梁的内力
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
第四章 梁的内力
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
第四章
二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
梁的内力与应力(图片版)
σ=FbA，其中F为作用在梁上的力，b 为梁的宽度，A为梁的横截面积。
描述
正应力表示梁在承受拉伸或压缩时， 截面上产生的应力。
剪应力
剪应力
与截面相切的应力，主要由于剪 切而产生。
描述
剪应力表示梁在承受剪切时，截面 上产生的应力。
公式
τ=FsA，其中Fs为作用在梁上的剪 力，A为梁的横截面积。
弯曲应力
致梁发生断裂或严重变形。
强度失效的原因可能包括材料缺 陷、设计不当或制造工艺问题等。
弯曲失稳
弯曲失稳是指梁在受到垂直于 轴线的横向力作用时，发生弯 曲变形并最终失去稳定性。
弯曲失稳通常发生在梁的长度、 跨度较大或支撑不足时，导致 梁发生过大弯曲和扭曲。
弯曲失稳的原因可能包括梁的 刚度不足、支撑条件不当或外 力过大等。
。
混凝土
适用于桥梁、房屋和基础设施 等需要承受较大荷载且稳定性
要求较高的场合。
木料
适用于临时建筑、小型建筑和 家庭装修等需要较低承载能力
的场合。
其他材料
如铝合金、玻璃钢等，适用于 特殊场合和特定需求。
优化设计
截面优化
根据梁的跨度、承载能力和稳定性要求，选择合适的截面尺寸和 形状，以减小材料用量和提高承载能力。
梁的内力与应力(图片 版)
目录 CONTENT
• 梁的简介 • 梁的内力 • 梁的应力 • 梁的强度与稳定性 • 梁的设计与优化 • 梁的案例分析
01
梁的简介
梁的种类
01
02
03
简支梁
简支梁是两端支撑在支座 上的单跨梁，其载荷作用 在跨中位置。
连续梁
连续梁是多跨梁，载荷可 以作用在任意位置。
悬臂梁
第五章 梁的内力
第五章 梁的内力§5−1 概述一、工程实际中的弯曲问题等直杆在其包含杆轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶的作用，杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲。
弯曲变形是构件的基本变形之一，这种以弯曲变形为主的杆件叫做受弯杆或简称为梁。
工程结构中经常用梁来承受荷载，例如图5−1a 所示房屋建筑中的楼板梁要受到由楼板传递来的均布荷载，图5−1b 所示的火车轮轴受到火车车厢的作用，这些杆件发生的主要变形都是弯曲变形。
梁发生弯曲变形后，梁的轴线成为一条平面曲线（图5−2），这种弯曲叫做对称弯曲，对称弯曲后，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，因此也称为平面弯曲。
这种弯曲统称为非对称弯曲。
二、梁的支座及支座反力1．可动铰支座这种支座如图5−3a 所示，它只限制梁在支承处沿垂直于支承面方向的位移，但不能限制梁在支承处沿平行于支承面的方向移动和转动。
故其只有一个垂直于支承面方向的支座反力F R y 。
2．固定铰支座这种支座如图5−3b 所示，它限制梁在支座处沿任何方向的移动，但不限制梁在支座处的转动。
故其反力一定通过铰中心，但大小和方向均未知，一般将其分解为两个相互垂直的分量：水平分量F R x 和坚向分量F R y ，即可认为该支座有两个支座反力。
3．固定端支座这种支座如图5−3c 所示，它既限制梁在支座处的线位移，也限制其角位移。
支座反力的大小、方向都是未知的，通常将该支座反力简化为三个分量F R x 、F R y 和M ，即可认为该支座有三个支座反力。
纵向对称面 A 图5−2 图 5−1（b ） （a ）三、静定梁的基本形式常见的简单静定梁有下列三种：1．简支梁。
这种梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图5−4a ）。
2．悬臂梁。
这种梁的一端是固定端支座，另一端是自由端（图5−4b ）。
3．外伸梁。
这种梁相当于简支梁的一端或两端伸出支座以外（图5−4c ）。
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式1.集中力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=F*x其中，M是梁的弯矩，F是集中力，x是集中力作用点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=F其中，V是梁的剪力，F是集中力。
2.均布力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=w*x^2/2其中，M是梁的弯矩，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=w*x其中，V是梁的剪力，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
