北京玉渊潭中学数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)
整式的乘法与因式分解及答案解析
↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）1．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y ﹣1）D．2x+y=2（x+y）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：因式分解分析：分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．解答：解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）2．下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：因式分解分析：直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．解答：解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知识，正确把握因式分解的方法是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）3．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（）A．y（x+y）2B．y（x﹣y）2C．y（x2﹣y2）D．y（x+y）（x﹣y）考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解分析：首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．解答：解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故选：D．点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）4．下列因式分解正确的是（）A． 2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．x2+1=（x+1）2D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解分析：A直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B和C不能运用完全平方公式进行分解；D是和的形式，不属于因式分解．解答：解：A、2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），故此选项正确；B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；C、x2+1，不能运用完全平方公式进行分解，故此选项错误；D、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2，还是和的形式，不属于因式分解，故此选项错误；故选：A．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）5．若a+b=2，ab=2，则a2+b2的值为（）A． 6 B．4 C．3D．2考点：完全平方公式．专题：因式分解分析：利用a2+b2=（a+b）2﹣2ab代入数值求解．解答：解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8﹣4=4，故选：B．点评：本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式，灵活运用它的变化式．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）6．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（）A． 4 B．C．D． 2考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．解答：解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：S△BDF=4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a=2．故选：D．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）7．因式分解：m （x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接提取公因式（x﹣y），进而得出答案．解答：解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．故答案为：（x﹣y）（m+n）．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）8．已知实数a，b 满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是6．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．解答：解：a2b﹣ab2=ab（a﹣b），将ab=3，a﹣b=2，代入得出：原式=ab（a﹣b）=3×2=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）9．若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是15．考点：因式分解-提公因式法．专题：整体思想．分析：直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．解答：解：∵ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=3×5=15．故答案为：15．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）10．已知2x+y=0，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+2的值．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题分析：先算乘法，再合并同类项，变形后代入求出即可．解答：解：x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+2=x2+2xy﹣（x2﹣y2）+2=x2+2xy﹣x2+y2+2=y2+2xy+2=y（y+2x）+2，∵2x+y=0∴原式=2点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力，题目比较好，难度适中．↗（人教版.整式的乘法与因式分解.第14章.2分）11．已知2x+y=4，求[（x﹣y）2﹣（x+y）2+y（2x﹣y）]÷（﹣2y）的值．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：因式分解分析：先求出x+y的值，再算乘法，合并同类项，最后整体代入求出即可．解答：解：∵2x+y=4，∴x+y=2，∴原式=[x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2+2xy﹣y2]÷（﹣2y）=（﹣2xy﹣y2）÷（﹣2y）=x+y=2．点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力，用了整体代入思想，题目比较好，难度适中．。
中考数学专题训练-整式的乘法与因式分解(含答案)
20.（12 分）分解因式： (1) 12abc－2bc2；
(2) 2a3－12a2＋18a；
296 =(300－4) =300 －2×300×(－4)+4 =90000+2400+16=92416 老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正 确的答案. (3) 9a(x－y)＋3b(x－y)； (4) (x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
5
B. a ⋅ a = a
2 3
3
5
C. (ab 2 ) 3 = ab 6
D. a
10
÷ a2 = a5
9. 如(x＋m)与(x＋3)的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为( A．0 B．3 C．－3 D．1 10. 若 3 = 15, 3 = 5，则 3 A．5 C．15
x y x− y
2. 计算 2 x ⋅ ( −3 x ) 的结果是（ A. 6 x
9 xy 2
16.已知 4x ＋mx＋9 是完全平方式，则 m＝_________． 17. 已知 a + b = 5 ， ab = 3 则 a + b =__________．
2 2
2
C． 4 xy
D． 2 xy
6. ( x − a ) x 2 + ax + a 2 的计算结果是( A. x + 2ax − a
3 2 3
(
)
)
3
18. 定义 a ∗ b = a − b ，则 (1 ∗ 2) ∗ 3 =
2
．
B. x − a
3 2
三、解答题（本大题共有 7 小题，共 54 分） 19． （9 分）计算:
整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。
整式的乘法与因式分解单元测试与练习(word解析版)
整式的乘法与因式分解单元测试与练习（word解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 的值是( )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】把已知的式子化成12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【详解】原式=12（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=12[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=12×（1+4+1）=3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．2．已知实数a、b满足a+b=2，ab=34，则a﹣b=（）A．1 B．﹣52C．±1 D．±52【答案】C【解析】分析：利用完全平方公式解答即可．详解：∵a+b=2，ab=34，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=52，∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，∴a-b=±1，故选C ．点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．3．把228a -分解因式，结果正确的是( )A ．22(4)a -B ．22(2)a -C ．2(2)(2)a a +-D ．22(2)a +【答案】C【解析】【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】 228a -=22(4)a -=2(2)(2)a a +-，故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b)(a ＋2b)＝a 2＋ab －b 2【答案】B【解析】图（4）中，∵S 正方形=a 2-2b （a-b ）-b 2=a 2-2ab+b 2=（a-b ）2，∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2．故选B5．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A．60 B．30 C．15 D．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=6×5=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．6．如果是个完全平方式，那么的值是（）A．8 B．-4 C．±8 D．8或-4【答案】D【解析】试题解析：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式，∴（x±3）2=x2±2(m-2)x+9，∴2(m-2)=±12，∴m=8或-4．故选D．7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（）A．30 B．20 C．60 D．40【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+- =1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.8．