知直线 l1 与 l2：x＋y－1＝0 平行，且 l1 与 l2 的距离是 2，则直线 l1 的方程 为________________．
mn－－ba×－AB＝－1， A·a＋2 m＋B·b＋2 n＋C＝0.
直线与直线的对称问题可转化为点与直线的对称问
题．
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「基础小题练一练」
1．直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定
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解析：由2x＋x＋2yy＋ ＋nm＝＝00，， 可得 3x＋2m－n＝0，由于 3x＋2m－n＝0 有唯一解， 故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于 －1，故不垂直．
【解析】 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，把 B 点坐标代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0. 【答案】 x＋4y－4＝0
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2．对称问题 (1)中心对称 点 P(x0，y0)关于 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0,2b－y0)，直线关于点的对称问题 可转化为点关于点的对称问题．
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(2)轴对称 点 P(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 P′(m，n)，则 l 为线段 PP′ 的中垂线，故有
高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第2节两直线的位置关系课件理新人教A版
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝ 0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
第2节 两直线的位置关系
考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程 组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距 离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔___k_1_＝__k_2 __.特别 地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2__平__行___. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__k_1_·_k2_＝__－__1__，当一条直线 斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂__直___.
|Ax0＋By0＋C|
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝____A_2_＋__B_2____.
(3)两条平行线间的距离公式
|C1－C2|
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝____A_2＋__B__2__.
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合； 当 a≠1 时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)， 由 l1⊥l2，得－a2·1－1 a＝－1⇒a＝23. 法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， 即 a＋2(a－1)＝0，得 a＝23.
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练课件理
解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，则
mn－ －02＝－2， m＋ 2 2－2·n＋ 2 0＋8＝0，
解得nm＝ ＝8－ ，2，
故 A′(－2,8)． P 为 直 线 l 上 的 一 点 ， 则 |PA| ＋ |PB| ＝ |PA′| ＋ |PB|≥|A′B|，当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB| 取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交 点，解xx＝ －－ 2y＋ 2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标 为(－2，3)．
再由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法二：∵l∥l′， ∴设 l′的方程为 2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点 A(－1，－2)到两直线 l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 |－22＋2＋6＋ 32C|＝|－22＋2＋6＋ 32 1|，解得 C＝－9，
∴l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法三：设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)．∵点 P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，||PB| －|PA||取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的
交点，又直线 AB 的方程为 y＝x－2，解yx＝ －x2－ y＋2， 8＝0， 得
＝0，l1 与 l2 重合．∴a＝－1，故选 B.
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．( × )(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．( × ) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B 解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____． 解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2 点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3 直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B 解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第八章解析几何第二节两直线的位置关系课件
－9
y = 2x，
x = 1，
解析：由ቊ
得ቊ
y = 2.
x + y = 3，
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
4．(易错)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是(
8
A．
B．2
5
11
C．
5
7
D．
5
答案：B
解析：直线6x＋8y＋2＝0化为3x＋4y＋1＝0，
满足题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l：y－2＝k(x－1)即kx－y－k＋2＝0，
−k−1−k+2
3
所以点P(－1，1)到直线l的距离为
＝2，解得k＝－
，
2
4
k +1
3
3
故此时直线l的方程为－ x－y＋ ＋2＝0即3x＋4y－11＝0，
4
4
综上所述，直线l的方程为x＝1或3x＋4y－11＝0.
第二节
两直线的位置关系
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方
程的方法求两条直线的交点坐标．3.掌握平面上两点间的距离公式、
点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行
故选B.