3.其他外力作用下的受静载荷梁内力计算公式：当存在多个外力作用在梁上时，我们可以将其分解为集中力和均布力的叠加。
然后可以使用前面提到的公式来计算相应的内力。
变位计算公式主要有两种方法，分别是力偏心法和位移法。
4.力偏心法：利用力偏心引起的弯矩和剪力，根据梁的弹性理论和材料的本构关系，可以计算出梁的变位。
其中，弯矩引起的变位可由以下公式计算：δ=M*l^2/(2*E*I)其中，δ是梁的变形，M是梁上弯矩的最大值，l是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
剪力引起的变位可由以下公式计算：δ=V*l/(G*A)其中，δ是梁的变形，V是梁上剪力的最大值，l是梁的长度，G是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
5.位移法：利用位移函数法，将梁的各个节点的位移表示为节点位移和激励项的组合，可以通过解线性代数方程组得到梁的节点位移。
其中，节点位移可以用来计算梁的变位。
综上所述，受静载荷梁的内力和变位计算可以通过公式和方法进行求解。
具体的计算公式和方法取决于梁的受力情况和边界条件。
在实际工程中，通常会采用数值分析方法，如有限元法等，来计算受静载荷梁的内力和变位。
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
梁的内力
均布荷载
§4-2 梁的荷载和支座反力
二、梁的支座及支座反力
1、固定铰支座
2、可动铰支座
FRx
FRy
FRy
3、固定支座
MA FRx
FRy
§4-2 梁的荷载和支座反力
三、静定梁的基本形式
FAx
FAy FAx
FAx MA
FAy FAy
简支梁
FBy
外伸梁 (伸臂梁)
FBy
悬臂梁 梁的支座反力可根据梁的平衡条件得到
CB
FS (x2 )＝− Fa / l (a ≤ x2 ≤ l) M(x2 )＝Fa(l − x2 )/ l (a ≤ x2 ≤ l)
3、作剪力图和弯矩图
例题3 图示简支梁C点受集中力偶作用。
例题4
a
b
M
试画出剪力图和弯矩图。
q
A
C
x1
FAy
l
B x2
FBy
解： 1、求支座反力 FAy＝M / l FBy＝ －M / l
dx Fs (x)+ dFs (x)
dM (x) dx
=
Fs (x)
dM 2(x) dx2
=
q(x)
弯矩图上某点处的曲率等于该点处荷载集度的大小
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
§4-5 剪力、弯矩与荷载集度的关系
二、 剪力图、弯矩图的特征
dFs (x)
dx
=
q(x)
dM (x) dx
= Fs (x)
第4章 梁的内力
§4-1 工程中的弯曲问题
吊车大梁简化:
q F
§4-1 工程中的弯曲问题
火车轮轴简化：
§4-1 工程中的弯曲问题
工程力学梁的内力及其求法
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
工程力学梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
B
FB
剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N
或kN
弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内 的内力偶矩。单位是N·m或kN·m
B
FB
二、剪力、弯矩符号的规定
FS
FS
FS
FS
(a)
(b)
M
M
M
M
(a)
(b)
1．剪力符号规定：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势 则为正，反之为负。
2．弯矩符号规定：截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正， 反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。
三、内力计算（截面法、简便法）
截面法：
F
m
(a) A FA
F
(a) A
C
D
B
得
FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
14-梁的内力及梁的内力图
B FB CB段（x > a）时 M2(x) FS2(x) FB
AC段（x < a）时 M1(x) FA
x
FS1(x)
Fb (0 < x < a ) FS1 ( x ) = l
Fb M 1 (x ) = x (0 ≤ x ≤ a ) l
Fa (a < x < l ) FS2 ( x ) = − FB = − l Fa (l − x ) M 2 ( x ) = FB (l − x) = l (a ≤ x ≤ l )