下列变形，是因式分解的是（ ）A ．2(1)x x x x -=-B ．21(1)1x x x x -+=-+C ．2(1)x x x x -=-D ．2()22a b c ab ac +=+【答案】C【解析】分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 详解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．点睛：本题考查了因式分解的知识，理解因式分解的定义是解题关键．9．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b=a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.13．x+1x＝3，则x 2+21x ＝_____． 【答案】7【解析】【分析】 直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．【详解】解：∵x +1x ＝3， ∴（x +1x ）2＝9， ∴x 2+21x +2＝9， ∴x 2+21x＝7． 故答案为7．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．14．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________．【答案】28【解析】【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解：∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.15．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．【答案】m n+p+q【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q. 点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.16．若x﹣1x=2，则x2+21x的值是______．【答案】6【解析】根据完全平方公式，可知（x﹣1x）2= x2-2+21x=4，移项整理可得x2+21x=6.故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.17．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．【答案】xy（x﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．故答案为：xy（x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．分解因式6xy2－9x2y－y3 = _____________.【答案】－y(3x－y)2【解析】【分析】先提公因式-y，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】6xy2－9x2y－y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2，故答案为：-y(3x-y)2.【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.19．因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．【答案】a （a ﹣b ）2．【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）=a （a ﹣b ）2，故答案为a （a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。
整式的乘除与因式分解测试题(有答案)
整式的乘除与因式分解测试题（有答案）小编为大家整理了整式的乘除与因式分解测试题（有答案），希望能对大家的学习带来帮助！要想掌握每一个阶段的内容，重要的是回归课本，将基础知识和定义记牢，再进行解题，不要急于跳入题海，如果一下子就碰到了自己不会的题目就会失去信心。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题。
因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识。
因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等第十五章整式的乘除与因式分解阶段测试(有答案)整式的乘法测试题(总分：100 分时间：60 分钟)班级姓名学号得分一、填空题(每小题2 分，共28 分)1.计算(直接写出结果)①a•a3=.③(b3)4=.④(2ab)3=.⑤3x2y• =.2.计算：=.3.计算：=.4.( ) =__________.5. ，求=.6.若，求=.7.若x2n=4，则x6n=___.8.若，，则=.9.-12 =-6ab•().10.计算:(2 乘以)乘以(-4 乘以)=.11.计算：=.12.①2a2(3a2-5b)=.②(5x+2y)(3x-2y)=.13.计算：=.14.若小编为大家整理了初二数学一次函数练习题（附答案），希望能对大家的学习带来帮助！一次函数的图象和性质选择题1.已知一次函数,若随着的增大而减小,则该函数图象经过:(A)第一,二,三象限(B)第一,二,四象限(C)第二,三,四象限(D)第一,三,四象限2.某市的出租车的收费标准如下：3 千米以内的收费6 元;3 千米到10 千米部分每千米加收1.3 元;10 千米以上的部分每千米加收1.9 元。
北京国子监中学数学整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]
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一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++2221111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．根据以上材料，完成相应的任务：（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______；（2）请你利用上述方法因式分解：①223x x +-； ②24127x x +-．【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-【解析】【分析】（1）将多项式2233+-即可完成配方；（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.【详解】解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，故答案为：2(3)1x --；（2）①223x x +-22113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-．②24127x x +-222(2)12337x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-．【点睛】此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.2．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]=12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．3．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.【答案】（1）提公因式 ; （2）()20201x + ；（3）()11n x ++【解析】【分析】（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()41x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，=（1+x ）n +x （x+1）n ，=（1+x ）n+1．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．4．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.【解析】【分析】（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，∴阴影部分的面积=（m-n）2方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，∵a-b=5，ab=-6，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．5．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi （a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．（1）填空：i3=，2i4=；（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ）【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可；（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。
(完整版)整式的乘法与因式分解专题训练
整式的乘法和因式分解一、整式的运算1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值；2、若32=n a，则n a 6= . 3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。
4、已知2x +1⋅3x -1=144，求x ；5．2005200440.25⨯= .6、( 23)2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。
7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值二、乘法公式的变式运用1、位置变化，(x +y )(-y +x )2、符号变化，(-x +y )(-x -y )3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)44、系数变化，(2a +b )(2a -b )5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z )7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2三、乘法公式基础训练:1、计算 （1）1032 （2）19822、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )23、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）22007200720082006-⨯．四、乘法公式常用技巧1、已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
变式练习：已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(完整版)专题整式乘法与因式分解练习题