角度二 点关于直线对称
例4 一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点
(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(
)
A．2x－y－1＝0
高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教师用书 理-人教版高三全册数学试题
第二节 两条直线的位置关系☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2。
特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行。
与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线，可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )。
(2)两条直线垂直：如果两条直线l 1、l 2斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋n ＝0。
2．两直线相交(1)交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应。
(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。
(3)平行⇔方程组无解。
(4)重合⇔方程组有无数个解。
3．三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离为 |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12。
(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2。
(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2。
4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)。
(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y2＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′。
新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第2节两直线的位置关系课件理新人教A版
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条 0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件
法二 当 AB∥l 时，有 k＝kAB＝－13，直线 l 的方程为 y－2＝－13(x 即x＋3y－5＝0. 当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4). ∴直线l的方程为x＝－1. 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 答案 (1) 2 (2)x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－32＋ ＋52λλ＝－53，解得 λ＝15， 代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－53×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解之得 0≤a≤10， 所以a的取值范围是[0，10].
3.在运用两平行直线间的距离公式 d＝ |CA1－2＋CB22| 时，一定要注意将两方
别化为相同的形式.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 解析 (1)两直线l1，l2有可能重合. (2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
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第47讲 两条直线的位置关系
课时达标
一、选择题
1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13
C ．－23
D ．－2
D 解析 由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2.故选D.
2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
C 解析 设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将(1,0)代入， 求得c ＝－2，所以所求方程为2x ＋y －2＝0.故选C.
3．(2019·平顶山统考)已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是
x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
C 解析 因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m 2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.
4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C 解析 因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C.
5．(2019·常德一中月考)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则点|PM |的最小值为( )
A.1
2 B ．1 C ．2
D ．3
B 解析 |PM |的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又
|3－3－2|
1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.
6．(2019·襄阳四中月考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，
B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点
C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
C 解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －2
x ＋4×2＝－1，
y ＋22＝2×－4＋x
2
，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4，y ＝－2，
即(4，－2)．所以直线BC 所在的方程为y －1＝－2－1
4－3
(x －3)，即3x ＋y
－10＝0.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y －10＝0，y ＝2x 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，可得C (2,4)．
二、填空题
7．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2
－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是________．
解析 因为y ′＝6x －4，所以y ′|x ＝1＝2，所以所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.
答案 2x －y ＋4＝0
8．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3
2＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直
线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.
答案 12x ＋8y －15＝0
9．已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|PA |＋|PB |的最小值是________． 解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|PA |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为
M ，则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.由三角形两边之和大于第三边知当P 不与M 重
合时，|PA |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，故当P 与M 重合时，|PA |＋|PB |取得最小值．
答案 2 5 三、解答题
10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．
解析 依题意知k AC ＝－2，A (5,1)，所以直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 和直线CM
的方程，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －11＝0，
2x －y －5＝0，所以C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0
－1＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－
1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝6
5
(x －4)，即6x －5y －9＝0.
11．已知直线l 1：x ＋a 2
y ＋1＝0和直线l 2：(a 2
＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解析 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2
＋1)a 2
＝0，
即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14.因为a 2
≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不
重合，所以a 2
＋1≠3，
所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2
b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，
当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.
12．(2019·信阳调考)已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P . (1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．
解析 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，即交点P (2,1)．由直线l 与A ，B 的距离相
等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点．
①由l ∥AB 得k l ＝k AB ＝2－33－1＝－12，所以直线l 的方程为y －1＝－1
2(x －2)，即x ＋2y
－4＝0.
②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2. 综上得x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．
(2)由题可知直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋y
b
＝1.又直线
l 1
过点(2,1)，△ABO 的面积为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋1b ＝1，
1
2ab ＝4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝2，
故直线l 1的方程
为x 4＋y
2
＝1，即x ＋2y －4＝0.
13．[选做题](2019·华大新高考联盟联考)已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足3m ＋4n ＝6,3a ＋4b ＝1，则
m －a
2
＋n －b
2
的最小值为( )
A. 3
B. 2 C ．1
D.12
C 解析 (m ，n )为直线3x ＋4y ＝6上的动点，(a ，b )为直线3x ＋4y ＝1上的动点，
m －a
2
＋n －b
2
的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值是两平行线
间的距离，所以d ＝
|6－1|
9＋16
＝1.故选C.。