M M 2 ( x ) = FB (l − x ) = − (l − x ) l
(0 ≤ x < a )
(a < x ≤ l )
第九章 梁的内力
(3)作剪力图和弯矩图 M a A C l FS图
bM l
b
B
M FS1 ( x ) = l M FS2 ( x ) = l
M M 1 (x ) = x l
FS1 = − F
M1 + F × a = 0
M 1 = − Fa
1 FS1 截面2—2 F C22 M2 FA 2 F
S2
∑F
y
=0
− FS2 + FA − F = 0
FS 2 = FA − F = 2 F
∑M
o2
=0
M2 + F ×a = 0
M 2 = − Fa
第九章 梁的内力
y F 1A2 1 2 FA a
工程力学
第九章 梁的内力
第九章 梁的内力
§9-1 弯曲变形
梁 ——以弯曲为主要变形的杆件。
第九章 梁的内力
最基本最常见的弯曲问题 ——对称弯曲
材料力学第五章 梁的内力
（+）
Q图
1.67kNm
RA＝0.89 kN RB＝1.11 kN
2．建立坐标系.
3．确定控制面为A、B 、
及 C、D两侧截面。 4．从A截面右开始
(-) 0.335kNm
画剪力图。
M图
5．从A右侧截面开
始画弯矩图。
43
例2 试画出梁剪力图和弯矩图。
q
C D 解：1．确定约束力
A
B
RA
4a
a qa RB
24
qL 2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
a
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL
qLa M 2 0 M2 qLa
3--3截面处截取的分离体如图（d） a
Q3 0 M3 qLa M2
B M2 图（c）
Q2
B M3 图（d）
Q3 qL
结论：紧邻集中力作用的左、右截面上，剪力发生突变，变化
1
§5–1 工程实际中的受弯杆 §5–2 梁的内力——剪力和弯矩 §5–3 剪力图和弯矩图 §5–4 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 §5–5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
2
§5–1工程实际中的受弯杆
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 P — 集中力
2
x q x
Q
M
q
l
M x
Qx
ql
x
x
ql 2 / 8
ql 2 / 2
[例3] 悬臂梁受均布载荷作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
梁的内力
2l 3
0
FRA
1 3 q0l
校核：
FRA
FRB
1 2
q0l
1 3
q0l
1 6
q0l
1 2
q0l
0
反力无误。
§4-3 梁的内力及其求法
已知：如图，F，a，l。 求：距A端 x 处截面上内力。
m
a
F
解：①求外力（支座反力）
A
m
x l
B
Fx 0 , FAX 0
mAF 0 , FBYl Fa 0
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用 点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
F S (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
F S (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
剪力图为一斜直线
F S (0) 0
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
梁的内力
H B = 30kN (←)
VA = 40kN (↑)
VB = 80kN (↑)
=0
=0
VA × 6 + 30 × 4 20 × 6 × 3 = 0
VB × 6 + 30 × 4 20 × 6 × 3 = 0
校核
A
∑Y = 0
<2> 作弯矩图：
AD杆：AC段无载荷区，
M AC = 0
CD段无均布载荷；
上次课主要内容回顾
1.梁的内力： 1.梁的内力：弯矩和剪力 梁的内力
m A a l RA Q M RA M RB Q P1 P2 RB
m
P1
P2 B
2.内力符号规定： 内力符号规定：
剪力符号: 剪力符号: 剪力符号 +Q
-Q
弯矩符号: 弯矩符号: 弯矩符号 +M
-M
3.梁内力的简便求法： 梁内力的简便求法：
+ A B
qa qa RA = = 2× 2a 4
M
qa 2
2
qa + 5qa Q = Q = , QB = 4 4 1 2 MB = RA × 2a = qa 2 1 1 2 + MB = qa × a = qa 2 2
Q max = qa