整式的乘法与因式分解练习（1）一、选择题1．下列计算中正确的是 （ ）A ．5322a b a =+B ．44a a a =÷C ．842a a a =⋅D ．()632a a -=-2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((23n m n m m mn m -+=-C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22423．（-3a 2）2·a 3的计算结果是（ ）A ．-6a 7B ．6a 7C ．9a 7D ．-9a 74．一种计算机每秒可做8410⨯次运算,它工作3310⨯秒运算的次数为 （ ）(A)241210⨯ (B)121.210⨯ (C)121210⨯ (D)81210⨯5．下列各式中,计算结果是2718x x +-的是 （ ）（A ）(2)(9)x x -+ （B ）(2)(9)x x ++（C ）(3)(6)x x -+ （D ）(1)(18)x x -+6．如图：矩形花园中,,,b AD a AB ABCD ==花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ．若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为（ ）A.2b ac ab bc ++-B.ac bc ab a -++2C.2c ac bc ab +--D.ab a bc b -+-227．把-x 3y 2+x 4y 3分解因式，正确的是（ ）A ．-xy （x 2y+x 3y 2）B ．-x 3y 2（1+xy ）C ．-x 3y 2（1-xy ）D ．-x 3y （y+xy 2）8．下列分解因式正确的是 （ ）A ．()123-=-x x x xB ．()()2362-+=-+m m m mC ．()()16442-=-+a a aD ．()()y x y x y x -+=+229．下列各式是完全平方式的是（） A 、 B 、 C 、 D 、10．一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm二、填空题11． =-0)4(π ;()()=-÷-35a a 12．多项式291x +加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是 ． 13、分解因式：2294b a -＝________________.14．=-÷⨯200920082007)1()5.1()32(_______． 15．（a+b ）2=（a-b ）2+______；若a+b=3，ab=2，则a 2+b 2=________．16．若（2x-3）（x+5）=ax 2+bx+c ，则a=______，b=______，c=_______．三、解答题：17．计算:(1) (5)(2)x y x y +- (2)3232)()2(xy y x -（3）xy xy xy y x 5)51015(22÷+- （4）()()()b a b a b a 3232322-+--（5）（6） 5x(x 2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5)18．运用乘法公式进行简便计算(1)59×61 (2)219919．分解因式(1)2255a a - (2)3a(x-y)-2b(y-x) (3)222516y x -(4)2216ay ax - (5)a a a 1812223-+- (6)652--x x20．先化简再求值：（3x+y ）（2x-3y ）+（2x ）2·（3y ）3÷36x 2y+5xy ，其中x=2，y=21．21．已知：2,3==n m x x ，求n m x +和n m x 23+ 的值。
最新最好中考数学专题训练-整式的乘法与因式分解(含答案)
整式的乘法与因式分解一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式运算正确的是（ ）A.532a a a =+B.532a a a =⋅C.632)(ab ab = D.5210a a a =÷2. 计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A. 56x B. 62x C.62x - D. 56x - 3．计算32)21(b a -的结果正确的是（ ） A. 2441b a B.3681b a C. 3681b a - D.5318a b -4. 44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ）A 、2245b a + B 、2245b a + C 、2245b a +- D 、2245b a -- 5.如图，阴影部分的面积是( ) A ．xy 27B ．xy 29C ．xy 4D ．xy 26.()()22x a x ax a-++的计算结果是( )A. 3232x ax a +- B. 33x a -C.3232x a x a +-D.222322x ax a a ++- 7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录 ①325a b ab+=； ②33345m n mn m n-=-；③5236)2(3x x x -=-⋅；④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()235aa =；⑥()()32a a a -÷-=-．其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D. 4个 8.下列分解因式正确的是( )A.32(1)x x x x -=-． B.2(3)(3)9a a a +-=- C. 29(3)(3)a a a -=+-. D.22()()x y x y x y +=+-. 9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．0B ．3C ．－3D ．110. 若3x=15, 3y=5，则3x y-= ( )．A ．5B ．3C ．15D ．10二、填空题（本大题共有7小题，每空2分，共16分）11．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________． 12．计算22()()33m n m n -+--＝__________．13．201()3π+=________14.当x __________时，(x －3)0＝1． 15. 若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ 16.已知4x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________． 17. 已知5=+b a ，3ab =则22a b +=__________． 18. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ． 三、解答题（本大题共有7小题，共54分） 19．（9分）计算:（1）34223()()a b ab ÷ （2）))(()(2y x y x y x -+-+.(3)xy xy y x y x 2)232(2223÷+--20.（12分）分解因式：(1) 12abc －2bc 2； (2) 2a 3－12a 2＋18a ；(3) 9a(x －y)＋3b(x －y)； (4) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.21.（5分）先化简，再求值：()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中x=3,y=122. (5分) 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ，23．(8分)解下列方程与不等式(1) 3(7)18(315)x x x x -=--； （2）(3)(7)8(5)(1)x x x x +-+>+-.24. （7分）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下： 2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42=90000+2400+16=92416老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案.25．(8分) 下面是某同学对多项式（x 2－4x +2）（x 2－4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x =y原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步） = y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2（第三步） =（x 2－4x +4）2（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______． A ．提取公因式 B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x +2）+1进行因式分解．参考答案1. B ；2.D ；3. C ； 4 .D ； 5．A 6．B ； 7．B ； 8．C. 9．C 10．B11．－x 3y 3；12．2249m n - ； 13.10914. ≠3 15．2, 1 16．12± ； 17. 19 18．-219．（1）32a b ；（2）222y xy + （3）2312x y xy --+20．(1)2bc(6 a －c)；(2)2a (a －3)2；(3) 3(x －y )(3a ＋b )；(4) (x ＋y ＋1)2. 21.x-y222．解：答案不惟一，如291(31)(31)b b b -=+-23.(1) 3x = (2) 1x <-24.错在“－2×300×(－4)”,应为“－2×300×4”,公式用错.∴2962=(300－4)2=3002－2×300×4 +42=90000－2400+16=87616.25．（1）C ；（2）分解不彻底；4(2)x -（3）4(1)x -。
北京玉渊潭中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测(有答案解析)
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12C ．9D ．7 3．代数式2346x x -+的值为3，则2463x x -+的值为（ ） A ．7B ．18C ．5D ．9 4．计算()201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 5．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）A ．最大值23B ．最小值23C ．最大值23-D ．最小值23- 6．下列计算一定正确的是（ ） A ．235a b ab +=B ．()235610a b a b -=C ．623a a a ÷=D ．()222a b a b +=+7．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- 8．下列计算正确的是（ ） A ．（a 2）3=a 5 B ．（2a 2）2=2a 4 C ．a 3•a 4=a 7D ．a 4÷a =a 4 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．2222x y yx x y -+= B ．22445a a a +=C ．()2424m m --=-+D ．33a b ab +=10．下列运算中错误的是( )． A ．-(-3a n b)4=-81a 4n b 4 B ．(a n+1+b n )4 = a 4n+4b 4nC ．(-2a n )2．(3a 2)3 = -54a 2n+6D ．(3x n+1-2x n )5x=15x n+2-10x n+111．若|a |=13，b|=7，且a +b>0，则a -b 的值是( )．A ．6或20B ．20 或-20C ．6或-6D ．-6或20 12．下列运算正确的是（ ）A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+二、填空题13．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．14．若2211392781n n ++⨯÷=，则n =____．15．若231m n -=，则846m n -+=________．16．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．17．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．18．若（2x +1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a ，则a 2+a 4=____19．若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______20．因式分解：(x ＋3)2－9＝________．三、解答题21．先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：()()()()()()22(1)444444x xy x yx xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+()()()()22222222(2)22a b c bca b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）32236m m m --+（2）2229x xy y --+22．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．23．（1）因式分解：()222224x y x y +- （2）计算：()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦24．计算：（1）23262x y x y -÷（2）()233221688x y z x y z xy +÷（3）运用乘法公式计算：2123124122-⨯25．计算：（1）2a (4a 2-2a +1)（2）(2x -1)(2x +2)-(-2x )2（3）(-x -2y )(x -2y )-(2y -x )2 （4）119910022⨯（用简便方法计算） 26．化简： （1）()34322223x y x y z x y -÷；（2）2(4)3(1)(3)x x x x -+-+．