专题五 万有引力与航天

高中物理学习材料金戈铁骑整理制作专题五万有引力与航天【命题趋势探秘】命题规律考查内容开普勒定律万有引力定律、天体质量和密度的估算卫星运行参数、宇宙速度同步卫星、双星考查热度☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆考查题型选择题、填空题选择题、填空题选择题选择题所占分值4—6分4—6分4—6分4—6分命题趋势 1. 考查对开普勒定律的理解，应用开普勒第三定律比较或求解行星或卫运行星的周期、半径。

2. 应用万有引力定律估算天体的质量和密度。

3. 根据不同卫星的半径关系，比较其线速度、角速度、周期等参数的关系，处理同步卫星、双星以及变轨问题。

【高频考点聚焦】◇考点1 开普勒定律【基础知识梳理】开普勒三定律定律图示内容备注开普勒第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个①上。

不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，在行星的轨道上有各自的近日点和②。

开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 ③ 。

行星在近日点的速率④ 在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变⑤ 。

开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的的⑥ 二次方的比值都相等，表达式：a 3T2＝k 。

公式a 3T2＝k ，反映了椭圆轨道⑦越长的行星，其公转周期越大，k 是由⑧决定的，中心天体不同k 值不同。

[参考答案]①焦点 ②远日点 ③面积 ④大于 ⑤大 ⑥公转周期 ⑦半长轴 ⑧中心天体 【核心考点讲练】1. 开普勒第三定律的常用形式若两颗星体在中心天体万有引力作用下沿椭圆轨道（或圆轨道）运动，则有22322131T a T a =，该规律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕某一中心天体运转。

2. 天体运动的规律及分析方法（1）天体虽然做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆，中学阶段我们在处理天体运动问题时，一般把天体的运动当做圆周运动来研究，并且把它们视为做匀速圆周运动，椭圆的半长轴即为圆半径。

（2）在运行轨道是圆轨道的情况下开普勒第三定律表述变为：所有行星的轨道的半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,即33122212R R T T =。

【典例1】（2013·海南卷）“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。

地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是（ ）A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7解析：由开普勒第三定律可知32223121=R T R T ，即2=313212≈R R T T ,A 对；线速度由T R πv 2=可知8.0≈21v v ，B 错；角速度由T πω2=可知21=21ωω，C 错；向心加速度由r T πa 224=可知4.0≈21a a ，D 错。

答案：A【典例2】（2013·上海卷）若两颗人造地球卫星的周期之比为T 1∶T 2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R 1∶R 2＝＿＿＿＿，向心加速度之比a 1∶a 2＝＿＿＿＿。

解析：由开普勒定律，R 1∶R 2＝231T ∶232T ＝34∶1.由牛顿第二定律，G2MmR =ma ，向心加速度之比a 1∶a 2＝R 22∶R 12＝1∶232。

答案：34∶1 1∶232【技巧点拨】无论运行轨道是圆轨道还是椭圆轨道，只要在万有引力作用下绕同一中心天体做圆周运动，均可应用开普勒第三定律，当绕中心天体运行的轨道既有椭圆轨道也有圆轨道时，开普勒第三定律的优越性尤为突出。

比较绕同一中心天体运行的星体的周期或半径时，一般用33122212R R T T =。

◇考点2 万有引力定律、天体质量和密度的估算【基础知识梳理】 万有引力定律内容自然界中任何两个物体都是相互① 的，引力的大小跟这两个物体的质量的② 成正比，跟它们的距离的③ 成反比。

表达式122m m F Gr=，式中G 是④ 常量，常取2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-（英国物理学家 ⑤ 用扭秤测出）。

适用情况1.两个质点2.两个均匀球体3.一个质点与一个质量均匀分布或分层分布的均匀球体。

[参考答案]①吸引 ②乘积 ③二次方 ④引力 ⑤卡文迪许 【核心考点讲练】1. 利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求天体的质量和密度由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g 4πGR。

2. 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 求天体的质量和密度（1）由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；（2）若已知天体的半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3。