M max = qa 2
2
P A C D P B
+ A
qa2
Q max = 3qa 2
M max = qa2
q A RA Q C
qa
2a a
2
解:（1）支反力 （ ）
B
RA = RB = qa
(2)作剪力图、弯矩图 作剪力图、 作剪力图
3qa Q = qa, QC = Q = 2
梁的受力原理
梁的受力原理梁的受力原理是指在静力学中，对于受力梁的平衡条件的分析和描述。
通过对梁体的受力分析，可以得出梁的平衡条件和受力特点，进一步帮助我们了解梁体的力学性质和结构特点。
梁的受力原理可以通过以下几个方面来进行描述和分析：一、梁的力学模型在进行梁的受力原理分析之前，首先要建立梁的力学模型。
梁体通常可以理解为一个长条形的物体，可以直接受力于梁体上的两个端点，或者通过其他的支撑点来传递力。
梁体一般具有一定的刚性，可以忽略其形变，从而简化力学模型的分析。
二、梁的内力梁体受到外界的力作用后，会在梁体内部产生内力。
内力是梁体内部各点受到的相邻切面之间的作用力。
内力可以分为弯曲力、切割力和剪切力等。
在梁的平衡状态下，各点受到的内力应该平衡，即内力合力为零，内力合矩为零。
三、梁的支点反力在梁体的支点处，由于支点的约束作用，会产生支点反力。
支点反力主要分为两种情况：一种是支点对梁体的垂直支持力，又称为支座反力；另一种是支点产生的反力矩，又称为支点反力矩。
支点反力的大小和方向是由支点约束条件以及外力作用决定的。
四、梁的外力梁体在平衡状态下，受到的外力应该满足力的平衡条件。
外力主要分为集中力和分布力两种。
集中力是指作用在梁体上的一点上的力，如物体的重力、沿着梁体施加的力等。
分布力是指梁体上单位长度上的力，如均匀分布的荷载、悬挂的悬臂等。
在分析外力作用时，需要将外力转化为位于梁体各点上的力。
五、梁的平衡条件梁体在平衡状态下，受力应该满足平衡条件。
平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合力为零；力矩的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合矩为零。
通过这两个平衡条件，可以求解出梁体上各点的受力情况。
总结起来，梁的受力原理主要包括了梁的力学模型、梁的内力、梁的支点反力、梁的外力以及梁的平衡条件。
通过对这些方面的分析和描述，可以帮助我们更好地理解和应用梁体的受力原理。
在实际工程中，梁的受力原理是研究和设计各类梁体结构的重要基础原理，对于确保结构的安全和可靠性具有重要意义。
梁的内力概念及正负号-文档资料
2.工程实际中的弯曲问题
P
PPP
PPP
P
4
§4-2梁的内力—剪力和弯矩 —概念和正负号
授课教师：刘晓 5
mF
A
m
B
a
l
FA
FS
FB
M
FA
FS F
M
FB
6
一.概念：
1.剪力：与截面相切的内力;
说明：⑴. 表示：Fs；⑵.单位：N,KN;
2.弯矩：与外力相对抗的内力偶矩;
说明：⑴. 表示： M ；⑵.单位：N·m, KN·m;
赠言
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。 《荀子 ·劝学》
1
梁的弯曲是建筑力学 最重要的内容 弯曲变形是工程构件 最常见的基本变形
2
1.梁的类型 根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型
简支梁
悬臂梁Leabharlann 一端固定铰支座 一端活动铰支座
外伸梁
一端固定 一端自由
一端固定铰支座 活动铰支座位于梁 中某个位置
7
二.正负号规定：
1.剪力: 顺正逆负
正
负
Fs
Fs Fs
Fs
2.弯矩： 下凹为正，向上凸为负
M
MM
正
负
M
8
课堂小结
梁的内力：1.概念；2.正负号规定；
课堂巩固
1.梁的内力有（ ）个；
A.1 B.2 C.3 D.4
2.梁的内力分别为剪力和（ ）；
A.轴力 B.扭矩 C.弯矩 D.力矩
3.梁的剪力和弯矩的字母分别为（ ）和（
A.FN
B.Fs C.M D.T
4.梁的正负号规定分别是什么？
）；
9
10
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20
x=5.6
V (kN)
88 80
16
M C 72 2 144 kN.m
M (kN.m)
144
113.6
例7 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
160kN.m A C 2m RA=72kN 72 20kN
20kN/m
B 8m 2m RB=148kN 60 D
弯矩极值的计算
E
x 5.6 m 88 80 16
(0 ≤ x≤a )
Fa l
V M
Fab l
CB段 Fa V FB (a＜x ＜ l ) l Fa M (l x) (a ≤ x≤l ) l
3. 画 V、 M 图
例4
Me A FA a
x
x
作图示梁的V 、M 图。 解： 支反力计算 1.