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【详解】解：根据题意化简1111x xx x+--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故选：B．【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．2．D解析：D【分析】将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待．3．C解析：C【分析】由代数式3x2−4x＋6的值为3，变形得出x2−43x＝−1，再整体代入x2−43x＋6计算即可．【详解】∵代数式3x2−4x＋6的值为3，∴3x2−4x＋6＝3，∴3x 2−4x ＝−3，∴x 2−43x ＝−1， ∴x 2−43x ＋6＝−1＋6＝5． 故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并运用整体思想是解题的关键． 4．D解析：D【分析】 将原式变形为201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再利用同底数幂的乘法逆运算变为2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】 解：原式=201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ =2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2018201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()20181-1-2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=1×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=12- 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．5．A解析：A【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．【详解】2221241A x y x y =--+++=2221218441184x x y y -+--+-+++=()()222694423x x y y --+--++=()()2223223x y ----+∵()2230x --≤，()220y --≤， ∴()()2223223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．6．B解析：B【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．【详解】A 、2a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；B 、（-a 3b 5）2=a 6b 10，故选项B 符合题意；C 、a 6÷a 2=a 4，故选项C 不符合题意；D 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故选项D 不合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．D解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．8．C解析：C【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．【详解】A 、236()a a =，此项错误；B 、224(2)4a a =，此项错误；C 、347a a a ⋅=，此项正确；D 、34a a a ÷=，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 9．A解析：A【分析】根据同类项的定义与单项式的乘法法则，分别判断分析即可．【详解】解：A.2222x y yx x y -+=，故A 正确；B.22245a a a +=，故B 不正确；C.-2(m-4)=-2m+8，故C 不正确；D.3a 与b 不是同类项，不能合并，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号．注意，去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．10．C解析：C【分析】根据幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：A:()()4444443381n n n a b a b a b --=--=- ，故答案正确；B:()41444n n n n a b a b +++=+ ，故答案正确；C:()()232262623427108n n n a a a a a +-⋅=⋅= ，故答案错误；D:()113253525n n n n x x x x x x x ++-=⋅-⋅ =211510n n x x ++- ，故答案正确． 故选：C ．【点睛】此题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．A解析：A【分析】先求出a b ，的值，根据条件+a b >0，确定=13a ，b=7±，分类代入-a b 求值即可．【详解】|a |=13，=13a ±，|b|=7，b=7±，∵+a b >0，∴=13a ，b=7±，当=13a ，b=7时，=1376a b --=，当=13a ，7b =-时，=13+720a b -=，则6a b -=或20．故选择：A ．【点睛】本题考查条件限定求值问题，会根据限定条件求出字母的值，掌握分类思想求代数式的值是解题关键．12．B解析：B【分析】根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A 、426a a a ⋅=，故该项错误；B 、()23624a a =，故该项正确；C 、4624()()ab ab a b ÷=，故该项错误；D 、22()()a b a b a b +-=-，故该项错误；故选：B ．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．二、填空题13．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数 解析：9或10或11或12．【分析】由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可．【详解】解：根据题意，∵第二次输出3y =，设第一次输出的数是奇数m 时，则132m +=，解得：5m =； 设第一次输出的数是偶数n 时，则32n =，解得：6n =． 当第一次输出为5时，又可以分为两种情况：当x 为奇数时，则152x +=，解得：9x =； 当x 为偶数时，则52=x ，解得：10x =； 当第一次输出为6时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则162x +=，解得：11x =； 当x 为偶数时，则62x =，解得：12x =； 故答案为：9或10或11或12．【点睛】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．14．3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键解析：3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可．【详解】解：2211392781n n ++⨯÷=22213143(3)(3)3n n ++⨯÷=，2423343333n n ++⨯÷=，242(33)433n n ++-+=，1433n +=，14n +=，3n =．故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 15．6【分析】将原式化为再整体代入即可【详解】解：∵∴原式==8-2×1=6故答案为：6【点睛】本题考查了求代数式的值把某一部分看成一个整体是解题的关键解析：6【分析】将原式化为82(23)m n --，再整体代入即可．【详解】解：∵231m n -=，∴原式=82(23)m n --=8-2×1=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值，把某一部分看成一个整体是解题的关键．16．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故解析：﹣25【分析】将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，故答案为：﹣25．【点睛】此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 17．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式解析：22ab a b --+【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．故答案是：22ab a b --+．【点睛】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．18．120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：解析：120【分析】令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①；令x=-1，可求得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，把①和②相加即可求出a 2+a 4的值．【详解】解：当x=0时， a=1；当x=1时， a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①，当x=-1时，-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，①+②，得2a 4+2a 2+2a=242，∴a 2+a 4=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．19．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值【详解】∵是一个完全平方式∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用明确完全平方公式的基本形式是解题的关键解析：12±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵2249x mxy y -+是一个完全平方式，∴22312m =±⨯⨯=±．故答案为：12±．【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 20．x （x+6）【分析】根据平方差公式分解因式【详解】(x ＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x （x+6）故答案为：x （x+6）【点睛】此题考查多项式的因式分解掌握因式分解的方法：提公因式法和公解析：x （x+6）【分析】根据平方差公式分解因式．【详解】(x ＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x （x+6），故答案为：x （x+6）．【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法，根据多项式的特点选用恰当的方法分解因式是解题的关键．三、解答题21．（1）2(2)(3)m m --；（2）()()33x y x y -+--【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；（2）原式分成222x xy y -+和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：（1）32236m m m --+2(2)3(2)m m m =---2(2)(3)m m =--；（2）2229x xy y --+2229x xy y =-+-()223x y =-- ()()33x y x y =-+--．【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．22．①；见解析【分析】根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．【详解】解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，故答案为：①正确过程如下：229()4()a x y b y x -+-229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．23．