数学思维导图案例

数学思维导图

(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；

(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .

[教你快速规范审题

]

1．审条件，挖解题信息 观察条件―→

△

ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD ―――――→取BD 中点O

连接EO ，CO

CO ⊥BD ―――――→EC ∩CO ＝C

BD ⊥平面EOC

2．审结论，明解题方向

观察所证结论―

→

求证BE ＝DE

―――――――――――→

需证明△

BDE 是等腰三角形

应证明EO ⊥BD

3．建联系，找解题突破口

CB ＝CD ―――――→O 为BD 中点CO ⊥BD ―――→EC ⊥BD BD ⊥平面EOC ――――――→

OE ⊂平面EOC BD ⊥OE ――――

―→△BDE 是

等腰三角形

BE ＝DE

1．审条件，挖解题信息 观察条件

―

→

△ABD 为正三角形∠BCD ＝120°，M 是AE 的中点

―――――――→取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN MN ∥BE ，DN

⊥AB ，CB ⊥AB 2．审结论，明解题方向

观察所证结论―→DM ∥平面BEC ――――――→需证面面平行

或线线平行 平面DMN ∥平面BEC 或DM 平行于平面BEC 内的一条线 3．建联系，找解题突破口 结合条件与图形

――→

法一 证明平面DMN ∥平面BEC

――――――――――→

由面面平行推证线面平行DM ∥平面BEC

――→法二 在平面BEC 内作辅助线EF ∥DM ――――――――→利用线面平行的判定

DM ∥平面BEC

[教你准确规范解题] (1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO . 由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD .(1分)

又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ， 所以BD ⊥平面EOC .

(2分)

因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(3分) (2)法一：如图，取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN . 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .(4分)

又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .(5分)

又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°.(6分) 又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°.(7分) 所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，

所以DN ∥平面BEC .

(9分)

又MN ∩DN ＝N ，所以平面DMN ∥平面BEC .(10分)

又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .(12分)

法二：如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .(4分) 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°.(5分) 因为△ABD

为正三角形，所以∠

BAD ＝60°，∠ABC ＝90°.(7分)

因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝1

2

AF .

(9分) 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．

(10分)

连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，得DM ∥EF .

又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，(11分) 所以DM ∥平面BEC .(12分)

函数实际应用题答题模板

[典例] (2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设

计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有

关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．

(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积――――――→可根据体积公式

建立关系式

4πr 33＋πr 2l ＝80π

3―――――――→利用表面积公式求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2，S 圆柱＝2πrl

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求y 关于r 的函数表达式，

求y 关于r 的函数表达式，

并求该函数的定义域――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3

3．建联系，找解题突破口

总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3―――→应消掉l

只保留r

由4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－

4r

3――――→故可得

建造费用

y ＝160π

r －8πr 2＋4πcr 2

―――――――→由l ≥2r 可求r 的范围即定义域

0

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→错误! 2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求该容器的建造费用最小时的r ――――――――――→建造费用最小，即y 最小问题转化为 当r 为何值时，y 取得最小值

3．建联系，找解题突破口

分析函数特点：含分式函数―――――――→可利用导数研究函数的最值