B b l FB
C
Me Me , FB l FA l
ql 2
V
ql 2
M
ql 2 8
3. 作V、M 图
例3
F A
Fb FA l
作图示梁的V、M 图 解： 支反力计算 1.
B b
a
x
Fb l
C l
Fb Fa FA , FB l l
Fa FB l
2. 列 V、 M 方程
AC段
Fb V FA Fb l M x l
x
(0＜x ＜ a )
V图
M图 Mmax
新课: 简捷法作V 、 M 图
分段——两面、两点 两面——集中力、集中力偶作用的截面 两点——分布荷载的起点和终点 求出各分点的内力，按微分关系作图。
简捷法绘制内力图的一般步骤：
(1）求支座反力。
（2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。
（4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
例5 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
F
A
FA Fb l
解：
B b
Fa FB l
a
Fb l
C
l
Fb Fa FA , FB l l
Fa l
V
M
Fab l
例6
A FA
作图示梁的V、M 图（用简捷法）
q B l
解： 1. 支反力计算
1 、梁的内力
剪力 V 弯矩 M
F
A
x
B
M V x
剪力V 弯矩M
RA
2、 用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图 已知梁上的外力，根据梁上内力图的大致 形状，求出各控制段截面内力值便可绘 出全梁内力图。这种方法叫简捷法。 1）、 M 、V与 q 的微分关系
y
O x dx F q x
dV q dx
dM V dx
d2 M q 2 dx
根据梁的荷载集度 q 、剪力 Q 、弯矩 M 三者 间的微分关系得出梁内力图的规律：
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况
q=0
水平线
⊕
⊖㊀
q=常数 q↓ q↑
斜直线
抛物线
P 作用处
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
V V
R
B
RA
x
M－RAx=0
M = RAx
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
3)剪力与弯矩的正负号规定 剪力的正负号规定
正的剪力
V V
负的剪力
V V
使脱离体顺时针为正
弯矩的正负号规定
正的弯矩
MM
上凹下凸
M
M
引起的变形 ——使梁下凸弯矩为正。
例1
求图示梁E截面的VE和ME 解：1.求支反力
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
作 业
P. 106 6.4
再见
3.联线
几点说明：
K
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法
RB
RA 38 8
1.6m x
Q图(kN)
K
20
12
M图(kN· m) Mk
Mmax=32.4kn· N
2.剪力等于零截面K 的位置 QK=QE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx 2 MK=ME+QE x－ 2 2 5 1 6 =26+8×1.6－ 2
第六章 基本静定梁的内力分析
目的：用图示法形象地表示出剪力Q、 弯矩M沿梁长变化的情况，梁的内力图 绘制是材料力学教学中的一个重点和难 点内容，熟练、正确地绘制内力图有助 于对杆件自身的受力分析及杆件的强度、 刚度和稳定性计算。
绘制内力图方法： 绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加 法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和载荷集度 之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是 用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据， 因此熟练把握简捷法作梁的内力图是十分必要 的。