（1）()()22x y x y -+；（2）9a 【分析】（1）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解；（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）()222224x y x y +- =()()222222x y xyx y xy +-++ =()()22x y x y -+（2）()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦=()222296923a ab b b a a b ⎡⎤++--÷-⎣⎦ =2222(96+9)23a ab b b a a b ++-÷-=2(186)23a ab a b +÷-=933a b b +-=9a【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．24．（1）23y -；（2）22xyz x z +；（3）1【分析】（1）利用单项式除以单项式法则计算；（2）运用多项式除以单项式法则计算；（3）先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-，利用平方差公式计算，再计算加减法．【详解】解：（1）23262x y x y -÷=23y -；（2）()233221688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +；（3）2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=． 【点睛】此题考查整式的计算法则：单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式，熟记法则是解题的关键．25．（1）8a 3-4a 2+2a ；（2）2x-2；（3）-2x 2+4xy ；（4）399994. 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式和积的乘方展开，再合并同类项即可；（3）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；（4）原式先变形，再利用平方差公式计算即可.【详解】（1）2a(4a 2-2a+1)= 2a ⋅4a 2-2a ⋅2a +2a ⋅1=8a 3-4a 2+2a ；（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2=4x 2+4x-2x-2-4x 2=2x-2；（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2= (-2y-x)( -2y+x) -(2y-x)2=4y 2-x 2-4y 2-x 2+4xy=-2x 2+4xy ； （4）119910022⨯=2211113(100)(100)100()10000999922244-⨯+=-=-=. 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解答此题的关键. 26．（1）223xy xz -；（2）2529x x --【分析】（1）按照多项式除以单项式的法则计算即可；（2）先按整式乘法法则去括号，再合并同类项即可．【详解】解：（1）原式3422322223x y x y x y z x y =÷-÷223xy xz =-．（2）原式()2228323x x x x =-++- 2228369x x x x =-++-2529x x =--．【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确掌握并运用法则是解题关键．。
北京北关中学数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)
北京北关中学数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）A ．-1B ．b ﹣aC ．-aD ．﹣b【答案】D【解析】【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----32b b b =-+=-故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.2．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.3．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.4．已知x 2+4y 2=13，xy=3，求x+2y 的值，这个问题我们可以用边长分别为x 和y 的两种正方形组成一个图形来解决，其中x>y ，能较为简单地解决这个问题的图形是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 ∵222(2)44x y x y xy +=++，∴若用边长分别为x 和y 的两种正方形组成一个图形来解决（其中x y >）， 则这个图形应选A ，其中图形A 中，中间的正方形的边长是x ，四个角上的小正方形边长是y ，四周带虚线的每个矩形的面积是xy .故选A.5．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ，ab ，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b ）=10，ab=6，则a+b=5，故ab 2+a 2b=ab （b+a ）=6×5=30．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．6．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.详解：（x+1）（x-3）=x 2-3x+x-3=x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.7．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.8．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．242(4)2x x x x +-=+-C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．243(2)(2)3x x x x x -+=+-+【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义，可得答案．【详解】A. 是整式的乘法，故A 错误；B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.9．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是 ( )A ．x 2+5x －1=x(x+5)－1B ．x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3xC ．(x+2)(x －2)=x 2－4D ．x 2－9=(x+3)(x －3)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【详解】解：A 、右边不是积的形式，故A 错误；B 、右边不是积的形式，故B 错误；C 、是整式的乘法，故C 错误；D 、x 2－9=(x+3)(x －3)，属于因式分解．故选D ．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知a 1•a 2•a 3•…•a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ．【答案】M ＞N【解析】解：M ﹣N=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007）﹣（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006） =（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）+（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=a 1a 2007＞0∴M ＞N【点评】本题主要考查了整式的混合运算．12．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________．【答案】28【解析】【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解：∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.13．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴13132x +=-，23132x -=- ∴231x x +-=31331322x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：31331322x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.14．已知：如图，△ACB 的面积为30，∠C 90=︒，BC a =，AC b =，正方形ADEB 的面积为169，则2()a b -的值为_____________．【答案】49【解析】首先根据三角形的面积可知12ab=30，可得ab=60，再利用勾股定理和正方形的面积公式求出a 2+b 2=169，因此可知（a-b ）2= a 2+b 2-2ab=169-120=49.故答案为：49. 点睛：此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时考查了三角形的面积计算和完全平方公式的计算.15．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.16．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.17．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.18．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．19．计算：))201820192的结果是_____.2【解析】【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.【详解】))201820192=)))2018201822⨯⨯=)))201822⎡⎤⎣⎦⨯⨯=(5-4)2018×)2=，【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.20．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____．【答案】70．【解析】【分析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b ），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab （a+b ）是解题的关键．。
北京日坛中学分校八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试(含答案解析)