（3）若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估测出中心天体的密度。

3. 计算天体质量和密度时应注意的问题（1）利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。

（2）区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星，才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的“R ”只能是中心天体的半径。

【典例1】（2012·福建卷）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。

假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。

已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A. mv 2GNB. mv 4GNC. Nv 2GmD. Nv 4Gm解析：行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有22Mm v G m R R ''=；行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有，2MmG mg R=；而N =mg ,可得4mv M GN =，选项B 正确。

答案：B【典例2】（2013·全国大纲卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103 km ，利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg解析：由万有引力充当向心力，G mM （r ＋h ）2＝m 4π2（r ＋h ）T 2，可得环绕周期T ＝2π（r ＋h ）3GM，代入数据，解得月球质量M ＝7.4×1022kg ，选项D 正确 答案：D【技巧点拨】本题型一般有三种考查方式，一是判断能否求出天体的质量和密度，二是确定所求天体质量或密度的表达式，三是求天体质量或密度的具体数据。

前两种情况需要根据万有引力提供向心力列方程判断，后者往往给出的数据相差很大，如本题相差310倍或610倍，因此计算时不需要很精确，近似计算即可，主要关注数量级是否正确。

◇考点3 卫星运行参数、宇宙速度【基础知识梳理】1. 地球卫星的运行参数 物理量 推导依据表达式最大值或最小值备注线速度222rv m r Mm G = v =①当r R =时有最大值，7.9/v km s =。

本规律适合于圆周运动，不适合于椭圆轨道运动角速度r m rMmG22ω= ω=②当r R =时有最小值。

周期r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π T =③ 当r R =时有最小值，约85min 。

向心加速度 向ma rMmG =2 a =向④当r R =时有最大值,最大值为a =⑤ 。

轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合。

共性：半径越小，运动越快。

2. 宇宙速度宇宙速度宇宙速度的大小宇宙速度的含义第一宇宙速度（环绕速度） v １＝⑥人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的⑦速度。

第二宇宙速度（脱离速度） v ２＝11.2km/s 物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度。

第三宇宙速度（逃逸速度） v ３＝16.7km/s物体挣脱⑧的引力束缚需要的最小发射速度。

[参考答案]①GM r②3GM r ③32r GM π ④2GM r ⑤g ⑥7.9ｋm/s⑦最大绕行 ⑧太阳 【核心考点讲练】1. 应用万有引力定律讨论天体运动（包括人造卫星）的两条线索（1）主线索：将牛顿第二定律、万有引力定律和向心力公式相结合，万有引力提供物体做圆周运动的向心力2MmG ma r=，而2222()v a r r r T πω===。

（2）副线索：物体所受重力(近似)等于它受到的万有引力，2MmG mg R=，g 为与R 相对应的重力加速度．2. 第一宇宙速度的推导（1）推导1：当卫星在地球表面附近运动时，r =R （R 为地球半径）， 由R v m RMm G 22=得7.9/GMv km s R==。

（1）推导2：在地面附近，重力等于万有引力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。

（地球半径R 、地面重力加速度g 已知）由Rv m mg 2= 得s km gR v /9.7==。

【典例1】（2013·广东卷）如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A. 甲的向心加速度比乙的小 B. 甲的运行周期比乙的小 C. 甲的角速度比乙大 D. 甲的线速度比乙大解析:由万有引力提供向心力得：r Tm ma r m r v m r Mm G 222224πω====变形得： 2r GMa = r GM v = 3rGM =ω GM r T 32π= 只有周期T 和M 成减函数关系，其他三个a v ω和M 成增函数关系故选A 。

答案：A【典例2】（2014·江苏卷）已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为（ ）A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/s解析：航天器在火星表面附近做圆周运动所需的向心力是由万有引力提供的，由G Mm R 2＝m v 2R知v ＝GM R，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v 地＝7.9 km/s ，v 火v 地＝GM 火R 火GM 地R 地＝M 火M 地·R 地R 火＝55，故v 火＝55v 地＝55×7.9 km/s ≈3.5 km/s ，则A 正确。