ql FA FB 2
V
ql 2
FB
2. 作V、M 图
ql 2
M
ql 2 8
例7 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
R=200kN 160kN.m 20kN 20kN/m B 8m 2m RB=148kN
A
C 2m
RA=72kN
解：1. 支反力计算
M B 0, RA 10 160 20 10 3 20 2 0 M A 0, RB 10 160 20 10 7 20 12 0
2. 列 V , M 方程
V
Me l
Me V FA (0＜x＜ l ) l AC段
M ea l
Me M x l
(0 ≤ x < a )
CB段 M
M eb l
Me M (l x) (a < x≤l ) l
3. 画 V 、M 图
复
习
1、梁的内力（包括剪力和弯矩） 2、在已知梁外力的情况下，根据剪力、弯 矩、荷载三者之间的微分关系，掌握梁 内力图的大致形状。
RB=148kN （↑）
RA=72kN （↑）
例8 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
160kN.m A C 2m RA=72kN 72 20kN
20kN/m
B 8m 2m RB=148kN 60 D
2.作剪力图和弯矩图
VB 72 20 8 88 kN VB 72 20 8 148 60 kN VD 20 kN
M A 0, RB 4 F1 1 F2 2.5 0 B 1 1.5m RB 24 1 80 2.5 56 kN 4 RB M B 0, RA 4 F1 3 F2 1.5 0
F1=24kN F2=80kN 1m
A
2m RA
F A B
x l V F
V =－F
（0 ＜ x＜l）
M =－F x
（0≤x＜l）
2. 作剪力图和弯矩图
注意：弯矩图画在受拉一侧 Fl
M
例2
q A B
作图示梁的V、M 图。 1. 解： 支反力计算
ql FA FB 2
x
FA l FB
2. 列 V、 M 方程
1 V ql qx (0＜x ＜ l ) 2 1 1 2 M qlx qx (0 ≤ x≤l ) 2 2
纵对称面
F1 F2
R1
轴线
R2
常见的三种静定梁
—— 简支梁
—— 悬臂梁
—— 外伸梁
二、梁的内力及计算
1）梁的内力 剪力 V
弯矩 M
F
Aபைடு நூலகம்
x
B
M V x
剪力V 弯矩M
RA
2)截面法计算梁的内力 F 剪力V ∑Fy=0, RA－V = 0 x V = RA RA RB 弯矩M y F O MM ∑MO=0,
斜直线
↓
↑
2）V 、M 图的若干规律 q=0 q=0
V﹥0 V= 0 V﹤0
V图
M图
V 、M 图的若干规律 q = 常数
q<0
q>0
V图 M图
抛物线
V、M 图的若干规律
集中力的影响
F
F ｛ F F ｛ 突变F
V图
M图
折角
V 、M 图的若干规律
集中力偶的影响
Me
Me
无影响
V图
M图
突变Me
V 、M 图的若干规律 V= 0的截面，必有Mmax 或 Mmin
M E RA 2 F1 1 48 2 24 1 72 kN.m
三、绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图
1、静力法绘制剪力图和弯矩图
F
A B
x
l
剪力方程 弯矩方程
V=－F M =－F x （0≤x＜l）
坐标位置x的任意截面的剪力和弯矩 就是剪力方程和弯矩方程
1. 剪力方程和弯矩方程
Q图(kN) 由∑MB=0, 8 有 RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0 12 得 20 RA=58kN（↑） 再由∑Y=0, 可得 20 RB MC=0,=20+30+5×4－58=12kN（↑） 16 m MA=－20×1=－20kN· 4 M图(kN· MD=－20×2+58×1=18kN· m) m 0 M =－20×3+58×2－30×1=26kN· m E 2 5 4 6 MF=12×2－16+10=18kN· 10m 8 MG左=12×1－16+10=6kN· m 18 18 MG右=12×1－16=－4kN· MB左=－16kN· m m 26