一、选择题1．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）（用含有a 、b 的代数式表示）．A ．a-bB ．a+bC ．abD ．2ab2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y-++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A ．301050B ．103020C ．305010D ．5010303．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++5．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b ）2－（a －b ）2=4ab ．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．22()(2)a b a b a ab b -+=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++6．如果x+y ＝6，x 2-y 2=24，那么y-x 的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．67．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ） A ．最大值23 B ．最小值23 C ．最大值23- D ．最小值23- 8．下列运算正确．．的是（ ） A ．246x x x ⋅= B ．246()x x =C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=-9．记A n ＝（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ） A ．A 5＜A 6 B ．A 52＞A 4A 6C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜1008201510．已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．1C ．-2D ．-111．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）A ．()()1a c b --B ．()11c a b c ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭D ．()1ac bc -12．下列运算正确的是（ ） A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9二、填空题13．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______． 14．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．15．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．16．若26x x m ++为完全平方式，则m =____． 17．若2a 与()23b +互为相反数，则2-=b a ______．18．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．19．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．20．分解因式：2221218ax axy ay -+=_________．三、解答题21．因式分解（1）m 3﹣36m （2）（m 2+n 2)2-4m 2n 2 22．分解因式：()()144m m ++ ()32228x xy -23．计算：（1）23262x y x y -÷ （2）()233221688x y z x y z xy +÷ （3）运用乘法公式计算：2123124122-⨯24．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+ （2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．25．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2020年12月份的日历牌．星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25262728 293031（1）在表①中，我们选择用如表②那样22⨯的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．如：用正方形框圈出3,4,10,11四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即3114107⨯-⨯=-或4103117⨯-⨯=．请你用表②的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)． （2）在用表②的正方形框任意圈出的22⨯个数中，将它们先交叉相乘，再相减．若设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．（3）若选择用表③那样33⨯的正方形方框任意圈出33⨯个数，将正方形方框四角．．．．位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么．选择一种情况说明理由． 26．计算： （1）2a (4a 2-2a +1) （2）(2x -1)(2x +2)-(-2x )2 （3）(-x -2y )(x -2y )-(2y -x )2 （4）119910022⨯（用简便方法计算）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y ay x b +=⎧⎨-=⎩， 解得：42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab ba ab b ab ++-+=-=＝ab ． 故选C ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．2．B解析：B 【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码． 【详解】x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ）， 当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10， 组成密码的数字应包括30，50，10， 所以组成的密码不可能是103020． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．3．D解析：D 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算． 【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解． 故选：D ． 【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．4．C解析：C 【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答． 【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式； B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式； C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式；故选：C ． 【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．5．C解析：C 【分析】利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式2()a b -直接计算，另一种是割补法得222a ab b -+，根据面积相等即可建立等式，得出结论． 【详解】解：空白部分的面积：2()a b -， 还可以表示为：222a ab b -+， ∴此等式是222()2a b a ab b -=-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空白部分的面积是解题的关键．6．A解析：A 【分析】先变形为x 2-y 2=（x+y ）（x-y ），代入数值即可求解． 【详解】解：∵x 2-y 2=（x+y ）（x-y ）=24，∴6（x-y ）=24， ∴x-y=4， ∴y-x=-4， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式是解题关键．7．A解析：A 【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可． 【详解】2221241A x y x y =--+++=2221218441184x x y y -+--+-+++ =()()222694423x x y y --+--++ =()()2223223x y ----+ ∵()2230x --≤，()220y --≤，∴()()2223223x y ----+≤23，∴多项式的最大值是23， 故选A ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．8．A解析：A 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可． 【详解】A 选项246x x x ⋅=，选项正确，故符合题意；B 选项248()x x =，选项错误，故不符合题意；C 选项3332x x x +=，选项错误，故不符合题意；D 选项33(2)8x x -=-，选项错误，故不符合题意．故选：A ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．9．D解析：D【分析】根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可． 【详解】 解：A 、A 5＝22221111631111==2345105⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A 6＝231715612⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 37512> ∴A 5＞A 6， 此选项不符合题意； B 、A 4＝2221115111=2348⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴A 52＝925，A 4A 6＝5735=81290⨯， ∵9352590<， ∴A 52＜A 4A 6，此选项不符合题意； C 、∵A 2＝2131=24-， 且345674681012<<<<<，∴n ≥2时，恒有A n ≤34，此选项不符合题意；D 、当m ＝2015时，A m ＝2015+120161008==2201540302015⨯，当n ＞m 时，A n ＜10082015， ∴存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜10082015， 此选项符合题意； 故选择：D ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．10．D解析：D 【分析】先对()()22113(21)a b ab ++=-进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭进行因式分解即可． 【详解】∵()()22113(21)a b ab ++=-， ∴2222163a b a b ab +++=-，22222440a b ab a b ab +-+-+=，()()2220a b ab -+-=，∴a b =，2ab =，∴1121bb a ab a a⎛⎫-=-=-=-⎪⎝⎭ 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．11．C解析：C 【分析】现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，然后可确定答案． 【详解】解：由图知：0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴()100a a c b ⎛⎫+>-> ⎪⎝⎭，， ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正，C 正确； 而()110c a b c ⎛⎫--<⎪⎝⎭，()()10a c b --<，()10ac bc -<；A 、B 、D 错误. 故选：C. 【点睛】此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负．12．B解析：B 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可． 【详解】∵x 2•x 3=x 5，∴选项A 不符合题意； ∵（x 3）2＝x 6，∴选项B 符合题意；∵（−3x ）3＝−27x 3，∴选项C 不符合题意； ∵x 4＋x 5≠x 9，∴选项D 不符合题意． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．二、填空题13．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5 【分析】由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值． 【详解】解：∵220a b -+=， ∴22a b -=-，∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=． 故答案是：5． 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．14．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36 【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：∵2,3x ya a ==，∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36， 故答案为36． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．15．（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc 大长方形的面积为：m （a+b+c ）三个小长方形的面积和等解析：()m a b c ma mb c ++=++（等号两边交换位置也正确） 【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式．【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma 、mb 、mc ，大长方形的面积为：m （a+b+c ），三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m （a+b+c ）= ma+mb+mc ，故答案为：()m a b c ma mb c ++=++．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键．16．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的解析：9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ，则中间项为x 2倍，即可解得m 的值．【详解】解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，可写成(2x +，则中间项为x 2倍，故62x =∴m =9，故答案填：9．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解． 17．-8【分析】根据题意得到+=0根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2b=-3代入2b-a 计算即可【详解】由题意得：+=0∵00∴a-2=0b+3=0∴a=2b=-3∴2b-a=-6-2=8故答解析：-8【分析】 根据题意得到2a +2(3)b +=0，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2，b=-3，代入2b-a 计算即可．【详解】 由题意得：2a +2(3)b +=0∵2a ≥0，2(3)b +≥0，∴a-2=0，b+3=0，∴a=2，b=-3，∴2b-a=-6-2=8，故答案为：-8．【点睛】此题考查相反数的定义，绝对值的非负性及偶次方的非负性，求代数式的值，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a 和b 的值是解题的关键．18．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式 解析：22ab a b --+【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．故答案是：22ab a b --+．【点睛】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．19．等边【分析】先等式两边同乘以2再移项利用完全平方公式即可得到答案【详解】∵∴∴∴∵∴∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式偶数次幂的非负性以及等边三角形的 解析：等边【分析】先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．【详解】∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形，故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．20．【分析】先提取公因式再利用完全平方公式继续分解即可【详解】故答案为：2a(x-3y)2【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解一个多项式有公因式首先提取公因式然后再用其他方法进行因式分解同解析：22(3)a x y -【分析】先提取公因式2a ，再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】222ax 12axy 18ay -+222(6)9a x xy y =-+22(3)a x y =-，故答案为：2a(x-3y)2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．三、解答题21．（1）m (m +6)(m -6)；（2）（m +n ）2（m -n ）2【分析】（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）m 3﹣36m= m （m 2﹣36）=m(m+6)(m-6)（2）（m 2+n 2）2-4m 2n 2=（m 2+n 2）2-（2mn ）2=（m 2+n 2+2mn ）（m 2+n 2-2mn ）=（m+n ）2（m-n ）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22．（1）()22m +；（2）()()222x x y x y +- 【分析】（1）将原代数式去括号计算后，直接利用完全平方公式因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．【详解】解：()()144m m ++244m m =++()22m =+； ()32228x xy -()2224x x y =- ()()222x x y x y =+-．【点睛】本题考查因式分解．一般因式分解时能提取公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解．23．（1）23y -；（2）22xyz x z +；（3）1【分析】（1）利用单项式除以单项式法则计算；（2）运用多项式除以单项式法则计算；（3）先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-，利用平方差公式计算，再计算加减法．【详解】解：（1）23262x y x y -÷=23y -；（2）()233221688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +；（3）2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=． 【点睛】此题考查整式的计算法则：单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式，熟记法则是解题的关键．24．（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7a -是完全平方式，①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥；（2）∵22222()a b c c a b ++=+，∴()()2222220a ac cb bc c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c ，∴ABC ∆是等边三角形；（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++=22(8)(816)64x x x x ++++=222(8)16(8)64x x x x ++++=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2288x x ++，∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（1）91710167⨯-⨯=-或10169177⨯-⨯=，（2）+1n ,n+7，n+8，()()()+178n n n n +-+，7，或()()()8+17n n n n +-+，-7；（3）1×17-3×15=-28或3×15-1×17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，n ，+2n ，n+14，n+16，()()()+21416n n n n +-+，28，()()()16+214n n n n +-+，-28，它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．【分析】（1）先画出选出的各数，再计算即可；（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+1n+7n+8n ，，,列出算式()()()+178n n n n +-+或()()()8+17n n n n +-+，求出即可；（3）先圈出各个数，列出算式，设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，，列出算式，求出即可．【详解】（1）圈出的数如图，9,10；16,17，91710161531607⨯-⨯=-=-或10169171601537⨯-⨯=-=，（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为，+1n+7n+8n ，，,()()()+178n n n n +-+，=22878n n n n ++--，=7，或()()()8+17n n n n +-+，=22887n n n n +---，=-7；（3）圈出的数为1,2,3；8,9,10；15,16,17四角数位1,3,15,171×17-3×15=17-45=-28或3×15-1×17=35-17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，理由是：设设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，,()()()+21416n n n n +-+，=22162816n n n n ++--，=28，()()()16+214n n n n +-+，=22161628n n n n +---，=-28．结论：它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，掌握整式的混合运算法则，能理解题意，会按要求列式是解题关键，培养阅读能力和计算能力．26．（1）8a 3-4a 2+2a ；（2）2x-2；（3）-2x 2+4xy ；（4）399994. 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式和积的乘方展开，再合并同类项即可；（3）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；（4）原式先变形，再利用平方差公式计算即可.【详解】（1）2a(4a 2-2a+1)= 2a ⋅4a 2-2a ⋅2a +2a ⋅1=8a 3-4a 2+2a ；（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2=4x 2+4x-2x-2-4x 2=2x-2；（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2= (-2y-x)( -2y+x) -(2y-x)2=4y 2-x 2-4y 2-x 2+4xy=-2x 2+4xy ； （4）119910022⨯=2211113(100)(100)100()10000999922244-⨯+=-=-=. 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解答此题的关键.。
十四章整式的乘法与因式分解试题(有答案)
整式的乘法与因式分解一、单选题1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是 （ ） A ．2615x x +-B ．2373y y ++C ．224x x --D ．22245x xy y -+2．把(a +b )2−4(a 2−b 2)+4(a −b )2分解因式为( )A ．( 3a −b )2B ．(3b +a )2C ．(3b −a )2D ．( 3a +b )23．已知x ，y 为任意有理数，记M = x 2+y 2，N = 2xy ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M ≤ND ．不能确定4．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.()22a b +-B.25m -20mnC.22x y --D.225x -+5．下列正确的是（ ） A ．7613a a a +=B ．7642a a a ⋅=C ．7642()a a =D ．7676a a ÷=6．下列运算正确的是（ ） A ．2a ＋3b ＝5abB ．2（2a －b ）＝4a －2bC ．（a 2）3＝a 5D ．a 6÷a 2＝a 37．已知多项式2x 2＋bx ＋c 分解因式为2(x －3)(x ＋1)，则b ，c 的值为( )． A ．b ＝3，c ＝－1 B ．b ＝－6，c ＝2 C ．b ＝－6，c ＝－4 D ．b ＝－4，c ＝－68．要使（y 2-ky+2y ）（-y ）的展开式中不含y 2项，则k 的值为（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．39．若3x+2y=3，求27x ×9y 的值为（ ） A ．9B ．27C ．6D ．010．如果△ABC 的三边长a ,b ,c 满足(a-b )(a 2+b 2)=ac 2-bc 2,那么△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知多项式M+81b 4可以因式分解为(4a 2+9b 2)(2a+3b )(3b-2a ),则M 表示的单项式是( )A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 212．计算1.252 017×2?01945⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )A ．45B ．1625 C ．1D ．-1二、填空题13．关于x 的代数式（3﹣ax ）（x 2+2x ﹣1）的展开式中不含x 2项，则a=______．14．若27m ÷9÷3=321，则m=_____． 15．已知8×2m ×16m =211，则m 的值为____．16．若实数a 、b 、c 满足a ﹣b，b ﹣c ＝1，那么a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca 的值是_____ 17．已知： （ 为多项式），则 ________________________． 18．若代数式 2a- b 的值是 3 ，则多项式8- 6a +3b 的值是______． 19．计算：=___________________. 20．利用乘法公式计算: ____________.三、解答题21．（1）已知4x=3y ，求代数式 的值； （2）若n 为正整数，且 ，求 的值.22．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程解：设24x x y -=，原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =-+（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）. A ．提取公因式 B ．平方差公式 C ．两数和的完全平方式 D ．两数差的完全平方式（2）该同学在第四步将y 用所设中的x 代数式代换，得到的因式分解的最后的结果.这个结果是否分解到最后？ .（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 . （3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x xxx --++进行因式分解.23．观察下列因式分解的过程:①x 2-xy+4x-4y=(x 2-xy )+(4x-4y )=x (x-y )+4(x-y )=(x-y )(x+4). ②a 2-b 2-c 2+2bc=a 2-(b 2+c 2-2bc )=a 2-(b-c )2=(a+b-c )(a-b+c ).第①题分组后能直接提公因式,第②题分组后能直接运用公式,仿照上述分解因式的方法,把下列各式分解因式: (1)ad-ac-bc+bd ;(2)x 2-6x+9-y 2.24．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：方法2：（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．25．已知实数m，n满足m+n=4，mn=-2.（1）求(1-m)(1-n)的值；（2）求的值.26．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．(1)按要求填空：①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：______方法2：______③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______；(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值．(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．参考答案1．D2．C3．B4．D5．C6．B7．D 8．C 9．B 10．D 11．B 12．B 13．1.5 14．815．8 516．17．18．19．-39520．2000221．(1)0；（2）512.22．（1）C；（2）否，()42x-；（3）略23．（1）(d-c)(a+b).（2）(x+y-3)(x-y-3).24．（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；（3）14．25．（1）-5；（2）20. 26．（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2。
八年级整式的乘法与因式分解单元测试卷(含答案解析)
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；
B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
C、x-1=x（1- ），不是分解因式，故选项错误；
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．
A．4xB． 4C． 4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式： ，此题为开放性题目．
【详解】
设这个单项式为Q，
如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x；
如果这里首末两项是Q和1,则乘积项是 ,所以Q= ；
如果该式只有 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】
解： 是一个完全平方式，
，
解得： ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（）
A．－16B．16C．8D．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
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北京玉渊潭中学数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.3．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )A ．3B ．6C ．3±D ．6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±⨯=±.故选D.4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选C．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为（）A．120 B．60 C．80 D．40【答案】B【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，∴a+b＝6，ab＝10，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×6＝60．故选：B．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．6．下列分解因式正确的是（）A．x2-x+2=x（x-1）+2 B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1-1x）D．（x-1）2=x2-2x+1【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B、x2-x=x（x-1），故选项正确；C 、x-1=x （1-1x），不是分解因式，故选项错误； D 、（x-1）2=x 2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．7．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.详解：（x+1）（x-3）=x 2-3x+x-3=x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.8．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】A【解析】【分析】 根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．9．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.10．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知a 1•a 2•a 3•…•a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ．【答案】M ＞N解：M ﹣N=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007）﹣（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006） =（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）+（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=a 1a 2007＞0∴M ＞N【点评】本题主要考查了整式的混合运算．12．已知25,23a b==，求2a b +的值为________.【答案】15．【解析】【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．【详解】解：∵2a =5，2b =3，∴2a+b =2a ×2b =5×3=15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．13．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.14．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．【答案】()23a x y -【解析】根据题意，先提公因式，再根据平方差公式分解即可得：()()22222363323ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-. 故答案为()23a x y -.15．已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩，则22x 4y -的值为______． 【答案】-15【解析】【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.【详解】∵x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩， ∴22x 4y -=（x+2y ）（x-2y ）=-3×5=-15，故答案为：-15.【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.16．分解因式6xy 2－9x 2y －y 3 = _____________.【答案】－y(3x －y)2【解析】【分析】先提公因式-y ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】6xy 2－9x 2y －y 3=-y(9x 2-6xy+y 2)=-y(3x-y)2，故答案为：-y(3x-y)2.【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.17．若（2x ﹣3）x+5=1，则x 的值为________．【答案】2或1或-5【解析】(1)当2x −3=1时,x=2,此时()2+543-=1，等式成立；(2)当2x −3=−1时,x=1,此时()1523+-=1，等式成立； (3)当x+5=0时,x=−5,此时()0103--=1，等式成立．综上所述，x 的值为：2，1或−5.故答案为2，1或−5.18．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).19．分解因式：a 3－a =【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a =a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+20．因式分解34x x -= ．【答案】()()x x 2x 2-+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．。